Документ взят из кэша поисковой машины. Адрес оригинального документа : http://www.mccme.ru/ask/qa/pi_irr.html
Дата изменения: Mon Dec 15 17:00:44 2003
Дата индексирования: Tue Oct 2 02:03:24 2012
Кодировка: koi8-r

Поисковые слова: п п п п п п п п п п п п п
Q&A

На главную страницу

В. Имеет ли предел последовательность an=1/(n3sin(n))?

О. Ответ на этот вопрос науке на данный момент неизвестен.

Именно, пусть x - положительное действительное число. Его мерой иррациональности называется нижняя грань таких чисел m, что неравенство

    0<|x-(p/q)|<1/qm
имеет не более чем конечное число решений в натуральных числах p и q (иными словами, чем больше мера иррациональности, тем "лучше" число x приближается рациональными числами). (Если таких чисел вообще нет, то говорят, что мера иррациональности бесконечна.) Например, известная теорема Лиувилля показывает, что мера иррациональности у любого алгебраического числа обязательно конечна (по этому поводу можно сказать и больше; см. здесь).

Чтобы ответить на наш вопрос, надо сравнить меру иррациональности числа "пи" (будем обозначать его П) c числом 4. Именно, верны следующие утверждения:

1. Если мера иррациональности числа П меньше 4, то последовательность сходится (к нулю).

2. Если мера иррациональности числа П больше 4, то последовательность расходится.

(А если она равна 4, то такой подход не дает ответа.)

В самом деле, докажем утверждение 1. Из его условия следует, что существует число k<4, для которого неравенство

    0<|x-(p/q)|<1/qk
имеет не более чем конечное число решений. Покажем, что из этого следует, что |1/(n3sin(n))|=O(1/n4-k). В самом деле, для всякого натурального числа n выберем такое натуральное число m, что |n-m*П| не превосходит П/2. Тогда
    |sin(n)|=|sin(n-m*П)|>|n-m*П|=m*|n/m-П|.
Ввиду условия получаем, что для всех m, кроме конечного числа (стало быть, и для всех n, кроме конечного числа) имеем |n/m-П|>=1/mk, откуда
    |sin(n)|>m*|n/m-П|>=1/mk-1>C/nk-1,
где C - некоторая константа (отношения n/m ограничены, поскольку при больших n они мало отличаются от числа П). Следовательно, для всех n, начиная с некоторого, имеем |n3sin(n)|>C*n4-k. Поскольку по условию 4-k>0, отсюда все и следует.

Доказательство утверждения 2 аналогично.

К сожалению, на данный момент сравнить меру иррациональности числа П c четверкой не удается: пока что доказано лишь, что она не превосходит 8.0161 (так что последовательность 1/n9sin(n) уж точно сходится).

Этот ответ прислал нам читатель нашего сайта Максим Алексеев, за что мы ему глубоко признательны.


Rambler's Top100