Делимость

Признаки делимости:

Число делится на 2 тогда и только тогда, когда его последняя цифра чётная.

Число делится на 3 тогда и только тогда, когда сумма его цифр делится на 3.

Число делится на 4 тогда и только тогда, когда число, составленное его двумя последними цифрами, делится на 4.

Число делится на 5 тогда и только тогда, когда оно оканчивается на цифру 5 или 0.

Число делится на 9 тогда и только тогда, когда сумма его цифр делится на 9.

Число делится на 10 тогда и только тогда, когда оно оканчивается на цифру 0.

Число делится на 11 тогда и только тогда, когда разность между суммой его цифр, стоящих на чётных местах и суммой его цифр, стоящих на нечётных местах, делится на 11.

Задачи:

2. На доске было написано четырёхзначное число, затем у него стёрли последнюю цифру и осталось число 573. Какую цифру стёрли, если исходное число:
а) делилось на 3 и на 7;
б) было простым (то есть не делилось ни на какое натуральное число, кроме себя и единицы).

3. Верен ли следующий признак делимости на 11:
Число делится на 11 тогда и только тогда, когда сумма его цифр, стоящих на чётных местах равна сумме его цифр, стоящих на нечётных местах.

4. Верны ли следующие части "признака делимости на 27":
а)если сумма цифр числа делится на 27, то число делится на 27;
б)если число делится на 27, то сумма его цифр делится на 27?

5. За какое кратчайшее время можно поджарить с двух сторон 3 ломтика хлеба, если на сковороде умещаются только 2 ломтика, а на поджаривание ломтика с одной стороны требуется 1 минута?

6. Известно, что 3x+7y делится на 19. Доказать, что 44x+90y тоже делится на 19.

7. Сколько существует:
а) двузначных чисел, которые делятся на 5?
б) трёхзначных чисел, которые делятся на 7?

8. У автобусных билетов в СССР были шестизначные номера. Номер считался счастливым, если сумма первых трёх его цифр была равна сумме последних трёх. А каких номеров больше - счастливых или делящихся на 11?

9. У царя Дадона в одиночных камерах сидели 100 пленников. Поворот ручки отпирает каждую камеру, следующий поворот запирает, еще один снова отпирает и т.д. К празднику царь решил освободить часть пленников и накануне послал слугу, который повернул ручку на двери каждой камеры. Все двери оказались отперты. Но тут пришел второй посыльный и повернул ручку каждой второй камеры. Двери камер 2, 4, 6, ... вновь оказались заперты. Следующий посланец повернул ручки камер 3, 6, 9, 12 и т.д. Еще один - в каждой четвертой камере. То же повторяли следующие посланцы вплоть до сотого, повернувшего ручку сотой камеры. Наконец наступил праздник, и сидевшие в открытых камерах вышли на свободу. Сколько пленников освободил Дадон?