Документ взят из кэша поисковой машины. Адрес оригинального документа : http://www.mccme.ru/circles/mccme/2009/7klass/16.doc Дата изменения: Mon Jan 19 14:25:20 2009 Дата индексирования: Mon Apr 6 22:19:50 2009 Кодировка: koi8-r

Математический кружок 7 класс
Занятие ?16 Индукция. 17.01.09

1. На плоскости проведены n прямых, проходящих через одну точку.
Докажите, что они разбивают плоскость на 2n областей.

2. У бородатого многоугольника во внешнюю сторону растет щетина. Его
пересекает несколько прямых, на каждой из которых с одной из сторон
растут волосы. В результате многоугольник оказался разбитым на
некоторое число частей. Докажите, что хотя бы одна из частей окажется
волосатой снаружи. (Никакие три прямые не проходят через одну точку.)


3. На плоскости расположено несколько прямых и окружностей. Докажите, что
части, на которые они разбивают плоскость, можно покрасить в два цвета
так, что любые две части, имеющие общий участок границы, покрашены в
разные цвета.

4. Банк имеет неограниченное количество трёх и пятирублевых купюр.
Докажите, что он может выдать ими без сдачи любое число рублей,
начиная с восьми.


5. На острове все страны треугольной формы (границы прямые). Если две
страны граничат, то по целой стороне. Докажите, что страны можно
раскрасить в 3 цвета так, что соседние по стороне страны будут
покрашены в разные цвета.


6. В некоторой стране каждый город соединен с каждым дорогой с
односторонним движением. Докажите, что найдется город, из которого
можно добраться в любой другой.


7. Число 111 делится на 3, число 111111111 делится на 9. Проверьте, что
число из 27 единиц делится на 27. Докажите, что так будет и дальше:
число из 3n единиц делится на 3n.


8. (Игра «Ханойская башня») У Сени есть детская пирамидка с n кольцами и
два пустых стержня той же высоты. Разрешается перекладывать верхнее
кольцо с одного стержня на другой, но при этом запрещается класть
большее кольцо на меньшее. Докажите, что Сеня сможет переложить все
кольца на один из пустых стержней.




-----------------------
[pic]