Документ взят из кэша поисковой машины. Адрес оригинального документа : http://www.mccme.ru/circles/oim/materials/spring06/bronza/b12-bogd.ps Дата изменения: Wed Apr 12 13:42:00 2006 Дата индексирования: Sun Dec 23 01:26:48 2007 Кодировка: Windows-1251 Поисковые слова: п п п п п п п п п п п п п п п п п п п п п п п п п п п п п п п п п п п п п п

Сумма Минковского
Многие задачи из этого списка имеют трехмерные аналоги. Когда эти аналоги не совсем очевидны, они вынесены
в отдельные пункты. При отсутствии желания их можно не решать.
Если задача, помеченная значком y, достаточно долго не решается, то к ней можно попросить подсказку.
Каждую точку плоскости R 2 мы всегда воспринимаем также как ее радиус-вектор. Поэтому для любых точек a, b
определены такие понятия, как a + b, 2a, 3a + 5b и т.д.
Определение 1. Суммой Минковского множеств A; B  R n называется множество A+B = fa+ b : a 2 A; b 2 Bg.
Обычно сокращают: A+ x = A+ fxg, A x = A +fxg, A = 0 A.
Упражнение 1. Чему равна сумма Минковского множества и точки? двух разнонаправленных отрезков? квадрата
и круга?
Упражнение 2. Докажите, что сумма выпуклых фигур выпукла.
Определение 2. Пусть a  граничная точка множества A. Прямая , проходящая через a, называется опорной
прямой к A в точке a, если множество A полностью лежит в одной из полуплоскостей, определяемых прямой .
Упражнение 3 (для тех, кому неизвестно). а) Мнооугольник A выпукл тогда и только тогда, когда для
любой граничной точки a существует опорная прямая, проходящая через a.
б) Пусть A выпукл. Тогда для любой точки x =
2 A существует опорная прямая, относительно которой A и x лежат
в разных полуплоскостях.
Упражнение 4. а) Докажите, что если c  граничная точка фигуры A + B и c = a + b, a 2 A, b 2 B, то a и b 
граничные точки множеств A и B соответственно.
б) Более того, если   опорная прямая к A + B в точке c, то прямые, параллельные  и проходящие через a и b
(то есть прямые  + a c и  + b c) являются опорными к A и B.
Упражнение 5. Докажите, что сумма Минковского выпуклых многоугольников  тоже выпуклый
многоугольник.
В дальнейшем буквами A, B, M обозначаются выпуклые многоугольники.
Определение 3. Через d(M) будем обозначать диаметр многоугольника M , через p(M) и s(M)  его периметр
и площадь соответственно.
Задача 6. Докажите, что p(A +B) = p(A) + p(B).
Задача 7. а) Докажите, что d(A +B)  d(A) + d(B).
б) Докажите, что d(A + ( A)) = 2d(A).
Задача 8. а) Пусть один выпуклый многоугольник находится внутри другого. Докажите, что периметр
внутреннего меньше.
б) y Докажите, что d(M)  p(M). (Подсказка. Докажите это неравенство сначала для центрально-
симметричных многоугольников.)
в)  Что можно сказать про трехмерные аналоги этих утверждений?
При решении следующих задач можно применять следующую теорему. А можно и доказать. . .
Принцип Кавальери. Пусть для (выпуклых) многоугольников M 1 , M 2 при сечении их любой прямой,
параллельной данной, отрезок, получающийся при сечении M 1 , не больше отрезка, получающегося из M 2 . Тогда
площадь первого многоугольника не превосходит площади второго.
Задача 9. а) y Докажите, что s(M + ( M))  4s(M). (Подсказка. Оцените s( M+( M)
2 ).)
б) Сформулируйте и докажите аналогичный факт для объемов многогранников.
Задача 10. Докажите, что 4s(M)  d(M) 2 .
Задача 11. а) Докажите, что
p
s(A +B) 
p
s(A) +
p
s(B). (Указание. Докажите эту формулу сначала для
прямоугольников с параллельными сторонами.)
б) Сформулируйте и докажите аналогичный факт для объемов многогранников.
Задача 12. а) Пусть B t  круг с центром в начале координат и радиусом t. Докажите, что для всякого выпуклого
многоугольника M функция
f(t) = s(M +B t )
является квадратным трехчленом от t. Чему равны коэффициенты этого трехчлена?
б) Сформулируйте и докажите аналогичный факт для объемов многогранников. Что служит коэффициентами
многочлена в этом случае?
Задача 13 (Изопериметрическая задача). С помощью предыдущей задачи докажите, что 4s(M)  p(M) 2 .
Задача 14. Два сечения выпуклого многогранника параллельными плоскостями имеют равные площади.
Докажите, что любое сечение плоскостью, параллельной данным и лежащей между ними, имеет не меньшую
площадь.