Документ взят из кэша поисковой машины. Адрес оригинального документа : http://www.gao.spb.ru/english/personal/malkin/publ/zm09i.pdf Дата изменения: Mon Aug 8 13:02:11 2011 Дата индексирования: Tue Oct 2 03:16:19 2012 Кодировка: Windows-1251 Поисковые слова: п п п п п п п п п п п п п р п р п р п р п р п р п

МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ОБРАБОТКА АСТРОИНФОРМАЦИИ

КИНЕМАТИКА И ФИЗИКА НЕБЕСНЫХ ТЕЛ том 27 ? 1 2011

УДК 521.9, 528.06

З. М. Малкин
Главная (Пулковская) астрономическая обсерватория Российской академии наук 196140 Россия, Санкт-Петербург, Пулковское шоссе, д. 65

Исследование астрономических и геодезических рядов с помощью вариации Аллана
Вариация Аллана (ВА), предложенная более 40 лет назад для описания нестабильности стандартов частоты, в последние годы стала активно использоваться для исследования различных временных рядов в астрометрии, геодезии и геодинамике. Этот метод позволяет эффективно изучать характеристики шумового компонента таких данных, как вариации положения станций, координат радиоисточников и других. Более того, ВА может быть использована для изучения спектрального и фрактального состава этой шумовой составляющей. Для обработки неравноточных и многомерных наблюдений, которые характерны для многих астрономических и геодезических приложений, автором предложены соответствующие модификации ВА. Сделан краткий обзор применения классической и модифицированной ВА в астрометрии и геодинамике. ДОСЛ?ДЖЕННЯ АСТРОНОМ?ЧНИХ ? ГЕОДЕЗИЧНИХ РЯД?В ЗА ДОПОМОГОЮ ВАР?АЦ?? АЛЛАНА, Малк?н З. М. -- Вар?ац?я Аллана (ВА), запропонована понад 40 рок?в тому для опису нестаб?льност? стандарт?в частоти, в останн? роки стала активно використовуватися для досл?джень р?зних часових ряд?в у астрометр??, геодез?? та геодинам?ц?. Цей метод дозволя? ефективно вивчати характеристики шумового компонента таких даних, як вар?ац?? положення станц?й, координат рад?оджерел та ?н. Кр?м того, ВА можна використати для вивчення спектрального ? фрактального складу цього шумового компонента. Для обробки нер?вноточних ? багатовим?рних спостережень, що характерн? для багатьох астроном?чних ? геодезичних прикладок, автор пропону? в?дпов?дн? модиф?кац?? ВА. Зроблено короткий огляд застосування класично? та модиф?ковано? ВА в астрометр?? та геодинам?ц?.

ї З. М. МАЛКИН, 2011

59


З. М. МАЛКИН

INVESTIGATION OF ASTRONOMICAL AND GEODYNAMICAL TIME SERIES USING THE ALLAN VARIANCE ANALYSIS, by Malkin Z. M. -- Allan variance (AVAR) was first introduced more than 40 years ago as an estimator of the stability of frequency standards, and now it is actively used for investigations of time series in astronomy, geodesy and geodynamics. This method allows one to explore effectively the noise characteristics for various data, such as variations of station and source coordinates, etc. Moreover, this technique can be used to investigate the spectral and fractal structure of the noise in measured data. To process unevenly weighted and multidimensional data, which are usual for many astronomy and geodesy applications, we propose AVAR modifications. We give a brief overview of the use of classical and modified AVAR method in astronomy and geodynamics.

ВВЕДЕНИЕ

Вариация Аллана (ВА) является специализированной статистикой, разработанной в 1960-х гг. для исследования стандартов частоты [1]. В последние годы она стала также активно использоваться для исследования различных временных рядов в астрометрии и геодинамике для исследования параметров вращения Земли (ПВЗ), стабильности положений радиоисточников и координат станций [3--8,12, 13,15, 17]. Однако применение ВА в ее оригинальном виде в астрометрии и геодинамике ограничено двумя факторами. Во-первых, она не позволяет обрабатывать неравноточные наблюдения, которые характерны для большинства реальных наблюдательных данных. Во-вторых, в ряде случаев бывает целесообразно обрабатывать многомерные данные, такие как координаты станций, небесных объектов или параметров вращения Земли. Ниже кратко описывается опыт применения классической ВА в астрометрии и геодинамике, а также предлагаются модификации этого метода для многомерных и неравноточных временных рядов и приводятся примеры их использования при обработке реальных данных.

ОСНОВНЫЕ ОПРЕДЕЛЕНИЯ И СВОЙСТВА ВАРИАЦИИ АЛЛАНА

ВА была предложена Алланом [1] как оценка стабильности стандартов частоты. В классическом виде ВА вводится следующим образом. Пусть мы имеем серию измерений y1 , y 2 , ... y n , выполненных в последовательные моменты времени. Тогда ВА может быть определена как s2 = 60 1 2( n - 1)

е
i =1

n -1

( yi - y

i +1

)2 .

(1)


ИССЛЕДОВАНИЕ АСТРОНОМИЧЕСКИХ И ГЕОДЕЗИЧЕСКИХ РЯДОВ

Для ВА принято обозначение AVAR. На практике часто используется дисперсия Аллана (ДА) s, обозначаемая ADEV. Два важных замечания могут быть сделаны в отношении ВА. Первое, ВА не связана с какой-либо физической моделью стандарта частоты, а использует только эмпирические данные -- измерения. Таким образом, нет никаких теоретических ограничений на применение этой статистики для других типов измеряемых величин, в том числе в астрономии и геодинамике. Во-вторых, ВА позволяет описывать поведение стандарта частоты на различных интервалах усреднения, начиная от периода, равного интервалу между отсчетами. Для этого достаточно рассматривать величины yi как обобщенные измерения, представляющие собой средние значения реальных измерений за определенный период времени (период усреднения). Чтобы подчеркнуть это свойство ВА, ее часто обозначают как s 2 ( t ), где t -- период усреднения. Однако ВА в своем классическом виде (1) не всегда может удовлетворительно описать астрономические и геодезические измерения. Причина этого заключается в том, что эти измерения часто не являются равноточными, и это обстоятельство никак не учитывается в (1). Для преодоления этого ограничения автор предложил модификацию ВА для неравноточных измерений [12]. Вводится она следующим образом. Пусть мы имеем серию измерений y1 , y 2 , ... y n с соответствующими ошибками s1 , s 2 , ... s n . Тогда мы можем определить величину
2 s1 =

1 2p

е
i =1

n -1

pi ( y i - y

i +1

)2 , ).

(2)

p=

е
i =1

n -1

pi , pi = ( s i2 + s

2 -1 i +1

Для взвешенной ВА и ДА введем обозначения WAVAR и WADEV соответственно. Покажем на реальном примере различие между классической и взвешенной ДА. На рис. 1 приведен ряд определений высоты Н станции с их ошибками. Эти данные показывают, что различие между ADEV и WADEV на практике может быть довольно существенным. Можно сказать, что взвешенная оценка WADEV более устойчива по отношению к выбросам при условии, что выбросу соответст-

Рис. 1. Пример ряда данных определений высоты станции H, по которому получены оценки ADEV = 4.18, WADEV = 2.66

61


З. М. МАЛКИН

вует большее значение ошибки измерения, что, впрочем, характерно для астрономических и геодезических измерений. Однако и определение (2) имеет некоторые ограничения в тех случаях, когда измеряемые величины, будучи формально независимыми, физически являются компонентами одного многомерного вектора. К величинам такого типа можно, например, отнести координаты полюса, где независимо определяемые величины Xp и Yp являются компонентами двумерного вектора положения полюса. Другой пример, -- декартовы координаты станции X, Y и Z являются трехмерными координатами радиуса-вектора в геоцентрической системе. Так же, как двумерные, могут рассматриваться сферические координаты небесных тел, например прямое восхождение и склонение. Желательно иметь возможность обрабатывать такие связанные ряды измерений совместно, что лучше соответствует природе изучаемых явлений. Для этого можно воспользоваться предложенной автором в работе [12] модификацией ВА для многомерных и неравноточных измерений. Она определяется следующим образом. Пусть мы имеем серию k-мерных измерений y i = ( y 1 , y i2 , ... y ik ) , i = 1, ..., n, с соответствующими ошибкаi ми s i = (s 1 , s i2 , ... s ik ). Тогда мы можем ввести следующую оценку ВА: i s2 = 2 1 2p

е
i =1

n -1

pi d i2 ,

(3) pi ,

d i =| y i - y

i +1

|, p =

е
i =1

n -1

где d i означает эвклидову норму вектора d i = y i - y i+1 , представляющую собой расстояние между измеренными величинами в k-мерном пространстве. Строго говоря, вес pi должен вычисляться на основе закона распространения ошибки: ж pi = з з и

е{[
j =1

k

( yi - y

j

j i +1

) / d i ] [( s i ) + ( s

2

j

2

j 2 i +1

ц ) ]}ч . ч ш

-1

(4)

Однако эта формула имеет сингулярность около d i = 0, то есть при наличии двух равных или близких по величине последовательных измерений. После ряда экспериментов для вычисления весов было принято упрощенное эмпирическое выражение: ж pi = з з и

е
j =1

k

[( s i ) + ( s

j

2

j 2 i +1

ц ) ]ч . ч ш

-1

(5)

Тестовые результаты обработки различных рядов измерений показали практическую эквивалентность применения (4) и (5). Взвешенную многомерную ВА и ДА обозначим соответственно WMAVAR и WMADEV. ВА является характеристикой шумовой (случайной) составляющей измеряемого сигнала. Теоретический анализ и результаты прак62


ИССЛЕДОВАНИЕ АСТРОНОМИЧЕСКИХ И ГЕОДЕЗИЧЕСКИХ РЯДОВ

тического применения позволяют выявить ее основные отличия от других оценок шумовой составляющей, в первую очередь от наиболее широко применяемого среднего квадратичного отклонения от среднего значения (СКО). Легко видеть, что значение ДА, в отличие от СКО, практически не зависит от долгопериодических вариаций и трендов в изучаемом процессе, а также от скачкообразных изменений в измеряемой величине (при числе скачков, намного меньшем числа измерений). В работах [5, 9] рекомендуется использовать ВА для изучения спектральных свойств шума в исследуемом сигнале при предположении, что его спектральная плотность может быть описана степенной зависимостью вида жfц (6) S( f ) = S 0з ч , зf ч и 0ш где S0 и f0 -- постоянные. Для этого вычислим ВА для последовательности интервалов усреднения t от единичного интервала между отсчетами до трети-половины длительности ряда. Эта процедура может выполняться как для независимых интервалов, так и для интервалов с перекрытием. Далее, например, методом наименьших квадратов, нужно вычислить коэффициент m линейной регрессии log(s 2 ( t )) = m log( t ). (7) Тогда тип шума, превалирующего в серии измерений, может быть определен следующим образом: м< 0 -- белый шум, log(s 2 ( t )) п = н 0 -- фликкер-шум, m= log( t ) п> 0 -- случайные блуждания. о (8)
k

На практике лучше всего построить в логарифмической шкале график зависимости ВА от t, который наглядно показывает тип шума, преобладающего в изучаемом сигнале (см. рис. 2). Необходимо отметить, что изучение спектрального типа шума в рядах координат станций важно для получения реалистичной оценки дисперсии скоростей станций и других связанных величин [18]. Простые выражения для ошибки скорости станции, определенной по измерениям с наличием

Рис. 2. Графическое определение типа шумовой составляющей сигнала по ВА s2 , вычисленной для разных интервалов усреднения t

63


З. М. МАЛКИН

шума определенного вида, приведены в работе Николаидиса [14]. Пусть мы имеем n измерений положения станции, сделанных с интервалом DT . Пусть также a -- амплитуда шума. Тогда для дисперсии скорости станции s v имеем м 12 a 2 -- белый шум, п DT 2 ( n 3 - n) п п 9a 2 2 sv = н -- фликкер-шум, 2 2 п16DT ( n - 1) п a2 -- случайные блуждания. п DT ( n - 1) о

(9)

Вильямс [18] дал вывод общего вида ковариационной матрицы для произвольного шумового сигнала со спектром, описываемым степенной функцией (6). Наконец, ВА может быть использована для оценки такой характеристики временного ряда, как показатель Херста [2], который позволяет оценить взаимную значимость случайной и трендовой составляющей. Таким образом, вычисление показателя Херста может быть использовано для более полной характеристики свойств исследуемого временного ряда. Несмотря на видимую простоту формул (7)--(9), практическое изучение с их помощью спектральных и фрактальных свойств реальных астрономических и геодезических временных рядов оказывается достаточно сложной задачей. Есть указания, что надежные результаты можно получить только для рядов длительностью по крайней мере несколько сотен точек [18]. Кроме того, как показывает опыт, при определении спектральных свойств шума следует предварительно исключать из рядов сезонные и другие известные периодические составляющие.
ПРИМЕРЫ ПРИМЕНЕНИЯ ВАРИАЦИИ АЛЛАНА

В последние годы ВА активно используется в различных астрономических и геодинамических научных исследованиях и практических приложениях, таких как определение параметров вращения Земли (ПВЗ) и вариации координат станций и радиоисточников. В примерах, приведенных ниже, указаны первые работы, в которых ВА применялась для определенного вида данных и типа исследования наряду с избранными более поздними работами, развивающими более ранние исследования. Приведем два примера использования ВА при анализе ПВЗ. В течение нескольких лет ВА использовалась в Международной службе вращения Земли и опорных систем координат (IERS) в процедуре вычисления комбинированного ряда ПВЗ. С помощью ВА, вычисляемой 64


ИССЛЕДОВАНИЕ АСТРОНОМИЧЕСКИХ И ГЕОДЕЗИЧЕСКИХ РЯДОВ

для разностей исходных рядов ПВЗ на различных временах усреднения, оценивалось качество этих рядов и производилось их взвешивание. Этот метод был введен в практику работы IERS Фейссель [3] и использовался там до 2005 г., когда был полностью изменен алгоритм вычисления сводного ряда ПВЗ IERS [8]. В работе [12] автор предложил применение ВА для оценки шумовой составляющей рядов нутации, вычисленных по РСДБ-наблюдениям с применением разных каталогов координат радиоисточников. Смысл этого предложения следующий. При сравнении каталогов одна из основных проблем заключается в том, что известные методы сравнения позволяют исследовать только разности ошибок сравниваемых каталогов, но не дают возможности определения абсолютных значений этих ошибок (внешней точности) для каждого каталога. Один из возможных способов такой оценки качества каталогов и предложен в работе [12]. В основе этого метода лежит тот факт, что ошибки координат источников являются одним из основных факторов, влияющих на ошибки наблюдаемых углов нутации (другими словами, координат небесного полюса). Для оценки шумовой составляющей использована модификация ВА для двумерных неравноточных наблюдений. В частности, использование этого метода для сравнения пулковского сводного каталога RSC(PUL)07C02 и ICRF показало более высокую точность сводного каталога, полученного Ю. Соколовой и З. М. Малкиным [17]. В табл. 1 приведены значения WADEV для координат X и Y небесного полюса и двумерный вариант (2D). Некоторые исследователи успешно использовали ВА (ДА) для анализа рядов координат станций и связанных величин. З. М. Малкин и А. В. Воинов впервые применили ДА для оценки случайных вариаций координат станций Европейской GPS-сети EUREF, полученных разными методами обработки, что позволило сравнить качество этих методов [13]. Позднее этот подход был использован Робертсом и др. для оценки случайной ошибки рядов длин баз, которая затем была использована для построения критерия значимости наблюдаемых изменений в длинах баз, вызванных деформациями земной коры вследствие вулканической деятельности [15]. В работах Фейссель и др. [6, 9] можно найти примеры применения ВА для изучения вариаций координат станций VLBI, SLR, GPS и DORIS, включая также оценку спектрального типа шумовой составляющей в изменениях координат. В работе [7] ВА была использована для детального изучения движеТаблица 1. Значения WADEV (микросекунды дуги) для рядов координат небесного полюса, вычисленных с двумя каталогами координат радиоисточников
WADEV, мксд Каталог X Y 2D

ICRF-Ext.2 RSC(PUL)07C02

113 105

109 106

111 105

65


З. М. МАЛКИН

ния геоцентра, определяемого методами космической геодезии, и его сопоставления с геофизическими моделями. Вариация Аллана применяется также для анализа рядов координат радиоисточников, полученных по суточным сериям наблюдений. Фейссель и др. впервые использовали ВА для изучения спектральных свойств вариаций положений радиоисточников [5]. В работе [4] ВА была использована как критерий стабильности координат для выбора опорных источников для новой реализации ICRF. При этом Фейссель применяла ВА к среднегодовым нормальным точкам [4], а З. М. Малкин [ftp://ivscc.gsfc.nasa.gov/pub/memos/ivs-2009-001v01.pdf] использовал непосредственно исходные значения координат радиоисточников, полученные по суточным сессиям и представленные центрами анализа Международной службы РСДБ для геодезии и геодинамики (IVS) [14] в рамках проекта ICRF2 [10]. Каждый участвовавший в этой работе центр анализа представил от одного до двенадцати решений, содержащих ряды координат от 32 до 850 избранных источников. Эти решения доступны в центрах данных IVS [ivscc.gsfc.nasa.gov/ivsmisc/ ICRF2/timeseries/]. Для определенности будем отличать решение как совокупность рядов координат разных источников, полученных данным центром анализа в рамках одного цикла обработки РСДБ-наблюдений, и ряд координат одного источника, входящий в данное решение и представляющий собой координаты источника на разные эпохи. Анализ рядов координат дает несколько статистик критериев выбора опорных источников. В частности, ими могут служить систематические изменения координат, как линейные (скорость видимого движения), так и нерегулярные, а также их разброс относительно среднего значения, линейного тренда или более сложной модели систематических изменений (шум). При этом оказывается, что скорость источников, шумовая составляющая и даже скачки в координатах существенно зависят от используемых моделей редукции, метода обработки и программного обеспечения [11], а также [ftp://ivscc.gsfc. nasa.gov/pub/memos/ivs-2009-001v01.pdf]. Приведем для примера два ряда координат источника 0528+134, вычисленные в USNO разными методами (рис. 3). Даже первое визуальное сопоставление этих рядов показывает, насколько они разные в отношении шумовой и систематической составляющих. Детальный анализ этой проблемы выходит за рамки настоящей работы. Заметим лишь, что эти два ряда были вычислены с разными набором оцениваемых параметров. При вычислении ряда usn000d, в отличие от usn001a, для каждой суточной сессии наблюдений оценивались длительность суток, углы нутации, координаты станций. По-разному вычислялись и координаты источников. Далее мы ограничимся исследованием случайной составляющей для разных источников. Для этого были выбраны 15 решений разных центров анализа, содержащие наибольшее число источников и сессий, а также представляющих различные программные пакеты и методы обработки. Затем были сфор66


ИССЛЕДОВАНИЕ АСТРОНОМИЧЕСКИХ И ГЕОДЕЗИЧЕСКИХ РЯДОВ

Рис. 3. Два ряда координат источника 0528+134 (отклонения от среднего значения), вычисленные в USNO: usn000d (слева) и usn001a (справа)

Таблица 2. Двумерные оценки СКО (первое число) и ДА (второе число) для наиболее часто наблюдаемых источников и медианные значения для всех источников. N -- число общих для всех рядов эпох (сессий)
СКО / ДА, мксд Ряд 0552+398 0923+392 N = 2168 N = 1919 207 235 180 161 163 200 284 442 486 355 174 504 185 167 445 / / / / / / / / / / / / / / / 209 233 186 161 166 210 288 434 463 338 178 581 188 172 429 316 344 302 258 254 317 340 511 563 435 278 624 249 279 522 / / / / / / / / / / / / / / / 251 289 248 208 203 245 289 484 519 393 218 718 217 219 472 1741-038 N = 1868 385 547 437 294 311 413 486 728 931 742 307 968 354 331 722 / 420 / 546 / 450 / 316 / 334 / 426 / 473 / 713 / 803 / 665 / 330 /1113 /387 / 354 / 711 0851+202 N = 1678 324 381 296 275 273 380 386 612 775 519 284 699 278 289 620 / / / / / / / / / / / / / / / 330 372 306 262 273 336 384 566 636 473 270 766 278 281 550 0727-115 N = 1675 413 / 472 558 / 585 476 / 524 365 / 410 350 / 397 442 / 495 502 / 552 705 / 738 937 / 889 669 / 671 344 / 394 1146/1372 468 / 505 379 / 432 670 / 693 0528+134 1749+096 N = 1653 N = 1516 362 453 368 334 321 397 425 682 868 606 328 852 389 338 690 / / / / / / / / / / / / / / / 370 436 368 337 321 409 444 633 706 526 330 978 366 346 630 312 433 323 234 238 303 393 657 857 650 242 789 296 260 660 / / / / / / / / / / / / / / / 353 433 350 261 261 348 407 620 709 563 281 915 337 295 620 Медиана 457 512 442 394 400 464 522 675 740 577 382 906 446 402 680 / 515 / 557 / 499 / 449 / 456 / 529 / 585 / 718 / 767 / 588 / 430 /1076 / 501 / 468 / 732

bkg000c dgf000f dgf000g gsf001a gsf003a iaa001b iaa001c mao000b mao006a opa000b opa002a sai000b sha006a usn000d usn001a

мированы выборки из исходных рядов (выборочные ряды) для источников и сессий, общих для всех исходных решений. Для этих выборочных рядов были вычислены для каждого ряда и источника среднее значение, линейный тренд (скорость), СКО и ДА. Кроме того, для каждого решения были вычислены медианные значения указанных величин по всем источникам как общий индекс шума, присущий данному ряду. В табл. 2 приведены данные, относящиеся к шумовой составляющей рядов координат источников для семи источников, наблюдавшихся наиболее часто. В настоящей работе нас интересует сравнение двух оценок величины случайной (шумовой) составляющей: СКО и ДА. Можно видеть, что в большинстве случаев они довольно близки между собой, однако наблюдаются и явные отличия. Сопоставление 67


З. М. МАЛКИН

Таблица 3. Оценки СКО и ДА для источника 0528+134
Dacosd, мксд Ряд СКО ДА СКО ДА Dd, мксд

usn000d usn001a

205 356

185 352

253 568

277 506

значений СКО и ДА с графиками изменений координат источников показывает, что разность СКО - ДА тем больше, чем значительнее систематические изменения координат. Например, сопоставим данные рядов координат источника 0528+134 usn000d и usn001a. Для более детального сравнения с рис. 3 приведем значения СКО и ДА для каждой координаты отдельно (табл. 3). Как можно видеть из рис. 3, систематические изменения прямого восхождения для двух сравниваемых рядов близки между собой, и значения СКО и ДА тоже примерно одинаковы. Но все же можно заметить, что разность СКО - ДА для ряда usn000d больше, что объясняется меньшим общим уровнем шума по сравнению с usn001a. Вследствие этого близкие по величине для двух рядов систематические изменения прямого восхождения больше сказываются на соотношении оценок СКО и ДА для этого ряда. С другой стороны, в ряде usn001a наблюдаются более значительные систематические изменения склонения источника, что соответствует существенно меньшему значению ДА по сравнению с СКО для этого случая (см. табл. 3). В результате можно сказать, что практика подтверждает сделанное выше заключение о малой чувствительности ВА к систематическим изменениям в изучаемом сигнале и, как следствие, большую устойчивость этой оценки величины случайной составляющей по сравнению с СКО. Этот же пример показывает, что для получения оценки СКО, не искаженной систематическими изменениями координат источника, требуется довольно тонкая и неоднозначная работа по аппроксимации и исключению этой систематической составляющей, в то время как при использовании ДА этот результат достигается автоматически. Свойство малой зависимости ДА от систематических изменений делает ее предпочтительной и для оценки случайных вариаций координат станций. В работе З. М. Малкина и А. В. Воинова [13] на основе сравнения шумовой составляющей в рядах координат станций европейской GPS-сети EUREF было показано преимущество предложенного авторами метода обработки без фиксации координат опорных станций. Этот же метод можно применить и к современным наблюдениям для сравнения рядов координат станций как одну из возможных оценок качества наблюдательных данных. Для примера возьмем российские и украинские станции, входящие в сеть EPN (European Permanent GPS Network). Для анализа мы воспользуемся еженедельными значениями координат станций, доступными в Центральном бюро EPN [ftp.epncb.oma.be]. Чтобы сделать сравнение более строгим, 68


ИССЛЕДОВАНИЕ АСТРОНОМИЧЕСКИХ И ГЕОДЕЗИЧЕСКИХ РЯДОВ

Таблица 4. Значения ДА для российских и украинских станций EPN для восточной (E), северной (N) и зенитной (U) составляющих смещения станции
ДА, мм Станция Расположение E N U

CNIV EVPA GLSV KHAR MDVJ MIKL POLV PULK SULP SVTL UZHL ZECK

Чернигов Евпатория Голосиив Харьков Менделеево Николаев Полтава Пулково Львов Светлое Ужгород Зеленчукская

2.8 0.7 1.1 1.6 1.1 0.7 0.9 0.7 0.6 0.7 0.9 0.9

1.6 0.6 0.8 0.9 0.9 0.5 0.5 0.6 0.5 0.7 0.6 0.8

2.6 1.9 2.7 3.2 4.8 1.9 2.9 2.7 1.9 2.4 1.8 2.2

были отобраны четыре российские и восемь украинских GPS-станций, работавших в период с мая 2008 г. (дата включения пулковской станции PULK в EPN) по июнь 2009 г. (GPS-недели 1480--1536). Собственно говоря, в обработку вошли все станции, работающие в настоящее время, кроме станции ALCI, недавно вошедшей в EPN. Станция KHAR имела перерыв в данных около 5 месяцев, но оставлена в этом сравнении. В табл. 4 приведены значения ДА для этих станций для трех составляющих смещения в топоцентрической системе координат. Эти данные позволяют оценить случайную составляющую вариации координат, которая может быть индикатором качества приемника, антенны, стабильности ее установки и, возможно, других факторов. Еще раз подчеркнем, что ДА служит оценкой только случайной составляющей смещения станции, и ее величина, как правило, мало коррелирует с величиной систематических составляющих смещения, основными из которых обычно являются тренды и сезонные вариации, а иногда и скачки в координатах.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

ВА является эффективной и перспективной статистикой для исследования временных рядов наблюдательных данных. Будучи использованной в дополнение к другим традиционным методам исследований, она позволяет получать независимые данные о шумовом компоненте изучаемых сигналов, практически не зависящие от наличия в них долгопериодических составляющих и скачков, в отличие от обычно применяемой оценки СКО. ВА также позволяет изучать спектральные свойства шумовой составляющей более эффективно с вычислительной точки зрения, чем прямое вычисление спектра сигнала. 69


З. М. МАЛКИН

Для изучения неравноточных и многомерных рядов данных, характерных для многих практических приложений в астрономии, геодезии и геодинамике, могут быть использованы предложенные автором модификации классической ВА [12]. На примере реальных данных показано, что взвешенная оценка ВА более устойчива к выбросам, чем классическая.
1. Allan D.W. Statistics of atomic frequency standards // Proc. IEEE.--1966.--54, N 2.--P. 221--230. 2. Bregni S., Primerano L. Using the modified allan variance for accurate estimation of the Hurst parameter of long-range dependent traffic. -- 2005, arXiv:cs/0510006 3. Feissel M. Stability of polar motion time series // Proc. Intern. Symp. on Space Techniques for Geodynamics, Sopron, Hungary, July 9--13, 1984 // Eds J. Somogyi, C. Reigber. -- Sopron, 1984.--Vol. 1.--P. 255--261. 4. Feissel M., Gontier A.-M., Eubanks T. M. Spatial variability of compact extragalactic radiosources // Astron. and Astrophys.--2000.--359.-- P. 1201--1204. 5. Feissel-Vernier M. Selecting stable extragalactic compact radio sources from the permanent astrogeodetic VLBI program // Astron. and Astrophys.--2003.--403.-- P. 105--110. 6. Feissel-Vernier M., de Viron O., Le Bail K. Stability of VLBI, SLR, DORIS, and GPS positioning // Earth Planets Space.--2007.--59, N 6.--P. 475--497. 7. Feissel-Vernier M., Le Bail K., Berio P., et al. Geocentre motion measured with DORIS and SLR, and predicted by geophysical models // J. Geodesy.--2006.--80, N 8-- 11.--P. 637--648. 8. Gambis D. Allan variance in earth rotation time series analysis // Adv. Space Res.-- 2002.--30, N 2.--P. 207--212. 9. Le Bail K., Feissel-Vernier M. Time series statistics of the DORIS and GPS colocated observations // Geophys. Res. Abs.--2003.--5.--A-04078.--(EGS-AGU-EUG Joint Assembly, 6--11 Apr 2003, Nice, France). 10. Ma C. Steps towards the next radio realization of the ICRS // Proc. Journees Systemes de Rуeference Spatio-temporels 2004, Paris, 20--22 Sep 2004 / Ed. by N. Capitaine. -- Paris, 2005.--P. 3--7. 11. Malkin Z. On construction of ICRF-2 // Measuring the Future: Proc. Fifth IVS General Meeting / Eds A. Finkelstein, D. Behrend. -- 2008.--P. 256--260. 12. Malkin Z. On the accuracy assessment of celestial reference frame realizations // J. Geodesy.--2008.--82, N 6.--P. 325--329. 13. Malkin Z. M., Voinov A. V. Preliminary results of processing EUREF network observations using a non-fiducial strategy // Phys. Chem. Earth. A.--2001.--26, N 6--8.-- P. 579--583. 14. Nikolaidis R. Observation of geodetic and seismic deformation with the Global Positioning System: Ph.D. Thesis. -- San Diego: University of California, 2002. 15. Roberts C.A., Morgan P., Rizos C. Allan variance applied to time series baseline results for GPS-based deformation monitoring applications // 2nd Symposium on Geodesy for Geotechnical and Structural Applications, Berlin, Germany, 21--24 May, 2002 // Eds H. Kahmen, W. Niemeier, G. Retscher. -- Berlin, 2002. -- P. 299--311. 16. Schluter W., Behrend D. The international VLBI service for geodesy and astrometry (IVS): current capabilities and future prospects // J. Geodesy.--2007.--81, N 6-- 8.--P. 379--387. 17. Sokolova Ju., Malkin Z. On comparison and combination of catalogues of radio source positions // Astron. and Astrophys.--2007.--474, N 2.--P. 665--670. 18. Williams S.D.P. The effect of coloured noise on the uncertainties of rates estimated from geodetic time series // J. Geodesy.--2003.--76, N 9--10.-- P. 483--494.
Поступила в редакцию 22.06.09

70