Документ взят из кэша поисковой машины. Адрес оригинального документа : http://www.mccme.ru/circles/mccme/2010/8klass/11.doc Дата изменения: Sat Dec 19 20:41:56 2009 Дата индексирования: Sat Jan 2 04:18:28 2010 Кодировка: koi8-r Поисковые слова: martian surface

Математический кружок 8 класс
Занятие ?11 Беспорядки.
19.12.2009

1. Даны пять слов:

СОЛДАТ

ТАНКЕР

АТЛАНТ

ШЕЛЕСТ

ТАРАНЬ

За один шаг можно заменить любую букву в любом из этих слов на любую
другую (например, за один шаг можно получить из слова СОЛДАТ слово
СКЛДАТ). Сколько шагов нужно, чтобы сделать все слова одинаковыми
(допускаются бессмысленные)? Приведите пример и докажите, что меньшим
числом шагов обойтись нельзя.

2. В ряд как попало стоит рота солдат. Им требуется выстроиться по росту.
Смогут ли они это сделать, если прапорщик разрешает за один раз меняться
местами только каким-нибудь двум соседним солдатам?

Определение. Назовем беспорядком расположение двух чисел (не обязательно
стоящих рядом), при котором левое больше правого.

3. Сколько беспорядков в ряду чисел:

а) 10, 9,8, 7, 6, 5, 4, 3, 2, 1?

б) 51, 52, 53, ..., 100, 50, 49, 48, ..., 3, 2, 1?

4. Как изменится общее количество беспорядков, если соседние два числа
поменять местами?

5. Числа от 1 до 25 выписаны в порядке возрастания. За какое наименьшее
количество перестановок соседних чисел можно переставить их в обратном
порядке?

Определение. Транспозицией называется перестановка двух (не обязательно
стоящих рядом) элементов.

6. Докажите, что транспозиция соседних элементов меняет четность количества
беспорядков.

7. Числа от 1 до 30 выписаны в порядке возрастания. Можно ли их переставить
в обратном порядке, если за один шаг разрешается поставить в обратном
порядке

а) любые три числа;

б) любые четыре числа?

8. Докажите, что транспозиция любых элементов меняет четность количества
беспорядков.

9. Вова играет в солдатиков. Вначале он выстроил их в ряд. Затем каждую
секунду он меняет местами каких-то двух солдатиков. Может ли так
случиться, что через минуту расположение солдатиков такое же, каким было
через 15 секунд?

10. Физрук выстроил ребят в ряд. Хулигану Васе все никак не нравится свое
место, поэтому каждые пять секунд он меняется местами с каким-либо
школьником, но только если между ним и Васей стоит четное число других
детей. Могло ли через некоторое время случиться так, что все ребята стоят
на тех же местах, что и первоначально, а два Васиных соседа оказались
переставлены местами?
-----------------------




[pic]