"На кромке хАоса и хаОса" Л. Левкович-Маслюк "Хаос. Тупики, парадоксы, надежды" Г. Малинецкий "Детерминированный хаос и информационные технологии" А. Дмитриев "Нелинейная динамика, теория динамического хаоса и синергетика (перспективы и приложения)" А. Лоскутов "Что такое хаос?"

На кромке хАоса и хаОса

Леонид Левкович-Маслюк старший научный сотрудник Института прикладной математики им. М. В. Келдыша РАН, кандидат физико-математических наук levkovl@keldysh.ru

"Кризис-с..." - сокрушается иной раз Евгений Козловский. А если посмотреть чуть глубже? Хаос-с, господа! Но это слово, как ни странно, имеет два почти противоположных значения. Вопрос в малом: ударение! Попадет оно на первый слог - и это будет хаос, первозданный вихрь бесчисленных возможностей и творческих потенций. Попадет на второй - получится хаос, согласно словарю, унылый "полный беспорядок". Замечательно, что ситуация выбора встроена в само слово... Наш выбор очевиден: в статьях, предлагаемых вниманию читателя, ударение твердо поставлено на первый слог.

Читая статьи темы этого номера в том порядке, в котором они напечатаны, вы сначала ознакомитесь с исключительно интересным и энергичным обзором Георгия Малинецкого перспектив "нелинейной науки" и науки вообще; затем узнаете о разработанной Александром Дмитриевым необычной и эффективной технологии хранения, распознавания и поиска информации, основанной на свойствах хаотических динамических систем; а после этого Александр Лоскутов расскажет о новейших идеях применения хаоса в шифровании сообщений, борьбе с сердечной аритмией и прогнозировании финансовых рядов.

Все три автора являются признанными авторитетами в своих областях. Они рассказывают в основном о собственных оригинальных работах и идеях, стараясь придерживаться принятого в "Компьютерре" принципа "просто о сложном".

Я же в качестве вступления предлагаю задуматься над удивительно красивым и простым по форме открытием, сделанным киевским математиком Шарковским в середине 60-х годов. Тогда "науки о хаосе" еще и в помине не было. Только после статьи двух американских звезд нелинейной динамики, вышедшей ровно десять лет спустя, всем в мире вдруг стало ясно, что "порядок Шарковского" и есть одно из главных достижений этой науки.

Все знают, что единица меньше двух, а два меньше трех. Опыт посещения магазинов с детства прививает простую мысль:

1 < 2 < 3 < 4 < 5 < ...

А самого большого числа - нет и быть не может. Оказывается, с точки зрения хаотической динамики все обстоит совершенно иначе. Самое маленькое число - 3. Самое большое - существует и равно... 1. А остальные втиснуты между ними в довольно странном порядке - "порядке Шарковского":

3 < 5 < 7 < 9 < ... < 2*3 < 2*5 < 2*7 ... < 2²*3 < 2²*5 < 2²*7 ...

... < 2³*3 < 2³*5 < 2³*7 ... ... < 2ⁿ < 2^n-1 ... < 2 < 1

(Сначала идут все нечетные числа, потом все нечетные, умноженные на 2, потом - на 4, и т. д. После бесконечного множества таких бесконечных "секций" стоит секция степеней двойки, выстроенных в обратном порядке.)

В чем же тут "сермяга"? Вот в чем. Моделью многих видов хаотического поведения являются итерационные процессы, связанные с очень простыми функциями, зависящими только от одной переменной. Возьмем какую-нибудь функцию f(x). Выберем какое-нибудь число x₀. И будем следить за тем, как себя ведет последовательность x₀, x₁ = f(x₀), x₂ = f(x₁), ..., x_n+1 = f(x_n). Такие процессы сплошь и рядом возникают в численных расчетах, при решении уравнений, - но там надо постараться, чтобы "иксы" сходились, куда хочется нам. А если проследить за тем, как они ведут себя "на свободе"? Например, какие из них через некоторое время возвращаются в исходное положение, образуя циклы? Странное, на первый взгляд, занятие (даже для математика). И тем не менее...

Что же выясняется? Некоторые иксы никуда не идут - это неподвижные точки, или циклы периода 1 (это та самая единица, которая больше всех в порядке Шарковского). Для таких иксов x₀ = f(x₀), и никакой динамики не возникает. Чуть более сложные циклы имеют период, или длину, 2: при втором применении f(x) мы возвращаемся туда, откуда начали: x₁ = f(x₀), x₀ = f(x₁). Могут быть циклы любой длины, но вот что забавно: если есть цикл длины 4, то обязательно есть циклы длины 2 и длины 1. Это очевидно. Но уже не просто забавно, а поразительно вот что: если есть цикл длины k, то обязательно есть и циклы всех длин, стоящих правее k в порядке Шарковского.

Теперь вспомним про тройку. Она стоит левее всех. Значит, если существует цикл длины 3, то есть и циклы любой длины. То есть, если хоть одна точка крутится по орбите длиной ровно 3, то есть другая точка, которая крутится по орбите длиной, к примеру, 10277634, еще одна - по орбите длины 33344 и так далее... А что это, как не хаос-с! Ли и Йорк (T. Y. Li, J. A. Yorke), те самые звезды-нелинейщики, так и назвали свою статью: "Период 3 влечет хаос". Это - совершенно универсальный факт, он не зависит от того, какую функцию f мы возьмем!

Такова математическая часть "сермяги". Другая ее часть состоит в том, что подобные простые модели качественно имитируют массу явлений природы. Но самое-то главное: почему 3? Можно, конечно, доказательство теоремы разобрать (некоторая математическая культура для этого нужна, но математические знания- нет; см., например: Я. Г. Синай. Современные проблемы эргодической теории. М., 1995) и без особого труда убедиться, что - да, действительно, тройка. Но - почему?..

А недавно выяснилось, что наблюдение за циклами может иметь вполне практический результат. На них можно записывать информацию, как это делает Александр Дмитриев со своими сотрудниками, и потом с большим удобством вытаскивать ее из памяти, зацепившись за небольшой сегмент цикла (это не просто идея, а уже реализованная и запатентованная технология). А можно и спрятать эту информацию в псевдослучайную динамику системы, чтобы потом расшифровать, подправив кое-какие параметры, - как делают Александр Лоскутов и его ученики...

Идея хаоса как парадоксальной, изменчивой основы видимого порядка вещей была близка и русской классической литературе. "Мир Гоголя, - писал Владимир Набоков, - сродни таким концепциям в современной физике, как "Вселенная-гармошка", или "Вселенная-взрыв"; он не похож на спокойно вращавшиеся, подобно часовому механизму, миры прошлого века. В литературном стиле есть своя кривизна, как и в пространстве, но немногим из русских читателей хочется нырнуть стремглав в гоголевский магический хаос".

Мне кажется - и хочется в это верить, - что сегодня идея творческого, продуктивного хаоса стала близкой нашему сознанию...

а также мнения "простых людей" о хаосе.

InformChaos Lab Home Page

Учебные и методические материалы по хаосу