Документ взят из кэша поисковой машины. Адрес оригинального документа : http://www.mccme.ru/circles/mccme/2010/8klass/25.doc Дата изменения: Sat Apr 10 19:22:56 2010 Дата индексирования: Sat Jun 26 05:17:07 2010 Кодировка: koi8-r Поисковые слова: reflection nebula

Математический кружок 8 класс
Занятие ?25 Дискретная непрерывность. 10.04.2010


1. Открытка стоит целое число копеек. Девять таких открыток стоят меньше
десяти рублей, а десять таких же открыток стоят больше одиннадцати
рублей. Сколько стоит открытка?

2. Есть ли степень двойки, в записи которой ровно 3 цифры? Ровно 4 цифры?
Ровно 5 цифр? Ровно 1001 цифра?

3. В ряд выложены 100 черных и 50 белых шаров, причём самый первый шар -
белый. Аня с Таней идут вместе вдоль ряда шаров и считают их, причем Аня
считает черные шары, а Таня - белые (т.е. когда они проходят мимо
очередного шара, то если он черный, Аня увеличивает свое число на 1, а
если он белый, то - Таня). Докажите, что в некоторый момент Анино число
будет равно Таниному.

4. Гномы, одетые в желтые и красные костюмчики, идут по тропинке друг за
другом. Известно, что самым первым идет гном в красном костюме, а потом
идет гном в желтом. Вдруг на пути им встречается ручей, и они начинают
переходить его по одному. Верно ли, что в некоторый момент гномов в
желтых костюмчиках уже перешедших ручей, будет столько же, сколько гномов
в красных костюмчиках, оставшихся по другую сторону?
[pic]

5. Шеренга новобранцев стояла лицом к сержанту. По команде "налево"
некоторые повернулись налево, некоторые - направо, а остальные - кругом.
Всегда ли сержант сможет встать в строй так, что бы с обеих сторон от
него оказалось поровну новобранцев, стоящих к нему лицом?

6. В посёлок ежедневно приходит не менее двух писем и не более трёх
телеграмм. За январь прошлого года писем пришло больше, чем телеграмм, а
за весь прошлый год в целом - наоборот. Докажите, что в прошлом году был
день, в который количества писем и телеграмм, пришедших в поселок с
начала года, совпадали.

7. Существуют 100 последовательных натуральных чисел, среди которых нет ни
одного простого числа (например, 101! + 2, 101! + 3, ..., 101! + 101). А
существуют ли 100 последовательных натуральных чисел, среди которых ровно
5 простых чисел?

8. На окружности отмечено 100 точек: 50 красных и 50 синих. Всегда ли можно
провести такой диаметр этой окружности, чтобы а) в каждой из
образовавшихся полуокружностей было поровну красных и синих точек?
б) можно ли провести такую прямую, если эти 100 точек не обязательно
лежат на одной окружности?

________________

9. На плоскости расположен квадрат и невидимыми чернилами нанесена точка.
Человек в специальных очках видит точку. Если провести прямую, то он
сообщает, по какую сторону от неё лежит невидимая нами точка (если точка
принадлежит прямой, то он так и скажет). Можно ли за три вопроса узнать,
лежит ли невидимая точка внутри квадрата?

10. Число n натуральное. Может ли число n(n+1) быть квадратом целого числа?
-----------------------




[pic]