МММФ 03.11.1990. Занятие 4.

Задача 4.1. Пионерка Ульяна, которая любит рисовать углы, начертила на доске угол. Ученик Толя, который любит рисовать точки, отметил внутри угла точку. Девочка Полина, которая все делит поровну, хочет начертить отрезок, концы которого лежат на сторонах угла Ульяны, так, чтобы точка Толи разделила его пополам. Как это сделать?

Задача 4.2. Хулиган Семен, любимое число которого - семь, забрался ночью через окно в гостиницу "Караван-Сарай" и с дверей всех номеров снял семерки. Утром Семена поймал милиционер Пронькин, который заявил, что за каждую снятую цифру полагается платить штраф в размере одного доллара. Сколько долларов придется заплатить Семену, если в гостинице
а) 1000
б) 10 000 номеров, и они нумеруются подряд?

Задача 4.3. Мальчик Олег, который любит рисовать окружности, начертил на доске окружность. Блондинка Света и брюнет Тема раскрасили всю ее в два цвета - светлый и темный. Девочка Полина заявила, что Света и Тема разделили окружность не поровну, т.е. сумма длин светлых светиных дуг меньше суммы длин темных теминых. "Зато теперь ты можешь начертить отрезок с одноцветными концами так, чтобы центр окружности разделил его пополам," - сказала ей учительница математики Марьиванна. Может ли Полина это сделать?

Задача 4.4. "Как ты думаешь, можно ли прорыть прямой туннель через центр Земли так, чтобы оба его конца выходили в море или океан?" - спросила геолог Юля географа Олю. "Не знаю, - ответила Оля, - но я знаю, что около 71% поверхности нашей планеты занимает Мировой океан. Спроси лучше Марьиванну - она математик." Что ответит Юле Марьиванна?

Задача 4.5. Пять бывших школьников решили жениться на своих знакомых девушках. Известно, что к Наине приходили свататься Егор и Миша, но получили отказ. Миша, который учился вместе с Лукой, перед тем, как сделать предложение своей невесте, советовался с Людой и Зиной. Боря с юных лет отличался честностью. Коля в детстве дергал Раю за косички, поэтому она его терпеть не может. Ни Коля, ни Лука не знакомы с Зиной и Наиной. Люся и Рая в юности поклялись не выходить замуж за знакомых между собой мужчин. Тем не менее, все пятеро ребят получили согласие своих избранниц и женились на них. Кто на ком женат?

Задача 4.6. Сторож зоопарка Порфирий хочет выиграть приз - ящик пива - в следующей игре: игральный автомат представляет собой горизонтальный вращающийся диск с четырьмя продолговатыми радиальными нишами, в каждой из которых лежит сушеная вобла. Ниши закрыты крышками, так что воблу не видно. При опускании в монетоприемник автомата одного доллара диск некоторое время вращается и останавливается. Игроку разрешается открыть две из четырех ниш, посмотреть и при желании перевернуть одну или две воблы, которые в них лежат. Потом можно опустить еще один доллар и т.д. Если окажется, что все четыре воблы лежат одинаково, головами или хвостами к центру диска, то звучит музыка, зажигается цветная гирлянда, и игрок получает приз.
а) Сколько долларов нужно приготовить Порфирию для игры и как лучше играть, если диск может поворачиваться на 180 и 360 градусов?
б) А если воблы для получения приза нужно положить головами в одну сторону - к себе или от себя?
(Игрок находится у края диска между двумя нишами.)

Задача 4.7 Решить задачу 4.6а, если диск может поворачиваться на сколько угодно градусов.