Документ взят из кэша поисковой машины. Адрес оригинального документа : http://www.mccme.ru/circles/mccme/2011/9klass/23.doc Дата изменения: Wed Apr 13 12:30:30 2011 Дата индексирования: Mon Feb 4 21:13:20 2013 Кодировка: koi8-r Поисковые слова: п п п п п п п п п

Математический кружок
Занятие ?23 Парабола.

Параболой называют график квадратичной функции y = ax2 + bx + c, где а не
равно 0.

1. Абсцисса вершины параболы равна -5, а один из корней x1=100. Найдите
второй корень.

2. Сколько общих точек могут иметь графики двух парабол? Укажите все
варианты.

3. Докажите, что если уравнения [pic] и [pic] не имеют действительных
корней, то их полусумма [pic] также не имеет действительных корней.

4. Вова нарисовал на доске три параболы (см. рис). Таня утверждает, что
уравнения этих парабол y = ax2 + bx + c, y = bx2 + cx + a, y = c2 + ax
+ b в каком-то порядке. Может ли это быть правдой при некоторых a, b и
c?

5. Известно, что c(a + b + c) < 0. Докажите, что уравнение ax2 + bx + c =
0 имеет корни.

6. Известно, что сумма любых двух из трёх квадратных трёхчленов x2+ax+b,
x2+cx+d, x2+ex+f не имеет корней. Может ли сумма всех этих трёхчленов
иметь корни?

7. Сумма трех квадратных трехчленов с положительными старшими
коэффициентами имеет общий корень с любым из них. Докажите, что все
они имеют общий корень.

8. а) График параболы y = x2 пересекают две прямые y = 5x+100 и y =
5x+1000. Первая прямая в точках А, В, а вторая - в точках С, D.
Найдите координаты середин отрезков АВ и CD.

б) Пусть теперь изображена парабола y = x2, но координатные оси не
нарисованы. С помощью циркуля и линейки постройте какую-нибудь прямую,
параллельную оси параболы.

в) В условиях предыдущей задачи восстановите координатные оси.