Документ взят из кэша поисковой машины. Адрес оригинального документа : http://www.mccme.ru/circles/mccme/2008/8klass/06.pdf Дата изменения: Sun Nov 18 21:51:04 2007 Дата индексирования: Sat Dec 22 20:39:02 2007 Кодировка: Windows-1251 Поисковые слова: п п п п п п п п п п п п п п п п п п

МЦНМО, Математический кружок, 8 класс Задача 6.1.

Занятие 6

17 ноября 2007 года

Известно, что в январе четыре пятницы и четыре понедельника. На какой день недели приходится 1 января? Задача 6.2. В парламенте одной страны 100 депутатов. Каждый из них либо честный, либо продажный. Известно, что среди любых двух депутатов хотя бы один продажный. Сколько честных? Задача 6.3. Есть k человек (k > 3). Сначала каждый из них знает одну новость, которая не известна больше никому. Время от времени они звонят друг другу и делятся всеми известными новостями. Докажите, что за 2k - 4 разговора все смогут узнать все новости. Задача 6.4. Таракан Валентин объявил, что умеет бегать со скоростью 50 м/мин. Ему не поверили, и правильно: на самом деле Валентин все перепутал и думал, что в метре 60 сантиметров, а в минуте 100 секунд. С какой скоростью (в "нормальных" м/мин) бегает таракан Валентин? Задача 6.5. Каждый туземец с острова Амба либо честный, либо лжец. Честные говорят только правду, лжецы всегда лгут. а) Вам навстречу идут двое туземцев. На вопрос: "Вы честный?" один из них бурчит что-то неразборчивое. Тогда второй туземец приходит вам на помощь: "Мой друг ответил "да", но верить ему не стоит он лжец". Что вы скажете про этих туземцев? б) Один из следующей пары туземцев говорит: "Я лжец или мой друг лжец". Ваши выводы? в) Что вы подумаете, услышав: "Я лжец и мой друг лжец"? Задача 6.6. Солдату-цирюльнику пришел приказ: брить только тех солдат его взвода, которые не бреются сами (а остальных не брить). Сможет ли он его выполнить? ***
В одном королевстве случились сразу две беды: у короля оказалось слишком мало умных советников, и все тюрьмы переполнились. Тогда король решил справиться сразу с обеими напастями и придумал для узников следующее испытание. В каждой из двух комнат находится либо принцесса, либо голодный тигр. Комнаты закрыты, а на дверях висят таблички с высказываниями о тех, кто находится в Если узник достаточно

комнатах, и комментарием относительно их истинности или ложности.

умен, то он сможет сказать, кто в какой комнате сидит, не попасть к тигру на обед и стать советником короля. Если ему повезет, то он получит еще и красавицу принцессу в жены. Узники,

которым выпали испытания из следующих трех задач, успешно с ними справились. говорили?

Что же они

Задача 6.7.

I
В этой комнате находится принцесса, а в другой сидит тигр.

II
В одной из этих комнат находится принцесса; кроме того, в одной из этих комнат сидит тигр.

Известно, что на одной из этих табличек написана правда, а на другой - ложь. Задача 6.8. II I
По крайней мере в одной из этих комнат находится принцесса.

В другой комнате сидит тигр.

Известно, что либо на обеих табличках написана правда, либо на обеих ложь. Задача 6.9. I II
Либо либо в этой комнате сидит в тигр, другой Принцесса в другой комнате. принцесса находится

Известно, что либо на обеих табличках написана правда, либо обе ложны.

комнате.