Документ взят из кэша поисковой машины. Адрес оригинального документа : http://www.mccme.ru/circles/oim/mmks/works/novikov.pdf Дата изменения: Sat Oct 13 21:37:18 2012 Дата индексирования: Mon Feb 4 22:05:48 2013 Кодировка: Windows-1251 Поисковые слова: m 97

ПРОСТОЕ ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ТЕОРЕМЫ О ПРОДОЛЖЕНИИ ВЛОЖЕНИЯ А.Новиков

Дана единичная сфера и несколько непересекающихся наборов непересекающихся окружностей на ней. При каком условии в шаре, ограниченном этой сферой, существует такое же количество сфер с дырками, края которых являются данными наборами? Ответ на этот вопрос приведен ниже. Он получен в 2012 С. Аввакумовым [A, ABRS]. более простое доказательство этой теоремы. Пусть M и N два набора непересекающихся окружностей на сфере S . Покрасим связные компоненты дополнения S - N в два цвета так, чтобы соседние компоненты были разных цветов. Набор M (на сфере) от N , если M содержится в одинаково окрашенных компонентах дополнения S - N . Наборы M и N (на сфере), если M лежит по одну сторону от N и N лежит по одну сторону от M .
Основной результат работы лежит по одну сторону не зацеплены

Теорема о продолжении вложения. Для наборов непересекающихся окружностей
на сфере существуют непересекающиеся сферы с дырками, лежащие в шаре, ограниченном сферой, чьи края совпадают с данными наборами, тогда и только тогда, когда эти наборы попарно не зацеплены.

Пусть сфера с дырками Pi лежит в шаре, ограниченном сферой S . Добавим `шапочку' (гомеоморфную диску) снаружи S к каждой окружности из Pi так, чтобы объединение сферы Pi и ее 'шапочек' было самонепересекающейся сферой Pi . (Можно считать, что S круглая сфера, граничные окружности Pi круглые, и ни одна из них не является экватором. Для каждой окружности Pi возьмем круглую сферу, проходящую через нее и центр S . Возьмем части таких сфер, лежащие снаружи S в качестве `шапочек'.) Очевидно, все одинакого покрашенные компоненты связности дополнения S -Mi = S - Pi лежат с одной стороны от Pi, а Pi и Pj не пересекаются. Тогда S Pj = Mj лежит по одну сторону от Pi, т.е. в объединении одинакого покрашенных компонент дополнения S - Mi. Таким образом Mj по определению лежит по одну сторону от Mi, а Mi лежит по одну сторону от Mj . Тогда Mi и Mj не зацеплены. Воспользуемся индукцией по количеству окружностей в M1 ћ ћ ћ Mm . Пусть p окружность из M1 ћ ћ ћ Mm , ограничивающая в S диск D, не пересекающийся с M1 ћ ћ ћ Mm. Не умаляя общности p M1. Пусть M1 объединение окружностей M1 - p (заметим, что M1 может быть пусто). Назовем B закрытый шар, ограниченный S (т.е. внутреннюю часть S ). Множества M1, M2, попарно не зацеплены. По предположению индукции существуют непересекающиеся сферы с дырками P1, P2, . . . , Pm B такие что Pi = Mi для всех i = 2, . . . , m и P1 = M1. Пусть D диск полученный из замыкания D небольшой деформацией так, чтобы внутренняя часть D была внутри B и D = p. По следущему утверждению любые две точки из M1 = M1 p могут быть соединены путем внутри S не пересекающим P2, . . . , Pm. Таким образом мы можем связать D и P1 с помощью трубки, лежащей внутри B и не пересекающей P2, . . . , Pm, получив при этом сферу с дырками. Назовем ее P1. Имеем P1 = p P1 = M1, P1 B и P1 не пересекающееся с P2, . . . , Pm. Шаг индукции доказан.
Доказательство необходимости. Доказательство достаточности.

...,M

m

Утверждение. Набор

p

m лежит в одной связной компоненте дополнения

B - (P

1

ћћћ

Предположим противное. Рассмотрим любые две точки A, B pm из разных связных компонент дополнения B - (P1 ћ ћ ћ Pm-1 ). Обозначим через m-1 l путь внутри S , соединяющий A и B , и при этом l := #(l Pi ) минимально (минимум
Доказательство утверждения.

P

m-1 ).

i=1

1


по всем таким l, объекты A, B , pm, S, P1, . . . , Pm-1 фиксированы). Тогда l > 0 (иначе A и B лежали бы в одной компоненте). Так как pm лежит по одну сторону от Pi, точки A и B лежат в одной компоненте дополнения B - Pi, и #(l Pi) четно для всех i. Тогда #(l Pi) 2 для некоторого i. Обозначим через Q и R последовательные (на l) точки l Pi. Обозначим через Q точку l чуть перед Q и за R точку l чуть после R. Так как Pi связно, Q и R можно соединить путем Pi. Значит Q и R можно соединить путем l , достаточно близким к Pi, но не пересекающим Pi. Путь l не пересекает ничего из P1, . . . , Pm-1, так как он достаточно близок к Pi, а P1, . . . , Pm-1 попарно не пересекаются. Заменим часть пути l от Q до R на l . Полученный путь назовем l . Теперь l = l - 2. Это противоречит минимальности l. Поэтому l не пересекает P1 ћ ћ ћ Pm-1 , значит A и B должны лежать в одной связной компоненте дополнения B - (P1 ћ ћ ћ Pm-1). [A] S. Avvakumov, A counterexample to the Lando conjecture on intersection of spheres in 3-space, preprint, 2012. [ABRS] С. Аввакумов, А. Бердников, А. Рухович, А. Скопенков Как пересекаются в пространстве криволинейные сферы, или меандры http://www.turgor.ru/lktg/2012/3/index.htm
Литература

2