(18b) Quantité de mouvement

Recul

Commençons chercher la solution en considérant toute l'information fournie. Donnons l'indice 1 aux quantités liées au projectile et 2 à celles liées au canon, on a :

  Projectile :     m₁ = 10 kg            v₁ = 1000 m/s
    Canon:        m₂ = 1000 kg           v₂ = ?        

Si il y a des données inconnues dans un problème, la meilleure stratégie est habituellement de les dénommer chacune et d'essayer de trouver leurs réelles valeurs ou de les éliminer parce qu' elles ne sont pas essentielles à la solution.

Ces "acrobaties" peuvent être réalisées si les informations requises sont entièrement fournies dans la question. Mais il faut une certaine expérience pour en juger.

Quelles sont les données absentes des équations et qui sont nécessaires? D'abord, les forces (F₁, F₂) s'appliquant au projectile et au canon, et aussi la valeur de leurs accélérations (a₁, a₂) (que nous supposerons être constants et que nous savons être opposées en direction ), et enfin la durée t de leur action. Nous analysons maintenant les équations :

D'après la deuxième loi

F₁ = m₁a
F₂ = m₂a₂

Ce qui élimine la mention des forces. De même :

Divisons membre à membre la deuxième équation:

Ce qui élimine t. Revenons à l'équation (1),et divisons les deux côtés par a1 m2 : ₁m₂. Alors :

En rapprochant (2) de(3), ou vice versa, on se débarrasse aussi des accélérations. Il reste

où tout est connu, excepté la vitesse v ₂ du recul. On isole sa valeur en multipliant les deux côtés par v ₁

L'équation finale (4) devient plus équilibrée si on élimine les barres de fractions. Multiplions les deux côtés par le produit des dénominateurs (m ₂v₁)

La quantité "vitesse fois masse" (ou "le produit de la masse et de la vitesse") s'appelle moment cinétique et est souvent notée par la lettre P. Il suffit d'appliquer la dernière équation (5) qui montre que le moment du canon égale celui de l'obus.

Conservation du moment cinétique

Avant la mise à feu, il n'y avait aucune vitesse et la somme des moments P = P₁ + P₂ était égale à zéro. Après, elle est revenue évidemment à zéro. De façon générale (et c' est une formulation différente les lois de Newton) on peut dire que :

Dans un ensemble d'objets non soumis à des forces extérieures, la somme des vecteurs de tous les moments reste identique ("est conservée").

Cela est aussi valable si trois objets ou plus sont impliqués et si chacun se déplace dans une direction différente. Par exemple, les bombes éclatant dans le ciel de l'hymne des USA ont le même moment que l' ensemble des fragments et des gaz existant immédiatement avant leur éclatement, avant que la résistance de l'air n'ait joué. C'est également sur ce principe qu'une fusée fonctionne -- en jetant vers l'arrière la masse du gaz par un gicleur rapide, elle reçoit un moment cinétique égale vers l'avant à celui donné en arrière par la tuyère.

Energie

et pour le canon

Partage très inégal ! Le canon, 100 fois plus massif, reçoit 100 fois moins d'énergie. Est-ce la règle générale?
    Oui, c' est la règle. En utilisant des symboles, nous avons

Par division membre à membre :

En remplaçant l'équation (1) dans le numérateur, puis en chassant (m₂v₂) on obtient ci-dessus et ci-dessous

par conséquent

La masse plus légère reçoit toujours la part du lion de l'énergie !