Ю.М.Бурман

Список публикаций

Работы по функциональному анализу.

1. Н.А.Бобылев, Ю.М.Бурман. Леммы Морса для функционалов вариационного исчисления, Функц. анал. и прил., 25(3), стр. 1-11, 1991.
2. Н.А.Бобылев, Ю.М.Бурман. Леммы Морса для интегральных функционалов, ДАН СССР, 317(2), стр. 267-270, 1991.
3. 3. N.A.Bobylev, Yu.M.Burman. Morse lemmas for multi-dimensional variational problems. Nonlinear analysis, V.18, 6:595, 1992.

В этих работах классическая лемма Морса о нормальной форме функции в окрестности невырожденной критической точки распространяется на интегральные функционалы вариационного исчисления с одной переменной (работы 1 и 2) и многими переменными (работа 3).

Работы по теории управления и численным методам

4. Н.А.Бобылев, Ю.М.Бурман, С.К.Коровин. Оценки погрешности метода гармонического баланса, ДАН СССР, 320(3), стр. 572-576, 1991.
5. Н.А.Бобылев, Ю.М.Бурман, С.К.Коровин. Оценки погрешности метода гармонического баланса, Автоматика и телемеханика, 6, стр. 3-15, 1992.

Метод гармонического баланса применяется для приближенного отыскания периодических решений систем дифференциальных уравнений и основан на приближении коэффициентов системы и отыскиваемых решений тригонометрическими полиномами. В работах указан порядок приближения, позволяющий гарантировать приближение к решению с заданной точностью. Также указан метод, позволяющий по приближенному решению судить об устойчивости отыскиваемого периодического решения.

6. Н.А.Бобылев, Ю.М.Бурман, А.Б.Шубин. Алгоритмы управления с минимальным числом переключений, Автоматика и телемеханика, 5, стр. 3-10, 1992.

Изучаются алгоритмы построения кусочно-постоянного управления с минимальным числом переключений, обеспечивающего достижение определенного значения в конце отрезка для дифференциального уравнения n-ого порядка.

7. N.A.Bobylev, Yu.M.Burman, S.A.Soloviev, Error bounds for Galerkin procedures, Nonlinear Analysis, 24(10), pp. 1515-1532, 1995. (TeX file)

Общий проекционный метод отыскания неподвижной точки бесконечномерного оператора A заключается в приближении ее неподвижными точками операторов PA, где P - проекторы на конечномерные подпространства. В работе приведена оценка размерности этого пространства, необходимая для получения приближения с заданной точностью.

8. N.A.Bobylev, Yu.M.Burman, S.K.Korovin. Approximation procedures in nonlinear oscillation theory. Walter de Gruyter, Berlin--New York, 1994.

Книга содержит подробный разбор численных процедур приближенного отыскания периодических решений систем дифференциальных уравнений.

Работы по математической физике

9. A.A.Balinsky, Yu.M.Burman. Quadratic Poisson brackets compatible with an algebra structure. J. Phys. A: Math. Gen., 27:L693, 1994. (TeX file)
10. 10. A.A.Balinsky,Yu.M.Burman, Quadratic Poisson brackets and Drinfeld theory for associative algebras. Letters Math. Phys., V.38, 1:63, 1996. (TeX file)

Исследуется понятие пуассоновой скобки, совместимой со структурой ассоциативной алгебры. Такие скобки обязательно квадратичные; исследуется их связь с классическим уравнением Янга-Бакстера. Получено описание структур Пуассона-Ли на группах Ли, алгебры которых происходят из ассоциативных алгебр. Работа 10 содержит общую теорию, работа 9 - частный случай (алгебра кватернионов).

Работы по дифференциальной геометрии и структуре пространств отображений

11. Yu.M.Burman. Morse theory for functions of two variables without critical points. Functional Differential Equations, V.3., 1-2:31, 1995. (TeX file)
12. Yu.M.Burman, Triangulation of surfaces with boundary and the homotopy principle for functions without critical points, Annals of Global Analysis and Geometry, V.17, 3:221, 1999. (TeX file)

Описаны компоненты линейной связности пространства функций без критических точек на двумерном многообразии с краем, принимающих на крае только значения 0 и 1. Работа 11 - частный случай (многообразия специального вида).

13. Yu.M.Burman, Whitney's index formula in higher dimensions and Laplace integrals, Preprint math.DG/9801044.

Плоские гладкие кривые классифицируются единственным инвариантом - числом вращения - который задается явной интегральной формулой и равен (для кривых общего положения) сумме знаков ее точек самопересечения. В работе эта интегральная формула обобщается (с помощью техники асимптотического разложения интегралов Лапласа) на случай погружений n-мерной сферы в R^{2n}. Результат позволяет получить явную формулу для образующей n-ых когомологий де Рама многообразия Штифеля V(n,2n).

14. Yu.Burman, M.Polyak, Geometry of Whitney-Type Formulas, Moscow Mathematical Journal, 3(2003), N3

Обобщение формулы для индекса Уитни плоской кривой: тождество Уитни разбито в серию тождеств, имеющих геометрический смысл по отдельности, и получен аналог формулы для кривых на торе. (Статья)

Работы по комбинаторике и теории представлений

15. Yu.Burman, M.Shapiro, Coding parking functions by pairs of permutations, Electronic J. Combin., 10(1) 2003.

Описан способ кодировки множества бесконфликтных очередей (parking functions) парами перестановок, удовлетворяющих определенному условию совместности.Сформулиована гипотеза о связи этой конструкции с размерностями биградуированных компонент в модуле диагональных гармоник. (Статья)

16. Yu.Burman, B.Shapiro, Around matrix-tree theorem, Math. Research Letters, 13(5) 2006.

Обобщение теоремы Кэли о деревьях: количество (точнее, статистическая сумма) подграфов данного графа, имеющих заданное 2-ядро, выражается через матрицу Кэли графа. ( Статья)

17. A.Berenstein, Yu.Burman, Quasiharmonic polynomials for Coxeter groups and representations of Cherednik algebras, Preprint math.RT/0505173, принято к публикации в Transactions of the AMS.

Изучается стандартный модуль алгебры Чередника --- особенно подробно для алгебры Чередника диэдральной группы. Вводится понятие квази-гармоник, обобщающих понятие гармонического многочлена; дл фробениусовой (аполярной) алгебры, порожденной квазигармониками, вычисляетс характеристический многочлен.

18. Yu.Burman, D.Zvonkine Cycle factorizations and one-faced graph embeddings, Preprint arXiv:0810.3892v1 [math.CO].

Каждому представлению цикла в виде произведения транспозиций сопоставляется моном от переменных w_ij, хранящий информацию об этих транспозициях, но не об их порядке. Сумма всех таких мономов — многочлен, обобщающий «полиномиальные» числа Гурвица. Для этого многочлена существует явная формула, из которой вытекает формула для числа одногранных вложений произвольного графа.

Разные работы

19. Ю.М.Бурман. Об одной задаче Ниренберга, в сб. "Оптимизация и анализ сложных систем управления", М., ИПУ, 1990.

Доказано, что если гладкое отображение гильбертова пространства в себя не уменьшает расстояние и имеет хотя бы в одной точке невырожденный дифференциал, то его образ - все пространство.

20. Ю.М.Бурман, Б.Л.Фейгин. Бесконечномерные алгебры Ли - 1: полубесконечные формы, алгебра Вирасоро и вертексные операторы. М., МЦНМО, МК НМУ,1997.

Книга содержит описание представлений разнообразных бесконечномерных алгебр Ли (алгебры Гейзенберга, алгебры Вирасоро, алгебры полубесконечных матриц и др.) в пространстве полубесконечных форм. Описываются и изучаются вертексные операторы и соотношения между ними. Также излагаются приложения построенной теории к задачам алгебры и комбинаторики.