В 2001 г. был продолжен подбор аналитических выражений, описывающих форму искомого решения. В качестве базовой 1D физической задачи рассмотрена теоретическая задача рассеяния носителей заряда на гетероструктурах. Ее решение в настоящее время играет ключевую роль в создании элементной базы современной информатики. Был развит численно - аналитический метод расчета состояний непрерывного спектра в системах с квантовыми ямами с произвольным профилем потенциала, описываемых системой связанных уравнений Шредингера. С его помощью получены аналитические выражения для зависимости коэффициентов прохождения и отражения дырок, а также времен задержки, от энергии падающей дырки для различных значений параметров структур и величины ее импульса. Показано, что в зависимости от энергии квазичастицы рассеяние может описываться зависимостями без резонансов, с одним резонансом, а также с набором резонансных пиков, соответствующих числу ям. При этом каждый пик характеризуется 3 параметрами в рамках закона Брейта-Вигнера. Полученные резонансные зависимости являются исходными выражениями для последующего применения нелинейной аппроксимации.

Результаты этой части работы доложены на конференции и были включены в статью, находившуюся в печати, в процессе ее переработки.

С описанными выше функциями численно решено интегрального уравнения Фредгольма первого рода, в котором правая часть задана в виде конечного числа экспериментальных значений, измеренных с ненулевой ошибкой. Использование в 2001 году физически более адекватного закона Брейта-Вигнера в отличие от гауссовой аппроксимации прообразов, применявшейся ранее, позволило улучшить устойчивость решения. Применительно к конкретным экспериментальным данным задача сводится к определению 6-9 параметров, что соответствует нахождению 2-3 пиков. Разработка алгоритма и решение обратной задачи производится в среде MatLab.

При исследовании 2D задач в 2001 г. в проекте продолжена работа по 1-му пункту программы: постановке математической задачи по восстановлению амплитуд пиков 2D распределений физических величин.

В качестве базовой 2D физической задачи рассмотрена задача пассивной акустической термотомографии.

Измеряется набор (вектор b) интенсивностей теплового акустического излучения, получаемых при сканировании объекта. Величина b, измеряемая с некоторой известной ошибкой, определяется распределением температуры объекта u (или ее Фурье-образом) посредством соотношения Au=b (уравнение (1)). Решение этого уравнения является некорректно поставленной задачей, и для ее решения необходимо использовать методы регуляризации. В качестве априорной информации было использовано то условие, что это решение интегрального уравнения 1-го рода ищется в классе функций, удовлетворяющих неоднородному уравнению теплопроводности Lu=q (уравнение (2)),где L - дифференциальный оператор, u - искомая величина, q>=0 - плотность источников тепла. Этот оператор учитывает то обстоятельство, что распределение температуры в теле человека должно удовлетворять уравнению температуропроводности с учетом конвективного теплопереноса, обеспечиваемого кровотоком. Использование условия (2) осложняется тем, что правая часть неизвестна. В настоящий момент рассмотрены две возможные постановки задачи. Первая из них, приводящая к методу регуляризации по Тихонову, минимизирует невязку измеряемых интенсивностей теплового излучения при дополнительном условии, выражаемым уравнением (2). Вторая постановка, приводящая к задаче квадратичного программирования, минимизирует сумму средних квадратов температуры и источника, при ограничениях, задаваемых неравенствами, которые определяют допустимый коридор отклонений от экспериментально измеряемых величин вектора b. В 2002 г. планируется сопоставить эти альтернативные постановки задачи.

В 2001 г. были исследованы итерационные алгоритмы восстановления сигналов и изображений, получаемых из решения интегральных уравнений 1-го рода, в том числе в классе функций, удовлетворяющих неоднородному уравнению теплопроводности. Показано, что целесообразно использовать лишь первую итерацию, соответствующую нулевому источнику в уравнении (2). Дальнейшие итерации, использующие оценку параметров источника из первой итерации, практически, не улучшают решения и здесь целесообразно использовать другие методы (см. ниже).

В 2001 г. была продолжена разработка алгоритмов восстановления сигналов и изображений, получаемых из решения интегральных уравнений 1-го рода в классе функций, удовлетворяющих неоднородному уравнению теплопроводности, при задании факта существования источников в виде неравенств u>=0, Lu>=0 методами математического программирования.

При этом постановка задачи в явном виде учитывает существование правой части в уравнении (2) и ориентирована на решение задачи в равномерной норме.

Предложен новый функционал, включающий в себя сумму квадратичных норм температуры и плотности ее источников. Ограничениями являются уравнение (2), а также неравенства, учитывающие то обстоятельство, что абсолютная величина невязки при каждом измерении по модулю меньше ошибки измерений.

Поскольку множество ограничений описывается достаточно сложно, был осуществлен переход к двойственной задаче, которая сведена к задаче квадратичного программирования.

При этом был использован новый вектор переменных, в котором часть элементов соответствовала температуре объекта, а часть - плотности источников. Задача была сведена к типовой и решена с помощью среды разработки MatLab 5.2, optimization toolbox.

Разработанный метод, как показали численные эксперименты, дает лучшее качество восстановления, чем стандартный метод глобальной регуляризации по Тихонову, в котором не учитывается информация о теплофизических свойствах среды и об источниках. Так, например, при восстановлении распределения с двумя пиками разной высоты, он восстанавливает оба пика, в то время, как стандартный алгоритм способен восстановить только больший из них. Кроме того этот метод дает и меньшую систематическую ошибку в максимуме распределения.

В 2001 г. были продолжены исследования в рамках п. 2 и п. 4 основной заявки (разработка алгоритмов восстановления сигналов, получаемых из решения интегральных уравнений 1-го рода при учете априорной физической информации о форме искомого решения, выраженной в виде аналитических выражений, методами нелинейной аппроксимации правой части интегрального уравнения).

Проблема точного восстановления пиков физических величин при решении обратной задачи в общем случае определяется учетом в максимальной степени априорной информации о решении. Это в первую очередь это относится к информации о плотности тепловых источников q.

В 2001 г. получено строгое решение указанной выше 2D обратной задачи в рамках схемы регуляризации по Тихонову, используя различные оценки вклада теплового источника в уравнение (2). Как известно, согласно результатам работы (Боровиков и др., 1999), общее решение задачи следует искать путем минимизации функционала, включающего в себя три члена: невязку интегрального уравнения, регуляризатор Тихонова и невязку дифференциального уравнения. Достаточно учитывать лишь два из них. Учет двух первых членов приводил к использованию метода глобальной регуляризации по Тихонову; учет первого и третьего - к методу локальной регуляризации по Тихонову, причем ранее искали лишь приближенное решение, соответствующее источнику нулевой интенсивности. К сожалению, оба приближения давали большую абсолютную ошибку в определении высоты пиков (до 50%), хотя лучшие результаты, с меньшей ошибкой давала локальная регуляризация.

Необходимо было выяснить, является ли большая систематическая ошибка при использовании локальной регуляризации следствием сделанного приближения об источнике 'нулевой' интенсивности, и может ли исправить положение более корректный учет ограничений.

Чтобы учесть информацию только о существовании уравнения (2), была использована замена переменных на новый вектор удвоенной длины, половину элементов которого составляют фурье-компоненты температуры, а половину - компоненты источника, предложенная в работе (Босняков и Обухов, 2000). При такой замене уравнения (1) и (2) сохраняются, меняется лишь вид операторов A и L, и уравнение (2) становится однородным. Эта задача имеет строгое решение методом локальной регуляризации, и как показал анализ, это решение совпадает с приближенным решением методом локальной регуляризации, полученным нами ранее для случая q=0 для такого же числа измерений (той же длины вектора b).Таким образом априорная информация о существовании биотеплового уравнения (2) приводит к использованию алгоритма локальной регуляризации по Тихонову.

Единственное отличие 'строгого' применения метода от приближенного, использованного ранее, состоит в том, что число измерений должно быть больше не длины вектора температур, а удвоенного значения этой величины. Это уточнение, практически, не уменьшает ошибку восстановления максимальных значений температуры - ранее было показано, что на нее слабо влияет число измерений (Бограчев и Пасечник, 1999).

Точность восстановления максимумов удается улучшить радикально при использовании информации о факте существовании одного или нескольких источников тепла и возможных их параметрах. Идейно этот метод близок к методике учета априорной физической информации о форме искомого решения, выраженной в виде аналитических выражений (п. 4 основной заявки). Существенное отличие состоит в том, что данные функции не описывают непосредственно искомые величины, а входят опосредованно через правую часть дифференциального уравнения в частных производных. Учитывая эту особенность данный метод был назван 'методом стандартного источника'.

В рамках 'метода стандартного источника' для описания экспериментальных данных минимизируется невязка при варьируемых параметрах источника (источников). Используется итерационная схема минимизации невязки. В каждой итерации в уравнении (2) для фурье-компонент температуры фурье-компоненты теплового источника считаются заданными. Задача минимизации получающегося на этом шаге функционала решается методом локальной регуляризации по Тихонову, и определяется остаточная невязка. В последующих итерациях задаются новые значения параметров источника в соответствии с процедурой минимизации остаточной невязки.Метод позволяет восстановить высоту температурного пика с высокой точностью.

Методика численного моделирования в основном подробно описана в прошлогоднем отчете. Источник описывали гауссовой функцией и характеризовали 4-мя параметрами: двумя кооординатами, интенсивностью и характерным пространственным размером. Соответствующие программы были написаны в среде MatLab 5.3.

Как показало исследование, главная ошибка в восстановлении максимального значения температуры связана с конечным шагом пространственной дискретизации, который определяется постановкой исходной физической задачи (ограниченным числом независимых измерений). При реальных параметрах задачи поперечный пространственный размер источника сравним с шагом дискретизации. Это приводит к существованию наряду с глобальным минимумом и ряда локальных минимумов. Планируется исследовать этот вопрос в следующем году.

В соответствие с п.5 основной заявки в 2001 г. проводилось экспериментальное опробование разработанных алгоритмов восстановления пиков физических величин в численных экспериментах (восстановление 2-D распределений) и на данных, полученных в ходе физических экспериментов (1D - распределения).

Кроме того проводилась проработка возможностей практического применения разрабатываемых алгоритмов восстановления максимальных значений измеряемых физических величин.

Анализ технических возможностей современных акустических методов исследования биологических объектов показал, что схема сканирования, определяющая матрицу A уравнения (1), должна быть пересмотрена. Для реальных физических устройств размер антенной решетки оказывается весьма малым, что приводит к плохой обусловленности матрицы A. Выходом из этого положения могла бы быть схема сканирования, при которой аппаратная функция локализована в пространстве по дальности. Такие функции для пассивной томографии не описаны.

В 2001 г. впервые удалось показать теоретически возможность создать аппаратную функцию термотографа, локализованную в пространстве. Это позволяет решить обратную задачу по восстановлению температурного распределения в среде и использовать уже полученные результаты для уточнения пиковых значений температуры, а также открывает новые возможности для восстановления высот пиков с высокой точностью.

Кроме того в рамках поставленной на 2001 г. задачи по проработке возможностей практического применения результатов нами были подготовлены выступления на ряде конференций различной направленности (акустической, по радиэлектронике в медицине и др.) и опубликованы тезисы докладов и статьи с изложением основ физического метода и результатов решения обратных математических задач.