Документ взят из кэша поисковой машины. Адрес оригинального документа : http://www.mccme.ru/circles/mccme/2010/8klass/17.doc
Дата изменения: Sat Feb 13 19:33:39 2010
Дата индексирования: Fri Apr 9 18:49:26 2010
Кодировка: koi8-r

Поисковые слова: пояс астероидов

Математический кружок 8 класс
Занятие ?17 Турниры.
13.02.2010

1. 15 команд сыграли турнир в один круг (т.е. каждая команда сыграла с
каждой). За победу давалось 2 очка, за ничью 1, за поражение 0.

а) Сколько очков набрали все команды в сумме?

б) Одна команда набрала очков больше, чем любая другая. Сколько, самое
меньшее, у нее может быть очков?

2. Пять футбольных команд провели турнир - каждая команда сыграла с каждой
по разу. За победу начислялось 3 очка, за ничью - 1 очко, за проигрыш
очков не давалось. Четыре команды набрали соответственно 1, 2, 5 и 7
очков. А сколько очков набрала пятая команда?

3. В турнире участвовали пять шахматистов. За победу давалось 1 очко, за
ничью 0,5, за поражение 0. Известно, что каждый сыграл с остальными
по одной партии и все набрали разное количество очков; занявший 1-е место
не сделал ни одной ничьей; занявший 2-е место не проиграл ни одной
партии; занявший 4-е место не выиграл ни одной партии. Определите
результаты всех партий турнира.

4. Турнир, в котором участвовало несколько спортсменов, судили несколько
арбитров. Каждый сыграл с каждым один раз, и каждую встречу судил ровно
один арбитр. После окончания каждой игры оба участника фотографировались
с арбитром. Вот все эти фотографии:

а) Сколько было спортсменов, а сколько судей?
б) Можете ли вы определить хотя бы одного судью?
в) Определите про как можно большее число людей, кто они - игроки или
судьи.
Разнобой.

5. Таня стоит на берегу речки. У неё есть два глиняных кувшина: один - на 5
литров, а про второй Таня помнит лишь то, что он вмещает то ли 3, то ли 4
литра. Помогите Тане определить ёмкость второго кувшина.

6. Верно ли, что к любому числу, равному произведению двух последовательных
натуральных чисел, можно приписать в конце какие-то две цифры так, что
получится квадрат натурального числа?

7. Аудитория имеет форму квадрата со стороной 5 м. В каждом углу установлен
храпометр, определяющий число спящих студентов на расстоянии, не
превышающем 5 м. Сколько всего спящих студентов в аудитории, если сумма
показаний храпометров равна 5?

8. Какое а) наибольшее б) наименьшее число спящих студентов может быть,
если сумма показаний храпометров в предыдущей задаче равна 25?









Дополнительная задача.

9. Турнир, в котором участвовало 20 спортсменов, судили 10 арбитров. Каждый
сыграл с каждым один раз, и каждую встречу судил ровно один арбитр. После
окончания каждой игры оба участника фотографировались с арбитром. Через
год после турнира была найдена стопка из всех этих фотографий (по
фотографии неясно, кто на ней игроки, а кто - арбитр).

а) Некто встречается на фотографиях с 25 другими людьми. Кем он может
быть?

б) Некто встречается на фотографиях с 15 другими людьми. Кем он может
быть?

в) Всегда ли можно определить хотя бы одного спортсмена и хотя бы одного
арбитра?