Документ взят из кэша поисковой машины. Адрес оригинального документа : http://www.mccme.ru/circles/mccme/2009/7klass/22r.doc Дата изменения: Sat Mar 7 21:25:03 2009 Дата индексирования: Mon Apr 6 22:25:09 2009 Кодировка: koi8-r

Математический кружок 7 класс
Решения занятия ?21 Степени и оценки.

1. Рома возвел 17 в квадрат, а потом полученное число в 999 степень, а Гоша
возвел 17 в 999 степень, а потом полученное число в квадрат. У кого
получилось больше?
Ответ. Ни у кого.
Решение. Рома сначала возвел число в квадрат, а потом в 999 степень и
получил:
[pic]
Гоша возвел 17 в 999 степень, а потом полученное число в квадрат и получил:
[pic]
Следовательно, Гоша и Рома получили равные числа.
2. Что больше:

а) 88 или 100000000?

б) 260 или 1020?

в) 5102 или 8034?
Решение. а) 100000000=108. Очевидно, что 88 < 108.
б) 260 = [pic]. Очевидно, что 820 < 1020.
в) 5102 = [pic]. Очевидно, что 12534 > 8034.
3. Сколько цифр в числе 1050?
Ответ. 51.
Решение. 1050 все равно, что произведение пятидесяти 10. При умножении на
10 какого-нибудь числа, количество цифр числа увеличивается на 1 (в конце
приписывается ноль). В нашем случае мы число 10 умножаем на 10 - 49 раз,
т.е. к числу 10 приписывается еще 49 нулей, значит, цифр в числе будет
2 + 49 = 51.
4. Докажите, что при перемножении трех тысяч двоек получается число не
более, чем из 1000 цифр.
Доказательство. Другими словами необходимо доказать, что 23000 < 101000,
так как 101000 самое маленькое число из 1001 цифры, т.е. меньшие числа
будут не больше тысячезначных. Поступим аналогично задаче 4.б)
23000 = 81000. Очевидно, что 81000 < 101000, значит, при перемножении трех
тысяч двоек получается число не более, чем из 1000 цифр.
5. Скольки значное число получится, если перемножить 2100 и 5102?
Ответ. 102-значное.
Решение. Произведение этих чисел можно преобразовать так:
[pic]
Остается узнать скольки значное число [pic], это все равно, что число 25
умножили на 100 десяток, т.е. к числу 25 приписали 100 нолей.
Следовательно, получилось 102-значное число.
6. Маша считает, что два арбуза тяжелее трех дынь, а Аня считает, что три
арбуза тяжелее четырех дынь. Известно, что одна из девочек права, а
другая ошибается. Верно ли, что 12 арбузов тяжелее 18 дынь?
Ответ. Не верно.
Решение. Допустим, что 12 арбузов тяжелее 18 дынь. Тогда Маша права (если
взять арбузов и дынь в 6 раз меньше, то неравенство сохранится). Но если 12
арбузов тяжелее 18 дынь, то они тем более тяжелее 16 дынь, поэтому Аня тоже
права (уменьшим количество арбузов и дынь в 4 раза). Получили противоречие.
Значит, 12 арбузов не могут быть тяжелее 18 дынь. Т.е. неверно, что 12
арбузов тяжелее 18 дынь.
7. Приходя в тир, игрок вносит в кассу 100 рублей. После каждого удачного
выстрела количество его денег увеличивается на 10%, а после каждого
промаха - уменьшается на 10%. Могло ли после нескольких выстрелов у него
оказаться 80 рублей 19 копеек?
Ответ. Да, при 3 неудачных выстрелах и одном удачном.
Решение. 100 рублей = 10000 копеек. 80 рублей 19 копеек = 8019 копеек. При
удачном выстреле сумма денег умножается на 11/10, а при неудачном на 9/10,
т.е. после каждого выстрела число денег сокращается на 10 и увеличивается
или в 9, или в 11 раз. Число 8019 целое и не делится на 10, т.е. выстрелов
могло быть только 4, так как 10000 = 104, кроме того, число 8019 должно
раскладываться на множители 9 и 11. Разложим число 8019 на множители.
8019 = [pic]. Значит, такая сумма могла получиться после трех неудачных и
одного удачного выстрела.
8. Придумайте раскраску клетчатого прямоугольника в 9 цветов такую, чтобы
любой квадратик 3в3 содержал клетки всех 9 цветов.
Можно сделать так: раскрасить произвольный квадрат 3в3 в 9 цветов, затем
смещениями данного квадрата получим раскраску всей доски.
9. В США дату принято записывать так: номер месяца, потом номер дня и год.
В Европе же сначала идет число, потом месяц и год. Сколько есть дней в
году, дату которых нельзя прочитать однозначно, не зная, каким способом
она написана?
Ответ. 132.
Решение. День можно спутать с месяцем, или наоборот, если он не превосходит
12, но если день совпадает с номером месяца, то такие числа в обоих
стандартах читаются одинаково, значит, в каждом месяце можно спутать только
11 дней. Всего 12 месяцев и в каждом по 11 таких дней, т.е всего в году
будет [pic] таких дней.
10. Можно ли записать в клетки таблицы 6в7 записать числа от 1 до 42 так,
чтобы в каждом квадрате 3в3 сумма чисел была равна 190, а в каждом
квадрате 2в2 сумма чисел была равна 85?
Ответ. Нельзя.
Решение 1. Предположим, что можно вписать в таблицу числа от 1 до 42, так
как требует условие, тогда сумма всех чисел в таблице будет [pic] Таблицу
6в7 можно разделить на 2 квадрата 3в3 и на 6 квадратов 2в2 (см. рис.), т.е.
сумму чисел во всей таблице можно посчитать так: [pic]. В одной и той же
таблице сумма всех чисел не может давать разные результаты. Следовательно,
нельзя выполнить условие задачи.
Решение 2. Уменьшим таблицу 6в7 до 6в6, теперь таблицу можно разделить на 4
квадрата 3в3, или на 9 квадратов 2в2 (см. рис.). В сумме в 4 квадратах 3в3
должно получиться число [pic], а в сумме в 9 квадратах 2в2 должно
получиться [pic], но 765 ? 760, т.е. в одной и той же таблице сумма всех
чисел не может давать разные результаты. Следовательно, нельзя выполнить
условие задачи.

-----------------------

[pic]

[pic]

[pic]