Документ взят из кэша поисковой машины. Адрес оригинального документа : http://www.mccme.ru/circles/oim/materials/sbproect.ps Дата изменения: Thu Apr 15 19:19:18 2004 Дата индексирования: Sat Dec 22 16:45:36 2007 Кодировка: koi8-r Поисковые слова: aurora

Проективные преобразования
Составитель Спиридонов С. В.
Определение. Пусть  1 и  2 | две плоскости в пространстве, l | прямая, не параллель-
ная ни одной из этих плоскостей. Параллельным проектированием плоскости  1 на плоскость
 2 относительно направления l называют отображение, которое точке A плоскости  1 ставит в
соответствие точку пересечения прямой l 2 , параллельной l и проходящей через A, с плоскостью
 2 .
1. a) Доказать, что параллельная проекция сохраняет отношение длин параллельных отрезков.
b) Параллельной проекцией можно перевести любой треугольник в правильный.
c) Через каждую вершину треугольника проведены две прямые, делящие противоположную
сторону треугольника на три равные части. Докажите, что диагонали, соединяющие противо-
положные вершины шестиугольника, образованного данными прямыми, пересекаются в одной
точке.
Определение. Пусть  1 и  2 | две плоскости в пространстве, O | точка, не лежащая ни
на одной из этих плоскостей. Центральным проектированием плоскости  1 на плоскость  2 сцен-
тром O называют отображение, которое точке A 1 плоскости  1 ставит в соответствие точку
пересечения прямой OA 1 с плоскостью  2 .
2. a) Через точку на боковом ребре четырехугольной пирамиды проведите плоскость так,
чтобы в сечении получился параллелограмм.
b) Центральным проектированием можно перевести любой выпуклый 4-угольник в параллело-
грамм.
3. (теорема Паппа) Точки C и C 0 лежат на прямых AB и A 0 B 0 , соответственно. Тогда три
точки пересечения прямых AB 0 и A 0
B, BC 0 и B 0
C, CA 0 и C 0
A лежат на одной прямой.
4. а) Диагонали и боковые стороны трапеции пересекаются в точках P и Q, соответственно.
Тогда прямая PQ пересекает основания трапеции в их серединах.
b) Даны две параллельные прямые и точки A; B на одной из них. Постройте одной линейкой
середину отрезка AB.
c) (построение Брианшона) На рисунке BC k A 1 A,
A 1 A
A 2 A 3
B
O
C
B 2
B 1
B i = AB \ A i C, A i+1 = OB i \ A 1 A (i = 1; 2; : : :).
Докажите, что AnA = 1
n
A 1 A.
d) При помощи одной линейки невозможно построить середину данного от-
резка.
Определение. Отображение плоскости  на плоскость  будем называть
проективным отображением, если оно является композицией центральных и па-
раллельных проектирований, то есть существуют плоскости  1 = ;  2 ; : : : ; n =
 и отображения P i плоскостей  i и  i+1 , каждое из которых является цен-
тральным или параллельным проектированием, причем P является их композицией. Если  = .
то отображение будем называть проективным преобразованием.
5. Проективным преобразованием можно перевести любой выпуклый 4-угольник в квадрат.
6. Теорема Дезарга. Прямые a, b, c пересекаются в одной точке O. В треугольниках A 1 B 1 C 1
и A 2 B 2 C 2 вершины A 1 и A 2 лежат на прямой a, B 1 и B 2 | на прямой b, C 1 и C 2 | на прямой c.
A, B, C - точки пересечения прямых B 1 C 1 и B 2 C 2 , A 1 C 1 и A 2 C 2 , A 1 B 1 и A 2 B 2 соответственно.
Докажите, что точки A, B и C лежат на одной прямой. а к
7*. а) Докажите, что существуют проективное преобразование, переводящее окружность в
окружность, а данную точку (внутри окружности) | в центр образа.
b) Докажите, что существует проективное преобразование, переводящее окружность в окруж-
ность, а данную прямую ( не пересекающую окружности ) | в бесконечно удаленную.
с) Прямые, соединяющие противоположные точки касания описанного четырехугольника, про-
ходит через точку пересечения диагоналей.
d) Диаметром окружности ! относительно прямой l, не пересекающей !, назовeм отрезок,
соединяющий 2 точки касания касательных к !, опущенных из какой-либо точки на l. Докажите,
что все диаметры пересекутся в одной точке C.
8. Пусть дана единичная окружность ! с центром в точке O. Полярой точки A назовем прямую,
перпендикулярную OA и содержащую образ A при инверсии относительно !.
a) Докажите, что если точка A лежит на поляре точки B, то точка B лежит на поляре точки
A.
1

b) Докажите, что в задаче 7d прямая l является полярой к точке C.
9* а) Двойное (или ангармоническое) отношение (ABCD) = AC
BC : AD
BD сохраняется при про-
ективных преобразованиях (длины берутся со знаком + или в зависимости от направления
соответствующих векторов: AB = BA).
b) Пусть Q, R | точки пересечения прямых AD и BC, AC и BD на плоскости, K и L | точки
пересечения прямых QR и AB, QR и CD. Тогда (QRKL) = 1.
10. (Обратная к теореме Дезарга) В треугольниках A 1 B 1 C 1 и A 2 B 2 C 2 вершины A 1 и A 2 лежат
на прямой a, B 1 и B 2 | на прямой b, C 1 и C 2 | на прямой c. A, B, C - точки пересечения прямых
B 1 C 1 и B 2 C 2 , A 1 C 1 и A 2 C 2 , A 1 B 1 и A 2 B 2 соответственно. Точки A, B и C лежат на одной прямой.
Докажите, что прямые a, b, c пересекаются в одной точке O.
11. Теорема Брианшона. ABCDEF - описанный 6-иугольник. Доказать, что AD, BE и CF
пересекаются в одной точке.
12. Теорема Паскаля. ABCDEF - вписанный 6-иугольник. Пусть X = AE
T
FB;Y = BD
T
CE,
Z = AD
T
CF: Докажите, что X;Y; Z лежат на одной прямой.
2