Документ взят из кэша поисковой машины. Адрес оригинального документа : http://www.mccme.ru/zmk/aut06/a06_6-25.ps Дата изменения: Sun Oct 8 17:17:39 2006 Дата индексирования: Tue Oct 2 05:22:53 2012 Кодировка: koi8-r Поисковые слова: релятивистское движение

Решения
(не
только
ответы!)
задач
6
{
15
следует
выслать
до
3
ноября
по
адресу: Москва,
119334,
улица
Косыгина,
дом
17,
Московский
город-
ской
Дворец
детского
(юношеского)
творчества,
отдел
техники,
заочный
конкурс,
.
.
.
класс,
задачи
6
{
15.
На
письме
должен
быть
указан
обратный
адрес,
включая
имя
и
фа-
милию. В
письмо
следует
вложить
пустой
незаклеенный
конверт
с
напи-
санным
на
нём
своим
адресом
и
маркой.
(В
этом
конверте
Вам
будет
посланы
результаты
проверки
и
приглашение
на
разбор
задач.)
В
это
же
письмо
просим
вложить
заполненную
карточку
участника
заочного
конкурса. На
каждом
листе
работы
просим
указывать
фамилию,
имя,
класс
и
номер
школы. Решения
задач
16
{
25
следует
выслать
до
10
ноября
по
тому
же
адресу,
заменив
в
нем
Ђ6
{
15Ѓ
на
Ђ16
{
25Ѓ,
указав
обратный
адрес,
вложив
конверт
и
т.
п.
Этот
второй
конверт
будет
использован
для
того,
чтобы
послать
Вам
информацию
о
следующем
заочном
конкурсе.
На
этот
раз
карточку
участника
отправлять
не
надо.
Пожалуйста,
перед
отправкой
письма
проверьте
еще
раз,
правильно
ли
указана
вся
необходимая
информация,
перечитав
внимательно
наши
инструкции
|
это
облегчит
нашу
работу.
Пожалуйста,
не
отправляйте
задачи
6
{
15
и
16
{
25
в
одном
конвер-
те,
а
также
задачи
одной
группы
в
разных
конвертах.
Справки
по
вопросам,
связанным
с
конкурсом,
можно
получить
по
телефону
945-82-16
(попросить
соединить
с
организаторами
заочного
конкурса),
а
также
по
электронной
почте:
zmk@mccme.ru
(очень
просим
НЕ
отправлять
решения
по
электронной
почте).
Информация
о
заочном
конкурсе
имеется
в
Internet
(сайт
http://www.mccme.ru/zmk/);
в
част-
ности,
на
этом
сайте
будет
помещён
список
победителей
конкурса.
Московский
городской
Дворец
детского
(юношеского)
творчества
Московский
центр
непрерывного
математического
образования
ЗАОЧНЫЙ
КОНКУРС
ПО
МАТЕМАТИКЕ
(осень
2006,
6
{
8
классы)
Сообщаем
Вам
результаты
проверки
задач
1{5:
номер
задачи
1
2
3
4
5
оценка
Желаем
успехов!

Заочный
конкурс
по
математике,
осень
2006,
6
{
8
классы
6.
На
доске
были
написаны
10
последовательных
натуральных
чи-
сел.
Когда
одно
из
них
стёрли,
сумма
девяти
оставшихся
оказалась
рав-
на
1000.
Какие
числа
остались
на
доске?
Укажите
все
варианты.
7.
В
стене
имеется
маленькая
дырка
(точка).
У
хозяина
есть
флажок,
который
можно
вешать
на
гвоздь
(см.
рисунок). Гвоздь
Верёвка
Дырка
Нарисуйте
все
точки,
в
которые
можно
вбить
гвоздь,
так
чтобы
пове-
шенный
на
него
флажок
закрывал
дырку.
8.
Найдите
наименьшее
пятизначное
число,
все
цифры
которого
раз-
личны
и
которое
делится
на
71
без
остатка.
9.
В
таблице
3в3
расставлены
положительные
числа.
Произведение
чисел
в
каждом
столбце
и
в
каждой
строке
равно
1,
а
произведение
чисел
в
каждом
квадрате
2в2
равно
2.
Какое
число
стоит
в
центральной
клетке?
Укажите
все
варианты.
10.
Сколькими
способами
можно
расставить
чёрного
и
белого
коней
на
доске
размером
3
на
3
клетки
так,
чтобы
они
не
били
друг
друга?
11.
Может
ли
квадрат
целого
положительного
числа
начинаться
с
десяти
девяток?
(Приведите
пример
или
докажите,
что
это
невозможно.)
12.
От
моста
через
реку
поплыли
пловец
против
течения
и
мяч
по
течению.
Через
20
минут
пловец
вспомнил
о
мяче,
повернул
обратно
и
догнал
его
в
2
км
от
моста.
Какова
скорость
течения?
13.
Разрежьте
квадрат
на
5
прямоугольников
так,
чтобы
никакие
два
из
них
не
имели
общей
стороны.
(При
этом
разрешается,
чтобы
сторона
одного
из
прямоугольников
была
частью
стороны
другого.)
14.
Возьмём
отрезок
[0,
1].
Отрежем
от
него
четверть
слева,
потом
четверть
(от
оставшейся
части)
справа,
потом
снова
четверть
(от
остав-
шейся
части)
слева
и
так
далее.
Укажите
точку,
которая
никогда
не
бу-
дет
отрезана. 15.
Придумайте
семизначное
число,
первая
цифра
которого
равна
числу
нулей
в
его
десятичной
записи,
вторая|
числу
единиц,
третья|
числу
двоек,
четвёртая
|
троек,
.
.
.
,
седьмая
|
числу
шестёрок.
Заочный
конкурс
по
математике,
осень
2006,
6
{
8
классы
16.
В
скачках
участвуют
три
лошади.
Игрок
может
поставить
неко-
торую
сумму
денег
на
каждую
лошадь.
Если
выигрывает
первая
лошадь,
то
игрок
получает
назад
деньги,
поставленные
на
эту
лошадь,
и
ещё
че-
тыре
раза
по
столько
же;
если
выигрывает
вторая,
то
игрок
получает
деньги,
поставленные
на
неё,
и
ещё
два
раза
по
столько
же;
если
тре-
тья
|
деньги,
поставленные
на
неё,
плюс
ещё
столько
же.
Можно
ли
поставить
так,
чтобы
выиграть
при
любом
исходе
скачек
(то
есть
так,
чтобы
при
любом
исходе
полученная
сумма
денег
была
больше,
чем
сумма
ставок
на
всех
трёх
лошадей)?
17.
Какое
число
больше:
1000
2000
или
2000
1000
?
Объясните
свой
ответ.
18.
В
каждой
вершине
куба
написали
по
числу.
На
каждом
из
12
рё-
бер
написали
сумму
чисел
в
двух
его
концах.
После
этого
на
каждой
грани
написали
сумму
чисел
на
четырёх
её
сторонах.
Найдите
сумму
ис-
ходных
восьми
чисел
в
вершинах,
если
сумма
чисел
на
гранях
равна
480.
(Укажите
все
варианты.)
19.
Было
6
кусков
бумаги.
Некоторые
из
них
разрезали
на
6
кусков
каждый,
затем
несколько
из
получившихся
кусков
снова
разрезали
на
6
кусков
каждый
и
так
сделали
несколько
раз.
Могло
ли
получиться
1000
кусков?
(Приведите
пример
или
докажите,
что
это
невозможно.)
20.
Бесконечная
плоскость
раскрашена
в
два
цвета.
Возможно
ли,
чтобы
любые
две
точки,
находящихся
друг
от
друга
на
расстоянии
1
см,
были
окрашены
по-разному?
21.
Бесконечная
плоскость
раскрашена
в
два
цвета.
Возможно
ли,
чтобы
любые
две
точки,
находящихся
друг
от
друга
на
расстоянии
1
см,
были
окрашены
одинаково?
22.
Найдите
все
натуральные
n,
при
которых
число
(n+
17)/(n-
3)
также
является
натуральным.
23.
Можно
ли
разбить
число
174
на
три
целых
положительных
сла-
гаемых
так,
чтобы
сумма
любых
двух
из
них
делилась
нацело
на
третье?
24.
Найдите
9-значное
число
из
цифр
1,
2,
3,
4,
5,
6,
7,
8,
9
(каждая
входит
по
одному
разу),
из
которого
нельзя
вычеркнуть
5
цифр
так,
что-
бы
оставшиеся
4
цифры
шли
в
порядке
возрастания,
и
нельзя
вычеркнуть
5
цифр
так,
чтобы
оставшиеся
4
цифры
шли
в
порядке
убывания?
25.
Квадратная
площадь
размером
100в100
м
выложена
квадратны-
ми
плитами
1в1
м
четырех
цветов:
белого,
красного,
черного
и
серого|
так,
что
никакие
две
плиты
одного
цвета
не
соприкасаются
друг
с
дру-
гом
(то
есть
не
имеют
общей
стороны
или
вершины).
Сколько
может
быть
красных
плит?
Укажите
все
варианты.