Документ взят из кэша поисковой машины. Адрес оригинального документа : http://www.iki.rssi.ru/seminar/2015042123/presentation/glyzin.pdf Дата изменения: Thu May 7 20:20:29 2015 Дата индексирования: Sun Apr 10 08:50:23 2016 Кодировка: Windows-1251

Неклассические релаксационные колебания
Глызин С.Д.

glyzin@uniyar.ac.ru
Ярославский государственный университет им. П.Г. Демидова

Глызин С.Д. (ЯрГУ)

Таруса 21-23 апреля 2015

1 / 24


Пример

x = - x (y + 1),
0

y = x - 1 -

1

y, + y

(1)

<

1,

, , >

0 имеют порядок единицы и кроме того

выполняется условие

> + 1.

(2)

Глызин С.Д. (ЯрГУ)

Таруса 21-23 апреля 2015

2 / 24


Пример

x = - x (y + 1),
0

y = x - 1 -

1

y, + y

(1)

<

1,

, , >

0 имеют порядок единицы и кроме того

выполняется условие

> + 1.

(2)

Глызин С.Д. (ЯрГУ)

Таруса 21-23 апреля 2015

2 / 24


y 2 ()



- 3 /4

3 ( ) 1

1 ( )

5 () ex p ( -
- 3 /4

) x
1
Рис.: 1

4 () x
0

x

2

x

Глызин С.Д. (ЯрГУ)

Таруса 21-23 апреля 2015

3 / 24


Для отыскания циклов системы (13) фиксируем произвольно

x0 [ + 1, ]

и обозначим через (3) 1.

() = {(x , y ) : x = x (t , x0 , ), y = y (t , x0 , ), t 0}
ее траекторию с начальными условиями Рассмотрим второй положительный корень

y (t , x0 , ) =

x (0, x0 , ) = x0 , y (0, x0 , ) = t = T (x0 , ) уравнения

1 (если он существует) и определим оператор

последования Пуанкаре

x0 (x0 , ) = x (t , x0 , )
оператора (4).

def

t =T (x

0

,)

.
0

(4)

Наша задача выяснить асимптотическое поведение при

Глызин С.Д. (ЯрГУ)

Таруса 21-23 апреля 2015

4 / 24


Справедливо неравенство

x0 - 1 - /(1 + y ) >

0

y 0.

(5)

А отсюда и из (13) заключаем, что сначала движение фазовой точки

(x , y ) происходит в асимптотически малой окрестности луча {(x , y ) : x = x0 , y 1}, причем компонента y (t , x0 , ) за асимптотически малое время (порядка ln(1/)) достигает значения y = -3/4 . Соответствующий участок траектории () обозначим через 1 () (см. рис 1) и назовем участком взлета.

Глызин С.Д. (ЯрГУ)

Таруса 21-23 апреля 2015

5 / 24


Справедливо неравенство

x0 - 1 - /(1 + y ) >

0

y 0.

(5)

А отсюда и из (13) заключаем, что сначала движение фазовой точки

(x , y ) происходит в асимптотически малой окрестности луча {(x , y ) : x = x0 , y 1}, причем компонента y (t , x0 , ) за асимптотически малое время (порядка ln(1/)) достигает значения y = -3/4 . Соответствующий участок траектории () обозначим через 1 () (см. рис 1) и назовем участком взлета.

Глызин С.Д. (ЯрГУ)

Таруса 21-23 апреля 2015

5 / 24


Следующий участок, лежащий в полуплоскости

2 () и будем называть замену u = y и возьмем x за
через

участком поворота. Сделаем в (13) новое время. После отбрасывания

y

-3/4 , обозначим

асимптотически малых добавок имеем

x -1 du =- , dx x

u |x =x0 = 0.

(6)

Решение задачи (6) задается равенством

u (x ) = -(x - x0 ) +

ln

x , x0

0

< x x0 .

(7)

Глызин С.Д. (ЯрГУ)

Таруса 21-23 апреля 2015

6 / 24


Следующий участок, лежащий в полуплоскости

2 () и будем называть замену u = y и возьмем x за
через

участком поворота. Сделаем в (13) новое время. После отбрасывания

y

-3/4 , обозначим

асимптотически малых добавок имеем

x -1 du =- , dx x

u |x =x0 = 0.

(6)

Решение задачи (6) задается равенством

u (x ) = -(x - x0 ) +

ln

x , x0

0

< x x0 .

(7)

Глызин С.Д. (ЯрГУ)

Таруса 21-23 апреля 2015

6 / 24


Поскольку
u
0 2

при 1

u (x0 ) = 0, u (x ) < 0 < x x0 , u (x ) > 0 при 0 < x < 1, u (x ) - при x +0, то на интервале (0, 1) уравнение u (x ) = 0 допускает единственное решение x = x1 , причем u (x ) > 0 при x1 < x < x0
А это значит, что, двигаясь по кривой

.

2 (),

фазовая

точка системы (13) сначала покидает прямую
0 x
1

y =

-3/4 , а

x
Рис.: 2

0

x

затем снова возвращается на нее. После перехода к переменным

(x , u )

участок

пределом при

0 = {(x , u ) : u = u (x ), x1 x x0 }. 2 Время движения по 2 () имеет порядок ln(1/). Любой кусок 2 () отвечающий значениям x [a, b ] (x1 , x0 ), где a, b = const > 0, фазовая точка (x , y ) проходит за время порядка .
Глызин С.Д. (ЯрГУ) Таруса 21-23 апреля 2015

2 () () имеет 0 кривую
,

7 / 24


3 () соответствует значениям переменной y из отрезка -3/4 ) y -3/4 , и аналогичен уже рассмотренному случаю exp(- 1 (). x1 - 1 - /(1 + y ) < 0 y 0, следовательно кривая 3 ()
асимптотически близка к отрезку

{(x , y ) : x = x1 , 3 () участок

exp(-

-3/4

?падения? и время ?падения? имеет порядок

)y

-3/4

}



14

/.

Глызин С.Д. (ЯрГУ)

Таруса 21-23 апреля 2015

8 / 24


4 ()

лежит в полуплоскости

медленного движения. Для его описания перейдем в системе (13) к новой переменной Для нахождения слагаемых имеем

y

exp(

-

-3/

4

)

и называется участком

v = ln y и возьмем x за новое время. v = v (x ) после отбрасывания асимптотически x -1- dv = , dx -x v |x =x1 = 0,

малых

(8)

из которой, в свою очередь, выводим:

v (x ) = -(x - x1 ) - ( - 1 - )

ln

-x , - x1

x1 x < .

(9)

Глызин С.Д. (ЯрГУ)

Таруса 21-23 апреля 2015

9 / 24


v

0

x

1

x

2

x

Следовательно, у

v (x ) такая, v (x ) < 0 при x1 x < + v (x ) > 0 при + 1 < x < , v (x ) + при x - 0.
Функция что

1,

уравнения v (x ) = 0 на интервале + 1 < x < существует единственное решение x = x2 , причем v (x ) < 0 при x1 < x < x2 . После

0 4

перехода
Рис.: 3

к переменным стремится при (см. рис. 3).

0 = {(x , v ) : v = v (x ), x1 x x2 } 4

(x , v ) 0

кривая

4 ()

к пределу

Заключительный этап участок подъема

подъема асимптотически мало (имеет

5 () (). 1/4 порядок ).

Время

Глызин С.Д. (ЯрГУ)

Таруса 21-23 апреля 2015

10 / 24


Лемма
При всех достаточно малых > 0 оператор (4) определен на отрезке + 1 x0 и удовлетворяет предельным равенствам

lim
0

lim
0

+1x0 +1x0
max

max

|(x0 , ) - (x0 )| = 0,

| (x0 , ) - (x0 )| = 0.

(10)

Здесь штрих производная по x0 , а оператор (x0 ) задается соотношениями:

= 2 1 , 1 : x0 x1 = x1 (x0 ), 2 : x1 x2 = x2 (x1 ),
где x1 и x2 введенные выше корни уравнений u (x ) = соответственно.
0

(11) 0

и v (x ) =

Глызин С.Д. (ЯрГУ)

Таруса 21-23 апреля 2015

11 / 24


Лемма
Отображение (11) имеет на отрезке + 1 x0 единственную экспоненциально устойчивую неподвижную точку x0 = x0 .

Глызин С.Д. (ЯрГУ)

Таруса 21-23 апреля 2015

12 / 24


Рис.:

Глызин С.Д. (ЯрГУ)

Таруса 21-23 апреля 2015

13 / 24


x = f (x , y ),
< 1, h = const > 0; f , g C (K ), K = {(x , y ) : x > -0 , y > -0 }, 0 > 0.
где 0 функции

y = [g (x , y ) - y (t - h)]y ,

(12)

Установлено, что при некоторых дополнительных ограничениях на

f, g

и запаздывание

h

в системе (12) существует устойчивый

релаксационный цикл.

Глызин С.Д. (ЯрГУ)

Таруса 21-23 апреля 2015

14 / 24


Катастрофа голубого неба
Рассмотрим гладкое однопараметрическое семейство векторных полей

X

чв

R

3

и предположим, что при

ч=

0 поток

траекторию

L0

Xч

имеет периодическую

типа простой седло-узел. Рассмотрим, далее,

некоторую достаточно малую окрестность на две области: узловую

U

траектории

L0

,

разделяемую двумерным сильно устойчивым многообразием

L0

при

неустойчивое многообразие

t

+ , все траектории из которой стремятся к +, и седловую U - , в которой лежит двумерное

U

W ss (L0 )

ограничение носит существенно нелокальный характер и состоит в том, что все траектории системы

u Wloc (L0 )
X
0

с краем

L0

. Следующее

снова возвращаются в нее, попадая в узловую область двоякоасимптотической к множество

u Wloc (L0 )

с начальными условиями из

при увеличении

t

сначала покидают окрестность

U

U

, а затем

+ . Тогда,

очевидно, каждая из упомянутых траекторий оказывается

W u (L0 ),

L

0

. И наконец, будем считать, что

получающееся из

траекториям потока
Глызин С.Д. (ЯрГУ)

X

0

, не является топологическим многообразием.
Таруса 21-23 апреля 2015 15 / 24

u Wloc (L0 )

после продолжения по


Глызин С.Д. (ЯрГУ)

Таруса 21-23 апреля 2015

16 / 24


x = f (x , y , ч),
где 0

y = g (x , y ),

x = (x1 , x2 ) R2 , f ,g C

y R,

(13)

<

1,

стандартные ограничения, обеспечивающие существование так называемых классических релаксационных колебаний. Напомним, что классическими называются колебания, у которых при медленные компоненты

|ч|

1, а на функции

были наложены

t

x1 , x2

стремятся к некоторым непрерывным по



0

функциям, а быстрая компонента

y

сходится поточечно к разрывной

функции.

Глызин С.Д. (ЯрГУ)

Таруса 21-23 апреля 2015

17 / 24


Рассмотрим аналогичную (13) трехмерную систему

x = f1 (x , ч) +
где



y 2 f2 (x ),

y = g (x ) - h(y ),

(14)

< 1, |ч| ч0 , а ч0 > 0 некоторая 2 2 достаточно малая константа. f1 (x , ч) C (R Ч [-ч0 , ч0 ]; R ), (R2 ; R2 ), g (x ) C (R2 ), h(y ) C (R) удовлетворяют f2 (x ) C
2

x = (x1 , x2 ) R

,

y R

,0

специальным условиям, гарантирующим реализуемость неклассических релаксационных колебаний.

Глызин С.Д. (ЯрГУ)

Таруса 21-23 апреля 2015

18 / 24


Рис.:

Глызин С.Д. (ЯрГУ)

Таруса 21-23 апреля 2015

19 / 24


Рис.:
Глызин С.Д. (ЯрГУ) Таруса 21-23 апреля 2015 20 / 24


Рис.:

Глызин С.Д. (ЯрГУ)

Таруса 21-23 апреля 2015

21 / 24


Рис.:

Глызин С.Д. (ЯрГУ)

Таруса 21-23 апреля 2015

22 / 24


Рис.:

Глызин С.Д. (ЯрГУ)

Таруса 21-23 апреля 2015

23 / 24


Благодарю за внимание!

Глызин С.Д. (ЯрГУ)

Таруса 21-23 апреля 2015

24 / 24