Документ взят из кэша поисковой машины. Адрес оригинального документа : http://www.mccme.ru/circles/oim/materials/sbory05/symyvyal.ps Дата изменения: Sat May 7 13:17:27 2005 Дата индексирования: Sun Dec 23 00:23:25 2007 Кодировка: koi8-r Поисковые слова: р п р п р п р п р п р п р п р п р п р п р п

Симметрические многочлены для 10-классников
Теорема Виета. Пусть для любых значений переменной t выполнено равенство
e 0 + e 1 t + e 2 t 2 +


+ e n 1 t n 1 + e n t n = (1 + x 1 t)(1 + x 2 t) : : : (1 + xn t): (1)
Тогда
e 0 = 1
e 1 = x 1 + x 2 +


+ xn
e 2 = x 1 x 2 + hвсе остальные произведения пар переменных x i i
: : :
e k = x 1 x 2 : : : x k + hвсе остальные произведения переменных x i , взятых в количестве k штукi
: : :
e n = x 1 x 2 : : : xn :
(2)
1. Докажите теорему Виета.
2. Многочлен a 0 +a 1 t+


+an t n , a 0 6= 0, имеет корни x 1 ; : : : ; xn . Напишите многочлен, корни которого 1=x 1 ; : : : ; 1=xn .
Симметрические многочлены не меняют своего значения при любой перестановке входящих в них переменных.
Примером симметрических многочленов служат входящие в (??) многочлены e k . Они называются элементарными
симметрическими многочленами.
Еще один пример симметрических многочленов: суммы степеней p k = x k
1
+ x k
2
+


+ x k
n .
3. Проверьте, что многочлен (x 1 + x 2 x 3 x 4 )(x 1 x 2 + x 3 x 4 )(x 1 x 2 x 3 + x 4 ) | симметрический.
Формулу (??) можно понимать так, что коэффициенты многочлена от одной переменной выражаются через его кор-
ни (= значения, в которых многочлен обращается в 0) с помощью элементарных симметрических многочленов. При
этом нужно считать, что у многочлена степени n ровно n корней. Скажем, у многочлена x 2 +1 два ЂкорняЃ. С такими
ЂкорнямиЃ можно выполнять 4 арифметических действия, которые удовлетворяют привычным свойствам относитель-
но равенств. Но их, вообще говоря, нельзя сравнивать по величине, так что когда речь пойдет о неравенствах, нужно
быть осмотрительным.
4. Найдите произведение корней многочлена x 4 2x 2 + 4.
5. Найдите сумму квадратов корней многочлена x 3 4x + 2.
6. Докажите, что у многочлена x 10 2x 9 + 3x 8


10x + 11 не все корни действительные.
Основная теорема о симметрических многочленах утверждает, что любой симметрический многочлен можно
выразить через элементарные симметрические с помощью сложения и умножения. В частности, любой симметриче-
ский многочлен от корней уравнения можно вычислить с помощью арифметических действий, зная только значения
коэффициентов уравнения.
7. Докажите основную теорему о симметрических многочленах для многочленов от двух переменных x 1 , x 2 .
Тождества Ньютона связывают элементарные симметрические многочлены и суммы степеней:
nen = p 1 e n 1 p 2 e n 2 + p 3 e n 3


+ ( 1) r 1 p r e n r +


+ ( 1) n 1
pn e 0 : (3)
Равенство (??) справедливо для любого числа переменных, при этом нужно считать, что e k (x 1 ; : : : ; xn ) = 0 при k > n.
8. Докажите, что если x 1 + x 2 + x 3 = 0, то p 3 = 3e 3 .
9. Докажите, что если число x + x 1 | целое, то и все числа x k + x k | целые.
10. Докажите, что если 2(a 8 + b 8 + c 8 ) = (a 4 + b 4 + c 4 ) 2 , то треугольник со сторонами a; b; c | прямоугольный.
11. Выразите многочлен из задачи ?? через элементарные симметрические.
12. Выразите многочлен (x 1 x 2 ) 2 (x 2 x 3 ) 2 (x 3 x 1 ) 2 через элементарные симметрические.
Мономиальные симметрические многочлены m  определяются следующим образом. Пусть  1 >  2 >


> n |
набор целых неотрицательных чисел. Тогда m  равен сумме одночленов x 1
1
x 2
2
: : : x n
n , где последовательности пока-
зателей  1 ;  2 ; : : : ; n пробегают все различные перестановки последовательности . (В частности, все коэффициенты
в m  равны 1.)
13. Проверьте, что m (1 k ) = e k , m (k) = p k , где (1 k ) = (1; : : : ; 1; 0; : : : ; 0) (k единиц), а (k) = (k; 0; : : : ; 0).
14. Докажите, что многочлен (от нескольких переменных) тождественно равен 0 тогда и только тогда, когда коэф-
фициенты при всех одночленах равны 0.
15. Докажите, что любой симметрический многочлен однозначно представляется в виде суммы мономиальных сим-
метрических многочленов с числовыми коэффициентами.
16. Докажите тождества Ньютона.
17. Докажите, что для любого  существует такое произведение элементарных симметрических многочленов, что в
его разложении в сумму мономиальных многочленов многочлен m  входит с ненулевым коэффициентом.
18. Докажите основную теорему о симметрических многочленах.
1