Документ взят из кэша поисковой машины. Адрес оригинального документа : http://www.mccme.ru/circles/mccme/2014/8/mccme-8-19-induction.doc Дата изменения: Sat Mar 15 19:15:51 2014 Дата индексирования: Sun Apr 10 20:27:32 2016 Кодировка: koi8-r

мцнмо, 8 класс, занятие 19 |15 марта 2014 | |Индукция

Из квадрата клетчатой бумаги размером [pic] вырезали одну клетку. Докажите,
что полученную фигуру можно разрезать на «уголки» из трёх клеток.

Докажите, что при каждом натуральном n, начиная с 3, существует выпуклый n-
угольник, имеющий ровно три острых угла.

Прямые общего положения - такие, среди которых нет параллельных и никакие
три не пересекаются в одной точке.

Даны 2014 прямых общего положения.
a) В скольких точках они пересекаются?
b) На сколько частей они делят плоскость?

У бородатого многоугольника во внешнюю сторону растет щетина. Его
пересекает несколько прямых общего положения, на каждой из которых с одной
из сторон растут волосы. В результате многоугольник оказался разбитым на
некоторое число частей. Докажите, что хотя бы одна из частей окажется
волосатой снаружи.

Докажите, что
a) [pic].
b) [pic].
c) [pic]
d) [pic]
e) [pic].

a) Игра «Ханойская башня». Имеется пирамида с n кольцами возрастающих
размеров (внизу - самое большое) и еще два пустых стержня той же высоты.
Разрешается перекладывать верхнее кольцо с одного стержня на другой, но при
этом запрещается класть большее кольцо на меньшее. Можно ли переложить все
кольца с первого стержня на один из пустых стержней.
b*) То же самое, но в начальной позиции кольца никак не упорядочены.
с**) То же, что и a), но кольца надеты в беспорядке на все три стержня.

На доске написаны два числа 1,1. Впишем в промежуток между числами их
сумму, получим числа: 1,2,1. Повторив эту операцию еще раз, получим числа:
1,3,2,3,1.
a) Сколько будет чисел на доске после 100 операций?
b) Какова будет их сумма после 100 операций?
-----------------------



[pic]