Äîêóìåíò âçÿò èç êýøà ïîèñêîâîé ìàøèíû. Àäðåñ îðèãèíàëüíîãî äîêóìåíòà : http://www.intsys.msu.ru/magazine/archive/v7(1-4)/alexeev-185-198.pdf Äàòà èçìåíåíèÿ: Mon Dec 22 00:35:26 2008 Äàòà èíäåêñèðîâàíèÿ: Mon Oct 1 23:52:53 2012 Êîäèðîâêà: koi8-r Ïîèñêîâûå ñëîâà: ï ï ï ï ï ï ï ï ï ï ï

T§ ¨ à ¼ g§ ¡ ¥

x x± ¨ x x

R V¥ V ü j ² x± Vd¨§ ¡x t¬ xª p® ¤´ x± j¬I T¬ V¤´ g

pê w¤x¦ x® ¥ ¨ x® ® g¸ V¤ V x ® g¶ g®x V C V® Iég t§ µ då ¦ 㸠´ ä x® ¤ g® x w b¸ ¥ Vx± p¤ x® ©¨ª g® w §
n

T® b¨ ¶ Tª ¨ ¨ ® ø V« p¤ (ª R xq x x¥ x¨ få 2ëV ã® V t¨ j ª ¤ x V¤ ¤ y© R t g¶ xª x g ® x± ¡ w r¥ V¤ R« V Vg Tµ t¨ ª xå V¤ x¥ V g 0©T xª r p® ¨ V¤ ¦ j x
n

§ p¤ Tµ ( é v ¨ r® g fV V f¨© « ¥x x¨

VåV xj ø w¤ xå xªg p® 2¡ ¦ G¸q fw¤ ¥ %¨ p» Tå pít¨ µ ¢¡ ¤ õ§ ´ x±p´ V® ¢¤ x ©x x¨ T¾ xªö V¼ p® ¿« ¦ ²¸V¡ `© x ¸r ª g ¤ d¤ r¡ V¡ g

¥x g® tV §p¸ ¦ dô V¥ gª ¡ xx± V gªx® x¸ ¡ ® rg§ V¤ x®xå Tª ®x2¨ V¤ g® Iìx g¶ x x¨ µ V¤ j¾ à 2¸2¼ Tå ¨V w¤ xy V¥ g© r· ¡r x T§ g®¨f

r ¤ ç¤ x j T x ¨f g¶ ¦ ¥V VT§ ë ¨¢® g g¶ ¡ x© g V Tr® §V¤ x® x± g w b¨ ¡ 2¥§ jV¤

¥ V x x x q© 0 ñ® T ¤ ¨ x j xªr V rT p© g¦ ¡ g V ¹ x § Vx¶ x xx V ©x¨ f

f¾ d¤ fâ V ¸g® x« g ÿ¥ {¡ G© Tª ¨ g© V xª áp® C ¦ q¦ r¤ V¥ r¡

à ༠å V¤ ¨ x t 0V® V¤

g¦

g j¡¨

V V¤ V® r ¶ï§ V¤r± ¨´ b¤ ´x± g V ± ¥j (§ T x r ¤® r

g x µ g© éx¨ g V x®T ¨® x¤ g¶r V x®¿« f¾ ¢¡ î® C¼ ¿«xtµ f¾ g¶rå dî V ©r (¤ ¤ º dôx¶ w¤ x ¤ r´ r§ » V¡ g®ºg¶ w d 9 V¤ r¥ V¤

¤ V V¤ r¥ V¤ g {g G x± `© § x®

© ® ® ¨ ¥¹

ph hs pe

f dd ph bbe ji ehIa Ye b fY uh Y eds l paG yv d dg y vTafx fvug fv dhe e baY fY ud de h g g dY ul g bh Tx uov h ugfh rY gf hja Ta vxys uv eh df wgewd ftft f Gcuc e h gY { un u f h ua e 0 jx fh f 2v egy be fY uf fe yx be wc u ue t x f TpqX fe fn fhh Gvl §x h q o dY q ug h n ( em f h e f u b &h bark buY u d dh c TW 5¸ 4 CB A & @$ 5¸ 94 ¤6 ¤ 21 ¤¸ 0¨) §¦ (' &%$ ¤ # ¤"
n

qp h e y fY v~ pv uY tih g Y TQ TQ 0 ¤¸ ¤!

t dde fefg 0l ta l VU TS ¤'

f e e u vf eue u b uve h fs q i f v e RQ %P ¤¡ ¤ GE

x~ dh rp g e b b 0l fv } Gv do Ta de ggk IH "

f z¨ t § dô ¤ x j V x `© T§¿« T® f¾ ¨ f¨ æ g ¤¼ Tµ ¡ t¨ jr ª V T ¤ x¨ § r©T V¤ r g® d ï± µ± ¤ð0 ¤¡ g õ¡ b¨& § Tê g±b¨ V¡ § x ± © tµ ¤ rå g§ ¶¤¡ V¤ ²©V¤ r ¢ x x ¤ è ¥ Id¤ xå p¤ x Tª g®¨ G y dô § ¤ rj x«r d¤§ 2§¤ ¨ g® T r¤ T§ ¨ R«g ¡ Tª ¸ x f¾ xdþ àx¨ V¼ ¿« µ T¾ V¤ þ V¼ x© ¿« g ¾ V ½ v¼ p© %¤ x ¸ © ¢¡ ¤ § x g r ± V t d° I ¯ y G s fl e uq bh G rp fY uYGe de t uuo q bhh j Y dh ph egh ui h rx uY bh dl fxja deh v| e fYe de ofg f q{v de dg ia na gf ¨m Tx uh Vj fs y a Ta g wv ut b ds iY ra fqbh pe gf %iTa uv F ¤ 71 ¤6 ¤ 5 ¤¸ © dw a g g&s de h gul h g dq ue vaf fefx fs evug fc dh Ge 2E D 8 ¤

ó û r¥rò V¤ ® R p ¤ r ¦ g p¤ w¤ 2¡²ª ¥ V g¶ r¡ r w¤ x g V¥r ¡§V Tµ V xx x2© T¨ r¨ § V¤ V¤ d¤ r® V w¤ r¥ y¡ V¤ g wt j rr¥ §V¤ q 0 R u n pY i e uiba dy0Y h v YGxuY hl afx b gba j rid h ba qp dY jat Y zs xl dh eh fg wdfe dc ft ba uc `Yh

Y ra dl uq bafh v Y b fh iY e h e t dfw tad gi 2u hX jT h e xY

4 ¤ ¡ 3 ¨¸ §¦ ¤¥ ¤¸ ¢¡


j´« ¡ r§ ¤ r§ g ¡ G dô V¤ q® §¥ ¨ ¤ t rä §§ x¶ x x¨ xª p® ¦ ¸ Ir

n

¸p® r®
%¨

%(

g

«
¢

#

r

`¸ w

©¨



T¾

§¸

t¬ V t¬j¬ x xª x C§ p® x¨ ¦¡ xª t¬ ® V¤ x g¶ T¬ x r ¸ ²¤ ¨ f V¥ f¨ ¬t¬ g® x± V x ® gª V¤ ¡ t¬ xª (¡p® ¦ r ¥b¬ §¦ V x¸gô w x j¬T¬ VV¤ ©x® g w w¤Tå ¨ V¥ V® g V¡t t¬T¬ d¤xª G p® ¦ r ræ g® w ¥ V r R« f¬j¬ V¨r Gg r¡ r V¤v¤ x¬T¬ x V¤ ¸ x ¨ v© f% f¨
¤¸
n

¦ d¤ è¸ V¤ p xª ¶ x V¤ r V Gµ {® r g ¨ q©x Tª r¥ d¤ ¨ p¤ ª ¶ ¡ V¤ ¶ r® V¤ x © r¥ © V¤ j« r® T§ w¤ xå d¥x x x¨ d T§ { f¨x± gµ g® x§ V ¨§ t´ G r® g ± ¡§x± ¨ ® p x±§ ¤µ V¤ p ® r¦ V¤ x

¥ ¤ V r x¸ § x ¨ x r«q© y« V T®rê ¨r g T f¨ ¡µ ¶ x± V¤ ® g V w T 2¥ ¤ § ¶ xµ V¤ r® V¤ V x f y© ¨ V g x g® x G x® xô § T r¡ {® R w¤ x ¨ ¥ x t T¨ §¨r b¨ 2§ g·x§ V rd¤ G x V¤Tª ¨ õ¨r® T® V f¨ q T Tµ x¥¤ t¨ §xåª xµ x¤ xª x§ g V © ² q x ¥ x ¨ T¨ x b¨ g® x§V r ® x V¤ Tª q© ²¨ r¥ ª §V¤ x® x± ® g V¤ V x x g¶ g© V V õ® §® ¶ r V¤ g x®r¡ w¤¶ ¤ V¥ j r r¦ ´ ¨ ¨ r±r %« x± x± jx® x ¡ g¶ gª V q± ¡ x® ¥ Vdåõ¡ ¤ 2§ j då 0¡ ¤r b¨T j r¡V§b¨ § x V g xª ¨¡ p® ¦ Tå b¨ ¸ x§ x® T® b¨ § V¤ x g p¡ xª x ¨ R« w® ¥ Tª ¿« f¨ ¨ ¾ µ g½ à r¥¼ p xªx± x¦ xV® `© x®t x± C¤w¤ g® d¥ x T§ g ¨ r· V T r¤ 2 V¤ r® V f V d¨ §V V¤ g V® V¤® g¶ {¸ ¦ I§ w¤ R« C¥ x e®V x© x V x¨ § x® V¤ x ® x V¤ G© r x C§ g© x¨ x± rgµ x x g© Vg x¨ ã¡ g V t G© r xµt§ åV f r± ¨ R§ T® ¿« ¤¨ f¾ â x± gª ¤ x t p¤ ´ gª T V ¨ ¢® ¶ r V¤ T x® §¨ ® V¤g· Vx ¢x¨ ¦ ¨
KR
n

{¤ b¨ r¥ ¡ V

g ¡ ¤ V¨ § « xµxµ y§ ¨x¶ x ¤ x¨ x xª gª p® ¦ § y¸ ´ x± x® xå x g® j j V x © G¤ r g q± ¡ V¥ C¦ V é b¤ ´ r ¤ V ã® ¥ j y i §µ r ± r p ¦ w¤ {¥ då ¤ j §¡ d¤ ¤ x§ g V õ© x x T¨ % x x x x ¸g¶ ©V I« ¢® å V¤ ¡ §® ¶g V¤ dô b¨ x®w¤ § ¶ d¥ ¤ ±µ Tµj¤ b¡t¨ § b´ª ¨r¦¤ x V§ q¨ V¥ ´ r¤ x± x®¨ dí g®b¨õ w g§ ¶y¥ V¤V · x®g V±T® ¨© V¤ x® ¸ ¤ T ¨ g r¡ ¤ ¤ x x x¨ xª p® ¦ ²¸ xå x g® R T§ r ¨ ¦ e w V¥ %¤ õ¸ ¶ V¤ r® x§ r x pª x¦ r g V¡ ® p¤ gª V ® b§ x¨õ¸ xª q p® t« ¥ ¦ ¨ x± è¸ f r® ¨ g ¥® ¡ x x± g § r® ¡ xµ V g d¤ f V ¨ &®V¤ t V® v¡ w¤ b¤då d¥ ¤´ x §j g y¡ 0¡ q d¤ ¥ ¨¡ ¨ V¤ x då ¤g® ¤ V j r V xrê Gv© f w¤ f¨ Tµ r¥ t¨ V¤ ª C© ¤ (¡ f¾ ´ d° x±à ¼ x® g® g® w ¡ ¥ VV x± tg r® V C T§ {© ¨ ¿º ¬ t´ t j´ C V¤ r j¤¡ r¡ v©V¤ x® y ¶ ¤d¤ j b¡¤ x§j´ V g V õ© r± g x V x 2¸ T¨ b¨ xå x§ x r g® x G Tª xô {¨ V x T xV r¥ g (ª p¡ ª ã® x x© Tå T© ¨ ¨ r® § V¤ §®x± g dô V w¤ x ¥ g© V ® ¨ i¤ q¨ I I« ´ xå x± x à r±¼ § r ¡ V¤T· x¦ p¨ I© f´V¤ ¨ C© x p® r¡ Tª¦ ¨ § ïò V¤ ¸ § ® V¤x¶ w» xG ¿« g¶T¾ V ¼ (®pê V¦ p¤ x j xª x g® T¨ j r b¨²¡ V x§ Vr x f §® b¨ r§ g V x¸xå Vx Tg® Vp¤ rªx¸ x d¤ T® ¨ y¤ r· V²¤ T ¥r¤ y 0 x· V¤ g¶ r® V V r® f V d¨ fV ¨ g ¤ r¤ V V¤ 2© p ¦ w¤ w¥ « r¥ V¤ ® V¤ r x g© V x¨ g V 5© rp¤ pª xw¤ ¸ V¥ ¨ x f g® f¨ w Cµ V¥ x x±x ¤© ¤ r p¤g ¡gª ¨V ®T r ¤ v¤ x ¨t¸ R«® V xå f x¸g V r x©T ¥ ié T & ¨ 2¥ ñ¶ x± V¥ ® x gµ gª V¡ x x® g ( ¡ iì r« ¨ V V®²ì g ¶µ V¤ x± w¤ ¢ x± g x± & V¤ rêr xx q©g© V r¥ x¨ p¤ g 2ª V ã©¥ V ¤T¸ x x« e¸V¤ r® x« x§ V¤ r T® x f¨ gª Tµ % t¨ ª%¸ V¤ d¸ ²©
I6 HF §G CF ED CB A@ §9 87 56 54 32 " © ¦¥

T® ¨ V x® §§ V¤ x¨ p¤ q T§b¡ b´ ¨ d¤ g V¤ ¸Tª y¡ » x¨ j r ¼ V V x¶ p f x uv uh h


f¨ V V¤¤ x p® g V§¡ rê V® q© q r¡ v® T V g gª ¤ r rx uq

± x jñ j V¥ g p¤ ´d V § © Vx ¥ bh w





¢¡

V¤ V¤¶ g ¨ d¤ G ¡± r v g R« g¶r¡ ¨ ® ï~ X

~



f

f

¤ {¸g xr¥

!

.

2n + 1

¨ © x¥ xå

¡® ´





¨

¥

b¨ x§x± rx® xx Tª ¨ ¤ ¡ g ¡ õ¡ j V¶ v§ r¥ q d¤ Tµ ¨ V¤ q© d¤ r¥ ¤ q® õ¥ ó x x¨ x± xª x® p® ¤ ¸ x® x g® x w r© d¤ f¨ x¨ Tµ xª t¨ p® ª ¸ Tª õ¨ w x¶« V² {® x± g® V · x f¨x® g®Tµ g® Vt¨ x¸ª ®© ä© x« ¤ p¤ Tª r¤ ð
n

n N = {1, 2, . . . }. A Rn R, Rn b R.



!a `Y AS AX $W S VU CS "T AS AR EQ P 10

x® %¸ ¸ ¨ ï§
x ¯

f

w ¯



A(x) = w · x + b ¯¯ M

)

'&

¨

®

$

n

® © ¨ª ¨ ®§

g¶ V r¥ x V¤ ¨x ¥ xp¤ ¸ ¦ ¥ V ¤¦ xV¦ y V¤t j x T ï± ¨ rî dæ




© © dô V¤ q® (¥ g¶ V x x¨ xª p® r¦ g 2¸ ¡ C¦ ¶ p¤é gª ¡ V x¸ r g V¡ x g x Tª ¨ T ¨
[M]
p,

x x x ¤ r§ g ¡ G dô V¤ q® ¥ r w¤ V¥ å ¡x g g w b¨ d¥ § xµ ±C Tµ r ¨ V¤ r® b¨¤ r§ g p¤ ¡ gª G ¤ x õ¸ Tå t¨
M, (x1 , . . . , xn ) M ; (x1 , . . . , xn ) M . L
p, x k

x x V ® Tª ¨

a

AS AX $W S VU CS "T AS AR EQ P

t¬T¬ V¤xª R« ¶ C¬ ¸

q®p® ¦2¥ y¸ å ¡ ¤ g r§ V¤ V® t w¤ d¥ ¨ rê G R
"

g b¨ ¡ § G ± dô Tµ x g ¡ å w¤x xr¥ V¤T¨ ¨r©

V¤ ¨ q® ® ¡ g ¡x® «w

&¥ r V¤ ¤ b¨ r¥ § p¤ ± Tµ ¨ g¶(ª V ¶
(Rn )

p¤ ® x V¤ x¨ x®

gª V p ® xª x r g w ¥ § b¨ r§ g ¡ G xå x x¨ ¨ xª g¶ p® V ¦ x® ã¸V v ´ § q± ¨¥ x ¨g® w y t¥ dô ¦ V¤ x T V¤ ¨ R©
M Lp, (Rn ) M



r dôg V¤¡ C¦q® xª r® p® g ¦ R«x¶ xx¶ T®x b¨ x¨

¥ é ¥ òb¨ § ¨§± xª§ d¤ p® Tµ ¦
a
n

Vx¶ x x x¨ T® © t ¦ ¨ ¸ r ¤¤

t¨xª p®ª V ® r§V g x

x¶ x ¨x¨ xªV¥ p® ¦V¤ {® 㸠Tå dí b¨ g§ y · ± â dæ
¦&

¥ f ï¦ wð ¨ T x xå g® x V x¨ x xª x¨ p® ¦ %¸ ¸ d¸ Tåä ¨p¤ ª V¥ x ¶ g x±w x® d¥ ¸xµ ¤ § V¤ x q V¥ r V¤ g x x © x x © ¦ §¨ g r pê% V¦ ¤¸ j V¤ j ¢© r¡ ´¨ x® q± g¸ V¥ V x ® g p¤ w §ª d¥ ¤xµ x x¸ ¤I« r§ t´ g x ¡ Tª G ¨ dô V¤ q® ¥ ¡ § r g ¡ b jy ug h §x t f e Y u h y o q n m h

(x) = exp - ¯
1 2 n

x

2 i



¯ (G) = f : R R f (x) =

®¡ C¦ é ¦¥
a
n

r T ¨ ¸ ¨ ® µ r¤ r ¤
f (·)
p,n

Lp, (Rr ) f (x1 , . . . , xn ), 1/p p,n |f (x)(x)|p dx1 . . . dxn , ¯¯ = Rn esssup|f (x)(x)|, ¯¯



C¦ é ¢¡ u &h rk b d c Y
a

AS AX $W S VU CS "T AS AR EQ P

´ ï¨x± x® t« g® ¨ w x ¥q V V¥ g V ©
(

p,

=

p n/2p 2

xR ¯

G



AS AX $W S VU CS "T AS AR EQ P

n

(x)

= f L

p,

(Rn )

M R

R

(x) : R [0, 1] lim (x) = 0, lim (x) = 1.

x-

{fk }

j =1

n



M (x1 , . . . , xn ) =

1, 0,

a

AS AX $W S VU CS "T AS AR EQ P



q

j G(Aj (x)) , ¯

k =1

x Rn , j R, Aj An , q N ¯

i=1

lim f - f G

nN

p = ,

1

k p,

p < ;

=0 .

AS AX $W S VU CS "T AS AR EQ P

x ¨ô ¡ ¸


q±¦ r¸ ¥ I¨ ¤ r§ Rg V ¡ v© G ´ dô V¤x± x®q® x®

x¶¡ G j ¥

n


SD #9 Q$ rR W & 5D '& C$ BA @9 & 21 '$ #0 )( & 'p %$ #" i & 6 & I 5H 3 G hE 76 54 3 5D '& C$ BA @9 & 4 g 76 54 3 Y0 6%f " e I #"5H 3 @e G 3 qE 76 54 3 © q !a 76 ¦Y 54 3 ¨§ d¥ ¦¥ S c
¨
f (·) 1 ( ) 1 ( )
,

f¬ g¨ w¤ r¥ V¤ g© ¡ § V G pê V¦ j j ²¡ å ¡ & pê ¦ V r V¤ © q± ¥ V ¤ 2 b¨ r§ g ¡ V j T f¨q± Tµ w¥ t¨ ¥ ª ¤ C ¤ Vå x± % r® V j « r¥ d¤ Tµ ¨ r ¤ x« V¤ V¥ V® x t Tª r ¨ g§ V e¸ I xå x x¨ xª p® ¦ ¸ Tå ¨ x® g® V x¸ x T® x ¨ x ¸ ¨ ¤ ® µ ¨ x¦ rª V T p¤ gª r¡ V¤ ©

f1 (x) =
x±

¸

¢



j¬T¬ VV¤ ¸&© ¤ C¡ r x xµ V T V x x {© å ¡ r T x¶ j¬ V¤ r ® % ¸ r§ g ¡ G dô V¤ q® ¥pê G¦ ¨ ® y¨ gô x¶ VV¤ ®r® V j T f¨ tµ då r 0¤ V ®
.
n

¨ x x¨ x f x x¨
L

V¥ x p¸ V¦ T V¤ © x± © xå V¤ x õ© x¨ xªV p®j ¡¦ b w¸ x« xª p® ¦ ÿ¸ g± ¡ ¡ ¨ & p» ¨ x® x x p© y« xê R x§x x¨ x xª g® p® w xª p® ¦ ø¸ xå g±x ¡ x¨ ¡ xª ¨ p® & ¦

V¤ r® V j x ¶j V¤ %ör® § w x± ¥ d¥¦ xµ ¢¸ b x«V¥ d¤x r» w¸ j x« &ö V¤ r® w V
¢

r r§ g x V¡ gV V x ¤ g© p¸ ¤ V¦ & T ¥ j V x ¤ r

V0 $ 3 5$ ¦1 D U 0

QP 6 & I 5H 3 G FE 76 54 3 5D '& C$ BA @9 & F 76 54 3 21 '$ #0 )( '& %$ #" ! V0 $ 3 5$ ¦1 D U 0 QP 6 & I 5H 3 G FE 76 54 3 5D '& C$ BA @9 & 8 76 54 3 21 '$ #0 )( '& %$ #" !
C (Rn )
x ¯ p,

©
a

4 © a ¡ ¨§ P C& A 4 #0 5$ 1 C& 4 SD #9 Q$ R !a ¦Y ¨§

AS AX $W S VU CS "T AS AR EQ P

j¬ V x g© V ã® j´ ¡ § ¤ r§ g ¡ G dô V¤ q® ¥ ¤ x V¸ I« t´ x r Tª T ¨ ¨ x ¸ I« ¨ ´ ® x±µ r¤x® rg® è¤w ¥ ¥V g Vf 囹 ð x¶ ¡ x x¨ xª p® ¦ õ¸ ´ x± r® § x± uv uh h rx uq bh w ï~ X ~ ræ dæ
¢¡
n lim |f (x)(x)| = 0. ¯¯

p < .

n ( )

(x)

[n ( )]

=L

p,

(Rn ).

(Rn )

W

f1 (x) f1 (·) , 1, n ( )] n [ , = L, (R )

¦¥

¤` S 5¥ S& 9 Q$ R AS !R ¤¸ ¦A S& 9 "

¦¥ AS !R ¤¸ S ¢

.

lim (f (x) - f1 (x))(x) = 1 - lim f1 (x)(x) = 1,

k =1

§ g¶ G gô i x T f V v v® ª å C¡ ¡ wV¤ y© r¥ V¤ V C f x¦ t» r§ g V¡ g¶ G
K

ck (ak x + bk ),

n ( )

(x)

L

,

C (Rn ) [n ( )]

(R ).

n

[n ( )] [ ( )], f [n ( )],

x±

,

f (x) =

L

,

p,

[n ( )]

(Rn ) C (Rn ).

.

-1

p,

(x) = e

,

.

,

[n ( )]

C (Rn )

, x2 /2 ,

L





,

f (·) - (Rn ) , p= 1

"



r ª Y AS AX %W a§ Y§ X P C& A 4 #0 5$ 1 C& ¦A " T
SD #9
S

& ¨ Têx® ¨ x fx ¨ t© pê G¦ tê a§ tÿ® I ¨ T x± r®& g § Têw
AS AX %W

rê G r© x« § V¤ ¤ V® ¡ Vå ¤` t§ Cå5¥ x±¨ õ¥ gf V ¨¶ x ¤r©
S

w¤ ¥ t Vr §® Y§ X V ® g©§§ V d¤¤ ¡®
¢

T


4 SD #9 Q$ rR W 6 & I 5H 3 G qE 76 54 3 5D '& C$ BA @9 & q 76 54 3 21 '$ #0 )( '& %$ #"
¤

V¤ r® V j T b¨ § xå ¤ x j x¨ xªj 9¡p® ¨ ¤ ¦ ¢¸ g d¤r¦ r§ r¤ g C¡ y Vê ¤ g¦ ¡Vå Vå x x y b¨ r§ g V¡ g® T§ ¨ d¤g V r¤ õ® C T¬ ¤ f ¨ ® Tå b¨ x§ x ¹ r® T§ ¨ b¨ r§ g V¡ g® T§ ¨ g V õ® & Tê t¨ gª

¥

x å Vê ¡

¨¸ & tê r± §

I« Tå t¨ Tª båVå gx V¥ x § V¦x ¨ V¤ C V¤ i© áx® j« x¸ r± §§ Cµ á

r j0 Q
j

¨ R« p¸V¤ ¨

Tª T§© r¤



¬ r± § Vå x õ ¨ i¤ t¬ xª p® ¦ 2¸ Tå ¨ x® V¥ x® x r %¸ w¤ ¸ ¥¨ ¡ ¡ q¨ ó
(A
rj ,r
j +1

V¥ x p¸ V¦ T V¤ © V¤ {© rå x¦ x q w¥ t¥ g¦ õ¡ ¨ §® b¨ r§ g V¡ g® T§ ¨ g V õ® Tå y¨ dô V¤ q® x x © ° x x © ö x x © b¨ r§ g V¡ g® T§ ¨ g V ÿ® x± g® V V® T r g ¡ C¦ é ª d¤ gµ V r ¤ Tå §¨ Tê y¨ Tô ¨ r ¤ ¤ r g I« ¡ xå
¨

§ x x © x x © x x ©

¸

¤

R g r« j¬ xå ry r dæ

¨ õ® j´ x r¦ x r§ ¦x¨ g xª ¡ p®y ¦ ¸ g¦ ¨¡ x p¤ g® Tª V ¨ x¸ x T® ¨
¤ ¥



Tå ¨ ¡ x® r§ g® ¶ V¤ ¤ V® ¤ gµ ¥

x j x t w¤ r w ¥

© j V x © ¤ d¥ ¨ x ¨® g (¡ g xå b¨ x µ ¤ r V¤ b jy ug h §x

§ g® ± r® V t

tj (¦ T ¤ f e

j VV r § T xµ Y u

ø®x © ¨ x V¤ h y

x« V® r ¤ ¨ 0 § g t¨ g x x x§®x x¸ dô

V¤ xµ g¸ © {¡

t r® ¤ V¥V¤ o q

g§ x± r n

V t g© r« p¤ Tª ¥ ¡ x¶

e¸ gªV x w¤ w¤ r ¥ m h

¨ x g© ¡ g¶ Tå V ¨ õ® r® § {ª V¥ x± x Tå g ¸ r±V d¤ p¤ x¦ Tª rª¨ V T V p¤ x gª ¡ y @¸ pô ¤ g¦ ¥ ¡ ¢© ¡ ¨§ ¨ 2 r ¦¥ g b¨ T§ §® x¨ q¨ g® ó u &h rk
a VU S

¨ ® µ r¤ ¨ V r® x T g© ¨ V T® r¡ b¨ ¤ § é ¤ r§ r¡ ¤¸ V¤ G® ¤
1 Q

b d c Y

<

1

2

r
rj =

M > 0, M (x) R, -1 (y ) = max{x : (x) = y }, -1 (y ) = y ,

Q

-1

1 2Q , -1 j , Q -1 1 - 1 2Q

-s Ar,s (x) = -M + 2M x-s r [r, s] [-M , M ].





¤§ § ¢¡ ¸

Q-1

j =0

1 Q

0 < (A 0 < (A

1-

(A

2Q

rj ,r

j +1

< (A

rj ,r

rj ,r

(x)).

j +1

j +1

rj ,r

(x)) < 1, (x)) < 2 , Q

2Q

j +1

(x)) < 1,

1 Q

x (rj0 , r

> 0, < 1. QN (-M ) < 2 (M ) > 1 - 2 . Q Q

,

j = j0 ; j>j

j0 + 1 + (Q - j0 ) 2 . Q 2Q



1 ( ),

(x) - H (x)

j0 +1 < (x) Q. |(x) - H (x)| < x (rj0 , rj0 +1 ]. x (-, r0 ] x (rQ , +). > 0, H (x) sup |(x) - H (x)| < ,

p,

1-

<

(x)

xR

cos(x) 1 ( ) < H (x) <
j0 Q

j0 +1

j < j0 ;

j = Q.

j = 1, 2, . . . , Q - 1

j = 0,

0

p,

].

.

© a ¡ ¨§ d¥ ¦¥ S c

j,

C¥ ë

¢ ¢

(-1, 1) 0 < y < 1.

H (x) =

)

V¤ © C¦ x é¨
¸

"

r®& r ¤ g ¡ rx ¤¸



x¦ rª V T p¤ gª r¡ ¤ é

xê x x¨ xª p® ¦ ø¸ V¥ x r w¤ ¥ ¡ ¡ q¨ ó
¨
[0, 1].

¤ x V¸ I« Tå t¨ Tª ¨ g r¦ r§ g ¡ y g¦ %¡ r w w¥ ¥ G V¤ © T« x x ¸ ¨ ® µ w¨ I« xå ªx x¨ d¤ xªgµ Vp® r¦ ¢¸ û¤ Tå ¨ y V® t Tê w¤ y¨ d¥ Tô x ¨ g ¡ r ¤ ¤¤ r« V x T® b¨ § d¤ Tµ ¨ ¨ r i¤ ¤ V x ¯© r V¤ x® § x® %¸ ¸ ¨

-

V¥ x r w¤ ¥ ¡ R x x x¨ xª p® ¦ y¸ V G r t r 0§ x¦ rª V T p¤ gª r¡ V¤ ©
¢

¡ q¨ g ¡ Tê § ¨ ¨ 2®


ó x¦b¨ p©§ ± t¨ t V¥ r T§ ¨ g x x T¨
-

ª g¦ gµ V V G® ¡ j ¨ x T

r V x b¨ 2§

r 0¤ x± r®f´ §© ¨ ¶ V¤

g C¦ §¨ ® g ª x g© §§ ® « r¥ d¤ Tµ p¤ (ª

¡ x¨ x± ¤ x® g¸

é p¤ V V ®

V t´® V¥ ¨ r `¤ 0 ¨ r®


V f V¥ § x±

¨ f f¨ vµ x Tª ¨ g V x
¨

°

¤ x ¸ « ¥ G r g r¡ V¤ x® g® j j g© V ® xå x x¨ ö xµ V x«
f (x)

¢

xª p® ¦ ò V¤ V® t r g§ V e¸

xê x x¨ xª p® ¦ ø¸ V¥ x r w¤ ¥ ¡ ¡ q¨ ó
1 ( ),
[2 r,)

ö

¤ x V¸ r« r p¤ Tª ¨

¥ V g r r± õ§

6 & I 5H 3 G E ¤e 0 e ¸¢

>0 cos(·) - cos (·) p, < .

uv uh h rx uq bh w ï~ X ~
¢¡

>0

<. 4

¢

¥

x¦ x g p¡ xª ¸ I¨ a @¸ ¤ ¥ ¢© ¨§ VU S ¦¥ ¤§ ¤¸ § ¢¡ ¸ $ S$ #9 $ ¡ U 1 6 1 D P C& ¦ A¥¤ 4 QP #0 76 5$ 4 1 #H 4 C& ¦A S& 9 " T


- f + (x)

Tô t¨ ª G¤ V x ¨ © r¤ ¤ Vå t % «
1


f + (2 r )]

V f = V f = 8 r.

-2 r - f - (x),

2 r

f + (-2 r ) = f (-2 r ) = 0; f (2 r ) = 1 + 8 r ; f (2 r ) = 8 r. f + 1 ( ) p, . 1 = 32 r .

f (x) =

f

A(t) =

+

A(f + (x)) + 1 ( ),



¤

f + (x) = A

+ f (x) = A

-1

+ f (x) 1 ( ). -1

A(f + (x) = f + (-2 r ) + f + (2 r ) - f + (-2 r ) A f + (x) , + (x) = f + (-2 r ) + f + (2 r ) - f + (-2 r ) + (x). A(f + (·)) - + (·) (·) f cos(·) - f (·)
- +

x« V¤ V® t r g§ V e¸

¸

cos x, 1,

p,

t - f + (-2 r ) f + (2 r ) - f + (-2 r )

=

x [-2 r, 2 r ]; . x [-2 r, 2 r ]

(-,2 r ]

p,

p,

<

(·)

< 1 . . 2



p,

rN

R,

[f + (-2 r ), cos (x) f (x) =

¸

r d


V

â



î r« f¬ r ¨ p¤ Tª r ¨ ¤ V x ¨© q ¥ x± x® ¥ x® V g %¸r ¸ ï± t¬ x x¸ x T® ¨ ¤ º
¢

¤¨ t R ¶ x± x® rx¦ xª rT g ¨V¤V

x¸ x x r®x© xV

x® V j g¸¢T ¡ ¤ ¶§ V¤

R r V¡ x x ¥ ¡ xê x x¨ xª p® ¦ ¸ V¥ x r w¤ ¥ ¡ ¡ ¨ { T® b¨ ¤ § x ¨¤ Tå b¨ x± ¤ r® V¤§ xµ §® V¤ dô T r¤ x § xµ x w¤ ñ© ¢¥ ¥ Tµ ¨ x¶ V x g V¤ g® r
1

r ¤ ¤¤ x ²©y ï± pô x¦

V¤ §® dô w¤ ¥ g¦ rª ¡ V ¡ @¸ T ¨ ¤p¤ ² ¥gª r¡¢© r V¤ ¨§
a

q x¥ xå x g © r¡ V¤ G®¦¥ ¤§ ¤¸ r
VU S "

4 SD #9 Q$ R
¢

t zö q± w¥ ¥ V x g® y bô g r§ p 0¦ g t¨ gª r± y§ (þ § x½ t« v° r§ g V¡ g® T§ ¨ g V ® Cµ á V x T® b¨ § ¤ r§ g ¡ y g¦ 2¡ å ¡ g b¨ § ± Tµ t¨ ª ¤ y V¤ x® x¸ ¤ f ¨ ® ¹
¤
+ f + (·) - f (·) p, + + f + (·) - f (·) p,

© a ¥ ¨§ d¥ ¦¥ S c

þ

¤ x V¸ R« ¶ p¤ Tª ¨

¤

t d

(f (2 r ) - f + (-2 r )) A(f + (·) - + (·)

< < 8 r =. 32 r 4

p,

½

b jy ug h §x t f e Y u h y o q n m h u &h rk b d c Y

1, 2, . . . , n,

[a1 ,b1 ]â[a2 ,b2 ]â···â[an ,bn ]



[-1,1]



0, (x) = 1, 1-|x|

[-1,1]

V¥ x ¸ ¨ ® µ r¤ r (¤
-


=

3n

f (x1 , . . . , xn ) =
p,1

,

p < ; n N; ai , bi R, i = 1, 2, . . . , n.

Rn \[- r, r ]

[-1,1] p,

|x| 1; |x| 1 - ; , 1 - < |x| < 1.

n

(·) [n (cos(·))]

(·)

i=1 n p,



< 2

[-1,1]

<. 4

<

f

-

0 < < 1. ai = -1, bi = 1,

6

(xi ). 1 ( ),
p,1

.
p,

¥ V g r ï± x« V¤ V® t r g§ V e¸
¸

.

r N,

d¤ µ¸ §

i=

§ ¢¡ ¸



¤


d

(



x¶ x x¶ gª x¡ Vx¨ x¸xª xp® ¦r g õ¸ w r¥Vå V¤ x ® § d¤ xd¨ ¡x ¡ r ¨ ` r G ¶ p¤ x· Tª g ¨ V ø g¶ w ¥ V r p¤ ¤Tª ¨ r ¨ V¤ g © t«r¦ r§¨ g r® ¡ § y x± g g¦ V r¡ x g© f¾V ° ® ¼ ´ x¦ x± rª x® Vr¥ g® V¤Tw p¤ x® ¥ gª VV r¡ Tg ¤ VV¤ é©© æ g t¨ gª r± G§ Gâ xµ § ¨ i¤
¨
f


¤



<. 3

¢

x x x¨ xª p® ¦ (¸ xª ¸ ¨ I x r i r V¡ w ó

uv uh h rx uq bh w ï~ X ~
¢¡

PN (x1 , . . . , xn ) =

k1 =1 k2 =1

N

N



...

[-1,1]

kn =1

|f (x - PN (x)| < . ¯ ¯ 3

¢

x[- r, r ] ¯

t¬ g® f¬ ¨ t¬ g xª

w t¥ r ¤ p®b¨ x§¦ x

¦ x T ¨ V x r© 㸠x¸ x x¦ T®

¥ p¤ rª ¨ V

¡ ª g T p¤ ¤

0§ V¤ © V¦ f q¦ V¥ r ¤ x I¸ V« r x r g w ¥ f¨ õµ gª r¡ V V¤ ¨® q© « ¤ ¥ ¨ x V g® G w t¥ y¨¦ x bô T
k2 x r
n 2



%¤ g r¡ ¸ V¤ Tµ V¤ §® dô g û¨ ¥ ¤
1

x® ¨ x¸ V V¤ x§x xg V g® w© ¤ j ¡ iº R V x¶x ¡ ¡ %« ¨§ x± V¤ g® `© t ¶ ¸ V¤
sup cos n
n

Cµ¤ x g® V¥ jx x § p© xµ « r®x& g g® pê V r¦ ø¸y r§ g pô å ¡ g¦¡

V¸ T« g q¦ áw¥ t¥ g¦ ¡ V¤ ¡ x ¨ õ© p g g¦ x ¡ Vå



cos( - )).

V¦ j j ¢¡ §¡ y§ r T b¨ rx¦ rª g V r¡ T V¤ p¤ G® gª {¤ t§ åw w¥ t¥ g¦ 5¡xå
f


xR\[- r, r ] ¯

2 r -

sup

n

|PN (x)| = ¯

k1 x r

N

n

-f

cos

c

k1 ...k

p,

N

x[- r, r ] ¯

· . . . · cos knrxn cos cos = 1 (cos( + ) + 2 PN (x1 , . . . , xn )

cos

sup



k1 x1 k2 x2 kn xn cos ·. . .·cos , r r r

< 2. 3 sin
[-1,1]
n

¢

V¥ x p¸ V¦ T V¤ x© t« ( Tå b¨ § r± x x p¸ V¦ « r¥ d¤ Tµ ¨ r ¢¤ V¥ x Tª ¨
¨

x[- r, r ] ¯

sup

n

|PN (x)| < 1 + ¯

|PN (x)|. ¯
ki x r

r¡ ©µ
"

(x)

i

PN (·) n (cos(·)),

¥ ¨ § V¤ d¤ xr ¤ ¤ x ¸ ¨

n

rö d


H
p,

¥ w V¥ G d° G dö R r« r r xµ x« V¤ r® V j T b¨ § ¤ j
¥
µ(·)

¤

õ i¤ Tå t¨ gª ¡ V x¸ x r g w w¥ V¥ g ¡
¨



¤ x V¸ I« Tå t¨ Tª ¨ t« g¨ g g r t¨ % gª ¸ ¨ r± g § w ¥ ø° 2 5ö w¥ ¥


¤

V¸ r« r p¤ Tª ¨ V¤ {© w¤ V¥ x g w d¥ xµ ¤ x V¸ r« r p¤ Tª ¨
p,
n

x¦ rª V T p¤ gª r¡ ¤ é
N

d° Cµ Vá V r§ g ¡ G g dô V¤r¦ r§q® g 0¥ ¡ y r g r¡ g¦ V¤ ¡ ® Tµ ¨ ¨ dö ¤ x g r¦ r§ g ¡ y g¦ {¡ ¤ I « ¦ g r % ¸ r


¥ V g r ï± @¸
a
(x)

¤ ¥ ¢© ¨§ VU S ¦¥ ¤¸

¤§ § ¢¡ ¸

BR

4 SD #9 Q$ rR W '$ 0 e ¸¢ $ 3 A 9 #e e ¡ 5$ e C$ ¦A %& " e A )( & QP 6 & I 5H 3 G E 76 54 3 5D '& C$ BA @9 & 76 54 3 21 '$ #0 )( '& %$ #" © a § ¨§ d¥ ¦¥ S c

V r T f¨ Tµ t¨ ª ¤ r g r¡ ¤ f b¨ § r¤ V r õ y ¤ x ¸
+
x[- r, r ] ¯

¥ w V¥ t t« (æ Tå b¨ § r± x x &¸ ë
f (·) - PN (·)
p,

r° d

V¥ x p¸ V¦ T V¤ y© d ¤ G t« vî r§ g V¡ g® T§ ¨ g V ® Cµ á b jy ug h §x t f e Y u h y o q n m h u &h rk b d c Y
H

B =

i=1

n

[a1 , b1 ] â [a2 , b2 ] â · · · â [an , bn ], ii ii i i

B

M

= B [-M , M ]

sup

x[- r, r ] ¯

n



|PN (x)| · ¯



[-1,1]

sup

Rn \[-M ,M ]

B (·) [n ( )]

n

M >0

(·) - PN (·)

n

n

|f (x) - PN (x)| · ¯ ¯

Rn \[- r, r ]

(·)

p,

p,

, 4

¢

[ ( )]

n

p,

,



B



(·) [n ( )]

µB

M

B



<

p,

<. 4

¢

B (·) - f (·)

p,

B (·) -
B


(·) - f (·)

+
B
M

B

(·)



(·) - B (·) p, + (·) - f (·) p, < + + = , 244
p,

+ . .
n

<. 2

< ,

(·)

B

M

p,

[- r, r ]

<

2 +2 = . 3 6 3

n

(·)

p,

f (·) +


V r T f¨ Tµ t¨ ª ¤ r g r¡ ¤ f b¨ § r¤ V r õ y ¤ x ¸ ¥ w V¥ t t« dî G dþ R V« g½ r§ g V¡ g® T§ ¨ g V ® Cµ á g r¦ r§ g ¡ y g¦ V¡ V« ½ w w¥ ¥ § V¤ g® ¡ ¨ ï¤
¤ ¥
k =1 N

dî ¤ x V¸ I« Tå t¨ Tª ¨ dþ T¬ V¤ q® (¥ ¦ g r % ¸ V¤ G© q± V¥ x g w d¥ xµ g r¦ r§ g ¡ y g¦ ¡ x« V¤ r® V j T b¨ § ¤ j
¢ ¤
npM 2
2

¥

¤ x x¸ r« V x Tª ¨ V t« b¨ r§ g ¡ G ô « r¥ d¤ Tµ ¨ r ¤ V¥ x Tª ¨
ck
B

x« V¤ V® t r g§ V e¸
¸

x x © x x ©

v ¦ g r % ¸ V¤ G© ¨ ¥
fM (¯x)) = (

t¬ x g w d¥ xµ g½
¤

¨

VU S

uv uh h rx uq bh w ï~ X ~
¢¡

j V q±r ¤ T x ¥ f¨ VV¸ Tµ r« t¨ ¤ r ª i p¤ ¤ Tª r ¨ g @¸ r¡ ¤ ¤ ¥ f ¢© b¨ ¨§ § r¤ V ¦¥ ¥ r ¤§ V õ ¤¸ g § ry ¢¡ ¤ ¸ ï± x ¸ T½ d

M > 0,

g (·) =

[-M ,M ]

n

|f (x)|p dx1 . . . dx ¯

exp

(·),

f (x), ¯ 0,

f (·) Lp [-M , M ]n .

npM 2

Bk [-M , M ]

2

f (·) - fM (·)

n

[-M ,M ]

x [-M , M ]n ¯ . x [-M , M ]n ¯

n

|f (x)(x)|p dx1 . . . dx ¯¯

n



k

p,

exp

<, 3

<. 3

¢

f (·)-g (·)

p,

fM (·) - g (·)

f (·)-fM (·)
p,

g (·) - g (·)

g (·) n ( ),

p,



p,n

+ fM (·)-g (·) fM (·) - g (·)
p,

<. 3

p, p

+ g (·)-g (·) p, < < + + = , 333 f (·)
n

¨

fM (·)

p,

< .




p 'p %$4 4 QP 76

@0 & #" #H 4 %& " SD #9 Q$ R ¤e H 54 53 3 )e ¤ & #3
p

Wf 5& & I 5H 3 53 @e e FA 5& 0 1 © W 4 " #9 $ 2P e

3 W 5& C& 1 # 4 e 6 & I 5H 5 #3 4

h S$ #9 %$ A 5$ 1 #0 %$6 #" C& g ¦A 3 G E 76 5 3 $ H
§G F

"$ 0 & H %$ U #" 4 ¡¢ #U 4 76 54 3 0

6 1 D 4 5 7e $ $ 53 ¸¢ 3 C$ %$ A " @e & 4 3 5& 1 e # 4 " 7( '$ h0 $ 53 3 $ 4 " @e 3
6
(x), p < ,

6 5$ 1 S$ #9 '$ 0 " e 0 3 4 $ 3 C$ A & 76 54 3 Y0 © a ¥
4

6 U %f ¨§ ¦¥
10

1 D " &5 I#3 5H4 3 & " e #"
AS !R

5& & I G E @e 3 ¤¸ S ¢

5G

q

2 ED B

¯ © è ¨§ ¦¥ y ï y G q ¸¤ ¸¡ ¢¡ % V r T f¨ Tµ t¨ ª ¤ r g r¡ ¤ f b¨ § r¤ V r õ y ¤ x ¸
H7 4 F
n ( ), PN (·) - (·) f (·) - (·)
, ,

¤

¥ w V¥ G d G dæ R p« fâ r§ g V¡ g® T§ ¨ g V ® Cµ á d V x T® b¨ § ¤ r§ g ¡ y g¦ 0¡ g t¨ gª r± § ° q± w¥ ¥ y b¨ r§ g ¡ V j T f¨ Tµ t¨ ª ¤ ¤ x v V¸ R« ¶ ö p¤ Tª q±¨ w¥ ¥ & Cµ á dæ ¤ x V¸ R« ¶ p¤ Tª ¨
PN (x1 , . . . , xn ) =
k1 =1 k2 =1 x[-M ,M ] ¯ N

¤

g r¦ r§ g ¡ y g¦ r¡ ´ x± x® g® w ¥ V g V © x¶ x x¨ xª p® ¦ y¸ Vå x & r¥ V¤ x® V T x¨¡¡d¨ r x x x fâ rþ d
<, 3

V¤ © x¶ x gª ¡ V x¸ x r g w r¥ V¤ ® d¤ x x r ©G x· g V g¶ w ¥ V ¤ & ¤ é ©
¨ VU S
fM (x) = ¯ M >0 f (x), ¯ 0,

V

j èö q± ¥ V ¤ ¤ x i V¸ r« r @¸p¤ ¤Tª ¨¥ ¢© ¨§ ¦¥ ¤§ ¤¸ § ¥ ¢¡ V ¸ g r ï± b jy ug h §x t f e Y u h y o q n m h u &h rk b d c Y
¢

f (·) - fM (·)

N

x [-M , M ]n ; ¯ x [-M , M ]n . ¯

...

kn =1

N

c

k1 ...k

,

n

. . . · cos

cos

n

k 1 x1 +b M

. 3

¢
,

sup

n

|fM (x - PN (x)| < ¯ ¯

<. 3

¢



f (·) Lp, (Rn ), f : Rn R Lp, (Rn )

(x)

f C (Rn ), < ,

k n xn +b M

1 p = .
1 k1 ...k
n

n k1 ...k

· ...

n






x x r® Tª r 0¦ q± x¥

©a AS AX %W

t¬ (°r q V« r d¤

x ¨ V¥ g V¤ x®

p¡ ª Tå T® f¨ Tµ

§ x x® t¨ pª

g x Vå ¿« T© T¾ y¨ d° V¤ x ¦ xê

T® ¤gT® xê i® x x¨

x µ fV¥ x¨x« g® xª p®

f (x) = ¯

f¾ dæ à 2¼ ¨ x T¶ ¨ p dí ¨ x ¨ Tµ ¨ r± T w ¥g V ¤V¤ x© à ¨ ¤¼ ²¡ ¨ ® g¶ V x
n=1 N

f xå x¨ xª p® ¦ ¸ x T© ¨ x® V¤ ¨§¨ V¤ f¨ r g ¡ x© x xªV¤ tr è¸ Cg§ e¸ dí t
¸

t¨ { ©yµ x p®¡V® V¦t ¦ ¸

x r« x¦pº V pê pê ¦

x x« t x¦ ¨ x® ¨ C Vê

r r¥ V¤ x§ j r T® t¨ pª t q

x x x xª ¦ V gª V R ¦ V¤ pª xå V 0¤ V ±ö x V y Tª p® ¶ §¸ G r ¤ 2 r®x r r x
a

T¨ r®ã§ b¨ V f¨j´ C Tµ r § øö

§¨t§ r§§å g xå g ¥ V xå x v ¥

õ§ x x x¨ V¡ x g¶ x¨ G xª p p® ¦ xµ¤ V õ f d¨ x¨ xª p® ¦ ²¸ ¨ ¥ V
¥

x x x G¸ x§ x¸ r ¤ V¡ xµ ¤ é

© © © x x x i¸d V T

¡ x¦z¤ R« ¨ V x
@¸

¤ ¥ ¢© ¨§ VU S ¦¥ ¤¸

x¸ g x ¨ x ¨©

R r g ¡ ¶ V¤ x® ® V¤ x g¶ V y® ¨ ¥ b ´ t ö r V¡ w ó

uv uh h rx uq bh w ï~ X ~
¢¡

. . . + nr xr ),

x r w ® d¤ r r V¡x¨ ®xª ª ¦ g ¨x x¦t§ õ® Tå ¨ g® G ¨¤` d¤ Y§ xµ
S

g p¤ p® x® V¤ §®

r¥ V¤ åy¸ ¡ Tå Tôa§ dô w¤ ¤¥

(x) =



0,

1,

1+sin x 2

,

f (x) ¯

x - 2 -
f -f

p,

2

< .

(x)

n (n1 x1 +

f (x). ¯

.

¤§ § ¢¡ ¸

x x Vå ¥ r 5¥ ¨ t

å X r §



rî d


H¥ H¥ ¥

xµ g©

t rî rþ t x®V g®g wV § ¤©¥ V º
¸ ¸

t´¤ t´ x®j

¥

¨

¥

g©¹ ´V i ´ ´ x±

¨

H¥ H¥ ¥

g©x V g©

§¥

!¥

%¨

H¥ H¥ 8¥ 5¥

"¸

¥



p â rþ d i V¤ V xåx© ® xg Vg® Gp© x g¦ dô x ¡ ¤ g® j ¡ t T§ r¨ §g d¤ ¡ j §V¤ V x® x g® ©´ w x± ¥ º { ´ g® w ¥ V{® ® µ V j © ´ x± uí t g® g T® x ¨ y T rþ ¦ x¨ g® T§¦ t %® d¤
!¨

¡

¸

H¥ H¥ 8¥

ïó x¶´ x x± x¨ r® xª § p® x¶t x¶ ö xx & x¨x¨ xªxª p®p® t t¬R ¸xª ¤ p® ¡ ¦ R ¸ ¡ g®´ x±w xª V p® g ´ t¬ x g® x± x® x w x¨ ¥

x± ¦ g V¸ º x ¦¦ ræ d ¸{¸ ´ r ï¤ x± r® ¥x® g®V w g ¦ V 0©¯¸ b´

§t V¥ V %© ¶ r¦ V¤ V§

®x± t r® ª § G¤ x¶ x±x õ gx¨ V r®x± §r® ïó § x± x±g V g Vx x±dö t g d V ï x Rg© V x G® g® t´g V x ¤© rª V¨ Tj p¤V¡ p r® & § x± g T V r¤ x C

xV g© x r gªx ¡ ¤¸ V â rþ d g© VV ®ñ®

q¹ i x¥ V G ²¡ xô tî uí x¶g y x x¶I ¶ V x r¤ 7½
!¨

t ª G¤ x xå x x g® x¨ T½ d V¶ V¤ T x® V V t½ & x¨r· x xª g® p® w x¨ C xª Vê p® è ¦V

T§ V¤ ¨ x© g g ¡ r R & x õ© § ¥ V¤ t V° R © y¸ø¥ x¶ x x x ¸g½ x r xÿ q± g® w¥ r¥

p© x±V g¦ x®x {¡ ö x·g® tp¸ ï± V xª p® i¤ t¥ T§ g¦ ¨ ¡

{ V¦¸ d¤ t t ræ ¨ ¸ g ïó g ¡ t

x®V g g® V §w 2© ¥ º rö rþ d i ¨V¤ q® ® z¥ d i r V jx xV x¨x ¨© º j Vr G§x © {§ ´

VV® & § x ¸ v© § § g ¡ x ág VC t ª ág® C w
¸ F B

V x¶ g½ x r x¨ ÿ xª p® V¤ x rªd¤ V w¤T p¤ ¥ gª d¤ g y r· t x rî V¤ x rªd¤ V w¤T p¤ ¥ gª º ¹ i g¶V g r¡G V¤ x· © x® g§ r¡ V¤ x x© T T Gp© g¦ (¡ V T t V¤ r x® G¤ % ´ ü ¥ V g VV T0© V¤ j´ x®

A4 52

r¥ T ® f¾ þ ¼ g® T ® ¾ ½ ¼ g gx¶ ¨ f¾ ° ¼ § f¾ ö ¼ j¾ à ¼
© ¨

i¤ ¡ ¦¤ V G»¸ rþ d ¡ ¤ w V G»¥ Cµ á x Gð 2¨ ì § ¹ V x±r ¹®

56 7 @ HF 5G §7

dí r° rþ gd¤ V ¹ V¤ © V ¨ g ¹j V V¡ « ïó º¤r¥ &r§ µ g® V¤ y §x© x±¹ § x®i ï y





¥

¥



dí j¬ x y `T¬ V¤ ç§& t¬ ® â d

rö ç T §¦ ¡ xå x Gá g® G §ò x g· T® V b¨ % § V¤ xG V r¦g® r¡ g§ r¤ V r r¨ G¤ t§ Vbå V¸ gê x±w T® V¥ b¨ r § d¤r xµ g V V¤ ¨x ®g¶ V¤ p¡ ® gª G b¨
L
p,

dô ïò ¤ %ó j b¤ r´ f¨ C¦f f¨ v¡ f d¨ x V t r§ô r g (§ `V¡

t x¨ xx õ©T® w¤ 2¥(§ ²§xå » õµ C õª ð C x 2 T¨ b¨ r x§ r¥T® õ¨ V¤ r r® ô g

¨ e §ª ¤ x pô xå ²¡ V¥ ¤ x x 2 ¦ x t§ r x p r¤

{ g¶ g® ø x ± r¡r V¤ &å b jy

xå p x g y x¦T® ¨ Tª ¨ p C§x ©r± ug h §x

bô i % g¦ ´ r¤ ¡ x ¥ xª xª r r g g r¡ rx± ¡r® %§ w¤ x x¨ V¤ ¨ t

0© V¤ g x® r x± ¡ b¨x x® x x¶ ²® x G x Tô V V¥¤ ©V g r¡ x T y© T V¡ r ¡ x® ® b¸ V T ¤ § j r¥ b»R« &© dôr¤ ¨ pê f¾ ¿«x¦ pê
f (x) ¯

x q± V¤ ¥ ® f¨ V¤ (µ r¸V V¤ x x g® x« p®V V¤ ¦r§ r® g r¡g w V¤ r¥ f e Y

g ¶ V¡ g¶ V rg¸ ¶ V¤ x« j d¤ V¤§ r¦ §® u h y

y¡ x¸ g®xå V¤x§ b¨ g w¤

g g® x® x ¤ w{¦ T¥ ¿« o q

r® ¨ V r¸ f ¨ g® w r ¨ f¨ õµ d¤ ´ V¤ j x± C ¡ döG¦ à p¼pê n m

x © ¤ r¦ x T ¤ r j¾ T® àx


(Rn )

r¦ x x ¨ § V¤ ãx¦ x® r h

gª ¨ g®x V j V® x T V¤C® ¢© ´ rx± g r® r¡ § V¤ x± r® f g¨ g V¤ y¨ r Tô t x rê r gª r 㧠g g r¡ ¶õä V¤ ¤ x®´ p¼¨ q ¿« f¾ V¥ ° gG¼ p¡rå ¨ ª¦ x®rµV¤ u &h rk b d c

© Tá g x V ¨ & g r¡ x± V¤ x¸ x©¤ Vg¶ T Y

r±¥¤ § ¨ ¸¢ rö gª x V g© x V ® p¤ r± `§ ¹ ¤ p¤ gª 0 x © ¶ V¤ V¤ G V¤ T© g©V¨ x· V¡ V« x® rg

r¤ dî t q¨ r ót I xå ª r§ g xå V¡ x ¶ ¤ r¦ r x § g® V¹ ¨ V ® t x® r® T® V ¨ T f ¤ f¨ § g t« T𠡨 § pê

uí t x ® T®¤ ¤b¨g§ ¡§ r § µ ¤ ¡ º & i¤ x¦ ®
¥ ¨




à«

t rö r d I G« ¢ « à« G
@ gW % ©7 )I 8! 1A

«



0 $# "! $¨ )! 6t 8' A Q% ¥¨ I (D %

)! (' &% I 1¨ S ! (# )! "2 5¢ $7 D 7

' P $¨ ! )I 12 "¢ ¥C 0 ! ¤ (D %



¢ "2 $ ! ¨ 3h B2 ¦q (' &% p#



)# (9 (9

02 !

1

2

0 D

¢

z

QG ¦ "A 0C pi ©' ¦ q (D ¢ (¨ Q% I B¦ 0¦ D ! $D D 7 4o h S2 )' $' ! U



! % 5' m# $¨ !

à« p¢P z

g¤ (# k% ©7 ¦ q (¨ i% $D (D 4% $¨ (! % @ gU

$' ¥! $



à« G

@¦ $' D ©¨ 32

¡ $D ©D (D i% ! o (9 m V (' i% )! ' k% h I 0

¦ ¢ "A 0C ! 3¦ I 0C 1D ¥ A $¨ h! ¨ 3C (¨b% %f¦ ¨ mt G 3C (¨§¦ 6% g¤ 1¨1# t rö rî d R « (¨ % ' % 5 RP ¡ 3¦ )I r' 3C (¨ q% 32 1¨ ' ¦ ¦ HU 2 t b° T½ d t r° d° dí dþ r 5U t ÿþ ¥q 2 5' ©¨ 3¦ (¨ &% # $# n! 12 b% ¦ 0C r! 3¦ )I E' (9 32 j r° rî d ræ wö r

¢ )D 32 (¨ % f l gP )I (' % G (¨ % ! B¦ # 3¦ ¨ Y (9 k 32 1¨ 0 )! ' ¨ 7 V 32 17 3 57 $¨ )! 5' 32 1¨ 0 )! ' ¨ 7 V 32 17 3 57 $¨ )! 5' 1¨ @ 4¡ (9 `

¢

1¨ 0 )! $' "! C C

¢

3C (¨ m% 0¦ D (¤ i% % T 5¢ (¨ % b 1A B

x r° tî dí rþ

¥i s )! ' S¦ ¢ 5¤ 17 $D D ¸7

t rî rî t° dí r â ræ d R « ¬

d

1¨ @ l¡ (9 1¨ 0 )! $' )! 82 ) ¦ 7 P 5¢ ¸¤ 2 0¦ D (¤ i% ! 1¨ 0 )! (' % 5' ©¨ S¦ 2 ¦ ¦ 3¦ )I ' ¨ Y G q G ¢ t r ræ d i à« G à« ¨ à« t d° uí r R t à« V° y p t r r° d R r r i r r t d R «





i% D o ¢ V s ! I gh f¾ dæ à ¼ 3¦ I S¦ 82 d¾ fâ à ¼ 3¦ ¨ ¡ HG f¾ dî à ¼ þ U !% T G (9 $# 1D W f¾ à ¼ rþ ° U i ¾ à ¼ f¾ à ¼

3C ¨ 7 F' 9 ! ' 3C ¨ 7 2 ¦ ©' S¦ )' `2 A ¨ 7 5'


©' ¦ q (D % ©7 ¦ q 1¨ "9 1¨ @ ¡ 5' p¨ f (D Q% 57 ¨ ¨ ¢ )' 2 @ pi ©' ¦ q (D % ©7 ¦ q A $¨ ! % G 2 § b 1A B $# 1¨ 0 hG B¦ # ¢ 1¨ 0 )! (' &% $# "! % (9 ¢ ©¨ I S2 02 ©! ¦ &U A ¨ 57 "¨ C Y 3¦ ©¨ §¦ ©¤ 1C % ©¨ 3¦ ©¨ §¦ ©¤ ¦ ©A ¦ yA ©¨ 3¦ 1¨ 0 )! ' 3¦ (I v % ¨ ¨ ¢ ¦ 6C $' ©! ¦ 8 $A ! (7 Q% ©¨ r¦ x

"2 @ pi ©' ¦ q (D % ©7 ¦ q 2 S (' &% $# "! % 2 ¦ $ ! ¨ 7 ¦ H% j ¥9 C ¦ j¦ 9 ¦ ¢ i% $D )! $' D 7 ¥G S¦ $' ! I 5h G §¦ g¤ 1# I $¨ )! ' 3P fW T ed ©# 1D ©¨ S¦ 02 ©D 0¦ ! pq )! 7 U # $7 ! H t ¦ 1¨ 0 )! (' % B¦ # # 7 P ¨ Q% 1¨ 0 )! (' % ut 1¨

y

k% (D U !V (' % 3¦ )I A $¨ ¦ ©A 7 0¦ "! C

gd gd W $! D ¤ ' 3¦ I )! )' 1' v ¦ A ©¨ V 0¦ D (¤ §¦ ¤

av w



"2 ! ¦ 5' 57 ¥ 1¨ S ' 3¦ b¦ S "2

t r ræ d

@ ¨ ©A 0¦ X! 3¦ I I¦ 0 $D 1D @ "2 S¦ S2 02 X! I 02 c (¨ %

H t H ¡ % Hs t ! 5% A Hs

dþ g½ d° f¾ dö à j¾ f¾ f¾

¼

e

1!

@2 4



(


g

% ©7 ¦ rq "2 (' &% $# "! 02 (D Q% 8¨ $A ! 4¤ 32 1¨ 0 )! (' 62 ¢
¥

@ a% 3¦ )I &% "! §P


pi ©' 3¦ 3¨ `' ¨ 5' 1¨ @

(D % ©7 3¦ h¨ @Y XW ! )I % ¡



5¢ g¤ 2 A $¨ 12 Q% (I Q% ¨ 32 ©¨ §¦ ¥¤ ¸¢ HG

! 7 HV 1¨ ¡



t ¬ ©'ûþ 3¦ ¨ fq tC iö k% y i fT (¨ % QP "2 @ pi ¦ ©¨ S¦ )' 02 "! E &d r BP )I (' % ¬ í ©'(D B¦ % 1# 87 3 A 1¨ (7 Q% $A p¨! I "7 C ¦ $A )! t t¬ rö d &% f# dí r° 32 dæ 17V 3 57 ¬ )! ' t ¨ r F7 E9ræ d (D i 3% V0C xå x ¤ õ ( r p¬ dí å rö r¡ rî V¤ b° r® & ¤ t R« rî g¶ rþ
¥

U t $¨ )! g½ B t ® V¤ p â d t V

`° 1¨ q t° 8# dí $A )!r° r x g© d R R« 2 r« V¸

t bö(9 r °(9 V x¨ x x á g®

V¤rî R«V g© g x¸ %¤ r
¢¡

®x ( x± xì x© x ¨ xé & x g r¡ V¤ r® x§


T "2 @ pi ©' ¦ q (D 1¨ 0 )! (' d% $c $! (D b% ¦ S¦ 3U t Vö y "T B2 ©# S¦ )' "2 32 1¨ 0 )! $' )! 82 ) ¦ )7 é R x xª q ¨ x® t V rþ xì ¨ ì % x± V¤ r x ¨ j V¡bì %x g¸ r± V¡ T 2 ¨ r¥ ¤p¤ r gª §¡ V ¹ h rx uq bh

¥ ® r uv uh

RP « 5¢ xd I g¶ V x¨ w ï~

X~

¸ ë ¡ x C é à« `ë ª ¤ x f %¨ ¿» t¬ Tª 2¨ Gì f¾


« $#1D x¨ g r x

x®ì xt V x© Tª {¨

Cg¨ xé µ w¤ g¶ xé ¶ V¤ r®

)I (' §¢ õò¥ § r à« ¨ (ì x§ g V

T w¤ d¥¨ xµ T xV T®g® p¨d x¶ x gª V¡ r® §ª å b¡ V

µj´ w¤ x® ( t´ T½ G ræ

°

Gó¥ f¾ Gì d¾

r à ¼ d à ¼ ¼ æ¼ â¼ î¼ ræ d