Цикл из 6 работ, посвященный применению непрерывного вейвлет-преобразования к теории турбулентности, стохастическим дифференциальным уравнениям и квантовой теории поля. Алтайский Михаил Викторович.

 

1. М.В.Алтайский. Многомасштабная теория турбулентности в вейвлет-представлении Доклады РАН т. 410, вып. 3. стр.326-330, 2006.
2. М.В.Алтайский. Многомасштабное стохастическое квантование Нелинейный мир т. 4, вып. 4/5. стр.246-255, 2006.
3. M.V.Altaisky. Scale-dependent functions, stochastic quantization and renormalization. Symmetry, Integrability and Geometry: Methods and Applications. 2:046, 2006. (17стр).
4. M.V.Altaisky. Wavelets: Theory, Applications, Implementation, Universities Press, 2005.
5. M.V.Altaisky. Wavelet based regularization for Euclidean field theory and stochastic quantization, in "Trends in Field Theory Research", ed. by O.Kovras, Nova Science Publishers, Inc. 2005. (глава в книге)
6. М.В.Алтайский. Уравнение Ланжевена с масштабно-зависимым шумом. Доклады РАН, т.392, вып. 2. с.180-182, 2003.

 

Аннотация

В 2003 г. [6] автором предложен метод решения стохастических дифференциальных уравнений ланжевеновского типа с помощью непрерывного вейвлет-преобразования. При таком подходе свойства такой случайной силы могут явно зависеть как от разности координат, так и от отношения масштабов. Решение стохастического уравнения осуществляется аналогично стандартной технике Уайльда, используемой в теории гидродинамической турбулентности, однако благодаря наличию у всех случайных полей дополнительного параметра, , в пространстве вейвлет-коэффициентов могут существовать несколько различных случайных процессов, корреляционные свойства которых совпадают в обычном пространстве. Это позволяет нужным образом подобрать параметры коррелятора случайной силы, так что теория возмущений становится конечной и не требует дальнейшей перенормировки.

Данным методом, в предположении накачки действующей на фиксированном масштабе, была вычислена однопетлевая поправка к коэффициенту поверхностного натяжения для задачи о случайной границе раздела фаз [6], получен однопетлевой вклад в парный коррелятор поля скорости гидродинамической турбулентности [1]. На основании известной связи между стохастическими дифференциальными уравнениями ланжевеновского типа и квантовой теорией, с использованием предложенного автором метода, был построен многомасштабный формализм стохастического квантования [3,4,5].

С физической точки зрения, отличительной чертой развитого метода является то, теория строится в терминах амплитуд измеряемых в данной точке x и с данным разрешением измерительного прибора a: . Это в точности соответствует идеям Колмогорова о развитой гидродинамической турбулентности, позволяет математически адекватно сформулировать гипотезы Колмогорова (К41) на языке вейвлет-коэффициентов поля скорости [1]. Применительно к задачам теории поля данный метод позволяет обобщить существующие модели и устранить ультрафиолетовые расходимости за счет подавления процессов с энергиями больше обратного масштаба измерения [3,4,5].