Документ взят из кэша поисковой машины. Адрес оригинального документа : http://www.issp.ac.ru/lek/gantmakher/art120R.pdf Дата изменения: Tue Jan 10 15:01:19 2006 Дата индексирования: Tue Oct 2 06:29:11 2012 Кодировка: Windows-1251 Поисковые слова: абсолютный нуль температуры

Физика низких температур, 2005, т. 31, ? 3/4, с. 436-444

Невзаимодействующие электроны в одномерных системах
В.Ф. Гантмахер
Институт физики твердого тела РАН, Черноголовка, Россия E-mail: gantm@issp.ac.ru Статья поступила в редакцию 7 сентября 2004 г. Изложены теоретические основы описания поведения невзаимодействующих электронов в одномерных системах: транспортные характеристики идеальной проволоки, соединяющей два термостата, описание при помощи формул Ландауэра упругого рассеяния на хаотической последовательности барьеров, гигантские хаотические осцилляции сопротивления, локализация и влияние на нее корреляций в случайном потенциале. Викладено теоретичн? основи опису повед?нки невза?мод?ючих електрон?в в одновим?рних системах: транспортн? характеристики ?деального дроту, що з'?дну? два термостати, опис за допомогою формул Ландауера пружного розс?яння на хаотичн?й посл?довности барь?р?в, гигантськ? хаотичн? осциляц?? опору, локализац?я та вплив на не? кореляц?й у випадковому потенциал?. PACS: 73.63.Nm

Цель настоящего краткого обзора -- изложение теоретических основ описания одномерных систем невзаимодействующих электронов и иллюстрация их поведения на основе известных экспериментов. Количество одномерных объектов, имеющихся в распоряжении экспериментаторов, за последние годы значительно увеличилось. Это и органические металлы [1], и полупроводниковые нанопроволоки [2], и углеродные нанотрубки [3], и даже реальные короткие цепочки из металлических атомов [4]. Это предопределяет рост числа людей, вовлеченных в работу с такими объектами, и необходимость снабдить их достаточно строгим введением в проблему. Критерий одномерности связан со структурой электронного спектра свободных электронов с волновыми функциями exp(ikr) при соответствующей геометрии области их существования
2 e = h 2k|| /2m + e ^ (i ),

в нижней подзоне. Для вырожденной электронной системы критерий имеет вид e
F

< D s,

D

s

? e ^ (i = 2) - e ^ (i = 1).

(2)

i = 1, 2, ...

(1)

Здесь k|| -- волновой вектор в направлении, в котором движение электронов не ограничено; e ^ -- размерно квантованная часть энергии, связанная с движением в ограниченных направлениях; i -- номер размерно квантованной подзоны. Система является одномерной (1D), если все электроны помещаются
ї В.Ф. Гантмахер, 2005

Если под уровнем Ферми находится несколько размерно квантованных подзон, то система является квазиодномерной. Вообще говоря, на поведение электронов в 1D-системах большое влияние оказывают межэлектронные взаимодействия. Именно на базе изучения 1D-систем возникли такие понятия, как латтинжеровская жидкость и волны зарядовой или спиновой плотности. Учет взаимодействий сильно усложняет анализ экспериментальных данных и зачастую делает его неоднозначным. Поэтому в качестве исходного базиса полезно иметь ясную картину поведения невзаимодействующих электронов в 1D-системах. Эта картина и излагается в данном обзоре. Изначально постулируется, что волновая функция электрона есть плоская волна exp(ikr) и рассматриваются процессы интерференции в волновом поле, образующемся в результате распространения и рассеяния этой волны в одномерном потенциале. Согласно теореме Пайерлса, 1D-система с идеальным периодическим потенциалом неустойчива


Невзаимодействующие электроны в одномерных системах относительно появления нового периода и волны зарядовой плотности [5], а сколь угодно малый беспорядок приводит в одномерной среде к локализации [6]. Тем не менее проводимость в 1D-системе невзаимодействующих электронов возможна за счет температуры, конечной длины 1D-системы и корреляций в случайном потенциале. Идеальная проволока Рассмотрим сначала идеальную проволоку, в которой полностью отсутствует рассеяние, даже упругое. Соединим два резервуара, к которым приложена разность потенциалов V, идеальной проволокой длиной L. Тогда всякий электрон, попадающий в проволоку с одной стороны, с вероятностью единица выходит с другой. Пусть к тому же диаметр проволоки столь мал, что в ее спектре (1) под уровень Ферми e F попадает ограниченное число n = 2 N s размерно квантованных подзон (их также называют каналами; в отсутствие магнитного поля при каждом i ? N s существуют два канала с разными направлениями спинов): e ^ (i ) < e
F

y

id

= (e 2 /2 ph)n, сid= (2 ph/e 2 )(1/n).

(6)

при i = 1, 2, ... , N s .

(3)

Если N s = 1, то 1D-систему называют одноканальной (с учетом спина ее можно было бы также называть двухканальной), при N s > 1 она называется многоканальной. Ввиду идеальности проволоки каналы внутри нее независимы и не обмениваются электронами. Плотность электронов n i в канале i, продольная скорость электронов v i и плотность состояний g i на уровне Ферми связаны соотношениями vi = h
-1

(e/k)

e = ei

, g i = (n i /e) - e ^ (i ), 2

e = ei

= 1/2 phv i , (4)

ei = e

F

е
i =1

Ns

n i = n.

Наличие между резервуарами разности потенциалов V означает, что из-за разности электронной плотности dn i = g i eV имеется разность потоков электронов, попадающих в канал i справа и слева. В выражении для тока конкретные параметры канала, фигурирующие в соотношениях (4), сокращаются, так что ток в канале J i не зависит от индекса i и равен J i = ev i dn i = (e 2 /2 ph)V.
n

(5)

Кондактанс yid = J/V и сопротивление сid = 1/yid такой проволоки определяются полным током J=

е
1

J i и равны

Индекс в обозначениях подчеркивает, что формула (6) относится к идеальной проволоке. Результат (6) замечателен в нескольких отношениях. Во-первых, оказалось, что в 1D-системе, даже в многоканальной, диссипация имеется даже в отсутствие рассеяния. Во-вторых, как это ни удивительно, сопротивление проволоки сid не зависит от ее длины и определяется только квантованием электронного спектра. И то и другое является проявлением принципа нелокальности. Электроны забирают энергию там, где есть поле, т.е. в проволоке или на ее краях, а отдают ее, когда термализуются в резервуаре, т.е. вдали от проволоки. Мы не случайно не уточняем, где именно сосредоточено электрическое поле. Рассуждения, которые привели к формуле (6), не предопределяют распределение электрического поля вдоль проволоки. Чтобы выяснить это распределение, нужно привлекать дополнительные соображения. Обычно оказывается, что поле распределено вдоль канала неоднородно и преимущественно сосредоточено вблизи его концов. Интересным в этом отношении примером являются краевые каналы, которые образуются вдоль края образца между контактами при квантовом эффекте Холла. В сильном магнитном поле, перпендикулярном плоскости двумерного электронного газа, все электроны, столкнувшиеся с поверхностью и отразившиеся от нее, обязательно столкнутся с ней вновь на следующем витке своего циклотронного движения. Направление их смещения вдоль поверхности за время между двумя столкновениями с ней определяется знаком векторного произведения поля и нормали к области двумерного газа и не зависит ни от угла падения, ни от угла отражения электрона. Ток вдоль поверхности описывается при помощи понятия об одномерном канале, который является идеальным из-за отсутствия рассеяния назад. Тангенциальное электрическое поле вдоль края образца, т.е. вдоль 1D-канала, при квантовом эффекте поля везде равно нулю, а все падение напряжения сосредоточено на границе с одним из контактов [7]. Казалось бы, утверждение, что сопротивление проволоки не зависит от ее длины, противоречит простому рассуждению: разделим мысленно идеальную проволоку на две части, которые при этом окажутся включенными последовательно; если у каждой части сопротивление сid, то полное сопротивление должно было бы быть 2сid. Но просто разделить проволоку на две части недостаточно; для того чтобы обе части превратились в независимые сопротивления, между ними нужно вставить дополнительный

Физика низких температур, 2005, т. 31, ? 3/4

437


В.Ф. Гантмахер резервуар-термостат, который бы сделал проходящие через него электронные волны некогерентными. Если температура проволоки отлична от абсолютного нуля, T ? 0, так что существует конечная длина Lj < ?, на которой происходит неупругое столкновение и сбой фазы электронной волны, то такие термостаты как бы появляются автоматически на расстоянии Lj друг от друга. Таким образом, на длину идеальной проволоки имеется ограничение сверху, L < Lj . Ограничением снизу фактически является диаметр проволоки. Это видно из рассмотрения шарвиновского контакта [8], в котором изолирующая плоская диафрагма с отверстием площадью S разделяет два трехмерных металлических полупространства, одно из которых -- 'идеальный' кристалл, в том смысле, что длина свободного пробега в нем l >> S . Сопротивление такого контакта равно R' hkF ne S
1/ 3 2

12 10 8 6 4 2 0

Контакт Расщепленный затвор Контакт

y(e2/p )

-2,0 -1,8 -1,6 -1,4 -1,2 -1,0 Vg, В

'

h ж h 2 /mS з e2 з e F и

ц ч, ч ш

(7)

Рис. 1. Кондактанс y баллистического контакта между двумя 2D-областями гетероструктуры GaAs-AlxGa1-xAs в зависимости от напряжения на затворе, регулирующего ширину контакта [9]. На вставке -- схема измерительной ячейки.

2 и e F = h 2kF /2m -- это конгде n, m, kF = (3 p 2n) центрация, масса, фермиевский импульс и фермиевская энергия электронного газа в идеальном полупространстве, а знак ' вместо знака равенства указывает на то, что в выражении опущены численные коэффициенты. Нетрудно убедиться, что выражение (7) по структуре идентично выражению (6) для сid, а в числителе дроби, стоящей в (7) в скобках, записано характерное расстояние e ^ между размерно квантованными подзонами. На примере квадратного отверстия нетрудно проверить, что это расстояние действительно пропорционально S -1. Благодаря тому, что в эксперименте можно использовать очень короткий канал, формулу (6) удается проверить на эксперименте. На рис. 1 приведены результаты измерений проводимости узкого канала под расщепленным затвором, соединяющего две области 2D-электронного газа в гетероструктуре GaAs-AlxGa1-xAs [9]. При увеличении запирающего напряжения Vg на затворе обедненная область несколько расширяется за счет того, что она слегка выступает за края затвора. Как видно на схеме на вставке к рис. 1, проводящий канал при этом сужается, что означает уменьшение числа каналов N s . Маленькая длина канала позволяет получить в нем баллистический режим, т.е. отсутствие рассеяния. В структуре, приведенной на рис. 1, электронная плот11 -2 ность составляет 3,56Ч10 см , длина пробега при 0,6 К около 8,5 мкм, а характерные размеры канала порядка 0,25 мкм. На вставке к рис. 1 видно, что измерение происходит по двухконтактной схеме, так что в измеряемое сопротивление Rmeas входит сопротивление кон-

тактов Rcont и прилегающих к ним широких участков 2D-слоя. Интересующий нас кондактанс равен y ? ? с-1 = (Rmeas - Rcont ) -1 . В качестве Rcont была выбрана величина 4,35 кОм, что примерно соответствует результатам независимых измерений. После вычитания этой величины функция y(Vg ) превращается в последовательность ступеней одинаковой высоты Dy
id

= (e 2 /2 ph)Dn = e 2 /ph,

(8)

в полном соответствии с формулой (6). Упругие рассеиватели Откажемся от идеальности проволоки, ограничившись для простоты одноканальной системой. Пусть в заштрихованной части проволоки (рис. 2) имеются упругие рассеиватели. Уточнять их взаимное расположение не требуется -- будем рассматривать всю заштрихованную область как единый рассеивающий объект. В квантовой механике в одномерном случае он характеризуется комплексными коэффициентами отражения r и прохождения t, которые связывают амплитуды отраженной и прошедшей волн с амплитудой падающей волны. Слева и справа на заштрихованную ? область падают электронные потоки jin/e и jin /e, каждый из которых отражается с вероятностью R = | r| 2 и проходит с вероятностью T = | t| 2 . Из симметрии квантовомеханической задачи ?? ?? R = j r /jin = j r /jin , T = jt /jin = jt /jin , (9)

R + T = 1.

438

Физика низких температур, 2005, т. 31, ? 3/4


Невзаимодействующие электроны в одномерных системах
jr j in
A B

Резервуар 1

jt

jin jr

Рис. 2. Одномерный проводник, соединяющий два резервуара и состоящий из двух идеальных участков по краям и рассеивающего участка AB посередине.

Резервуар 2

jt

непосредственно к рассеивающей области между точками A и B на рис. 2. Именно поэтому кондактанс (12) при слабом рассеянии, T ~ 1, R << 1, может оказаться больше, чем кондактанс (6) системы, вообще не имеющей рассеивателей. Если разность потенциалов в системе на рис. 2 приложена к резервуарам, то сопротивления идеальной проволоки и области рассеяния включены последовательно и кондактанс всей системы равен y
-1

=y

-1 id

+y

-1 imp

?с

id

+с

imp

=

Если падение напряжения на заштрихованной области равно нулю, то и суммарный поток электронов в проволоке равен нулю. При наличии разности потенциалов dV на границах области появляется разность плотностей dn = gedV. В одномерных системах все электроны движутся вдоль проводника и потому принадлежат к одному из потоков, фигурирующих в уравнениях (9). Это позволяет связать dn с плотностями электронов в потоках и выразить dV через токи: dV = ? ? j ? + j r + jt dn jin + j r + jt = - in = 2 2 ge e gv e gv = ? 2 R ( jin - jin ) e 2 gv . (10)

Rц 2 ph ж з1 + ч, 2и Tш e
(13)

y=

e2 T. 2 ph

Здесь g и v -- плотность состояний и модуль скорости электронов на уровне Ферми. Поскольку полный ток J равен ? ? ? ? J = jin - j r - jt = jin - j r - jt = T ( jin - jin ), (11) отношение J/dV позволяет представить кондактанс -1 yimp = J/dV и сопротивление сimp = yimp заштрихованной области в виде y
imp

= =

e2 T e2 T , = 2 ph R 2 ph 1 - T 2 ph R e
2

Теперь при T R 1 кондактанс y R yid, как и должно быть. Выражение (13) для y можно получить и непосредственно, приложив разность потенциалов к резервуарам, записав электронный поток из одного резервуара в другой и учтя однократное рассеяние (ср. с выводом формулы (6)). Это означает, что сложение сопротивлений в соответствии с законом Ома в рассуждениях (13) было правомерным. Однако в одномерных системах из-за интерференции падающих и отраженных волн это отнюдь не всегда так. Рассмотрим два последовательных барьера в одноканальном одномерном проводнике (рис. 3) и выразим параметры T и R = 1 - T образовавшегося составного рассеивающего объекта через параметры T1, R 1, T2, и R 2 исходных барьеров. Если на барьер слева падает волна амплитудой 1, то сформировавшееся стационарное волновое поле будет содержать еще четыре волны: отраженную A, прошедшую D и две волны между барьерами, B и C, движущиеся в противоположные стороны (A,...,D -- это комплексные амплитуды волн). Выразив амплитуды волн, уходящих вправо и влево от каждого из барьеров, через амплитуды падающих волн, получим четыре уравнения:

с

imp

T

=

2 ph e
2

R
1-R

.

(12) 1 A B C Beij Ce-ij D

Идея представлять упругие рассеивающие центры в виде потенциальных барьеров на пути распространяющихся волн и выражать транспортные характеристики системы через коэффициенты отражения и прохождения волны через эти барьеры принадлежит Ландауэру [10]. Поэтому соответствующие формулы, в частности выражение для кондактанса (12), называют его именем. В принципе техника Ландауэра применима к системам любой размерности, но она особенно удобна и часто используется для 1D-систем. Формула Ландауэра в виде (12) выведена в предположении, что разность потенциалов приложена
Физика низких температур, 2005, т. 31, ? 3/4

Рис. 3. Рассеивающий участок в 1D-проводнике, состоящий из двух барьеров. Комплексные амплитуды A,...,D-волн, приходящих и уходящих от обоих барьеров, нормированы на амплитуду исходной приходящей волны, помеченной единицей.

439


В.Ф. Гантмахер A = r1 + Ct1, B = t1 + Cr1, Ce D = Be ijt2 .
-ij

= Be ijr2 , (14) = e2 2 ph

( Y2 cl) = (y

-1 1

+y
2

-1 -1 2) -1

? (с1 + с2)

-1

=

Здесь учтено, что коэффициенты отражения от барьера не зависят от того, с какой стороны падает вол? на, r1 = r1; множители exp(+ ij) учитывают набег фазы волны на расстоянии от одного барьера до другого. Из уравнений (14) следует D= e ijt1t2 1-e
2ij

ж R1 з з1 - R и

+
1

ц e 2 (1 - R 1 )(1 - R 2 ) ч .= 1- R2 ч 2 ph R 1 + R 2 - 2 R 1 R 2 ш

R

(19) В (19) имеется лишний по сравнению с (18) член в знаменателе, пропорциональный произведению коэффициентов пропускания двух барьеров R 1 R 2 . Гигантские осцилляции сопротивления

,
2 2

r1r2 cos q , (15)

T = D2 =

T 1T 1 + R 1R
2

- 2 R 1R

где q = 2j + arg(r1r2 ). Кондактанс Y2 составного 'двухбарьерного' рассеивателя, который выделен на рис. 3 пунктиром, равен Y2 = e2 e2 T = 2 ph 1 - T 2 ph R

T 1T
1

2 2

+R

2

- 2 R 1R

cos q

.

(16) Если составной 'двухбарьерный' рассеиватель состоит из двух одинаковых барьеров, r1 = r2 = r?, t1 = t2 = t?, R 1 = R 2 = R ? и т.д., то Y2 = (T ? ) 2 e2 , 2 ph 4R ? sin 2 q/2 (17)

Остановимся еще на одной особенности транспорта в 1D-системах. На рис. 4 приведены транспортные характеристики квазиодномерной системы, изготовленной на базе аккумулирующего слоя в полевом транзисторе на поверхности n-Si [13]. При низкой температуре на зависимости кондактанса y от напряжения на затворе Vg появляется шумоподобная составляющая очень большой амплитудой. Это не настоящий шум. Сигнал не зависит от времени, и если не отогревать образец до комнатной температуры, то при повторном эксперименте кривая y(Vg ) воспроизводится вплоть до мельчайших подробностей. Видно, что при низких температурах и при напряжениях на затворе Vg , обеспечивающих

q/2 = j + arg(r? ) = kl + arg(r? ),

10-4

где k -- волновой вектор, а l -- расстояние между барьерами. Кондактанс (16) зависит не только от параметров двух исходных барьеров; через угол q он зависит и от расстояния между ними. Поскольку в конечном счете нас интересует 1D-проводник с большим количеством случайно расположенных барьеров, то можно усреднить по всем возможным расстояниям между ними, предположив, что угол q с одинаковой вероятностью принимает любые значения от 0 до 2 p. Такое усреднение не совсем корректно, но позволяет проследить тенденции, возникающие при удлинении цепочки одномерных барьеров (более подробно см. в [11], а также в оригинальной работе [12]). Из среднего значения cos q = 0 следует усредненный кондактанс Y2 системы из двух барьеров: Y2 =

y, Ом-1

10 -5 10 -6

0,57 K Исток p
+

p

+

10 -7 10 -8

Al 0,25 K 4 6

Сток

Vg, В

8

10

T 1T 2 e2 2 ph R 1 + R

=
2

e 2 (1 - R 1 )(1 - R 2 ) . 2 ph R1 + R2

(18)

Для сравнения выпишем классическое выражение для суммы двух последовательных сопротивлений с1 = y1 1 и с2 = y2 1:

Рис. 4. Зависимость от напряжения на затворе дактанса y длинного квазиодномерного канала в транзисторе, изготовленном на поверхности n-Si дящемся в режиме аккумулирующего слоя [13]. канала может меняться от нуля до максимума заданного конструкцией (см. схему на вставке), мощи напряжений на контрольных электродах затворе.

Vg конполевом и нахоШирина ~1 мкм, при поp+ и на

440

Физика низких температур, 2005, т. 31, ? 3/4


Невзаимодействующие электроны в одномерных системах узкий канал и малую концентрацию носителей, кондактанс испытывает хаотические узкие осцилляции при изменении Vg , размах которых растет при понижении температуры. На другом образце, и даже на этом же при повторном охлаждении от комнатной температуры, детальная структура осцилляций другая при той же общей картине эволюции осцилляций с изменением температуры и напряжения Vg . Фундаментальная причина хаотических осцилляций -- в одномерности. Все дефекты в проволоке включены последовательно и линии тока не могут обойти ни один из них. Поэтому выключение одного дефекта, осуществляющего сильное рассеяние, может сильно повлиять на суммарное сопротивление. Вопрос в том, как изменение Vg , которое меняет концентрацию носителей и их энергию Ферми e F , может включать, выключать или менять эффективность отдельных дефектов. Вернемся к выражению (17) для кондактанса Y2 симметричного 'двухбарьерного' рассеивателя. Выше мы усредняли выражение (16) по cos q на том основании, что имеется разброс расстояний li между барьерами. Но входящий в q угол j = kli зависит не только от li, но и от волнового вектора k, т.е. от энергии рассеивающегося электрона e F . Для одной конкретной рассеивающей пары барьеров с фиксированным значением li из формулы (17) следует, что R2 принимает значение в интервале от нуля до 4с, 0 ? R2 ? 4с, (20) 1 << N << Lj /l (21)

остаются когерентными. Поэтому, согласно приведенным ниже соотношениям (25), эти отражения при достаточно большом Lj скомпенсируют прозрачность барьеров t1 и t2 и сделают состояние между ними истинно локализованным. В этих условиях следует ожидать прыжковый характер проводимости. И действительно, на рис. 5 приведены измерения температурной зависимости кондактанса, сделанные в нескольких минимумах кривой, приведенной на рис. 4. Видно, что при измерениях в левой части графика на рис. 4, при меньших Vg , когда кондактанс мал, осцилляции велики и есть все основания считать канал одномерным, точки хорошо ложатся на функциональную зависимость y = y0 exp [-(TM /T)
1/ 2

]

(22)

в полном соответствии с формулой Мотта для температурной зависимости прыжковой проводимости с переменной длиной прыжка: жT ц r = r0 exp з M ч , TM ' (gm x d ) -1 , (23) иTш где d -- размерность пространства, x -- длина затухания локализованных состояний. При больших Vg канал расширяется и постепенно превращается в двумерный. Кондактанс при этом увеличивается, а амплитуда хаотических осцилляций падает. Экспериментальные точки зависимости log y(T -1/2 ), полученные при напряжении на затворе Vg = 6,3 В, отклоняются на рис. 5 от прямой, но
1/ (d + 1)

в зависимости от энергии налетающего электрона. При этом следует помнить, что транспортные свойства 1D-системы определяются именно электронами из окрестности e F , потому что противоположные потоки электронов с меньшими энергиями компенсируют друг друга. Выше мы упоминали о существовании проблем с усреднением выражения для сопротивления (16); они связаны именно с большим диапазоном (20) изменения величины R2 . Пространство между двумя барьерами представляет собой потенциальную яму. В этой яме, вообще говоря, имеется набор уровней e i , ширина которых обусловлена прозрачностью барьеров t1 и t2 . По мере того как энергия электрона e F смещается относительно системы уровней в этой яме, вероятность туннелирования осциллирует, достигая максимума в условиях резонанса e F = e i . Поэтому гигантские хаотические осцилляции сопротивления можно теоретически описать именно в терминах резонансного туннелирования [14]. Модель локализованных состояний в 1D-системах использует представления об электронных уровнях внутри составных рассеивателей. При достаточно низких температурах отражения от далеких барьеров

T, K 1,0
10
-4

0,5

0,2

0,1

6,3 B
y, Ом-1
10 -5

4,9 B
10
-6

4,2 B

10

-7

0,5

1,0

1,5

2,0

2,5

3,0

-1/2 T -1/2, K

Рис. 5. Температурные зависимости в минимумах кондактанса канала полевого транзистора при трех разных значениях напряжения на затворе Vg [13].

Физика низких температур, 2005, т. 31, ? 3/4

441


В.Ф. Гантмахер спрямляются в осях (log y, T -1/3 ) опять-таки в полном соответствии с формулой (23). Локализация Рассмотрим длинную цепочку одинаковых, но расположенных на случайных расстояниях li друг от друга слабо рассеивающих барьеров, R? << 1, T ~ 1, имеющих каждый малое сопротивление с? = = (2 ph/e 2 )(R ?/T ? ) << 2 ph/e 2 (среднее расстояние между барьерами l = li имеет смысл упругой длины свободного пробега). Будем вычислять сопротивление RN = YN1 = (2 ph/e 2 )(R N /T N ) составного рассеивающего объекта из N барьеров по рекуррентной формуле, следующей из (18): ся не случайно расположенные барьеры, а одномерная цепочка периодически расположенных потенциальных ям. Цепочка состоит из ям двух сортов, с уровнями энергии E a и Eb . При этом ямы распределены по нечетным узлам решетки совершенно случайно, без каких бы то ни было корреляций, а в каждом четном узле находится яма того же сорта, что и в нечетном узле слева от него. Это означает, что одинаковые ямы стоят парами, откуда и название модели (рис. 6,a). Если расстояние между ямами a, то получившуюся решетку можно представить как сумму двух случайных, но одинаковых подрешеток, сдвинутых на a друг относительно друга, обе с периодом 2a и совершенно случайным распределением ям по узлам. Будем считать пары с энергией E a принадлежащими основной решетке, а пары с энергией Eb -- дефектами. Как мы уже видели, в этой модели при некоторых выделенных значениях энергии могут существовать делокализованные состояния. Теперь нужно сформулировать условие того, что электроны с такой энергией могут распространяться в основной решетке. Рассмотрим один димерный дефект из двух ям с энергиями Eb в идеальной решетке из ям E a (рис. 6,б). Пусть интеграл перекрытия между соседними ямами равен J. Тогда справа и слева от дефекта образуются зоны с квазинепрерывным распределением уровней e = E a - 2 J cos ka. Если выполняется соотношение |E
a

R T

N N

=

R

N -1

T

N-

+R . 1T ?

(24)

Пока число барьеров N мало, так что Nс? << << 2 ph/e 2 , величина RN возрастает линейно: RN ' ' Nс ч N. При этом почти линейно растет также и вероятность отражения R N. Однако R N не может стать больше единицы. Поэтому начиная с некоторого N в формуле (24) можно положить R N ' R N -1 ' 1, откуда сразу следует

T

N

'T

N -1T

?, T

N

R s(T ?)

N

= se

aN

при N R ?, (25)

(s = const, a = ln T ? < 0).

Экспоненциальное уменьшение интенсивности прошедшей волны T N при росте числа N является демонстрацией 1D-локализации на конкретном примере. Роль корреляций в случайном потенциале Общее утверждение [6] о 1D-локализации на случайном потенциале и иллюстрация (25) этого утверждения на конкретной модели предполагали отсутствие каких бы то ни было корреляций. Однако локализации может не произойти, если хаотический одномерный потенциал не является совершенно случайным, а содержит некоторые корреляторы. Чтобы показать это, вернемся к формуле (17) для кондактанса Y2 симметричного 'двухбарьерного' рассеивателя, изображенного на рис. 3. Из этой формулы следует, что существует волновой вектор k0 = -arg(r? )/l, при котором барьер полностью прозрачен для па? дающей волны, и отраженной волны нет, R 2 = 0. Если в нашей модели (24), (25) заменить одиночные барьеры на сдвоенные (17), то электрон с энер2 гией e 0 = h 2k0 /2m окажется делокализованным. Эта идея была развита более подробно в так называемой димерной модели [15]. В ней используют-

- Eb | < 2 J,

(26)

то невозмущенный энергетический уровень дефекта Eb попадает внутрь зоны и в зоне появляется выделенное значение k = k0 , cos k0 = -2 J/(E a - Eb ), для которого вероятность отражения от дефекта R = 0. В димерной модели корреляции существуют только между ближайшими соседями. При таких корреляциях делокализованные состояния возникаа
E E
a

б

b

E E

a b

2J

Рис. 6. Димерная модель одномерного случайного потенциала. Изменения положений уровней из-за перекрытия ям не показаны (а). Электронные уровни в одномерной решетке с одним димерным дефектом (б).

442

Физика низких температур, 2005, т. 31, ? 3/4


Невзаимодействующие электроны в одномерных системах ют только при дискретных значениях энергии. Для того чтобы получить полосу делокализованных состояний, необходимо использовать дальние корреляции, сохранив при этом в потенциале элемент случайности. Алгоритм построения такого потенциала был предложен в [16,17]. Здесь приведем только конкретный пример такого алгоритма, составленного для экспериментальной проверки путем микроволнового моделирования. Микроволновое моделирование процессов локализации возможно благодаря тому, что зависящее от времени уравнение Шредингера ih Y h2 =DY + UY 2m t (27)
100 микрометрических винтов Антенна 1 60 Поглотитель

10

20,5 20,5

130 Антенна 2

20

Рис. 7. Схематический чертеж одномодового волновода со 100 рассеивателями, в котором измерялся коэффициент прохождения t электромагнитной волны в зависимости от частоты [19]. Все размеры в миллиметрах.

и классическое волновое уравнение 1Y c
2 2

u (28) b
m

n

=u

2 n

t

2

= DY - UY

m =-?

еb

?

m

Z

n+m

, (32)

(c -- скорость волны) имеют много общего [8]. После подстановки Y = e -iwt y они оба сводятся к уравнению (D - U + k2 )y = 0 (29)

2 = p

p/ 2

т
0

j(m) cos (2mm) dm.

с той лишь разницей, что для уравнения Шредингера w = (h/2m)k2 , а для волнового уравнения w = ck. (31) (30)

Здесь Z n + m -- случайные числа в интервале от -1 до +1. Именно они вносят в потенциал элемент случайности. Корреляции между всеми u n обеспечиваются множителями b m , определенными через функцию j(m). Последняя выбирается при помощи специального математического алгоритма в зависимости от того, какой требуется спектр пропускания одномерной системы. Пример реализации такой программы показан на рис. 8. В соответствии с имеющимся алгоритмом была выбрана функция j(m), 1,0

В качестве примера микроволнового моделирования приведем эксперимент [19], в котором измерялся коэффициент прохождения через длинный волновод электромагнитной волны микроволнового диапазона в зависимости от частоты. Схема волновода изображена на рис. 7. Рабочий диапазон частот был выбран внутри частотного диапазона, в котором волновод находился в одномодовом режиме: 7,5 ГГц = с/2a < w/2p < c/a = 15 ГГц, где a -- больший размер поперечного сечения волновода. На равных расстояниях по длине волновода в него введены N = 100 штырьков-рассеивателей, моделирующих случайный потенциал. При помощи микрометрических винтов их можно вдвигать на разную глубину u n , где 1 ? n ? N. Глубина устанавливается по формуле

t
0,8 0,6 0,4 0,2 0 0,2 0,4 0,6 kd/p 0,8 1,0

Рис. 8. Коэффициент прохождения t волны в одномерном канале при наличии периодически расположенных случайных рассеивателей, между которыми имеются корреляции, со специально выбранной корре