М.П. - Михаил Пивоваров

В.К. - Владимир Колмановский (МИЭМ)

Н.А. - Натан Эйсмонт (ИКИ)

Р.Н. - Равиль Назиров

Б.Р. - Борис Рабинович (Академия приборостроения и информатики)

В.К. Усреднение в предыдущей задаче осуществлялось на отрезке порядка 1/epsilon ?

М.П. Во всех этих задачах усреднение происходит вдоль траекторий невозмущенного движения на эллипсоиде инерции за период этого движения. Оно периодическое.

В.К. Оценивалась ли разность между исходным движением и осредненным?

М.П. Конечно. Оценивалась, как это обычно делается, путем сравнения результатов численного интегрирования точных уравний с результатами, полученными приближенно аналитически. Точность усредненных уравнений зависит от величины малого параметра. В рассматриваемом классе задач малый параметр это отношение величины возмущающего момента к кинетической энергии вращения твердого тела.

Например, в изложенных только что двух конкретных задачах при величине малого параметра epsilon ~ 0.01 результаты приближенного аналитического исследования мало отличимы от точных.

В.К. В рассмотренных задачах некоторые проекции возмущающего момента на оси эллипсоида инерции равны нулю. Это существено для реализации указанного общего подхода?

М.П. Нет. Например, в задаче Черноусько о движении твердого тела с полостью, целиком заполненной сильно вязкой жидкостью, все три компоненты ненулевые.

В.К. Вы говорили об исследованиях Черноусько вращения твердого тела с подвижными массами при наличии упругой и вязкой связи. Решена ли эта задача до конца?

М.П. Нет. Черноусько предложил общий подход, позволяющий в асимптотическом приближении свести общую задачу к расматриваемому в докладе классу задач о вращении твердого тела с малым самовозбуждением. Решение конкретных задач требует очень громоздких выкладок, причем возникают и чисто математические трудности, например осреднение полиномов 4-ой и 5-ой степени от функций Якоби. При изложении общего подхода, в качестве примера, Черноусько рассмотрел только простейшие задачи, например, для тела со сферическим эллипсоидом инерции.

Н.Э. Основное требование в рассматриваемом в докладе классе задач чтобы момент сил был известен в связанной системе координат. А есть ли ограничения на эти моменты сил?

М.П. Только их малость.

Н.Э. Т.е. можно придумать такой момент сил, который будет менять только кинетическую энергию, но не будет менять кинетический момент?

М.П. Конечно. Такой момент уже придуман, например, вязкая жидкость на борту КА.

Н.Э. Я клоню к тому, что здесь есть не до конца решенная задача, которая появилась после полета Аврорального зонда проекта Интербол. На этом семинаре был замечательный доклад Б.И.Рабиновича, в котором описывалось решение этой задачи. Но у меня какое-то чувство неудовлетворенности остается. Мне кажется, что более естественно было бы искать причину увеличения угла нутации в изгибе антенн при изменении их освещенности. Нельзя ли использовать изложенный тобой подход для исследования этой задачи.

М.П. Мне кажется, что возможно. Я был бы рад закончить исследования в этой области задачей, предложенной тобой, как я и начинал задачей, сформулированной тобой.

Б.Р. Высказывания допустимы?

Р.Н. Да, конечно, прошу Вас.

М.П. Только, пожалуйста, положительные, Борис Исаакович.

Б.Р. Безусловно.

Я хотел бы привлечь внимание автора к некоторым работам, которые могут быть ему полезны в дальнейшей работе. Это работы Лаврентьева, Соболева и Крейна 42-го или 43-го года (тогда с грифом секретности) о вращении снаряда с жидкостью внутри. Мы тогда готовились к химической войне с немцами (чего к счастью не произошло), а снаряды опрокидавались, хотя были стабилизированы вращением. Учитывая невероятную сложность задачи, Лаврентьев предложил приближенную модель: твердый шар вложен в сферическую полость внутри твердого тела. В тонком слое между шаром и стенками полости находится жидкость с эмпирически подобранной вязкостью. Вот такая задача была решена, что внесло ясность в указанную проблему.

Соболев рассматривал эту проблему в сучае слабо вязкой жидкости внутри снаряда. Задача была столь серьезной, что Соболев придумал даже специальый раздел функционального анализа для ее решения. Эта работа была рассекречена в начале 60-ых. Крейн опубликовал цикл сложных математичесих работ, посвященных динамике тела с жидкостью. Есть еще цикл работ Ишлинского с учениками, где исследуется устойчивость вращения подвешенного на струне твердого тела с полостью, заполненной жидкостью, или без оной. Есть книга. Там есть и аналитика, и экспериментальные результаты. Наконец, в МТТ можно найти работу В.М.Рогового с обобщением некоторых результатов Ишлинского. Среди этих работ докладчик может найти что-то интересное для себя.

М.П. Спасибо. Интересно, что в книге Черноусько о динамике твердого тела с полостями, содержащими вязкую жидкость, есть решение задачи, в которой использована модель, аналогичная модели Лаврентьева.

Б.Р. А ссылка есть?

М.П. Я не помню.

Б.Р. Возможно, что Черноусько не знал эту работу, т.к. в то время она могла быть еще закрыта.

В.К. В Вашем докладе прозвучало слово 'управление'. В каком смысле?

М.П. Это касалось только задачи Граммеля. В этой задаче момент сил 'назначается' и зависит от желаемой и текущей проекции угловой скорости на продольную ось гироскопа. Для гироскопа это можно назвать управлением.

В.К. Т.е. фактически получается линейный регулятор?

М.П. Нет, почему линейный? В правой части не разности компонент, а разности их квадратов.

Б.И. Есть еще замечание, которое может быть полезно автору. В рамках тех гипотез, о которых докладчик говорил, можно сконструировать такое управление, при котором рассматриваемая система превращается в странный аттрактор. Я это говорю в связи с тем, что меня интересовала возможность найти такое управление ориентацией спутника, при котором его солнечные батареи сканируют всю небесную сферу и временами смотрят на Солнце. Это может быть способом спасения КА, потерявшего стабилизацию.

Р.Н. Кто-то еще хочет выступить? ...

М.П. Еще раз благодарю вас за внимание.