Документ взят из кэша поисковой машины. Адрес оригинального документа : http://www.mccme.ru/zmk/spr10/s10_6-25.ps Дата изменения: Tue Mar 16 15:49:37 2010 Дата индексирования: Tue Oct 2 05:58:22 2012 Кодировка: koi8-r Поисковые слова: http www.mccme.ru

Решения
(не
только
ответы!)
задач
6
{
15
следует
выслать
до
10
апреля
по
адресу: Москва,
119002,
Большой
Власьевский
пер.,
дом
11,
Москов-
ский
центр
непрерывного
математического
образования,
за-
очный
конкурс,
...
класс,
задачи
6{15
На
письме
должен
быть
указан
обратный
адрес,
включая
имя
и
фамилию. В
письмо
следует
вложить
пустой
незаклеенный
конверт
с
на-
писанным
на
нём
своим
адресом
и
маркой.
(В
этом
конверте
Вам
будут
посланы
результаты
проверки
и
приглашение
на
разбор
задач.)
В
это
же
письмо
просим
вложить
заполненную
карточку
участника
заочного
конкурса.
Вы
упростите
проверку,
если
заполните
карточку
печатны-
ми
буквами.
Кроме
того,
на
нашем
сайте
http:/
/www.mccme.ru/zmk/
скоро
появится
форма,
с
помощью
которой
можно
будет
распечатать
именную
карточку
на
принтере.
На
каждом
листе
работы
просим
указывать
фамилию,
имя,
класс
и
номер
школы.
Решения
задач
16
{
25
следует
выслать
до
16
апреля
по
тому
же
адресу,
заменив
в
нём
Ђ6
{
15Ѓ
на
Ђ16
{
25Ѓ,
указав
обратный
адрес,
вложив
конверт
и
т.
п.
Этот
второй
конверт
будет
использован
для
того,
чтобы
послать
Вам
информацию
о
следующем
заочном
кон-
курсе.
На
этот
раз
карточку
участника
отправлять
не
надо.
Пожалуйста,
перед
отправкой
письма
проверьте
ещё
раз,
правиль-
но
ли
указана
вся
необходимая
информация,
перечитав
внимательно
наши
инструкции
|
это
облегчит
нашу
работу.
Пожалуйста,
не
отправляйте
задачи
6
{
15
и
16
{
25
в
одном
кон-
верте,
а
также
задачи
одной
группы
в
разных
конвертах.
Справки
по
вопросам,
связанным
с
конкурсом,
можно
получить
по
телефону
945-82-16
(попросить
соединить
с
организаторами
за-
очного
конкурса),
а
также
по
электронной
почте:
zmk@mccme.ru
(очень
просим
НЕ
отправлять
решения
по
электронной
по-
чте).
Информация
о
заочном
конкурсе
имеется
в
Internet
(сайт
http:/
/www.mccme.ru/zmk/);
в
частности,
на
этом
сайте
будет
помещён
список
победителей
конкурса.
Московский
городской
Дворец
детского
(юношеского)
творчества
Московский
центр
непрерывного
математического
образования
ЗАОЧНЫЙ
КОНКУРС
ПО
МАТЕМАТИКЕ
(весна
|
2010,
6
{
8
классы)
Сообщаем
Вам
результаты
проверки
задач
1{5:
номер
задачи
1
2
3
4
5
оценка
Желаем
успехов!

Заочный
конкурс
по
математике,
весна
|
2010,
6
{
8
классы
6.
Восстановите
равенство:
#1###в233
=
7###065
(каждая
звёздочка
обозначает
цифру).
7.
Имеется
автомат
с
двумя
кнопками
и
экраном.
Сначала
на
экране
горит
число
0.
При
нажатии
на
одну
кнопку
число
на
экране
увеличи-
вается
в
3
раза.
При
нажатии
на
вторую
кнопку
число
увеличивается
в
3
раза
и
прибавляется
1.
Можно
ли
получить
на
экране
число
328?
8.
На
стене
с
квадратным
окном
нужно
повесить
фла-
жок
в
форме
треугольника
(см.
рисунок)
так,
чтобы
он
не
загораживал
окна.
Нарисовать,
в
каких
точках
можно
вбивать
гвоздик
(флажок
крепится
на
гвоздик
в
верхнем
и
висит
ровно).
Стена
неограничена
в
размерах.
9.
Бывают
ли
натуральные
числа,
произведение
цифр
которых
равно
1998?
Приведите
пример
или
докажите,
что
не
бывают.
10.
На
квадратной
доске
шириной
200
клеток
и
высо-
той
100
клеток
в
поле
(1,1)
(левый
нижний
угол)
стоит
фишка.
За
один
шаг
её
передвигают
в
соседнюю
по
гори-
зонтали
или
вертикали
клетку.
Сначала
её
двигают
впра-
во:
(1;
1)
{
(2;
1)
{
(3;
1)
{
.
.
.
{
(200;
1),
потом
вверх
(200;
1){
(200;
2){
:
:
:
{
(200;
100)
и
так
далее
по
спирали
(дойдя
до
границы
или
до
уже
пройденных
клеток,
фишка
поворачивает
налево).
В
какой
клетке
она
окажется,
когда
посетит
все
клетки
по
одному
разу?
сколько
шагов
она
сделает
к
этому
моменту?
11.
Сколько
существует
трехзначных
чисел
от
100
до
999,
у
которых
первая
и
последняя
цифра
различаются
на
единицу?
12.
Найдите
целые
положительные
числа
a,
b,
c,
для
которых
НОК(a;b)
=
210,
НОД(a;b)
=
10,НОК(a;
c)
=
110,
НОД(a;c)
=
2.
(Здесь
НОК(u;v)
|
наименьшее
общее
кратное
u
и
v,
то
есть
наименьшее
це-
лое
число,
делящееся
нацело
на
u
и
v,
а
НОД(u;v)|
наибольший
общий
делитель
чисел
u
и
v,
то
есть
наибольшее
целое
число,
на
которое
u
и
v
делятся
без
остатка.)
13.
Сколько
существует
пар
(x;
y)
целых
чисел,
для
которых
|x|
+
+|y|
<
100?
14.
Известно,
что
число
A-k
3
делится
на
27-k
при
любом
k
#=
27.
Найдите
все
значения,
которые
может
принимать
A,
и
докажите,
что
других
нет.
15.
Найдите
все
целые
положительные
x
и
y,
при
которых
x!+12
=
=
y
2
,
и
докажите,
что
других
нет.
Заочный
конкурс
по
математике,
весна
|
2010,
6
{
8
классы
16.
Приведите
пример
двух
положительных
чисел,
разность
кото-
рых
равна
их
произведению.
17.
На
доске
написано
25
чисел.
Какие
бы
три
из
них
мы
ни
выбра-
ли,
всегда
можно
выбрать
ещё
одно,
чтобы
сумма
этих
четырёх
чисел
была
положительна.
Верно
ли,
что
сумма
всех
чисел
положительна?
Обоснуйте
свой
ответ.
18.
Чему
равно
произведение
(1-1=4)(1-1=9)(1-1=16)
:
:
:(1-1=225)?
19.
Составьте
квадрат
из
31
квадратной
плитки:
четырёх
плиток
размером
1в1,
восьми
плиток
размером
2в2,
двенадцати
плиток
раз-
мером
3в3
и
семи
плиток
размером
4в4.
20.
Вася
плавает
в
центре
квадратного
бассейна.
Внезапно
к
верши-
не
квадрата
подошёл
Васин
папа,
который
не
умеет
плавать,
но
бегает
в
4
раза
быстрее,
чем
плавает
Вася.
Вася
бегает
быстрее
папы.
Сможет
ли
он
убежать?
21.
100
шестиклассников,
99
семиклассников
и
101
восьмиклассник
играли
в
пейнтбол
по
странным
правилам.Шестиклассники
могут
стре-
лять
только
в
восьмиклассников,
восьмиклассники
|
только
в
семи-
классников,
а
семиклассники
|
только
в
шестиклассников.
Тот,
в
кого
попали,
выбывает
из
игры.
Нельзя
стрелять
в
того,
кто
сделал
нечёт-
ное
число
удачных
выстрелов.
Они
играли
до
тех
пор,
пока
не
остался
один
победитель.
В
каком
классе
он
учится?
22.
В
таблице
mвn
разрешается
у
всех
чисел
одной
строки
или
у
всех
чисел
одного
столбца
изменить
знак.
Докажите,
что
несколькими
такими
заменами
можно
добиться
того,
чтобы
сумма
чисел
в
каждом
столбце
и
в
каждой
строке
была
неотрицательна.
23.
Сто
грустных
мартышек
кидаются
друг
в
друга
одним
кокосо-
вым
орехом.
Грустная
мартышка,
попавшая
орехом
в
другую
грустную
мартышку,
становится
весёлой
и
уже
больше
не
грустнеет
(хотя
всё
равно
может
кидаться
орехом).
Мартышка,
в
которую
попали,
выбы-
вает
из
игры.
Каких
мартышек
больше
выбыло
из
игры|
весёлых
или
грустных
|
к
моменту,
когда
в
игре
осталась
одна
мартышка?
24.
При
дворе
короля
Артура
собралось
2k
рыцарей,
причём
ка-
ждый
из
них
имеет
среди
присутствующих
не
более
k
-
1
врага.
До-
кажите,
что
рыцарей
можно
рассадить
за
круглым
столом
так,
что
ни
один
из
них
не
будет
сидеть
рядом
со
своим
врагом.
25.
Три
последовательных
двузначных
числа
выписали
друг
за
дру-
гом.
Оказалось,
что
полученное
шестизначное
число
делится
на
17.
Ка-
ким
могло
быть
это
шестизначное
число?
Укажите
все
варианты.