Документ взят из кэша поисковой машины. Адрес оригинального документа : http://www.mccme.ru/circles/mccme/2009/6klass/21-constructions.pdf Дата изменения: Fri Mar 20 13:01:20 2009 Дата индексирования: Tue Apr 7 03:34:53 2009 Кодировка: Windows-1251

Математический кружок МЦНМО, 6 класс, занятие 21

14 марта 2009 г.

Математический кружок МЦНМО, 6 класс, занятие 21

14 марта 2009 г.

Конструирование
Задача 0.
Экологи запротестовали против большого объема лесозаготовки. Пред-

Конструирование
Задача 0.
Экологи запротестовали против большого объема лесозаготовки. Председатель леспромхоза успокоил их следующим образом: В лесу 99 процентов сосен. Будут вырубаться только сосны, и после вырубок процент сосен останется почти неизменным сосен будет 98 процентов. Какая часть леса отведена под вырубки?
Указание. Число не-сосен не изменилось. Во сколько раз всех деревьев было больше чем

седатель леспромхоза успокоил их следующим образом: В лесу 99 процентов сосен. Будут вырубаться только сосны, и после вырубок процент сосен останется почти неизменным сосен будет 98 процентов. Какая часть леса отведена под вырубки?
Указание. Число не-сосен не изменилось. Во сколько раз всех деревьев было больше чем

не-сосен? А стало?

не-сосен? А стало?

Задача 1. Задача 2.

Имеется

неограниченное

число

фигурок,

изображенных

Задача 1. Задача 2.

Имеется

неограниченное

число

фигурок,

изображенных

на рисунке. Можно ли сложить из них квадрат?
Указание. Сложите сначала из них прямоугольник.

на рисунке. Можно ли сложить из них квадрат?
Указание. Сложите сначала из них прямоугольник.

клетчатого квадрата
получится не более

Какое наибольшее число трехклеточных уголков можно вырезать из 210 Ч 210 ?

клетчатого квадрата
получится не более

Какое наибольшее число трехклеточных уголков можно вырезать из 210 Ч 210 ?

Указание. Площадь квадрата не делится на

3,

значит минимум

1

клетку придется оставить; т. е.

Указание. Площадь квадрата не делится на

3,

значит минимум

1

клетку придется оставить; т. е.

(2

20

- 1)/3

уголков. Осталось придумать, как разрезать квадрат

210 Ч 2

10

(220 - 1)/3

уголков. Осталось придумать, как разрезать квадрат

210 Ч 210

без угловой клетки на уголки. Полезно начать с

2 Ч2

2

2

, перейти к

2 Ч2

3

3

и т. д.

без угловой клетки на уголки. Полезно начать с

2 Ч2

2

2

, перейти к

2 Ч2

3

3

и т. д.

Задача 3. Задача 4.
му на

Можно ли замостить плоскость одинаковыми а) шестиугольниками
Указание. Да. Например, правильными шестиугольниками и пяти-

Задача 3. Задача 4.
му на

Можно ли замостить плоскость одинаковыми а) шестиугольниками
Указание. Да. Например, правильными шестиугольниками и пяти-

б) пятиугольниками?

б) пятиугольниками?

угольниками в виде домика с крышей.

угольниками в виде домика с крышей.

Можно ли разрезать квадрат на 2009 квадратиков? А на 2009 равных
Указание. Квадрат можно разрезать на квадратнуюкартину и раму. А ра-

Можно ли разрезать квадрат на 2009 квадратиков? А на 2009 равных
Указание. Квадрат можно разрезать на квадратнуюкартину и раму. А ра-

квадратиков?

квадратиков?

(2009 - 1)/4 = 502

квадратик.

(2009 - 1)/4 = 502

квадратик.

Задача 5.

У карточного игрока Федора Михайловича совсем не

Задача 5.

У карточного игрока Федора Михайловича совсем не

осталось наличных денег, но есть еще 2009 рублей на банковском счете. К сожалению, банк разрешает производить со счетом лишь две операции: снять со счета 300 рублей или положить на счет 99 рублей. Какое максимальное количество денег может снять со счета Федор Михайлович?
Указание. Оценку дает делимость на 3. Остается придумать пример, в котором получается

осталось наличных денег, но есть еще 2009 рублей на банковском счете. К сожалению, банк разрешает производить со счетом лишь две операции: снять со счета 300 рублей или положить на счет 99 рублей. Какое максимальное количество денег может снять со счета Федор Михайлович?
Указание. Оценку дает делимость на 3. Остается придумать пример, в котором получается

снять 2007 рублей.

снять 2007 рублей.

Задача 6. Задача 7.

Можно ли расположить на плоскости а) 100 отрезков б) 101 отрезок так,

Задача 6. Задача 7.

Можно ли расположить на плоскости а) 100 отрезков б) 101 отрезок так,

чтобы каждый пересекался ровно с тремя другими?
Указание. Чтобы доказать невозможность в пункте б), полезно вспомнить предыдущее занятие.

чтобы каждый пересекался ровно с тремя другими?
Указание. Чтобы доказать невозможность в пункте б), полезно вспомнить предыдущее занятие.

В XIX и XX веках Россией правили 6 царей династии Романовых. Вот

В XIX и XX веках Россией правили 6 царей династии Романовых. Вот

их имена и отчества по алфавиту: Александр Александрович, Александр Николаевич, Александр Павлович, Николай Александрович, Николай Павлович, Павел Петрович. Один раз после брата правил брат, во всех остальных случаях после отца сын. Как известно, последнего русского царя звали Николаем. Восстановите порядок правления царей.
Указание. Кто мог править до Павла Петровича?

их имена и отчества по алфавиту: Александр Александрович, Александр Николаевич, Александр Павлович, Николай Александрович, Николай Павлович, Павел Петрович. Один раз после брата правил брат, во всех остальных случаях после отца сын. Как известно, последнего русского царя звали Николаем. Восстановите порядок правления царей.
Указание. Кто мог править до Павла Петровича?

http://www.mccme.ru/circles/mccme/

http://www.mccme.ru/circles/mccme/