Документ взят из кэша поисковой машины. Адрес оригинального документа : http://www.mccme.ru/circles/oim/materials/autumn06/b5-2blinkov.doc Дата изменения: Sat Nov 4 15:30:18 2006 Дата индексирования: Sun Dec 23 01:09:07 2007 Кодировка: Windows-1251 Поисковые слова: большой круг

Геометри?еские зада?и на экстремальные зна?ения.
1. [В.В. Прасолов; ?11.2]
Среди всех треугольников с фиксированными углом и а) противолежащей
стороной; б) периметром укажите треугольник наибольшей площади.
Ответ: равнобедренный треугольник с основанием, противолежащим данному
углу.
[pic]
Пусть в треугольнике АВС (ВАС = (; |BC| = a; PABC = 2p.
а) Рассмотрим все треугольники с фиксированной стороной ВС и
фиксированным углом А. Они вписаны в окружность фиксированного радиуса R =
[pic] так, ?то вершины, противолежащие стороне ВС лежат в одной
полуплоскости относительно (ВС) (см. рис.). Так как SABC = 0,5aha, то
наибольшее зна?ение площади достигается при наибольшем зна?ении высоты, то
есть, когда треугольник - равнобедренный.
[pic]
б) Рассмотрим все треугольники с фиксированным периметром и
фиксированным углом А. Для них фиксирована вневписанная окружность с
центром O', касающаяся стороны а, так как [pic], где K - то?ка касания
вневписанной окружности с продолжением стороны АВ (см. рис.). Так как SABC
= (p - a)ra, то наибольшее зна?ение площади достигается при наименьшем
зна?ении а, то есть, когда касательная (ВС) к вневписанной окружности
перпендикулярна (AO'). Следовательно, треугольник АВС - равнобедренный.

2. [В.В. Прасолов; ?11.5]
[pic]
Среди всех треугольников, вписанных в данную окружность, найдите
треугольник с наибольшей суммой квадратов длин сторон.
Ответ: равносторонний.
Рассмотрим треугольник АВС, вписанный в окружность радиуса R с центом О
(см. рис.). Пусть [pic], [pic] и [pic], тогда [pic] = 2(a2 + b2 + c2) -
[pic]. Так как [pic], то [pic] = [pic]( 3(a2 + b2 + c2) = 9R2, при?ем
равенство достигается т. и т. т., когда [pic], то есть когда то?ка О
совпадает с центром тяжести треугольника. Это озна?ает, ?то треугольник АВС
- равносторонний.

3. [В.Ю. Протасов]
Из то?ки Р, лежащей внутри остроугольного треугольника АВС, опущены
перпендикуляры PA', PB' и PC' на стороны ВС, СА и АВ соответственно.
Найдите положение то?ки Р, при котором произведение РА'(РВ'(РС' является
наибольшим.
Обобщите зада?у а) для произвольного треугольника; б) для ?етырехугольника.
[pic]
Ответ: центр тяжести треугольника.
Рассмотрим остроугольный треугольник АВС и то?ку Р внутри него.
Проведем перпендикуляры РА', РВ' и РС' к сторонам треугольника и соединим Р
с вершинами (см. рис.). Тогда [pic]. Так как стороны треугольника
фиксированы, но произведение расстояний будет наибольшим т. и т. т., когда
наибольшим будет произведение записанных площадей. Сумма таких площадей не
зависит от расположения то?ки Р и равна SABC, поэтому их произведение будет
наибольшим, если SBPC = SCPA = SAPB, то есть Р - то?ка пересе?ения медиан
треугольника АВС.

4. [В.В. Прасолов; ?11.20]
Из то?ки Р, лежащей внутри треугольника АВС, опущены перпендикуляры PA',
PB' и PC' на прямые ВС, СА и АВ соответственно. Найдите положение то?ки Р,
при котором сумма [pic] принимает наименьшее зна?ение.
Ответ: центр окружности, вписанной в треугольник.
Рассмотрим треугольник АВС и то?ку Р внутри него. Проведем
перпендикуляры РА', РВ' и РС' к прямым, содержащим стороны треугольника и
соединим Р с вершинами (см. рис. к зада?е 3). Введя обозна?ения PA' = x,
PB' = y и PC' = z, полу?им: ax + by + cz = 2SABC.
Тогда [pic] = [pic] + [pic] ( [pic] = (a + b + c)2, при?ем равенство
достигается т. и т. т., когда x = y = z. Это озна?ает, ?то Р - центр
вписанной окружности.

5. [В.Ю. Протасов] Какой из ?етырехугольников с данными сторонами имеет
наибольшую площадь?
[pic]
Ответ: вписанный в окружность.
Рассмотрим ?етырехугольник АВСD с данными сторонами, вписанный в
окружность (см. рис.). Пусть его площадь не наибольшая. Тогда, 'приклеим' к
сторонам АВСD сегменты круга и 'вставим шарниры' в его вершины. Рассмотрим
полу?енную фигуру с большей площадью ?етырехугольника. Она имеет такую же
длину границы, но большую площадь, ?ем круг, ?то противоре?ит
изопериметри?ескому свойству круга.
Рассказать доказательство Я. Штейнера для изопериметри?еской зада?и или
сослаться на книгу В.Ю. Протасова 'Максимумы и минимумы в геометрии'.

6. (6 фестивалей; 90.4.10.(
[pic]
Замкнутая ломаная проходит по всем граням едини?ного куба. Найдите
наименьшее возможное зна?ение ее длины.
Ответ: 3[pic].
Рассмотрим развертку куба (см. рис.). Искомая ломаная должна пересекать
все грани куба, поэтому лежит внутри обозна?енной полосы. Длина ломаной
будет наименьшей, если на развертке она будет изображаться отрезком,
параллельным краям полосы. В ?астности, таким отрезком будет изображаться
граница правильного шестиугольника, вершинами которого являются середины
ребер куба. Каждая сторона такого се?ения куба равна половине диагонали
грани, то есть равна [pic].

7. [В.В. Прасолов; ?11.25]
То?ка Р лежит внутри угла АОВ. Постройте отрезок MN с концами на сторонах
угла и содержащий то?ку Р, так, ?тобы сумма OM + ON была наименьшей.
[pic]
Пусть MN - искомый отрезок. Проведем ?ерез то?ку Р прямые, параллельные
сторонам данного угла. Пусть они пересекают лу?и ОА и ОВ в то?ках K и L
соответственно (см. рис.). Так как OM + ON = (OK + OL) + (KM + LN), то
требуемая сумма будет наименьшей т. и т. т., когда будет наименьшей сумма
KM + LN.
Поскольку треугольники KMP и LPN подобны, то [pic] ( KM(LN = KP(PL.
Следовательно, KM + LN ( 2[pic] = 2[pic] = 2[pic], при?ем равенство
достигается т. и т. т., когда KM = LN = [pic].
[pic]
Таким образом построение сводится к тому, ?тобы на продолжениях сторон
OK и OL параллелограмма OKPL отложить отрезки, равные среднему
геометри?ескому сторон параллелограмма.
Отметим, ?то искомый отрезок - единственный, а наименьшее зна?ение
суммы OM + ON = ([pic] + [pic])2, где а и b - стороны параллелограмма OKPL.
Равенство KM(LN = KP(PL можно доказать ина?е. Проведем ?ерез то?ки M и
N прямые, параллельные сторонам угла АОВ (см. рис.). Пусть Q - то?ка их
пересе?ения, Е и F - то?ки пересе?ения прямых LP и KP c MQ и NQ
соответственно, тогда параллелограммы OKPL и PEQF равновелики и имеют
соответственно равные углы.

8. (ММО; 93.10.4.(
[pic]
На стороне AB треугольника ABC во внешнюю сторону построен квадрат с
центром О. То?ки M и N - середины сторон AC и BC соответственно, а длины
этих сторон равны соответственно b и a. Найдите наибольшее зна?ение суммы
OM + ON, если угол ACB является переменной вели?иной.
Ответ: [pic].
Пусть АВDE - квадрат, построенный на стороне АВ, тогда [OM] - средняя
линия (ADC, [ON] - средняя линия (BEC (см. рис.). На отрезках AC и BC во
внешнюю сторону построим квадраты AKLC и BTPC. Проведем [BK] и [AT], тогда
(ABT = (DBC и (BАK = (EAC (по двум сторонам и углу между ними).
Следовательно, |DC| -наибольшая тогда и только тогда, когда , |AT|
-наибольшая, то есть, T((AC). Аналоги?но, |EC| -наибольшая тогда и только
тогда, когда , |BK| -наибольшая, то есть, K((BC). Для выполнения этих
условий необходимо и достато?но, ?тобы (АСВ = 135(.
В этом слу?ае: [pic].
Равенство треугольников можно также доказать, используя поворот
плоскости вокруг то?ек В и А соответственно.