Документ взят из кэша поисковой машины. Адрес
оригинального документа
: http://www.cplire.ru/rus/eldis/eldis_142_3.htm
Дата изменения: Sat Jun 22 08:55:36 2002 Дата индексирования: Tue Oct 2 02:01:35 2012 Кодировка: Windows-1251 Поисковые слова: m 103 |
![]() |
xx | |
x | ОБРАБОТКА СИГНАЛОВ Методы и алгоритмы восстановления 1D и 2Dраспределений физических величин, направленные на повышение точности восстановления амплитуд пиков На 2001 г. были сформулированы ниже перечисленные цели научных исследований: 1. Продолжение начатых в 2000 г. работ по разработке и сравнению различных алгоритмов восстановления физических величин с ориентацией на уменьшение систематической ошибки восстановления высот пиков. 2. Исследование эффективности алгоритмов в широком диапазоне изменения параметров задач. 3. Проработка возможностей практического применения моделей. Подготовка публикаций. За 2001 г. получены важнейшие результаты. 1.
Проблема минимизации функционала со сложными
ограничениями, возникающая при решении 2D
некорректной обратной задачи акустической
термотомографии за счет учета априорной
информации об уравнении теплопередачи, сведена к
двойственной задаче, которая решена методом
квадратичного программирования. В 2001 г. был продолжен подбор аналитических выражений, описывающих форму искомого решения. В качестве базовой 1D физической задачи рассмотрена теоретическая задача рассеяния носителей заряда на гетероструктурах. Ее решение в настоящее время играет ключевую роль в создании элементной базы современной информатики. Был развит численно - аналитический метод расчета состояний непрерывного спектра в системах с квантовыми ямами с произвольным профилем потенциала, описываемых системой связанных уравнений Шредингера. С его помощью получены аналитические выражения для зависимости коэффициентов прохождения и отражения дырок, а также времен задержки, от энергии падающей дырки для различных значений параметров структур и величины ее импульса. Показано, что в зависимости от энергии квазичастицы рассеяние может описываться зависимостями без резонансов, с одним резонансом, а также с набором резонансных пиков, соответствующих числу ям. При этом каждый пик характеризуется 3 параметрами в рамках закона Брейта-Вигнера. Полученные резонансные зависимости являются исходными выражениями для последующего применения нелинейной аппроксимации.Результаты этой части работы доложены на конференции и были включены в статью, находившуюся в печати, в процессе ее переработки. С описанными выше функциями численно решено интегрального уравнения Фредгольма первого рода, в котором правая часть задана в виде конечного числа экспериментальных значений, измеренных с ненулевой ошибкой. Использование в 2001 году физически более адекватного закона Брейта-Вигнера в отличие от гауссовой аппроксимации прообразов, применявшейся ранее, позволило улучшить устойчивость решения. Применительно к конкретным экспериментальным данным задача сводится к определению 6-9 параметров, что соответствует нахождению 2-3 пиков. Разработка алгоритма и решение обратной задачи производится в среде MatLab. При исследовании 2D задач в 2001 г. в проекте продолжена работа по 1-му пункту программы: постановке математической задачи по восстановлению амплитуд пиков 2D распределений физических величин. В качестве базовой 2D физической задачи рассмотрена задача пассивной акустической термотомографии. Измеряется набор (вектор b) интенсивностей теплового акустического излучения, получаемых при сканировании объекта. Величина b, измеряемая с некоторой известной ошибкой, определяется распределением температуры объекта u (или ее Фурье-образом) посредством соотношения Au=b (уравнение (1)). Решение этого уравнения является некорректно поставленной задачей, и для ее решения необходимо использовать методы регуляризации. В качестве априорной информации было использовано то условие, что это решение интегрального уравнения 1-го рода ищется в классе функций, удовлетворяющих неоднородному уравнению теплопроводности Lu=q (уравнение (2)),где L - дифференциальный оператор, u - искомая величина, q>=0 - плотность источников тепла. Этот оператор учитывает то обстоятельство, что распределение температуры в теле человека должно удовлетворять уравнению температуропроводности с учетом конвективного теплопереноса, обеспечиваемого кровотоком. Использование условия (2) осложняется тем, что правая часть неизвестна. В настоящий момент рассмотрены две возможные постановки задачи. Первая из них, приводящая к методу регуляризации по Тихонову, минимизирует невязку измеряемых интенсивностей теплового излучения при дополнительном условии, выражаемым уравнением (2). Вторая постановка, приводящая к задаче квадратичного программирования, минимизирует сумму средних квадратов температуры и источника, при ограничениях, задаваемых неравенствами, которые определяют допустимый коридор отклонений от экспериментально измеряемых величин вектора b. В 2002 г. планируется сопоставить эти альтернативные постановки задачи. В 2001 г. были исследованы итерационные алгоритмы восстановления сигналов и изображений, получаемых из решения интегральных уравнений 1-го рода, в том числе в классе функций, удовлетворяющих неоднородному уравнению теплопроводности. Показано, что целесообразно использовать лишь первую итерацию, соответствующую нулевому источнику в уравнении (2). Дальнейшие итерации, использующие оценку параметров источника из первой итерации, практически, не улучшают решения и здесь целесообразно использовать другие методы (см. ниже). В 2001 г. была продолжена разработка алгоритмов восстановления сигналов и изображений, получаемых из решения интегральных уравнений 1-го рода в классе функций, удовлетворяющих неоднородному уравнению теплопроводности, при задании факта существования источников в виде неравенств u>=0, Lu>=0 методами математического программирования. При этом постановка задачи в явном виде учитывает существование правой части в уравнении (2) и ориентирована на решение задачи в равномерной норме. Предложен новый функционал, включающий в себя сумму квадратичных норм температуры и плотности ее источников. Ограничениями являются уравнение (2), а также неравенства, учитывающие то обстоятельство, что абсолютная величина невязки при каждом измерении по модулю меньше ошибки измерений. Поскольку множество ограничений описывается достаточно сложно, был осуществлен переход к двойственной задаче, которая сведена к задаче квадратичного программирования. При этом был использован новый вектор переменных, в котором часть элементов соответствовала температуре объекта, а часть - плотности источников. Задача была сведена к типовой и решена с помощью среды разработки MatLab 5.2, optimization toolbox. Разработанный метод, как показали численные эксперименты, дает лучшее качество восстановления, чем стандартный метод глобальной регуляризации по Тихонову, в котором не учитывается информация о теплофизических свойствах среды и об источниках. Так, например, при восстановлении распределения с двумя пиками разной высоты, он восстанавливает оба пика, в то время, как стандартный алгоритм способен восстановить только больший из них. Кроме того этот метод дает и меньшую систематическую ошибку в максимуме распределения. В 2001 г. были продолжены исследования в рамках п. 2 и п. 4 основной заявки (разработка алгоритмов восстановления сигналов, получаемых из решения интегральных уравнений 1-го рода при учете априорной физической информации о форме искомого решения, выраженной в виде аналитических выражений, методами нелинейной аппроксимации правой части интегрального уравнения). Проблема точного восстановления пиков физических величин при решении обратной задачи в общем случае определяется учетом в максимальной степени априорной информации о решении. Это в первую очередь это относится к информации о плотности тепловых источников q. В 2001 г. получено строгое решение указанной выше 2D обратной задачи в рамках схемы регуляризации по Тихонову, используя различные оценки вклада теплового источника в уравнение (2). Как известно, согласно результатам работы (Боровиков и др., 1999), общее решение задачи следует искать путем минимизации функционала, включающего в себя три члена: невязку интегрального уравнения, регуляризатор Тихонова и невязку дифференциального уравнения. Достаточно учитывать лишь два из них. Учет двух первых членов приводил к использованию метода глобальной регуляризации по Тихонову; учет первого и третьего - к методу локальной регуляризации по Тихонову, причем ранее искали лишь приближенное решение, соответствующее источнику нулевой интенсивности. К сожалению, оба приближения давали большую абсолютную ошибку в определении высоты пиков (до 50%), хотя лучшие результаты, с меньшей ошибкой давала локальная регуляризация. Необходимо было выяснить, является ли большая систематическая ошибка при использовании локальной регуляризации следствием сделанного приближения об источнике 'нулевой' интенсивности, и может ли исправить положение более корректный учет ограничений. Чтобы учесть информацию только о существовании уравнения (2), была использована замена переменных на новый вектор удвоенной длины, половину элементов которого составляют фурье-компоненты температуры, а половину - компоненты источника, предложенная в работе (Босняков и Обухов, 2000). При такой замене уравнения (1) и (2) сохраняются, меняется лишь вид операторов A и L, и уравнение (2) становится однородным. Эта задача имеет строгое решение методом локальной регуляризации, и как показал анализ, это решение совпадает с приближенным решением методом локальной регуляризации, полученным нами ранее для случая q=0 для такого же числа измерений (той же длины вектора b).Таким образом априорная информация о существовании биотеплового уравнения (2) приводит к использованию алгоритма локальной регуляризации по Тихонову. Единственное отличие 'строгого' применения метода от приближенного, использованного ранее, состоит в том, что число измерений должно быть больше не длины вектора температур, а удвоенного значения этой величины. Это уточнение, практически, не уменьшает ошибку восстановления максимальных значений температуры - ранее было показано, что на нее слабо влияет число измерений (Бограчев и Пасечник, 1999). Точность восстановления максимумов удается улучшить радикально при использовании информации о факте существовании одного или нескольких источников тепла и возможных их параметрах. Идейно этот метод близок к методике учета априорной физической информации о форме искомого решения, выраженной в виде аналитических выражений (п. 4 основной заявки). Существенное отличие состоит в том, что данные функции не описывают непосредственно искомые величины, а входят опосредованно через правую часть дифференциального уравнения в частных производных. Учитывая эту особенность данный метод был назван 'методом стандартного источника'. В рамках 'метода стандартного источника' для описания экспериментальных данных минимизируется невязка при варьируемых параметрах источника (источников). Используется итерационная схема минимизации невязки. В каждой итерации в уравнении (2) для фурье-компонент температуры фурье-компоненты теплового источника считаются заданными. Задача минимизации получающегося на этом шаге функционала решается методом локальной регуляризации по Тихонову, и определяется остаточная невязка. В последующих итерациях задаются новые значения параметров источника в соответствии с процедурой минимизации остаточной невязки.Метод позволяет восстановить высоту температурного пика с высокой точностью. Методика численного моделирования в основном подробно описана в прошлогоднем отчете. Источник описывали гауссовой функцией и характеризовали 4-мя параметрами: двумя кооординатами, интенсивностью и характерным пространственным размером. Соответствующие программы были написаны в среде MatLab 5.3. Как показало исследование, главная ошибка в восстановлении максимального значения температуры связана с конечным шагом пространственной дискретизации, который определяется постановкой исходной физической задачи (ограниченным числом независимых измерений). При реальных параметрах задачи поперечный пространственный размер источника сравним с шагом дискретизации. Это приводит к существованию наряду с глобальным минимумом и ряда локальных минимумов. Планируется исследовать этот вопрос в следующем году. В соответствие с п.5 основной заявки в 2001 г. проводилось экспериментальное опробование разработанных алгоритмов восстановления пиков физических величин в численных экспериментах (восстановление 2-D распределений) и на данных, полученных в ходе физических экспериментов (1D - распределения). Кроме того проводилась проработка возможностей практического применения разрабатываемых алгоритмов восстановления максимальных значений измеряемых физических величин. Анализ технических возможностей современных акустических методов исследования биологических объектов показал, что схема сканирования, определяющая матрицу A уравнения (1), должна быть пересмотрена. Для реальных физических устройств размер антенной решетки оказывается весьма малым, что приводит к плохой обусловленности матрицы A. Выходом из этого положения могла бы быть схема сканирования, при которой аппаратная функция локализована в пространстве по дальности. Такие функции для пассивной томографии не описаны. В 2001 г. впервые удалось показать теоретически возможность создать аппаратную функцию термотографа, локализованную в пространстве. Это позволяет решить обратную задачу по восстановлению температурного распределения в среде и использовать уже полученные результаты для уточнения пиковых значений температуры, а также открывает новые возможности для восстановления высот пиков с высокой точностью. Кроме того в рамках поставленной на 2001 г. задачи по проработке возможностей практического применения результатов нами были подготовлены выступления на ряде конференций различной направленности (акустической, по радиэлектронике в медицине и др.) и опубликованы тезисы докладов и статьи с изложением основ физического метода и результатов решения обратных математических задач. |
x |
x | ![]() |