|
Документ взят из кэша поисковой машины. Адрес
оригинального документа
: http://www.mccme.ru/circles/mmmf/arhiv/19961997.7/zan16.htm
Дата изменения: Sat May 22 14:16:38 1999 Дата индексирования: Sat Dec 22 23:35:39 2007 Кодировка: koi8-r Поисковые слова: ngc 6520 |
Задача 16.1. Между 9 планетами Солнечной системы введено космическое сообщение. Космолёты летают по следующим маршрутам: Земля-Меркурий, Плутон-Венера, Земля-Плутон, Плутон-Меркурий, Меркурий-Венера, Уран-Нептун, Юпитер-Марс, Нептун-Сатурн, Марс-Уран, Сатурн-Юпитер. Можно ли добраться с Земли до Марса?
Задача 16.2. Картонный прямоугольник площади 1 разрезали на две части по отрезку, соединяющему середины его двух соседних сторон. Найдите площади этих частей.
Задача 16.3.
а) Идёт Петя, а навстречу ему 5 человек.
Докажите, что среди них найдутся либо 3 человека,
знакомых с Петей, либо 3 человека, незнакомых с Петей.
б) Докажите, что в любой компании из 6 человек найдутся
либо 3 попарно знакомых, либо 3 попарно незнакомых человека.
в) А если в компании всего 5 человек?
Задача 16.4. В каждой клетке бесконечного листа клетчатой бумаги записано по натуральному числу так, что каждое число равно среднему арифметическому четырёх соседних чисел - верхнего, нижнего, правого и левого. Докажите, что все эти числа равны между собой.
Задача 16.5. Имеется цепочка из n сосисок. Два кота по очереди
перегызают по одной перемычке между сосисками и съедают образовавшиеся
одиночные сосиски. Выигрывает тот, кто съест больше сосисок. Может ли один из
котов обеспечить себе победу, и если может, то как, если
а) n=4;
б) n=5;
в) n=6;
г) n=7;
д) n=8;
е)* n - любое натуральное число?
Задача 16.6. Натуральные числа a и b таковы, что 34a=43b. Докажите, что число a+b составное (т. е. делится на какое-то натуральное число, не равное 1 и a+b).
Задача 16.7. Круг разделён на 6 секторов, и в них расставлены числа 1, 0, 1, 0, 0, 0 (именно в таком порядке). Разрешается одновременно увеличивать на 1 любые два стоящих рядом числа. Можно ли с помощью таких операций сделать все шесть чисел равными?