Документ взят из кэша поисковой машины. Адрес оригинального документа : http://www.mccme.ru/circles/oim/materials/groups.pdf Дата изменения: Wed Jul 18 14:54:08 2012 Дата индексирования: Mon Feb 4 12:54:49 2013 Кодировка: Поисковые слова: http www.mccme.ru

. . . - . . (.. ..). , . ( , . . [A, . 49, 5].) ` ' , [KS], [BKS], [BKKSS] ` ', ` ', ` ', ` ' [Z]. . [KS]. : , . . . .

1

(8-9)

1- . 1.1. . : ) ( 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 5 10 8 11 14 15 6 13 1 4 9 7 2 12 ? . , - (.. ). f , -- , ak f (ak ). {a1 , a2 , . . . , an }, ak ( ) a1 a2 ... an f (ak ), ( ak = k ). f (a1 ) f ()2 ) . . . f (an ) a ( a1 a2 . . . an-1 an (a1 a2 . . . an ) := . a2 a3 . . . an a1 f g f g , (f g )(x) := f (g (x)). 1.2. (a) (12) (13); (b) (12) (23); (c) (23) (12); (d) (123) (132); (e) (12) (13) (12); (f ) (12345) (12); (g) (12345) (56789). . , (123) (234) = (12) (34). . f k , f k = id (.. k - f ). 1.3. (7,10,12,11) 9- 7, 10, 12, 11. 1.4. n1 , ..., nk , ?
, , ` ', ` '. . www.mccme.ru/circles/oim/materials/groups.pdf.
0


(n1 + ... + nk )- n1 , ..., nk . 1.5. (a) 2, 3; (b) 3, 3; (c) 1, 2, 3, 4. 1.6. (a) . (b) , .. , , ( , 2). () (1i), i = 2, 3, . . . , n. 1.7. , (a) n- . (b) 3 n- (.. , . ). a b , a = xbx-1 x. 1.8. (a) a b , . (b) a x -- n- . ( ) x(1) x(2) ... x(n) -1 xax = . x(a(1)) x(a(2)) ... x(a(n)) , xax-1 a x-: a = q=1 (ij 1 , ij 2 , ..., ij sj ), xax-1 = q=1 (x(ij 1 ), x(ij 2 ), ..., x(ij sj )). j j (c) g f -1 g -1 f f := (1, 2, ..., N ) g := (N , N + 1, ..., L). 8 : 1.2.def, 1.3.12, 1.4, 1.5.ab, 1.6.ab, 1.7.a, 1.8.a. : 1.5.b 1.6.a . 9 : 1.2.efg, 1.3.11, 1.4, 1.5.ac, 1.6.bc, 1.7.b, 1.8.b. : 1.5.c 1.6.a . , , . 2- . 1.9. (a) 3? (b) ? (c) 15. 4 в 4 15 1в1 1, 2, . . . , 15, . , . , , ? 1234 1234 5 6 7 8 5 6 7 8 9 10 11 12 9 10 11 12 13 14 15 13 15 14 1.9: , . f -- {1, 2, . . . , n}. , (i, j ), 1 i, j n, f , i < j , f (i) > f (j ). , . 1.10. (a) n? (b) () (). (c) , ?


1.11. : (a) . (b) . (c) 3. 1.12. (a) n- : ? (b) n- , k 1? 1.13. * [G1, G2] x p1 , p2 , ..., pk , x = x1 x2 ...xn , i n xi = p1 xi = p2 ... xi = pk . (a) 2 , . (b) N K , N > 1, K > 1, (1, ..., N ) (N , ..., N + K - 1) (N + K - 1)- . (c) N K , N > 1, K > 1, (1, ..., N ) (N , ..., N + K - 1) (N + K - 1)- . 8 : 1.9.ab, 1.10.ab, 1.11.abc, 1.12.a. : 1.10.b. 9 : 1.9.abc, 1.10.ab, 1.11.ab, 1.12.b. : 1.9.c. . 1.1. 105. 1.2. (132), (123), (132), id, (23), (1345), (123456789). 1.3.11. 11 . 1.4. (n1 , . . . , nk ). 1.5. (a) 20; (b) ?; (c) 10!/4!. 1.7. (a) (12) (123 . . . n). ( (123) .) (b) (123) (1, 2, ..., n). ( (123) (s, s + 1, s + 2).) 1.8.c. (N - 1, N , N + 1). 1.9. (a,b,c) . 1.10. (a) n n . (b) 2. 1.12. (a) . (b) n - k .

2

(9­11)

1- . , , . 1. (a) ? , (.. , ), . (b) (.. ) 4 ? (c) a ? , ( ), . (d) (b) 4 a , , (.. ) , . 2. p- p- ( p ). , , .


2- . 3. n a (.. n- a , , , ) (a) n = 5; (b) n = 4; (c) n = 6. 3 n, . ( " " n) 3c. . ( a6 6 .) P (, s), s {0, 1, 2, 3, 4, 5} -- , s . s a(s,6) , P = a6 + a + a2 + a3 + a2 + a. , d() , . s {0, 1, 2, 3, 4, 5}, s , 6/d(). P=


6 = d()




d( ) ·

6 = 6X. d( )

X -- . , · , , d() = d( ) ( d( ), -- ); · , (.. ), d(). 1 , X = (a6 + 2a + 2a2 + a3 ). 6 4. (a) n a . (b) a- n . ( , , .) 5. a ? , (.. , ), . : , . 6. . ( a6 .) (a) (.. , ). (b) s f ix(s) , s? (c) P (, s), · s -- · -- , s. 7. st s , ; (a) P = st . (b) , , st = st ( st , -- , .. ).



(c) P =




st · N , N -- , -

. (d) , , st . (e) st · N = 24. 8. (a) a ? , (.. , ), . (b) a K3,3 ? 6 , 2 3 . , . , , . 9. , . 10.* (.. ) n ? ( .) 11.* {0, 1}n {0, 1} (.. n ) , . (a) bn n . n (b) , lim n!bn /22 .
n

: 1a, 2a, 4ab, 5, 6abc, 7abcde, 8a. . 1. (a) 10. (b) 11. (c) a(a + 1)(a + 2)(a + 3)/24. 2. ((p - 1)! + 1)/p. 3. (a) (a5 - a)/5. 9. . M {g1 , g2 , . . . , gn } , . M , . n 1 n f ix(gk ), f ix(gk ) -- M ,
k=1

gk . [A] .. , , , , 1984. [BKS] . , . . , n ? http://arxiv.org/abs/1108.5406 [BKKSS] . , . , K. , . . , n ? http://olympiads.mccme.ru/lktg/2011/6/index.htm [G1] . , `', http://www.mccme.ru/mmks/dec10/grigoryev_report.pdf (, !) [G2] . , 3, . [K] . ., . . , , 1985. http://lib.mexmat.ru/books/3692. [KS] . . , : ( ), . , 12 (2008), 127­144, http://arxiv.org/abs/0804.4357. [Z] . . . , . , . , . . . , , 2009. www.mccme.ru/circles/oim/materilals/mvz.pdf.