(21a) Application Pratique de la Troisième Loi de Kepler

Pour des orbites circulaires autour de la terre, nous venons de trouver

T² = (4π²/g R_E²) r³

avec T en secondes et r en mètres. La distance d'un satellite au centre de la terre en mètres est un nombre incommodément grand, même avant d'être porté à la 3ème puissance. Nous pouvons par contre multiplier l'expression de droite par (R_E³/R_E³) = 1 et réarranger alors les termes :

T² = (4π²/g R_E²) (R_E³/R_E³) r³ = (4π²R_E/g) (r/R_E)³

Le rapport r' = (r/R_E) est la distance orbitale mesurée en unités de rayon terrestre . Ce nombre va habituellement de 1 (à la surface de la terre E ou r = R_E) à 60 (à l'orbite de la lune, r ~ 60 R_E).

En outre, ce rapport est toujours identique, que r et R_E soient exprimés en mètres, yards ou milles marins, si r et R_E sont mesurés dans les mêmes unités. L'expression calculée ci-dessous, a ses multiplications notées par des espaces vides entre parenthèses ; vous pouvez la vérifier avec votre calculatrice.

(4π²R_E/g) = (4) (9.87) (6 371 000)/9.81 = 25 638 838

Employez la notation des ordinateurs pour la racine carrée

SQRT (25 638 838) = 5063.5

C'est la forme pratique de la 3ème loi de Kepler pour les satellites de la terre. Notre satellite imaginaire rasant la surface de la terre (r'=1) aurait une période de :

T = 5063.5 sec = (5063.5/60) minutes = 84.4 minutes

La navette spatiale doit se dégager de l'atmosphère et va un peu plus haut. Disons qu'elle orbite à r' = 1. 05, avec SQRT(r') = 1. 0247. Donc

T = (5063.5) (1.05) (1.0247) = 5448 secondes = 90.8 minutes

Les satellites de communication internationaux , placés dans le plan équatorial de la terre , ont des orbites d'une période de 24 heures. Pendant que la terre tourne, ils la suivent et restent toujours au-dessus du même point. Quelle est leur distance ?

Ici T est connu et nous devons trouver r':

T = 24 heures = 86 400 sec = 5063.5 SQRT(r')³

SQRT(r')³ = 86 400/5063.5 = 17.0632

Si les nombres de la dernière ligne sont tous égaux, leurs carrés sont égaux, aussi

(r')³ = (17.0632)² = 291.156

Maintenant vous avez besoin d'une calculatrice capable dériver les racines cubiques (ou bien, puissance 1/3 = puissance 0.333 ). Cela donne

r' = 6.628 rayons de la terre

C'est la distance des satellites "synchrones". Les satellites du système de positionnement global (GPS), avec lequel un petit instrument, tenu en main, peut indiquer sa position sur le globe avec une exactitude étonnante, ont des orbites de 12heures. Pouvez-vous calculer leur distance ?