|
Документ взят из кэша поисковой машины. Адрес
оригинального документа
: http://www.mccme.ru/zmk/spr03/s03_6-25.htm
Дата изменения: Tue Oct 2 12:09:39 2007 Дата индексирования: Tue Oct 2 06:35:40 2012 Кодировка: koi8-r |
6. В лесу проложено замкнутое шоссе, имеющее вид прямоугольника со сторонами 5 и 7 км. Нарисовать, где турист может поставить палатку, если он хочет, чтобы расстояние от неё до любого места шоссе было не меньше 1 км. (Палатку можно ставить внутри и снаружи шоссе; лес заполняет всю плоскость.)
7. Найти сумму всех семизначных чисел, в которые каждая из цифр 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 входит ровно один раз.
8. Что больше: 1,0011000 или 2?
9. Является ли произведение всех натуральных чисел от 2 до 100 точным квадратом?
10. В колонию, состоящую из 100 бактерий, попадает вирус. За каждую минуту каждый вирус уничтожает одну бактерию и делится пополам, а затем каждая оставшаяся бактерия делится пополам. Будет ли эта колония жить бесконечно долго или в конце концов погибнет?
11. Числа a, b, c, d, e положительны. Известно, что ab=3, bc=2, cd=4, de=5. Найти отношение a/e.
12. Можно ли прямоугольник 14x14 клеток разрезать на прямоугольники 2x5 клеток и 3x9 клеток?
13. Имеется 6 гирь: по паре зелёных, красных и белых. В каждой паре одна гиря тяжёлая, а другая лёгкая, причём все лёгкие гири и все тяжёлые гири весят одинаково. Можно ли за два взвешивания на чашечных весах найти все тяжёлые гири?
14. Можно ли разрезать подкову двумя прямолинейными разрезами на 6 частей? (Перекладывать части между разрезаниями нельзя.)
15. На столе дном вниз стояли 100 стаканов. Каждый второй стакан (стаканы с номерами 2,4,6,...,100) перевернули. Затем перевернули каждый третий (3,6,...,99) стакан, затем каждый четвёртый, ..., каждый сотый (при этом перевернулся только один, сотый, стакан). Сколько стаканов окажутся в конце концов перевернутыми вверх дном?
16. Все натуральные числа от 1 до 100 разбиты на две группы: чётные и нечётные. В какой из групп сумма всех цифр, используемых для записи чисел, больше и на сколько?
17. Набор из четырёх гирь позволяет отвесить на чашечных весах любое целое число килограммов от 1 до 40. (Гири можно класть на любую чашку весов.) Что это за гири?
18. Сумма нескольких чисел равна 1. Может ли сумма их квадратов быть меньше 0,01?
19. Какое максимальное количество натуральных чисел от 1 до 100 можно выбрать, чтобы среди них не было отличающихся ровно в два раза?
20. Если пешеход идёт навстречу трамваям, то встречает их каждые 5 минут, если он идёт в одну сторону с ними, то встречает их каждые 7 минут. Как часто он будет встречать их, стоя на месте? (Пешеход и трамваи идут с постоянной скоростью, трамваи идут с одинаковыми интервалами.)
21. Можно ли разрезать квадрат на 2003 квадрата (не обязательно одинакового размера)?
22. Расположить 7 звёздочек в квадрате 4 на 4 так, чтобы при удалении из квадрата любых двух строк и любых двух столбцов хотя бы одна звёздочка оставалась.
23. Самолёт, вылетев в полночь из города на экваторе, совершил кругосветное путешествие (вдоль экватора) за 24 часа и приземлился в том же месте. Сколько раз его пассажиры встречали восход? (Возможны два направления облёта; не забудьте рассмотреть оба случая.)
24. Квадратное колесо катится по дороге без проскальзывания. Нарисовать траекторию его оси (находящейся в центре колеса). Из каких кривых она состоит?
25. Даны две несократимые дроби. Знаменатель первой дроби равен 4, знаменатель второй дроби равен 6. Чему может равняться знаменатель произведения этих дробей, если произведение представить в виде несократимой дроби? (Указать все возможности.)