Краткий исторический очерк возникновения и развития высшей математики в связи с потребностями естествознания и техники. Вклад отечественных ученых в развитие математики и ее приложений.

Понятие о математическом моделировании природных процессов.

Метод координат. Действительные числа как координаты точек на прямой. Прямоугольные декартовы координаты на плоскости и в пространстве. Расстояние между двумя точками. [Деление отрезка в заданном отношении. Координаты центра масс.] Полярные координаты на плоскости. Цилиндрические и сферические координаты в пространстве. Преобразования координат на плоскости: перенос начала, поворот осей.

Прямая линия на плоскости. Уравнение прямой на плоскости. Угол между двумя прямыми; условие параллельности и перпендикулярности прямых. Расстояние от точки до прямой. [Пучок прямых.]

Линии второго порядка. Окружность, эллипс, гипербола, парабола, их канонические уравнения и основные свойства. [Полярные уравнения эллипса, гиперболы, параболы.]

Матрицы и определители. Основные определения. Алгебра матриц. Умножение матриц. Определители n-го порядка и их свойства. Обратная матрица.

Системы линейных уравнений. Метод Гаусса. Критерии совместности и определенности системы линейных уравнений. Матричная запись системы линейных уравнений. Однородная система линейных уравнений. Правило Крамера.

Векторная алгебра. Скалярные и векторные величины. Условия коллинеарности и компланарности двух векторов. Арифметическое векторное пространство. Радиус-вектор точки. Орты, направляющие косинусы вектора. Линейная зависимость и независимость векторов. [Разложение вектора по базису.]

Скалярное произведение двух векторов, его свойства, выражение через координаты сомножителей. Угол между двумя векторами, условие ортогональности.

Векторное произведение двух векторов, его свойства, выражение через координаты сомножителей.

[Смешанное произведение трех векторов, его геометрический смысл, свойства, выражение в виде определителя, условие компланарности трех векторов.]

Плоскость и прямая в пространстве. Различные виды уравнения плоскости. [Прямая как линия пересечения двух плоскостей.] Уравнения прямой: параметрические, канонические и др. Угол между двумя плоскостями, между прямыми, между прямой и плоскостью. Расстояние от точки до плоскости; взаимное расположение прямой и плоскости, двух прямых.]

Простейшие поверхности. Понятие об уравнении поверхности. Уравнение поверхности вращения. Поверхности вращения второго порядка. Сфера. Эллипсоид. Гиперболоиды. Параболоиды. Цилиндрические и конические поверхности.

Комплексные числа. Арифметическая форма комплексного числа. Тригонометрическая форма комплексного числа. Действия над комплексными числами.

Линейные пространства. Линейное пространство. Подпространство. Линейная зависимость и линейная независимость векторов линейного пространства. Размерность и базис. [Изоморфизм линейных пространств.] Координаты вектора линейного пространства. [Сумма и пересечение подпространств.] Линейное преобразование (линейный оператор) и его матрица. Ранг линейного оператора. Характеристическое уравнение и собственные векторы линейного оператора. [Инвариантные подпространства.] Евклидово пространство. Билинейные и квадратичные формы. Ортогональные, унитарные, эрмитовы операторы. [Понятие о тензорах.]

Группы. Определение группы, примеры групп. Подгруппа. [Группы преобразований. Симметрическая группа n-ой степени.] Группа вращений правильного многоугольника. [Изоморфизм и гомоморфизм групп.] Линейные представления конечных групп. [Изоморфные представления.] Прямая сумма представлений. Приводимые и неприводимые представления. Характеры представлений и их свойства. [Разложение приводимого представления на неприводимые.] Прямое произведение представлений. [Представления симметрических и кристаллографических групп.]

Функции и пределы. Предел последовательности. Число e. Предел функции. Односторонние и бесконечные пределы. Бесконечно малые, бесконечно большие и неограниченные функции. Сравнение бесконечно малых функций. Непрерывные функции и их свойства, непрерывность сложной функции. Классификация точек разрыва.

Производные и дифференциалы. Уравнения касательной и нормали к плоской кривой. Производная сложной функции. Дифференцирование функций: обратной, неявной, параметрически заданной, вектор-функции и др. Дифференциал функции, его [геометрический, механический смысл] свойства. Производные и дифференциалы высших порядков. Формулы конечных приращений Лагранжа и Коши. Правила Лопиталя. Формула Тейлора. Локальный экстремум функции, его исследование с помощью первой и второй производной. [Глобальный экстремум.] Выпуклые функции, точки перегиба. Асимптоты. Исследование функций, построение графиков с использованием первой и второй производных. [Прикладные задачи из физики и химии. Алгоритмы приближенного решения уравнений.]

Неопределенный интеграл. Первообразная, неопределеный интеграл и его свойства. Таблица основных неопределенных интегралов. Интегрирование по частям, замена переменной. Интегрирование рациональных функций, простейших иррациональных и трансцендентных функций.

Определенный интеграл. Интегральные суммы, определенный интеграл, его геометрическое толкование.Основные свойства, теорема о среднем, формула Ньютона - Лейбница. Приложения: вычисление площади фигуры, длины дуги, [площади поверхности вращения, работы; примеры из физической и коллоидной химии. Алгоритмы численного интегрирования.

Несобственные интегралы с бесконечными пределами интегрирования; интегралы от неограниченных функций. Абсолютная сходимость несобственного интеграла. Признаки сравнения.]

Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных. [Множества в n-мерном пространстве, замкнутые и открытые множества, области.] Функции n переменных (n=2,3). Предел и непрерывность функции n переменных. Частные производные и дифференциалы первого и более высоких порядков. [Теорема о независимости смешанных производных от порядка дифференцирования.] Экстремум функции двух переменных. Условный экстремум, метод множителей Лагранжа. [Касательная к пространственной линии, касательная плоскость и нормаль к поверхности. Теорема о существовании неявной функции, дифференцирование неявных функций.]

Скалярные и векторные поля. [Производная по направлению.] Градиент скалярного поля.

Интегральное исчисление функций нескольких переменных. Двойной интеграл: определение, свойства, вычисление, замена переменных, [приложения.]

Тройной интеграл: определение, свойства, вычисление, замена переменных, [приложения.]

Криволинейные интегралы по длине дуги и по координатам, их вычисление и приложения.

Циркуляция векторного поля. Формула Грина. [Критерий независимости криволинейного интеграла от пути интегрирования.]

Интегралы по поверхности. Поток векторного поля через поверх-ность. Дивергенция. Ротор векторного поля. [Соленоидальное поле. Формулы Остроградского и Стокса. Операторы Лапласа и Гамильтона.]

Понятие о вариационном исчислении. Вариация функции. Функционалы и вариации функционалов. Основная лемма вариационного исчисления. Безусловные и условные экстремумы функционалов. Необходимые условия экстремумов. [Задача с фиксированными концами.] Уравнения Эйлера. Множители Лагранжа. Прямые вариационные методы.

Ряды. Сходимость числовых рядов. [Необходимое условие сходимости. Остаток ряда. Признаки сходимости рядов с положительными членами: сравнение, признаки Даламбера, Коши, интегральный признак. Знакочередующиеся ряды, признак Лейбница. Ряды с членами произвольных знаков;]. Абсолютная, условная сходимость. Действия над рядами.

Функциональные ряды. [Равномерная сходимость. Признак Вейерштрасса.] Степенные ряды. [Теорема Абеля. Радиус и интервал сходимости. Почленное интегрирование и дифференцирование степенных рядов.] Ряд Тейлора. Разложение основных элементарных функций в степенные ряды. [Приложения к приближенным вычислениям значений функций и интегралов.]

Ряд Фурье. Формулы для вычисления коэффициентов. Ряды Фурье четных и нечетных периодических функций. [Теорема о сходимости ряда Фурье (без доказательства). Ряд Фурье в комплексной форме.] Интеграл Фурье и преобразование Фурье.

Обыкновенные дифференциальные уравнения. Основные определения. Дифференциальные уравнения первого порядка: с разделяющимися переменными, однородные, линейные, в полных дифференциалах. [Задачи, приводящие к дифференциальным уравнениям: определение скорости и порядка химической реакции, радиоактивный распад и др. Решение дифференциальных уравнений с помощью рядов. Численное решение дифференциальных уравнений: методы Эйлера, Рунге - Кутта.

Дифференциальные уравнения второго и более высоких порядков, случаи понижения порядка.] Линейные дифференциальные уравнения второго порядка: структура решений однородного и неоднородного уравнений. [Линейные уравнения n-го порядка.]

Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами. [Характеристическое уравнение, построение общего решения. Уравнение колебаний. Обобщение результатов для линейного уравнения n-го порядка. Задача Коши. Понятие о системах дифференциальных уравнений.]

Дифференциальные уравнения с частными производными. Основные понятия. Линейные уравнения с частными производными первого порядка. Уравнение теплопроводности. Уравнение диффузии. Понятие о методе Фурье. [Уравнение Лапласа. Задача Дирихле, задача Неймана. Решение задачи Дирихле для круга.]

Основные понятия тензорного исчисления. Преобразования координат. Определение тензоров, основанное на законе преобразования их компонент. Ранг тензора, тензоры ранга 0,1,2; связь с матрицами. Операции над тензорами: сложение, умножение на скаляр, свертка, прямое произведение. Симметричные и антисимметричные тензоры.

Основы теории вероятностей. Математические модели случайных экспериментов. [Частотная интерпретация вероятности.] Дискретные вероятностные пространства. Классическое определение вероятности. Схема Бернулли. [Аксиоматика А.Н.Колмогорова.] Свойства вероятности [теоремы сложения, формулы для вероятности объединения n событий.] Независимость событий. Условная вероятность. Формула полной вероятности. Формулы Байеса.

Действительные случайные величины и их распределения. Функция распределения и ее свойства. Плотность и ее свойства. Основные распределения: биномиальное, Пуассона, равномерное, нормальное, экспоненциальное. [Распределения функций от случайных величин.] Математическое ожидание случайной величины, его свойства. [Математическое ожидание функций от случайных величин.] Дисперсия и ее свойства. [Характеристическая функция случайной величины, ее свойства.] Случайные векторы и их распределения. [Многомерное нормальное распределение.] Неравенство Чебышева. [Виды сходимости случайных величин.] Закон больших чисел. Теорема Пуассона и ее применения. Центральная предельная теорема, ее применения.

Элементы математической статистики и ее приложения к обработке результатов наблюдений. Задачи математической статистики. Эмпирическая функция распределения. [Формулировка теоремы Гливенко - Кантелли.] Оценка неизвестных параметров. [Метод максимального правдоподобия.] Доверительное оценивание неизвестных параметров. [Нормальная модель с неизвестным средним и неизвестной дисперсией.] Проверка гипотез. [Таблица сопряженных признаков.] Элементы регрессионного анализа. Метод наименьших квадратов. [Элементы факторного анализа.] Математическая обработка результатов наблюдений с помощью современных компьютерных программ.

1.Практические занятия проводятся по всем разделам программы курса высшей математики. Перечень практических занятий утверждают кафедры, которым поручено чтение лекций по высшей математике.

2.По согласованию с кафедрами химического профиля утверждается список задач, связанных с применением математических методов в химии и химической технологии.

Основная

Баврин И.И. Высшая математика. М.: Просвещение,1993.318с.

Бугров Я.С., Никольский С.М. Элементы линейной алгебры и аналитической геометрии. М.: Наука, 1988. 222 с.

Бугров Я.С., Никольский С.М. Дифференциальное и интегральное исчисление. М.: Наука, 1988. 431 с.

Бугров Я.С., Никольский С.М. Дифференциальные уравнения. Кратные интегралы. Ряды. Функции комплексного переменного. М.: Наука, 1985. 464 с.

Чистяков В.П. Курс теории вероятностей. М.: Агар, 1996. 255 с.

Тюрин Ю.Н., Макаров А.А. Статистический анализ данных на компьютере. М.: Инфра-М., 1998. 528 с.

Ильин В.А., Позняк Э.Г. Аналитическая геометрия. М.: Наука, 1988. 223 с.

Ильин В.А., Позняк Э.Г. Основы математического анализа. М.: Наука, 1980-1982. Ч. 1,2.

Головина Л.И. Линейная алгебра и некоторые ее приложения. М.: Наука, 1979. 392 с.

Клетеник Д.В. Сборник задач по аналитической геометрии.М.: Наука, 1986. 224 с.

Сборник задач по математике для втузов: В 2 ч. /Под ред. А.В. Ефимова, Б.П. Демидовича. М.: Наука, 1986. Ч. 1,2.

Проскуряков И.В. Сборник задач по линейной алгебре. М.: Наука, 1987.

Дополнительная

Ильин В.А., Садовничий В.А., Сендов Бл.Х. Математический анализ: В 2 т. М.: Наука, 1985,1987. Т 1,2.

Архипов Г.И., Садовничий В.А., Чубариков В.Н. Лекции по математическому анализу: В 4 ч. М.: Изд-во Моск. ун-та, 1995-1997. Ч. 1-4.

Кудрявцев Л.Д. Математический анализ: В 2 т. М.:Высш. шк., 1988. Т. 1-2.

Задачи и упражнения по математическому анализу /Под ред. Б.П. Демидовича. М.: Наука, 1990.

Кострикин А.И., Манин Ю.И. Линейная алгебра и геометрия. М.:Наука, 1986.

Тутубалин В.Н. Теория вероятностей и случайных процессов. М.: Изд-во Моск. ун-та, 1992. 395 с.

Вентцель Е.С., Овчаров Л.А. Теория вероятностей. Задачи и упражнения. М.: Наука, 1977. 366 с.

Степанов Н.Ф., Ерлыкина М.Е., Филиппов Г.Г. Методы линейной алгебры в физической химии. М.: Изд-во Моск. ун-та, 1976.

Программу составили:

А.В.Булинский, проф.;
С.В.Кравцев, канд.физ.-мат.наук.;
Т.П.Лукашенко, проф.;
Ю.Н.Макаров, доц.;
А.А.Михалев, д-р физ.-мат. наук.;
М.И.Нараленков, доц.;
В.Г.Чирский, доц.;
Отв.редакторы: В.Г.Чирский, доц.;.А.В.Немухин, проф
(Московский государственный университет)