Документ взят из кэша поисковой машины. Адрес оригинального документа : http://www.astro.spbu.ru/sites/default/files/sqs.pdf
Дата изменения: Mon Feb 22 15:24:50 2010
Дата индексирования: Sun Apr 10 00:29:59 2016
Кодировка: ISO8859-5
Поисковые слова: п п п п п п п п п р п р п р п р п

К

К

?? ?

?? ? ?

? ? ?

?

Й ОММ

Й

К

К

?? ?

?? ?

?

? ?

?

?

Й ОММ

ПМКН ДМ К Е ООКПН Н
Й КЙ К К Д К Й КЙ К Д КЙ КЙ И К К К К ? ЕИ К К К ?К К ? Е

КЙ
Н

КК К

Й

ПМ К

К И ОММ К

К

Й

СЫ Ц ЙО ЙМО
? И К

Й
К Й К К К КК К ОМ Й Й Й К Й Й

HЙ

К КП

К? К

К

ОММО КИ Ц Й
КК КЙ

ООКПН
И ОММ

СЫ Ц ЙО

ЙМО

Й

И ОММ

КККККККККККККККККККККККККККККККККККККККККККККККККККК

НН

НК

СК ? я НК
ДН ЕК ПК ДН ЕК

ККККККККККККККККККККККККККККККККККККККККК КККККККККККККККККККККККККККККККККККККККККККК ДНПЕК ОК Й Й И КККККККККККККК ДН ЕК ДН ЕК ОК Й

НП

НК

я ОК

Н

ДН ЕК ПК

НК ПК К

я ПК

Н ДН ЕК ОК ДН ЕК К ДООЕК К ДН ЕК К ДН ЕК ДН ЕК ДОНЕК К Й ДООЕК К Й К КККККК ДО ЕК ОК ДО ЕК К ДО ЕК ДО ЕК ОК Й Й ККК ДО ЕК О О

НК ? ДО ЕК ПК ДО ЕК К НК ПК НК

ССК я НК я ОК

ДОПЕК

я ПК яК

ДПМЕК

ДПОЕК ОК ДП ЕК К

НК ?

ДП ЕК К К

ДП ЕК К

Д НЕК ННК

ККККККККККККККК ДППЕК ПК Й ДП ЕК ККККККККККККККККККККККККККККК ДП ЕК ОК ДП ЕК ПК Й ДП ЕК К Й ДП ЕК К ДП ЕК К ДП ЕК Д МЕК НМК Й Д НЕК

ПО

П

П

СССК я НК я ОК
Д ПЕК ОК

КККККККККККККККККККККККККККККККККККККККК КККККККККККККККККККККККККККККККК ККККККККККККККККККККККККККККККК
NД NД

О П

И

НК ПК НК ПК

ЕК Й

я ПК
Д ЕК К

Д

ЕК

ЕК К

Д

ЕК ОК Д ЕК К Д МЕК Д ЕК К

КККККККККККККККККККККК Д ЕК Й

НК НК

СЮК я НК я ОК я ПК яК яК
Д Д ПЕК ПК ЕК К Д ЕК К Д Д Д ЕК ЕК ОК

Д

ККККККККККККККК КККККККККККККККККККККККККККККККККК ЕК ОК Д ЕК ПК Й КККККККККККККККК Д ЕК ПК
2

НК К НК НК К НК

J J z Д ЕК ККККККККККККККККККККККККККК Д ЕК ОК ЕК ПК ? Д Д ЕК К Д МЕК ККККККККККККККККККККККККККККККК Д НЕК ОК Д НЕК ККККККККККККККККККККККККККККК Д ОЕК ОК

КК Й ЕК КК КК Й Й ЕК Й Н О

яК ЮК я НК

НЛО Д

ЕК Д ЕК ОК Д ЕК К

Д

НЛО
l

Д ЕК ПК НЛО Д ЕК К

НК ПК ?

НЛО Д ЕК

Е

Д МЕК К ?

КККККККККККККККККК КККККККККККККККККККККККККККККККК Д ЕК ОК Д ЕК Д ЕК К ? Й Д НЕК

НК ПК

я ОК я ПК ? яК
Д ПЕК

ККККККККККККККККККККККККККККККККККККК Д НЕК ОК ? Д НЕК Д ОЕК К Й ККККККККККККККККККККККККК КККККККККККККККККК Д ЕК ОК

Н

НК К НК ОК

Д

ЕК ПК ?

я К? ЮСК я НК
Д ЕК ПК Д

Д МЕК К

КК Д НЕК

Д

Й ЕК О

Д

ЕК ПК

Д

ЕК

КККК Д ОЕК

НК

ЕК ОК

НК

НК ПК

я я я я я я

ОК ПК К К К К

Д ПЕК ОК
2 КК

НК

яНК
ДНМ ЕК ПК

ДНММЕК К

Д

ЮССК

ККККККККККККККККККККККККККК Й Д МЕК Aik К К К К К К К К К К К К К К К К КККККККККККККККККККККККККК Д ЕК ККККККККККК 1 КККККККККККККККККК КККККККККККККККККККККККККККККККККККККККК ККККККККККККККККККККККК ЕК ОК ? ДНММЕК ДНМНЕК

ККККККК

Н П

ДНМ ЕК НК

ККККККККККККККККККККККККККККККККК КККККККККККККК ДНМПЕК ОК ? Й ДНМ ЕК К ДНМ ЕК К Й КККККККККККККК ДНННЕК ОК

НМП

яОК
ДННОЕК К ДНН ЕК К ДНН ЕК К ДННОЕК ПК

ННН

К

я ПК ?

ДНН ЕК КККККККККККККККККККККККККККК

Й ДННПЕК К Й ДНН ЕК К Й ДНН ЕК НОМ

НК

ЮСССК я НК я ОК я ПК
ДНП ЕК

КККККККККК КККККККККККККККККККККККККККККККККККК КККККККККККККККККККККККККККККК ДНО ЕК ОК ДНО ЕК ПК ДНПМЕК ККККККККККККККККККК ДНПНЕК ОК ДНППЕК ККККК

НОП

НО

НК ПК ?

ККККК ДНПОЕК ПК ? Й Й

НПН

НК

НК

ДНП ЕК ПК ? ДН НЕК

я К?

КККККККККККККККККККККККККККККККККККККККК ДНП ЕК ОК Й ДН МЕК К

НП

СК я НК
ЕК

ДН ЕК ПК ДН ЕК К

ККККККК КККККККККККККККККККККККККККК ДН ПЕК ОК Й ДН ЕК К Й ДН ЕК К Й Й КККККККККККККККККККККККККККК ДН ЕК ОК ДН ЕК КККККККККККККККККККККККККККК ДН ЕК ОК Й ДН НЕК ККККККККККККККККККККККК ДН ОЕК ОК Й ДН ЕК К Й Й ДН ЕК КККККККК ДН ЕК

НП

ДН

К

ДН МЕК К ? ДН НЕК К

я ОК

НК

я ПК
НК

ДН ЕК ПК

ДН ЕК

Н

Н

НК ДН НК ПК

я К яК
ЕК К ДН

ДН МЕК ПК

НО

ДН ПЕК ПК ДН ЕК К

Н

ЕК ОК ДН МЕК

НК

СК я НК
ДН НЕК ПК ?

ККККККК ККККККККККККККККК ДН НЕК ОК ДН ОЕК К ДН ПЕК ДН ДН ЕК ДН ДН ЕК К ДН НЕК ДН ОЕК ОК ЕК ОК ? ДН ОЕК К ? Й Й

НН

НК ПК

я ОК я ПК

Н ЕК ОК ДН ЕК К ? ДН ЕК Н

НК ПК

КККККККККККККККККККККККККККК ДН ЕК G g ДН ЕК К ? Й ДН МЕК К ДН НЕК К ККККККККККККККККККККККККК ДН ОЕК ПК

НК

яК
ДН

НО

НК К НК

яК

ЕК

ДН

яК ССК я НК

К

КККККККККККККККККККККККККККККККККККК ДН ЕК ОК ЕК ПК ДН ЕК ДН ЕК К ДН ЕК КККК ДН ЕК ОК Й ДН ЕК ПК ДН НЕК ДН ОЕК

Н

Н

КККККККККККККККККККККККК ДН ПЕК ОК ДН ЕК К

НК

НП Й Й Н Н

ДН ПЕК ПК

НК ПК

я ОК я ПК

ДН

ДН

ЕК ОК

ЕК ККККККККККККККККККККККККККККККК ККККККККККККККККККККККККККК ДН ЕК ДОММЕК

яК
НК ДОММЕК ОК ДОМОЕК К ?

НК

НК

НК

НК

КК Й ДОНМЕК ПК ДОНМЕК К ДОННЕК К ДОННЕК ККККККККККККК ДОННЕК ОК ? ДОНОЕК ККККККККККККККККККККККККККККККККККККККККК ДОН ЕК ОК Й ДОН ЕК ПК ДОН ЕК К Й ДОН ЕК ДОМ ЕК ОК ?

яК я К? яК

ДОМ ЕК К ДОМ ЕК К ДОМ ЕК

ККККККККККККККККККККККК ДОМНЕК ПК Й ДОМПЕК К Й ДОМПЕК К Й

ОММ

ККККК

ОМ ОМ

ОНН

яК

ОН

СССК я НК

ДОН ЕК ПК ДООНЕК

КККККККККККККККККККККККККККККККК КККККККККККККККККК ДОН ЕК ОК ДОН ЕК К ДООМЕК К Й

ОН

НК ПК

я ОК

ООН ДООНЕК ОК ДООПЕК К ДОО ЕК К? ДОООЕК Й ОО

ДОО ЕК НК К

ДООПЕК К ДОО ЕК К

я ПК

ДОО ЕК ПК ДОО ЕК К ДОО ЕК

КККККККККККККККККК ДОО ЕК ОК ДОО ЕК К Й ДОО ЕК К ДОО ЕК ДОО ЕК К ДОО ЕК К Й КККККККККККККККККККККККККККККККККККККККККК ДОО ЕК ОК Й

НК

яК

ОО

ДОО ЕК

Й

НК

яК я К яК
ДОП ЕК

ДОПМЕК ОК

КККК ДОПОЕК ПК Й КККККККККККККК

ОПМ

ОП

НК К

ДОП ЕК ДОП ЕК

К

ДОП ЕК ОК ДОП ЕК ПК

ДОП ЕК КК ДО ОЕК ОМ О

НК

НК

СЮК я НК
И

ДО МЕК ОК ККККК КККККККККККККК ДО ЕК ДО ЕК ПК ДО

ККККККККККККК ККККККККККККККК ОК Й ЕК

я ОК
НК

ДО

ЕК К

я ПК яК
ДО

ДО

ЕК ОК

ККККККККККККККККККККККККККККК ДО МЕК

О

НК ?

КККККККККККККККККККККККККККККККККККК КККККККККККККККККККККККККККККККККККК ДО ПЕК ОК Й ККККККККККККККККККККККККК ДО ЕК ОК ДО К ККККККККККККККККККК КККККККККККККККККККККККККК ККККККККККК ЕК ККККККККККК ККККККККККК ККККККККККК Й

ОО ОП

яК

ЕК

О

НК

ДО

НК ПК ? НК ДО

яК яК яК ЮК я НК я ОК я ПК
ЕК

ЕК ПК

О ОО ОП О ЕК ОМ

ККККККККККККК ДО ЕК ОК ДО МЕК ДО МЕК ОК ДО ОЕК К ДО

ККККККККККК ДО ОЕК ПК ? Й Й КККККККККККККККККККК

О

НК

ДО ЕК ПК

яК
ДО

ДО ДО ЕК К

ЕК ОК

НК ПК К

яК Й яК ЮСК я НК я ОК

ЕК К H

КККККККККККК Й ДО ЕК К Й Й ДО ЕК ККККККККККККККККККККККККККК

О

О О ОО

КККККККККККККККККККККККККККККККККККККККККК

ДО ДО ОЕК ОК ДО ПЕК К ЕК К ДО ЕК ОК ДО

НК

НК ПК

я ПК
ДО

ДО НЕК К ДО ОЕК К ДО ПЕК К ДО ЕК ОК

ДО МЕК К ДО ОЕК К

КККККККККК КККККККККККККККККК ДО ОЕК ДО ЕК ЕК К Й ДО ЕК ККККККК ДО ЕК ПК Й

О

ДО ПЕК КККККККККК ДО ЕК Й О

яК

ЕК К

ДО ЕК

ДО

ЕК

К

НК

ДПМНЕК ПК

яК

ККККККККККККККККККККККККККККККККККККККККККККККК ДПММЕК ОК Й ДПМНЕК ККККККККККККККККККККККК ККККККККККККККККККККККККККККККККККККККК

ПММ

ПМ ПМ

НМ

И ОМ Д И И ДН М И И ? И К Й И Й И И ? И И К И НН К К К И К ЕИ Й К? И Е

Й Й

К Й К

Й Й Й Й

Й Й

И И И К Й Д И К

Й Й И ЕК

КК К О КК ?

КК П И ?К К К К К ?К ? ОК

И ОМ ООИ О И ?К К ? И И ЕК

К К ПИ К ?К ?

К ?К

И Й

Д ЫИ Й Й Й
7

И

И К К

Ы Н = 1 0 -7 К -12 Н ? = 1.60 З 10 = 1.60 З 10-19 ИН = 4.1868 З 10 = 4.1868 К 6.626 З 10-21 = 6.626 З 10-28 ИН Н -16 -23 1.986 З 10 = 1.986 З 10 К И Н ? = 1 0 -8 К К К И И НМ КОММПКОК

Й
-1

К ?Й

НО

СК ?

? К И

И

И

И

Й Й Й

я НК
И К И К К И И

И

Й Й Й

НК
Е И К И Е

ОНИОПК

К

И

И И

К

И Й Й

h ? = h/ 2 h = h К ? ? К

= 2

И

И

К

Й

НП

К И Е И Е И

И

И

Й

К
h ?
nm

К
= Tn - Tm К

К Й

Й
ИОНК

И

И

К Й Й

ОК
К? Е К К И Е К

К

И

К
И И

?

К Й Й Д Й

К И Е И

К

И И

К

И

ПК
Е И Е

К
И

И
И

К
К Й

К ?К

К

К И

Е Е

ИКК

К К
Н И И

К К

Й Й Й

К

И К

Й Й

я ОК
К И

НК
И К К К И И

К

И

И

Й И

ОК

К
К
x З p hК

Й Й Й

ПК
К

К

И И К К К

Й Й Й Й Й

И К И И

НЕ ОЕ ПЕ ?

К
И И К К

И

К

К
И Н

КК Й

К

И

И

К И К К К И

И И

Й Й

я ПК
НК
Д К?

К

КИ К

И И

Й Й Й

?

ИПМЕК

И КК

1

К ? = 0
И = 0, = 0К

2 c1 1 + c2 2 И И 0К И

И c1

c

2

Й

Й И Й И
+

ОК
К НЕ

Д

И

Е

К

(, )К

(, ) 0И К К

К
(, ) = ||||

К ОЕ
(, ) = ( , ) К

К = 0К ?

И И

Й Й Й

К
Н

Й

ПЕ И

(c1 1 + c2 2 , ) = c (1 , ) + c (2 , )К 1 2 И И ОК ?

К

Й Й Й

Е
|(, )| |||| З || ||К

И || + || |||| + || ||К К

К

К
И И

Й Й Й Й

? Д ЕИ

(, ) = 0К

ПК
И

К

n И ||n - || 0

И n К И К

К
И

Й Й Й Й Й К Й Й

ЕИ К? И И

Д К? И К

И

И

И
n

(, )И

К

Й (n , ) Й Й

К
lК
2

К
К

И

К И

И Й

Н

= l2И КК

(1) (2) ... (n) ...

.

К?

И
||||2 =
n=1

И
|(n)|2 < .

И

(, ) =

n=1

(n) (n).

ДНЕ Й Й И

К К
D

И
L2 (D)К

И

ДНЕ

ИКК И

И

|(q )|2 dq < .
D

q DИ

dq (, ) =
D

К
(q ) (q )dq

ДОЕ К

И

L

2

К Н

Й Й

К

К

И

И

И К

Й

К
НЕ

К

К
ИКК И

Й К

L (c1 1 + c2 2 ) = c1 L (1 ) + c2 L (2 ).

ОЕ LM И И

К

К К И К

К
К

L

M

И И Й Й

L M = ML И

К ПЕ Н Е
L L 1 =1

И

К
-1

К

L M - M L = [L , M ]

-1

К

?

?
= 1К

К

Й

К И Е (, L )И

И

L =LL И

К

И

И К И
L

И

Й Й

К

И
L

(, L )

Й К Й

И
(, L ) = (L , ).

И Н

(L ) = L К

Е
(L M ) = M L К

К
И

И

Й

(, L M ) = (L , M ) = (M L , ) = ((L M ) , ).

Е Д К КЕ
L = И И КК

К

И Д

Й Й Е Й

Д К КЕК К

И И Й И КК К К К К К

КК

Й Й Й И Й Й К Й

К КИ К КИ Е И Е Ln L И НМЕ

К?

КК И

КК

КК К КИ

К

К

КК

И

К
К К ОМ

L n L К

К

КК

И

Й Й

Е

f (x) =

n=1

Й
an xn И
n=1 n

f (L ) =

an L .

Е
И LИ f (L ) КК

И И
f ()К

К КК КК КК

К К L= И

И fК
l
2

К

К?

К
И

К? И
(q ) =
D

Й Й Й

L(q , q )(q )dq . L(q , q )

(, L ) =
D

К

dq
D

dq (q )L(q , q ) (q ).

L (q , q )К

Й

НЕ ОЕ

И К ? l2 ИКК
L2 К (q ) (q , q )(q )dq = (q ).
D

{

nm

}К

Й

ДПЕ

ОН

И ДПЕ И

К

q (q , q ) = (q - q )К Й

К
НЕ

К

К
Д К КЕ И

(q - q )К

Й Й К

Й Й

A =AК (, A ) = (A , )К И К ОЕ

К
К

Й И (A B ) =

B A = BAК ПЕ

И

Е? Е К КИ Е КК A (q , q )К

К

К
КК И
An
m

К КИ КК
= A n И m

К К

К К Й A(q , q ) =

К

? l2 К К L2 КК

К
НЕ

(U , U ) = (, )И К К

К

К
U

И

ОЕ И ПЕ
И

U U =1

U =U

-1

К
ИКК

К

Й Й

К

К

(U , U ) = (, ) = (, )К

Е
= U К

К

Й К И U = (, ) = 0И || = 1К Й (, L ) = (U , U L ) =

ОО

( , L ) = (U , U L U

-1

U )К

К И КК

L = ULU

И

-1

= ULU К

КК И

К
И К

К
ЕК И
{n }. Й Й И

?

НЕ

К
n

Д

К ИКК

К
cm m = 0 n

К И

КК
c
m

= 0И К

m =1

Й
nm

И (n , m ) =

К

Е
= n cm m .

Д

Й

=

cn = (n , )К К К К К И
m (n , ). L
2

ДЕ Й

(q )И

n (q ) (q ) = (q - q ). n

ДОЕ
n (q )m (q )dq =
nm

.

D

ОП

Е

И
|| ||2 = |cm |2 .

Д

Й

Д И ОЕ Й

Е

К
К

{n } { }

К

К

Й Й Й Й

( , ) = ( - ).

= c d.

Й

c = ( , ),

ДЕ
= ( , )d.

К

И
L

2

(q ) (q )dq = ( - ),
D

(q ) (q )d = (q - q ).

И

И

К

Й Й К

О

С СК

?

К

ИОНИО И

Й

я НК
НК ?
К

К?

Й И

К

К?

Й Й
Й Й

К К

К
L
2

ОК
К
q q = qК

К?
И К КК
L
2

И КК Д ККЕК

КК

К?

КК

q q0 (q ) = q0 q0 (q ) q0 (q )

(q - q0 )q0 (q ) = 0 q = q0 И К q0 К

Й

? И

И

q0 (q ) = (q - q0 )И

И К КК

И Й К

КК

Й Й Й Й

КК

q0 (q )q0 (q )dq = (q0 - q0 ).

О

Й

И

Й

q0 (q )q0 (q )dq0 = (q - q ).

К

КК

КК

(q ) =

(q0 )q0 (q )dq0 .

?

К Й
rК

Й Й Й

ПК
Д КИ И
q

К
ЕК И

И И

К

p = -i? h

. q

И
(q ) dq = - q (q ) (q )dq . q

Й

(q )

ДНЕ Й

И ? Д К

И

И К ЕК И О К

И
h ?

ДНЕ

Й Й Й Й Й

ИКК

К

И

К

Й

[q , p ]f = -i? q h

- q f = -i? q h -1-q q q q q

f = i? f . h

И

И
[q , p ] = i? . h

ДОЕ Й Й

h ?

И КК КК К
h p p0 (q ) = -i?

К К КК

И И

Й

p0 (q ) = p0 p0 (q ) q

p0 q 1 ex p - . p0 (q ) = i? h 2 ? h p
0

Й

И ККИ

К Й

0 p

1 (q )p (q )dq = 0 2 ? h

e
-

i(p -p0 )q/h ? 0

-

dq = (p0 - p0 ).

Й

0 p

1 (q )p0 (q )dp0 = 2 ? h

e
-

ip0 (q -q)/h ?

-

dp0 = (q - q ).

О

К

Й
1

КК
~ (p)e
-ipq/h ?

Й

(q ) = 2 ? h

dp

-

И
(q )e
ipq/h ?

Й

1 ~ (p) = 2 ? h

dq .

-

КК
p (r) =

p = -i? К h 1 e (2 ? )3/2 h
ipr/h ?

И

КК

,

К
r0 ) = (x - x0 ) (y - y0 ) (z - z0 )К

КК

Й r0 (r) = (r - И И

К

К К И

И

К

Й Й И Й Й

К И К

Й

К

К
m

К
T

И
T=

p2 К 2m

Й Й

О

V (r, t)И К

И
H =T +V =- h ?2 + V (r, t), 2m H

Й

К К

я ОК
НК
К

К

И

Й

?
И К К И

К
К
И И И И К И К И И И К

Й
И КК Й Й

К

И КК К К Й И О

Й Й Й

ОК
И

К?
К К? Й

1 2 И c1 1 + c2 2 К

И
c
1

c

2

1 = 2 И

К К

И И

И
c

К Й Й c=0 НИ Й Й Й Й Й

КК К

К |||| = 1К

К ei И

ПК
И НЕ
К

К?

К

И

A= (, A ) . (, )

A

ДПЕ И И Й Й И Д Й ЕК Й Й

? К
A

И

И

ЕК

ДПЕ Д ИИ И

ОЕ

И

И

DA = (, (A - A)2 ) = 0.

И
((A - A), (A - A)) = ||((A - A))||2 = 0.

Й

ПМ

ИКК
A = A.

И

И К ПЕ
A

И К К К An К К n К К
= cn n . A

Й

К К n КК

nm

И

К
cn cm (n , m ) =

И
c cm n
n m nm

И (n , m ) =
= |cn |2 = 1.

( , ) =
n m

И A = ( , A ) =
n

A

И
c cm (n , A m ) = n

ДЕ Й

m nm

=
n m

c

n cm

Am

=

An |cn |2 .

И И An К ?

|cn |2 К cn К A

|cn |2

Й Й Й ДЕ Е
A A =

f (A) = AA И A

f (An )|cn |2 .

Д

(A , A ) = (A - A ),

ПН

= dAcA A .

И
( , ) = = dA dA dA c cA (A , A ) = A dA|cA |2 = 1.

dA c cA (A - A ) = A

ДЕ
A = ( , A ) = = dA dA dA c cA (A , A A ) = A A|cA |2 dA.

dA c cA A (A - A ) = A

|cA |2 A

И К?
f (A) = И

К? Й Й

ДЕ
f (A)|cA |2 dA.

И И cn cA И

К

И

я ПК
НК
И К Й И К И

К
ИКК Й Й Й Й

ПО

К

К К

Й

И К К

Й Й К Й Й Й Й Й

И К? И К К An И
|cA |2 К A A |cn |2 К ?

И

И

К

И Й Й Й

ОК

К
К К К

К

И

К
An0 К

1

И
И
n

Д
К И

И

Й Й Е
К Й Й

An0 К

И
An A |cn |2

К

К

n0 К

И

И

И

ПП

ПК

nК

К
И И К КД И КК

К Е An

Й И Й
Bn

К К n К

И К И

? Д К Е

И И

И Й Й Й

И

К

К

К

Й

[A , B ] = A B - B A = i? C . h

К
CИ

К

h ? Д? 0 Е h

И

И К
Д

К

И

И

Й И Й И Й ИКК

Е

ЕИ || || = 1К Д

A

B B = ( , B ), B = ( , (B - B )2 ).

A = ( , A ), A = ( , (A - A)2 ),

И
A З B h ? |C |. 2

Й

П

Й
L = (A - A) + i (B - B ),

К

К

Й

L = (A - A) - i (B - B ). L

Й

L L = (A -A)2+ 2 (B -B )2+i (A B -B A ) = A2+ 2 B 2-? C . Д Е h

И ДЕ

К

h ( , L L ) = A2 + 2 B 2 - ? C = (L , L ) 0

ДЕ

ДЕ

К
2

И
h ? 2 C - 4A2 B 2 0.

C

И

И

К

ДОЕК

И
q p h ? , 2

К Й

К

К

И

И

Й

яК
НК ?
К?

К
V (r, t)

Й К

К

П

И И К И

И К? К?
L2 К

К И И
(r, t)И

Й Й Й Й

?

(r , t) (r - r)d3 r , (r, t)

К

(r, t) =

И К? я ОИ | (r, t)|2 И r К НК К

И И К

И
t d3 rК К | (r, t)|2 d3 r

Й КК Й Й Й

К

И

И

Й

ОК

И

К

ИКК

Й И К И Й К Й

И И

И К К

И

К
П

i? h

(r, t) = H (r, t). t

ДЕ ИКК Й К К И И Й Й

И Д Е К ИКК К И И
,A + t

Й

К? И

И

ПК

d ( , A ) = dt

К
A

Д ЕК

Й Й Й Й

,

A t

+ , A

t

.

ДЕ

И
d dt + (r, t)A (r, t)d3 r = (r, t) A (r, t)d3 r + t

И
(r, t) A (r, t)d3 r+ t (r, t)A (r, t) 3 d r. t

ДНМЕ Й

Д ЕИ
-i? h

(r, t) = H (r, t). t

ДЕ

ДНМЕ
d ( , A ) = dt A i + [H A - A H ] . t h ?

,

ДННЕ

П

К
A = 1К d d ( , ) = dt dt

К
(r, t) (r, t)d3 r = i ( , [H - H ] ) = 0. h ?

И Й

И К

НИ

И

К

Й И И ДННЕ Й

К

НК

К

dA A i = + [H A - A H ]. dt t h ?

ДНОЕ Й

И

ДНОЕ

И

К И
A

К

К
A

К
И

И

ДНОЕ

AК

A i dA = + [H A - A H ]. dt t h ?

К
НЕ

К

К
Й И И Й

dr i ?2 h i = [H r - rH ] = - [r - r]. dt h ? h ? 2m

И
r

К

К

П

И
(xf ) =

К
2f 2f f (xf ) + x 2 + x =2 + xf . x x y z x dr i? h p =- = . dt m m

Й

?

ДНПЕ

ОЕ ?

И

И

dp i i = [H p - p H ] = (-i? )[V (r, t) - V (r, t)] = -V (r, t). ДН Е h dt ? h h ?

ДНПЕ

ДН Е К К К И ДННЕИ

Й Й

К

НК

= | (r, t)|2

К

К

i ?2 h i = + = ( H - H ) = ( - ). ДН Е t t t h ? h ? 2m h ? ( - ), 2 mi

j=

Д
div j = j =

Е
h ? ( - ). 2 mi

К

Й ДН Е

ДН Е

ДН Е
+ div j = 0. t

d dt (r, t)d3 r = (r, t) 3 d r=- t

К
div j d3 r = -

И
j n d2 = 0.

П

К Д И ЕИ И
d3 r

И К

Й И

К К И

ИКК

И

К
К

К
И И

И

Й Й

К ДЕ

К? К
(r, t) = (t) (r).

И

Й

ДН Е Й Й

К ДН ЕИ

И

ДН Е
(t) H (r) = . (t) (r)

ДЕ

Й

i? h

И

EИ

К ДН ЕК
-iE t/h ?

Й
.

Й Й

(t) = e

H (r) = E (r).

ДН Е

М

К

E

И

Д

КК
+

И

К?
-iE t/h ?

Е Й

(r, t) = e

(r).

НМК
(r) = | (r)|2

К

Й

К ? К

К? И

И

И К И

Й

И

A=

d3 re

iE t/h ?

(r)A e

-iE t/h ?

(r) =

d3 r (r)A (r).

ННК

КК

КК

К

К

ДН ЕИ К К

H n (r) = En n (r), n = 1, 2 . . . , H E (r) = E E (r).

Й
-iEn t/h ? -iE t/h ?

(r, t) =
n

Cn e CE

n (r) +

CE e

E (r)dE .

К

Cn

Й

n

|Cn |2 +

|CE |2 dE = 1.

Н

С С СК

я НК
ИКК
V =0 H =TК h ?2 (r) = E (r). 2m

Й Й

-

ДНЕ И

E=

p2 h ?2 2 = k. 2m 2m

ДНЕ
(r) = -k 2 (r).

ДОЕ И Д Е И
(r) = e
ipr/h ?

И И Д

ДОЕ

К ЕК

Й Й

И

.

КК

К
(r, t) =

И
1 e (2 ? )3/2 h
-i(E t-pr)/h ?

.

ДПЕ К

? И

И

И К ДПЕ
h ? (p - p )/? = k - k К h

Й ИКК

Й Й Й

О

КК ?

И

И И Д Е

К Й 2 И И К Й И

j=

И

К = | (r, t)|2 = 1/(2 ? )3 h К?

1p p h ? 2 i= , 2mi (2 ? )3 ? hh m

К

И

Й

я ОК
НК
a a

И
К
a a - a a = 1. a

ДЕ

И

a

Д
a И

К
a

ЕК

N =a a

Й Й Й

К? К ?

N

К

И И И

Й К

N

N = (a a ) = a (a ) = a a = N .

КК П

f К

ОК

КК К

NК (f , f ) = 1К К КК

И К

Nf = Й Й

НЕ ?

(f , N f ) = (f , f ) = (f , a a f ) = (a f , a f ) 0. (f , f ) = 1И 0К ОЕ ? a f = 0К (a f , a f ) = (f , a a f ) = (f , (1+a a )f ) = (f , f +N f ) = (1+)(f , f ) > 0, 0К ПЕ ? af МИ К К - 1К g- = a f = 0К К

КК

И

Й Й

N g- = a a (a f ) = (a a -1)(a f ) = a (a a -1)f = a (-1)f = (-1)g- .

Е? g+ = a f К ПИ

af

КК К ОК

К К + 1К ? И

N g+ = a a (a f ) = a (a a + 1)f = a (N +1)f = a ( + 1)f = (+1)g+ .

КК К К К К f0 К К К 0 - 1 < 0 К

Е

a f0 = 0 И

МК

0

Й КК

0 = (f0 , N f0 ) = (f0 , a a f0 ) = (a f0 , a f0 ) = 0.

Е
a

КК

N И КК

0 < < 1И

К К

КК КК

К К f К
a f = 0И К Й

К

= (a f , a f ) = 0И

И

Е КК f0

К К МИ

(a )n f

К
0

И

К К nК
NК 1К

ПК
НЕ
(a fn , a fn ) = |cn |2 (f
n+1

a f n = cn f ,f
n+1

n+

) = (fn , a a fn ) = (n + 1)(fn , fn ) = n + 1.

И ||a fn || = cn = n + 1К ОЕ К a fn = n + 1fn+1 К ПЕ К a fn = nfn-1 К К f0 КК Е? 1 fn = (a )n f0 . n!

И Й

ДЕ
f

К

l2И 0 . 1 . , a = 0 . 0 . ... 0 0 0 0 0 0 2 0 0 0 30 ... ... ... . . . . . . . . . . . . . . .

К

n

0 0 a = 0 ...

1 0 2 0 0 0 ... ...

0 0 3 ...

. . . .

. . . .

,

Й

0, 1, 2, 3, . . .

я ПК
НК
Д И

К

xК

И И К

ЕИ

12 kx И 2

V (x) = k

К
mx = -k x. ?

?

0 И

k

k

Й

2 k = m 0 .

2 x + 0 x = 0. ?

x = A cos(0 t + 0 ).

И
E=m
2 x2 x2 A2 2A +k =k = m 0 . 2 2 2 2

Й Й

ОК
ОН
-

К
И
1 h ? 2 d2 + k x2 (x) = E (x). 2 2m dx 2

Й

ДЕ И Й Й

К x = К

К

-

1 h2 1 d2 ? + k 2 2m 2 d 2 2

2

(x) = E (x).

h ?2 h ?2 h ?2 1 = k 2 , 4 = = 2 2, = m 2 mk m 0

h ? . m 0

И

E = h 0 . ?

ДЕ
1 2 - d2 + d 2
2

= .

ДЕ

ПК

И

1 a= 2 + d d

К
.

ДЕ И

ДЕ
1 a = 2 -

И
d d .

aa =

1 2

+

d d

-

d d

=

1 2

2 -

d2 +1 , d 2

aa=

1 2

-

d d

+

d d

=

1 2

2 -

d2 -1 d 2

=N.

ДЕ

ДЕ ДЕ
N+ 1 2

Д ЕИ К
= .

И

Й

К
И
En = h ?
0

К
, n = 0, 1, 2, . . .

Й

КК

Й Й

n+

1 2

КК

КК
1 2 + d d 0 = 0.

И

КК

0 ( ) =

К
1
1/4

Й

e

- 2 /2

.

ДЕ

К К nИ

Й

e

2 /2

К

n 1 n ( ) = a a . . .a 0 ( ). n! 0 И 2 2 1 = e /2 e- /2 К - 2 /2 e И

ДНМЕ Й Й Й

К
e
- 2 /2

ae

2 /2

1 = e 2
2 /2

- 2 /2

-

d d

e

2 /2

=

1 = e 2

- 2 /2

-e

d - e d

2 /2

1d = - . 2 d

?

И

И
1 n ( ) = (-1)n 2 n! КК n ( ) = (-1)n dn e d n
2 /2

К

ДНМЕ

Й

-n/2 2 /2

e

- 2 /2

0 ( ).

КК ДННЕ

e n!2n КО П КП

1

dn e d n

-

2

.

ДННЕ

d 1 - n ( ) = n + 1n+1 ( ), d 2 d 1 + n ( ) = nn-1 ( ), d 2

И
n ( ) = dn ( ) = d n n-1 ( ) + 2 n n-1 ( ) - 2

И
n+1 n+1 ( ) , 2 n+1 n+1 ( ) . 2

ДНОЕ ДНПЕ Й

К

НПИ

К КК

2

Hn ( ) = (-1)n e nК H
n+1

dn e d n

-
2

. nИ

Й

(x) = 2xHn (x) - 2nH

n-1

(x),

И

H0 (x) = 1К H1 (x) = 2x, H2 (x) = 4x2 - 2, H3 (x) = 8x3 - 12x.

И

И
n ( )
0.6 0.4 0.2 0.0 -0.2 -0.4 -0.6 -4

И

Hn (x)

n

МК

2 n ( )
0 1 2

n
3 4

0.5
0

0.4 0.3 0.2 0.1
3 4 2

n
1

К НК

-3 -2

-1

0

1

2

3

0.0 -4 -3 -2 -1 0 1
2 n

2

3

КК

n ( ) Д Е n = 0, 1, 2 3К

( ) Д Е

n ( ) =

e n!2
n

1

- 2 /2

Hn ( ).

КК

К НК

И

КК

И

КК К

К

И Й

К

К

Й

НЕ

К
И
h ? 0 h ? 0 /2К

И К Е
h ? Е

И

Й Й

? ОЕ И И И Л К К

0

И

Й Й n 1К Й

К

К

И

xn =

2 n ( )d = 0

ДН Е

ПЕ

К

-

К
-

И

К

Й ДН Е Й

i? h pn = -

n ( )n ( )d = 0,

К? Е

КК
x

ДН ЕК ДНОЕЕ
=
2

x =

ДН Е

И

К
2 2 n ( )d =

Д
x2
n

x2 = A2 /2И

=

(x)2 n

-

М

2 = 2

1 d [ nn-1 ( ) + n + 1n+1 ( )]2 d = 2 n + 2

.

-

Е
V

И

2 E = k x2 = m0 x2

2 En = m0 x2 n К

К

Й

n

=

12 1 h 2? k x n = m 0 2 2 m

n+
0

1 2

=

1 En . 2

И Е

T n = En /2К

Й

К

1 2

ДНПЕИ

p

2

n

= (pn )2 = 2mT n = mEn = m? h

0

n+

.

Е

К

К
xn pn =

И
1 En =h n+ ? 0 2 .

Й

К

К И Д

И
n = 0ЕК

Д К К И И И И

Е

Й Й Й Й Й Й Й

И
En

Е

E = k A2 /2 К

К
1/v = 1/

?

xИ

И К Кw

И 2T /m = 1/ 2[E - V (x)]/mК

w (x) =

1 1 . A2 - x2

Н

К

И

И К
[-A, A]К x wn (x) = w (y ), w (y )
3.0 2.5 2.0 1.5 1.0 0.5 0.0 -1.5 -1.0 -0.5 0.0 0.5 1.0

x = БA

Й

1 |n (x/)|2 .

К ОК
n=0 n ( ) К n

y

Дn = 20Е К
-x2 /2

n

w0 (x) = (1/ )e 2 2 w1 (x) = (2/3 ) 2 e-x / К И n n К ИКК [-A, A] К И

И

n=1

n 20 = КО 2 w (y ) = 2n + 1n ( 2n + 1y )

К

Й Й A = 2n + 1И Й Й И Й
w (y ) =

О

1

1 1-y
2

К

y = x/ 2n + 1К

И ? И

Д И

Е К

К

Й Й

К

П

СЮК

я НК
НК
?
r pИ

К
? И Д

К? ЕК ?

Й Й Й Й ДНЕ Е Й

L = r з p = (y pz - z py , z px - xpz , xpy - y px ),

Й

Д

К? ДНЕ

И

L = r з p = (y pz - z py , z px - xpz , xpy - y px ). L = (Lx , Ly , Lz )

К?
- (z px - xpz )(y pz - z py ) = y pz px - z px y pz + z py xpz - xpz z py = h h = (y px - xpy )(pz z - z pz ) = i? (xpy y px ) = i? Lz . x y z xК [Lx , Ly ] = Lx Ly - Ly Lx = (y pz - z py )(z px - xpz )-

И
h Lx Ly - Ly Lx = i? Lz , Ly Lz - Lz Ly = i? Lx , h h Lz Lx - Lx Lz = i? Ly .

Й

L з L = i? L . h

Й

Й

К

ОК

К
J И J x J y - J y J x = i? J z , h h J y J z - J z J y = i? J x , J z J x - J x J z = i? J y . h J з J = i? J . h

ИОНК

Й Й

ДОЕ

ДПЕ К И И И Й Й

К К КИ

ИКК

И

К К
J
2

ПК

= J x + Jy + J J zК

2

К

И
2 z 2 z

2

И

J

J

z

К Й Й

J

z

И
2 2 2 2 2 2

И

J J z - J z J = J x J z - J z J x + J y J z - J z J y + J x J z J x - J x J z J x+ + J y J z J y - J y J z J y = J x (J x J z - J z J x ) + (J x J z - J z J x )J x+ + J y (J y J z - J z J y ) + (J y J z - J z J y )J y = = J x (-i? J y ) + (-i? J y )J x + J y (i? J x ) + (i? J x )J y = 0. h h h h
2

И К И
J zК

К КК

J

я ОК
НК
И

К
h J Е = ? 2 Е ,
2

КК
J z Е = Е? Е . h

КК

Й

И К

К
Е2 К

КК

ЕК Й

ОК
2

К
Е , (J - J z ) = Е , J x
2 2 Е

Й

= h2 ( - Е2 )( Е , Е ) = ? + Е , J y
2 Е

Е

0.

И Е1

КК
Е2 И

ПК
НЕ

НИ Е1 Е Е2 К

Е

К

К

К

?
J
Б

К

Й ДЕ Й

= J x Б iJ y . J
Б

ОЕ

К
2 2

= J К

J + J - = (J x + iJ y )(J x - iJ y ) =
2

= J x + J y + i(J y J x - J x J y ) = J - J z + hJ z . ?

2

? ПЕ КК
Е = Е + 1К

J -J J
2

+

= J - J z - ? J z. h J +
2 Е

2

2

К? ИJ

МИ
J J
2 z

Й Й

Е

J x J yК J + Е

К J z J + Е = J z (J x + iJ y ) Е =

ДОЕ

Й

? ? = (i? J y + J x J z + hJ x + iJ y J z ) Е = h(Е + 1)J + Е . h

Е МИ КК Е = Е - 1К НЕ
Е1 (J - = (
Е1 Е1

К?
J

2

J - J И
2

Е

К

J

z

К

К К
, J -
2 Е1

И
Е1

J zК J -

Е1

= 0И )=

) = (
Е1

ОЕ Е2

?

, (J - J z + hJ z ) ?

2

, J + J -

Е1

) = h2 ( - Е2 + Е1 ) = 0. ? 1 J +
Е2

ДЕ Й И ДЕ

К? И

К

= 0И

ДЕ

- Е2 + Е1 = 0, - Е2 - Е2 = 0. 2 1

ПЕ ? Е ? j Е К ДЕ
Е

И

К?

И И

Е

К
Е

Д К

К = j (j + 1). К Е2 = -Е1 = j. jИ К К К К -j jК j j J -И К К j Е = j - 1, j - 2, . . .К j -j И Иj МК И 2j

Й (Е1 + Е2 )(Е2 - Е1 + 1) = 0. И Е2 Е1 К КК

КК 2j

Е
J
2

2

К
J
z

И
J z j Е = Е? j Е , h

? J j Е = j (j + 1)h2 j Е ,

3 1 j = 0, , 1, , 2, . . ., Е = -j, -j + 1, . . ., j - 1, j. 2 2

я ПК
НК
L И L
z 2

К КК
И
Lz .

Й К Й

Lz = -i? h

К

К
h L = -? 2 .
2

И

Й Й

ОК
2

И

К? И
К

L Yl m (, ) = h2 l(l + 1)Yl m (, ), ?

Lz Yl m (, ) = hmYl m (, ). Д Е ?

Yl m (, ) = ()().

ДЕ ДЕ Й

ДЕ
-i () = m(), m () = e
im

И ДЕ

.

ПК ?
И
m -l lИ L

К
ДЕ l

К К

ДЕ К КК К яН СС Й
m

И И

И

И И ?

И

J

И ДЕ

К

К

К

К
1 = sin sin

НП 1 2 + . sin2 2

И

ДНМЕ

ДЕ
-

1d sin d

ДЕ ()И () d m2 () = l(l + 1)(). sin - d sin2
= co s К

d m2 d (1 - 2 ) + l(l + 1) - d d 1- lm

2

() = 0.

d m2 d (1 - 2 ) + l(l + 1) - d d 1- m=0 (1 - 2 )

2

Pl m () = 0. Pl ( )И

ДННЕ Й ДНОЕ

d2 Pl () dPl () - 2 + l(l + 1)Pl () = 0. d 2 d 1 dl 2 ( - 1)l . 2l l! d l

Pl ( ) =

ДНПЕ

Plm ( ) = (1 - 2 )m mК
/2

Й
d Pl ( ). d m
m

И

ДННЕ
l

Е

Д mК И

ДНОЕИ [-1, 1]К

l

Л

m

И

Й Й

Pl (1) = 1К (l - |m|)! |m| P ( ). (l + |m|)! l

НК ? Й

Pl m ( ) =

2l + 1 2

КК

К

Yl
m

1 (, ) = e 2

К

im

НП

Pl m (cos ).

?

2

К

d
0 0

sin d|Yl m (, )|2 = 1.

К

К

ДНПЕ
3 2 - 1 . 2

И

P0 ( ) = 1, P1 ( ) = , P2 ( ) =
1 P1 ( ) =

1 1 - 2 , P1 (cos ) = sin .

1 Y0 0 (, ) = , Y1 0 (, ) = 4

3 cos , Y1 4

Б1

(, ) =

3 sin e 8

Бi

.

М

яК

НК
И

И К К К

К
КК И

И И И И

Й И И К И Й Й Й Й

SИ

2

К
2

SК

И К К КК КК К
Й S
z

s(s + 1)h И ?

Е? К h

К

Й Й

НЛОК ЕБ И

s = 0К Б И s = 1/2К

0 К

К К KЙ

К
P БИ

И Й Й

И И s = 1К И
s = 3/2К s = 2К И К

e И N

NД

ЕИ Н

К Н

ЕК

W

Б

ZД

И

И И

К Й Й

К О И

К

Й Й К К К Й Й Й

И

Й

И

ОК
1/2

К
Н

И ?

К
S 1 0 0 1
2

Й Й
SzК

11 22

=

,

z

1 2

-

1 2

=

.

Sz =

h ? 2

?
S+ = h ?

10 0 -1

,

S=

2

3 h ? 4

2

10 01

.

КК
1 2

ДЕ
11 22

-

1 2

11 22

, S+

= 0, S-

11 22

= h ?

1 2

-

1 2

, S-

1 2

-

1 2

= 0.

И
S+ = h ? 00 01 , ? S- = h 10 00 .

К
x = 0 1 1 0 , y = 0 i -i 0 , z = 1 0 0 1 .

Й

И
S= h ? . 2

И

К

К

яК
НК
К Д

К

J1

J2

Й ЕИ

О

К? И
J = J1 + J2 .

К

И

ДПЕК
h h J1 з J1 = i? J1 , J2 з J2 = i? J2 .

К

Й

J з J = (J1 + J2 ) з (J1 + J2 ) = J1 з J1 + J2 з J2 + J1 з J2 + J2 з J1 = h = i? J1 + i? J2 + J1 з J2 - J1 з J2 = J з J . h

И К И

И И И К Й

ОК
j Е И j1 j
Е1

ЕИ (1)

КК j2

Е2

(2) Д

И j1 , Е1 И

К
j2 , Е2 К

К И

КК

Й КК

ЕК

Jz = J

1z

+J

2z

.

ДН Е Й

КК

КК
j Е = j1
Е1

(1)j2

Е2

(2).

ДН Е И

КК

ДН Е
Е = Е1 + Е2 .
2 2 2

ДН Е Й ДН Е

J

= J 1 + J 2 + 2J1 J2 .

П

И
jК

К К ДН ЕИ И И

К

Й

ПК
j

И
-j j

К
Е

НК
Е1 = Е = Е1 +

ДН Е j1 Е2 = j2 К Е2 = j1 + j2 К ? j = j1 + j2 К К Е = j1 + j2 - 1 Е1 = j1 , Е2 = j2 - 1И Е1 = j1 - 1 j = j1 + j2 j = j1 Е = Е1 + Е2 - 2 j1 + j2 И j1 + j2 - 1И j1 + j2 - 2К ?

КК

И

j
j1 +j2

КК Й И К К 2j1 + 1 2j2 + 1К (2j1 + 1)(2j2 + 1)К ДН Е КК К Й j1 + j2 , . . ., j0 И

, Е2 = j2 К + j2 - 1К ККj j = j0 И К

Й

j =j0

2 (2j + 1) = (j1 + j2 + 1)2 - j0 = (2j1 + 1)(2j2 + 1),

К

2 j0 = (j1 - j2 )2 j0 = |j1 - j2 |И j1 j2 К И j j = j1 + j2 , j1 + j2 - 1, . . ., |j1 - j2 |.

И

ДН Е
j j 1Еj2 = Е1 +Е2 =Е j Cj1Е 1 Е ,j2 Е2

К
(2).

ДН Е ДН Е Й Й

j1

Е1

(1)j2

Е2

Е

К

ДН Е

К

Д

КИ

И ЕК

К

И К К j1 = s1 = 1/2 М НК И 1 1 11 0 0 = [ 2 2 (1) 2 2 Н
1 1 = 1
0
11 22

НЛОК

j2 = s2 = 1/2К

М
-
1 2

(2) -
-1

1 2

-

1 2

(1)

11 22

(2)].

(1)

11 22

(2),
1 2

1
-
1 2

=
1 2

1 2

1 = [ 2

-
1 2

1 2

(1)

1 2

-

1 2

(2),

11 22

(1)

(2) +

-

(1)

11 22

(2)].

яК
НК
КК
J БК

НЛО
И КП яО
Е+1

К

J + j Е = cj

.

(J + j Е , J + j Е ) = |c|2 = (j Е , J - J + j Е ) = h2 (j - Е)(j + Е + 1). ?

И
? J + j Е = h (j - Е)(j + Е + 1)j (j + Е)(j - Е + 1)j

КП
.

я ОК

Й

Е+1

ДН Е ДОМЕ ДН Е

?
J - j Е = h ?

Е-1

.

ДОМЕИ

ОК
h ? 2 h ? = 2i

ДЕ

К
Е+1

J x j Е = J y j
Е

(j - Е)(j + Е + 1)j (j - Е)(j + Е + 1)

+ -

(j + Е)(j - Е + 1)j (j + Е)(j - Е + 1)j

Е-1 Е-1

, ДОНЕ . ДООЕ

j Е+1

ПК НЛОК

l l

s = 1/2К

ДН Е
j Е = C+ l

j = l Б 1/2К

Е-

1 2

(1)

11 22

+ C- l

Е+

1 2

(1)

1 2

Е
2 2 C+ + C- = 1.

К

-

1 2

.

ДОПЕ Й

ДН ЕИ
J
2 2 2

ДОПЕ

Й

= L + S + 2J z Sz + 2J x Sx + 2J y Sy .

К К ДОПЕК ДООЕ
j (j + 1)j Е = l(l + 1) + - C- + C+ + C- l-Е+ l+Е+ 1 3 j Е + C+ Е - l Е- 1 (1) 2 4 2 1 1 Е+ l Е- 1 (1) 1 2 (2)+ 2 2 2 1 2 1 2 l+Е+ l-Е+ 1 2l
Е+
1 2 11 22

Й ДОНЕ
(2)-

(1)

1 2

-

1 2

(2)+ (2).

1 2l

Е+

1 2

(1)

1 2

-

1 2

К?

О

Lx Sx НЛОИ i

К

Е

Ly Sy -i

К Й Й
1 C- , 2 1 C+ . 2

К КИ
1 2 1 2

К

1 j (j + 1)C+ = l(l + 1) + + Е C+ + 4 1 j (j + 1)C- = l(l + 1) + - Е C- + 4

l+Е+ l+Е+

l-Е+ l-Е+

ИКК
j (j + 1) - l(l + 1) - 1 4
2

И
1 2
2

Й

- Е2 - 3 4

l+

- Е2 = 1 = 0. 4

= j 2 + j - l 2 - 2l -

j 2 + j - l2 +

И
1 1 j = - Б |l + 1|, j = - Б |l|. 2 2 j0 И j = l Б 1/2К j = l + 1/2 C+ = j = l - 1/2 C+ = 2l - 2Е + 1 , C- = - 2(2l + 1) 2l + 2Е + 1 . 2(2l + 1) 2l + 2Е + 1 , C- = 2(2l + 1) 2l - 2Е + 1 , 2(2l + 1)

И

Й

ДО Е

ДО Е ДО Е Й

ДО Е К j= l j= C+

К

НЛОК
И
0 НК = 1/2К j=0 1И Е = (1 + Е)/2, C- = И

К

Е = 0 C+ = -C- = 1/ 2К Е = 0, Б1И Й (1 - Е)/2К ? К

Е И

ЮК
Д И К К V = V (r)К И И К И И К К И К? К Й Й И ЕИ Д Й Й Й Й

? И

я НК
НК
И К К V = 0К К
h ?2 (r, , ) = E (r, , ), 2 m0

К

И

И К И

К

Й Й

-

ДНЕ Й

И

m

0

К И И
E= h ?2 2 k, 2 m0 E 0К

ДОЕ

k

К
- (r, , ) = k 2 (r, , ).

ДПЕ

= r +

1 , r2

r =

1 r2 r

r

2

r

,

К

ДНМЕ

К

ОК

ДПЕ

К
(r, , ) = R(r)Ylm (, ),

ДЕ КК

Ylm (, )

И

Ylm (, ) = -l(l + 1)Ylm (, ).

ДЕ
Yl
m

ДПЕИ

И И
l(l + 1) R(r) = k 2 R(r). r2

-r R(r) +

ДЕ Й Й

К

И R(r) И ОНИП И К К

НПИ И

И
rК

Й К? Й Й Й Й ДЕ

К ДЕ

ПК ?

К

r И

К К?

-r R(r) = k 2 R(r),

Й
r = 1d r2 dr r
2

d dr

.

ДЕ

R(r) = (r) . r

К ДЕ Й

d2 (r) + k 2 (r) = 0. dr2 = C1 e
ikr

+ C2 e

-ikr

.

И
R(r) C1 e
ikr

r + C2 e
-ikr

r

.

ДЕ Й

К?

ДНЕ
(r, , ) =
l (1)

К
(2)

ДЕ

[Clm Rl1 (r) + Clm Rl2 (r)]Ylm (, ),

l= 0 m = - l

Rl1 (r)

Rl2 (r) К mИ

Й Д ЕИ lИ И
ikr

Д ЕИ Д ЕК

К
e + g (, ) e
-ikr

Й Й Й Й

(r, , ) f (, )

r

r

,

ДЕ И Й

ДЕ

f

g

К?

К

ДЕ

К

М

К?
И И КК | (r, , )|2 К К И И И

К

К К Й Й Й Й

И

И

И

EИ

я ОК
НК К
h ?2 + V (r) (r, , ) = E (r, , ) 2 m0

Й

-

ДНМЕ Й

К ДНМЕ
- h ?2 2m r -

Д ЕК

И

0

l(l + 1) R(r) + V (r)R(r) = E R(r). r2 mИ

ДННЕ Й

ДННЕ ?
-? 2 h l(l + 1)h ? И
2

И Д ЕИ
EИ m? h EИ l mК -i? h

И

lК

Й Й Й

К

r К

ОК ?

К
rК

И

V (r) 0И

Й Й

Н

r

И И И И

И

И К

И

1/r К E

lК V (r)И V (r)

И Й Й Д ЕК К К Й Й К

НЕ E 0К ДЕ ИКК И ДОЕ

ОЕ E < 0К

V (r) 0 Д ЕК E

Д ЕК

И

E=-

h ?2 2m

2 0

.

d2 (r) - dr2
2

ДЕ
(r) = 0. eБ И
r

К
EД

И

И И

К
e
-r

Е

/r И

Й К Й Й Й Й Й Й Й Й Й

ИКК И

И

К

И

К

К

ПК
К О

К

И

d3 r = r2 dr sin ddК

| (r, , )|2 d3 r ДЕ

r

Й Й

|R(r)|2 r2 dr|Ylm (, )|2 sin dd.

ДНОЕ
И eim И

НК
rИ К?

Й

ДНОЕ

К ДНОЕ И

И

К

Й

К
К Е l mК ? d2 = sin dd
Y

К
К
|Ylm (, )|2 d2 К

Й Й Й Й Й

Д

К

r = |Ylm (, 0)|2 К НЕ l = 0К Y00 = 1/ 4 И К К

И К r = |Ylm (, )|2 И

m = 0К

Й

3 cos2 4

И

И
Y10 (, ) =

r = 1/(4 )К

ОЕ l = 1, m = 0К Д ЕИ

К 3 co s К 4 И К

Й Й Й

ПЕ l = 1, m = Б1К

Y1Б1 (, ) =

3 sin e 8

Б

К

П

r=

КП

И К

3 sin2 8

Й И
0.15 0.10

К

И

0.08 0.00

l = 0, m = 0

0.05 0.00

-0.08 -0.08 0.08

0.00

0.08

-0.05 -0.10

l = 1, m = 0
0.00 -0.08

-0.15 -0.05

0.05

l = 1, m = Б1
-0.2 -0.1 0.0 0.1 0.2

К ПК

К

l

И

И

Д

КИ

ИО К

НОЕК Й

я ПК ?
m
e

И КН И = e2 /(hc)И ? 1/137.036К К
c

?

К

h ?К

e

И

Й Й Й

К

К

И И
re 2 К re = e2 /(me c2 )К ?

Й Й И И И Й
Н

К К И
a0 К

?
e me h ? a0 c p0 p2 /me 0 a0 me /p0 c/a0 p2 /(a0 me ) 0 e/a0 e/a2 0

?
e me h ? h ? 2 /(me e2 ) e2 /? h me e2 /? h me e4 /? 2 h h ? 3 /(me e4 ) me e4 /? 3 h m2 e6 /? 4 h e me e3 /? 2 h m2 e5 /? 4 h e 4.8 З 10
-10 -28 1/2

Ы
9.1 З 10 1.05 З 10-27 0.529 З 10-8 2.19 З 108 Л 2.0 З 10-19 З 4.36 З 10-11 2.42 З 10-17 4.13 З 1016 2.47 З Л 2 0.0908 1/2 З 5.14 З 109 ?Л З З
3/2

Л

Л

?

1/2

Л

Й

me c

2

К К

К И

2 И

К?

Й

? = re / = h/(me c) = 0.00386 З 10 0.529 З 10-8 . И 2 = 2 = 0.0242 ?К

-8

Й Й re = e2 /(me c2 ) = 2.8З10-13 , , a0 = / = h2 /(me e2 ) = ? И Й К Й И

яК
НК К
Z eК Z e2 . r

Й Й

V (r) = -

ДНПЕ Й

К ДНМЕ И К?
h ?2 2m

И

И ДНПЕК яО

Й И Й

ДННЕ
-

e

r -

Z e2 l(l + 1) R(r) - R(r) = E R(r). r2 r

ДН Е ДН ЕИ Й

? КК

К

ДE < 0Е К

И e = me = h = 1 К ?
-

ДН ЕК

И

Й

l(l + 1) Z 1 r - R(r) - R(r) = E R(r). 2 r2 r r a0 И

me e 4 / ? 2 К h

Й

E=-

Z2 , 2 n2

Z , n= -2E

ДН Е

И

=

n 2Z r, r = . n 2Z

?
E n 1d dR 2 2 d d -

И
l(l + 1) n 1 + R - R = 0. 2 4

Й
Z

ДН Е Й Й И Е
И

ОК
И К ИКК
R s . К ? s s(s + 1) = l(l + 1). s = -l - 1 s=l К

К
К

Д

Й Й

ДН Е Й

ДН Е

ДН Е И

И
l>0 R
- l- 1 0 22

И ИКК К

Й Й Й Й ДН Е

l=0

?

И

К

К
R
l

|R(r)| r dr

К

ИКК
R = l e

-/2

w.

w w + (2l + 2 - )w + (n - l - 1)w = 0,

ДН Е

=0 ЕК

К Д

w

Й Й Й

К

ДН Е К К
d2 w dw + (c - z ) - aw = 0 . dz 2 dz

ПК ?
НП
z

К? Д? Е

Й Й

ДОМЕ Й

Д?Е

a(a + 1) z 2 a(a + 1)(a + 2) z 3 a + + ... F (a, c, z ) = 1 + z + c c(c + 1) 2 c(c + 1)(c + 2) 3!

ДОНЕ Й

n=0 К И

Й И КК

zК

И

a nД

nИ И a = - n, n = 0 , 1 , 2 , . . .

К

ЕК ?

И

?

Й

F (a, a, z ) = ez К И ?

ДОМЕ
1-c

w = C1 F (a, c, z ) + C2 z

F (a - c + 1, 2 - c, z ).

ДООЕ

? ДОНЕ

И

И К? ДООЕК

c

Й

?К ?

К
1

z

Й Й

(c) F (a, c, z ) = (a)(c - a)

t
0

a-1

(1 - t)c

-a-1 z t

e dt.

ДОПЕ Й Й Й К

И ?

И

ЕИ
(c) (a)
m =0

Й

К

И Д Й

F (a, c, z ) =

(a + m) z m , (c + m) m!

ДОНЕК

z +К ? t=1-u
1

ДОПЕ

Й

(c)ez F (a, c, z ) = (a)(c - a)

0

(1 - u)a-1 u

c-a-1 -z u

e

du = ez F (c - a, c, -z ).

u = v /z (c)ez F (a, c, z ) = (a)(c - a) z 1И ДО ЕК ? v
z

0

1-

v z

a-1

v z

c-a-1

e

-v

dv . z

ДО Е И Й Й

К И v К

И И v zК

z

ДО Е

И
a 0

К (c) ez . (a) z c-a

Й

(c) ez F (a, c, z ) (a)(c - a) z c-

v

c-a-1 -v

e

dv =

ДО Е Й Й Й Й

?

К К

ДО Е
aИ

cЛ a c a = -n, n = 0, 1, 2, . . .И

И

К Й

К

И К И К ОИ 0К К ДО ЕК
wИ

К? ДН Е ДН ЕИ F (-n + l + 1, 2l + 2, )К ? l+1-2l-2 = -l-1 И

К

И

Й

R l e

-/2

e (2l + 2) . (-n + l + 1) n+1+l

КК ? -k , k = 0, 1, 2, . . . К
n = l+1+k l+1 En = - n = 1, 2, 3, . . . ДО Е nИ К К Z2 , 2 n2

Й Й 0И К К -n + l + 1 = И

К

И

ДО Е ДН Е И
l

ДО Е К

И И

ДН ЕИ
n

l = 0, 1, . . ., n - 1К М

И

Й

?

? К

En = - Z 2 me e 4 . 2 n2 ? 2 h RИ

К
rК

И

К

Й

R2 (r)r2 dr = 1.

0

И
Rnl (r) = c
nl

2Z r n c
nl

l

Z ex p - r F n 2Z 3/2 n2 (2l + 2)! n=1

-n + l + 1, 2l + 2,

2Z r, n

=

(n + l)! . (n - l - 1)! 2ЕИ Z 5/2 Zr , R21 (r) = re 2 26

И

Д

R10 (r) = 2Z

3/2 -Z r

e

Z 3/2 , R20 (r) = e 2

- Z r /2

1-

- Z r /2

.

КК

ДЕ

Й

nlm (r, , ) = Rnl (r)Ylm (, ).

И
(r, , ) Z 3/2 100 = e Z 5/2 210 = e 4 2 nИ
-Z r

- Z r /2

Zr Z 3/2 , 200 = e-Z r/2 1 - , 2 2 2 Z 5/2 r cos , 21Б1 = e-Z r/2 r sin e 8

Бi

.

Е

ИlД

И

И l(l + 1)h2 ?

Д

Н

ЕИ И
m? h

И

mИ

ККИ

Й Д ЕК

Rnl (r)
2.0 1.5 1.0 0.5 0.0 -0.5 0 20 21 1 2 3 4 5

2 r2 Rnl (r)

nl
10

0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0.0

10

nl
21 20

КК

r

0

2

4

6

8

r
Й

Rnl (r ) Д Е 2 r 2 Rnl (r ) Д Е

n = 0, 1И Z = 1К

КК ?

КК К КК К

ККИ И И

Й Й

я К?

НК
M

К
Z

H =-

h ?2 Z e2 h ?2 r2 - r1 - , 2M 2 me r

Д

r1

r2

Й

И К

ЕИ

r = |r2 - r1 |

О

И
H (r1 , r2 ) = E (r1 , r2 ) r1 r2

ДО Е

К?
M r1 + me r2 , M + me

R=

r = r2 - r1 .

Й И
H =-

Й

И

К Й

h2 ? Z e2 h ?2 r - R - . 2(M + me ) 2 m r

(r1 , r2 ) = (R) (r).

(r1 , r2 )

ДО Е

И

-

h ?2 R (R) h ? 2 r (r) Z e2 - - =E 2(M + me ) (R) 2m (r) r

.

ДО Е

m =

M me me = . M + me 1 + me /M

Н И К
me К ДО ЕИ

И

П И КК
R r

И К И ДО Е

-

h ?2 R (R) = E 2(M + me )

К

(R),

П

E

h ?2 Z e2 (r) - (r) = E (r), r 2m r = E К + EК ДО Е И ДПМЕ К -

ДПМЕ Й Й К И Й Й

К И

К

К

ОК
En = - me e 4 Z 2 . h ? 2 2 n2

К

Й

E = 0 4 E4 = -1/32 3 E3 = -1/18 2 n E2 = -1/8 En = -1/(2n2)

КК
?
Z = 1К

1
К

E1 = -1/2

К

E1 = -me e4 /(2h2 ) ? 1 = 3.29 З 10
15

Й
1 = 13.6 ?К 1 = 911.7 ?К 1 = -E1

Й И

И И И К?

НЛ

И К КК

И

Й Й

ik =

Ei - Ek me e 4 = Z2 h 4 ? 3 h

1 1 -2 k2 i

.

?
2.47 З 10
15

Е Ф И ЛП И 21 = 1216 ?К ?

И

Д

ПЛ

И К К 21 ik

Й И =

1 = Z 2 RR ik

1 1 -2 k2 i me e 4 . 4 ? 3 c h

,

R RR =

R

me К 109678
-1

К Д

И И 1 = 1/RH = 912?К Е К Д

И

R

И И И

И = 109737 ИR

И

-1 H

Й К = Й Й

И К

И Е Ф И Ф И Ф

И КК

Й Й

К Ш К К Д Д ? И И И

И К

И ЕИ k= И КК

Р И Ш И И ЕК

К

Й Й ж И Й Й

И И

К
kИ

К Й К Й

И

И

1/(k + 1)2 < 1/k 2 - 1/(k + 1)2 , k 2 - 2k - 1 < 0. 2К

И К

Д

Е

К

k=1 Й Й

И И Д Д ЕК Ч ?

Е И И ЕИ

Д К? И Д Й Й

ЕК

ПК
И
l

И

К

ИКК КК n
m

nlm (r,,)К l n - 1И l = 0, 1, . . ., n - 1К 2l + 1 n n2 К

И

Й Й n И

l m = -l, . . ., lК ? n=1

КК ? И

К

И

n2 К Й Й

И К И
2 n2 К

Д И

n

НИ

И

О

И

И ПОИ

ЕИ И И

Д ЕИ

Д

Е МК

Й Й И Й Й Й

К И И Д И И И К ЕК И М Ы Н Ш

И

И К?

К

К

НОМ НПМ
n" l

И

И Й Й И Й

И
l "l n=3 e
-r

НОК ? И

О

П К

Р
m

С И

У К КК 100 = И

l=2

ПК

/ К rб
м

r =1Д

4r 2 e

-2r

К

К ЕИ К К

ЮСК

? И

Й К К К И Й

я НК
НК
К КК К
i g
i

К

К
К

И

И
Ei

И

Й И Й Й И
n
i

И
kК gk К Ei ik К

К ik = (Ei - Ek )/h ?Й ?Й
i k ПНК И ik К И К

К

Ek И Ei > Ek И

Й
n
k

И ЕК И И И Й Й Й Й Й

Д И

ЕК

И

Д

И

К

Д К?

Aik И Bik

Д Е ni Bik
Bk Aik
i

ik

И Д ЕК

Bik
ik

Е ni Aik И nk Bki ik К
Bki

Й Й Й Й Й Й И

ik

ОК
? ?К К

К Д

К
И ЕК Д И

Д
nk gk =e ni gi 8 h c3 К
3 ik

КЕ ЕИ И

Й Й Й

И

К

-(Ek -Ei )/(k T )

,

ДНЕ Й

И
k

И

ik

=

1 e
hik /(k T )

И

T

-1

.

ДОЕ

И И Д

И К К Е

И

Й Й

К

И

ni (Aik + Bik ik ) = nk Bki ik .

ДПЕ

ДНЕ ДОЕ
3 8 hik Bik , 3 c

ДПЕИ И
gi Bik = gk Bki . B
3 2hik /c2 И

Й Й ДЕ Н К Й 3 8 hik /c3 К К

Aik =

И

И

ДЕ И

ПК
И И И И

К

Й Й Й К Й Й Й Й Й Й

И К

ik

К К
ds

И И К К К? И И И

И

И И

iИ

К

И

nk Bki ik dsИ

kК

И Й g k ni nk Bki ik ds - ni Bik ik ds = nk Bki ik ds 1 - К? g i nk И И Й 1 - e-hik /(k T ) И Н К К М

И

Й Й И ni Bik ik dsИ

?

К

И Е Д

Д

И

ik

Й ЕК Й Й И Й Й Й

И ?К К К И К ? И И И И И К И К К И К И

И

К

К К

К Й Й И Й Й

И К

И К

И

К

я ОК
И И И

Aik
К? Й Й Й Й ЕК К К

Д

И К К

И К Н

К

И И
I=

2 e2 2 |?| . r 3 c3 0

ОМ К

Й

I=

2 e2 4 2 r. 3 c3 0 N

И

И

N IК

Й

К

ik

0

И
Aik = r2 К Iik . h ? ik i

И Й = 2 ik К

kИ ni Iik = hik ni Aik И ?

И
i (r)rk (r)d3 r,

И

И Й Й

rik = (i , rk ) = i k

КК r2

|rik |2 И

К И К Й

?

r2 2|rik |2 ,

|rik |2 = |xik |2 + |yik |2 + |zik |2 .

Aik =

3 4 e2 ik |rik |2 . 3? 3c h

ДЕ

И
Aik =
3 64 e ik |rik |2 . 3 c3 h 4 2

О

ОИ И К И К К

К ДЕ ЕИ Д

И Й Й Й

КК

я ПК
НК
ДЕ И
xК

К?
ДЕ КК

Й Й И Й Й

?

ik =

i ( ) k ( )d
-

К

И КК

КК

КК
+1

И
( )

Й

k ( ) =

k k

-1

( ) + k + 1k 2

.

ik =

k (i , k-1 ) + 2

k+1 (i , k+1 ) = 2

k 2

i k-1

+

k+1 2

i k+1

. ДЕ

i = k + 1К К

ДЕ И ik = 0 И К К К

КК

И

i = k-1

К

П

ОК

К
n xn
n-1

=

An n-1 К n/2И
n-1

К

Й Й
h ? m0 n . 2

n-1

= n

=

0

An

n-1

=

2 e2 2 n. 3 m 0 c3 0

ДЕ Д

ЕК

n=0

ДЕ
2 e2 2 . 3 m 0 c3 0

И

Й ОМ ДЕ

=

?

An

n-1

= nК

e2 n. 3 ? 0 m0 h

Bn

n-1

=

яК
ik n , l , m n , l , mК КК n , l , mК

И К

nlm (r) = Rnl (r)Ylm (, ),

И
x = r sin cos , y = r sin sin , z = r cos .

?

К

Е = co s К

И
z
n l m ,nlm 1 3

= Cl

Й
2

m

Clm з (Е)dЕ

з

Rn l (r)Rnl (r)r dr
0 -1

ЕPlm

(Е)Plm

e
0

i(m-m )

d.

r r2 sin К

Cl

m

r dЕК

И sin

Е К

z

К

Й Й Й Й Й Й

И 2 И

И
m = mИ ЕPlm (Е) ЕPlm (Е) = К

m

m

К И

К Д

К НПЕ

l-m+1 m l+m m Pl+1 (Е) + P (Е). 2l + 1 2 l + 1 l- 1

l = l Б 1К
x Б iy И

Е

И И
(x Б iy )n
1 3 l m ,nlm

x

y
Бi

Й

x Б iy = r sin e = Cl

m

Clm з

2 i(m-m Б1)

з Rn l (r)Rnl (r)r dr
0

-1

1-

Е2

Plm

(Е)Plm

(Е)dЕ e
0

d.

? m = m Б 1 К И

Plm+1 (Е) - Plm+1 (Е) -1 +1 = 2l + 1 (l - m + 1)(l - m + 2) m-1 (l + m - 1)(l + m) m-1 = Pl+1 (Е) - Pl-1 (Е). 2l + 1 2l + 1 1 - Е2 Plm (Е) =

Дm = m + 1

m = m - 1 Е

1 - Е2

И

l = l Б 1К ? Е

И К
n - n x

И
yИ

К

И И

И И

К

l = l Б 1,

m = m, m Б 1 .

И

И К

К И И

Й Й

яК
? Д ЕИ К

21
Д Е И
, A210,100 , A21Б1,100 К A200, П К Д ЕК ? me e 4 3 = К 2h2 4 ? К? 21 = 3/8К A200,
100

Й
L К

100

= 0И

Й И Й

21

?

К

К
5

Й

R21 (r)R10 (r)r dr =
0 0

3

r e - r /2 2e 26

-r 3

1 r dr = 6

2 3

24 =

215/2 . 39/2

К
z
2 210,100 1 2

Й

sin d
0 0

d cos

Y1 0

(, )Y00 (, ) =
-1

ЕdЕ
0

d

1 1 3 Е = . 4 4 3

x Б iy
2

sin d
0 1 0

d sin e

Бi

Y1 1 (, )Y00 (, ) = Б 3 8 1 - Е2 e
i

2

=
-1

1-

Е2 eБi

dЕ
0

d

1 . 4

К
3 22
1

Й

-1

2 (1 - Е )dЕ = . 3
2

К И И
|z
210,100

И x

y

К
1/3К x y

И

Й 1/ 6К Й

Й

z

|2 = |x21Б

1,100

|2 + |y

21Б1,100

|2 =

215 215 1 = 10 . 93 3 3

К
A21,
10

И
41 3 c3 3 8
3

2 3
15 10

= A210,

100

= A21Б

1,100

=

=

2 3

8

1 . c3

? яП Ы ЮК

c = 137.036И A21,
10 10

К
-1

Й К КН

A21,

= 6.24 З 10

8

яК
НК И
A21 = A200,
100

+ A210,
100

Д
21
100

И
+ A21-
1,100

Е НК

Й Й К
8 -1

+ A211, 4

3 = A21,10 = 4.68З10 4

.

ОК

Z

4

Z 2И

К

3 ik

И
1/Z И

Z Z 6К

Й Й Й

И

Е Z 4К

И

К Н

Р

+

1/Z 2 К ? Й

К ПК ? И

Aik

К

h ? ik Bki = cre fik , c re = e2 /(m0 c2 ) = 2.818 З 10 К ? fn n-1 = n/3К
-13

? К

И

Й

Aik = 2

gk e 2 fik . m0 c3 ik gi

2

НК
f
21

И
= 213 /39 = 0.4162К

И
21

И И

Й

К И К К ЧСССИ
N

К ДЕ К

Aik И

И И К

И

Д ЕИ Й Й Й Й Й Й Й

И И

И

2

И N1 = 4959 ?И К
A20,

К К
-1

N1 = 5007 ? N2 AN1 = 0.021 AN2 = 0.0071К 200 100И

И

21

Й Й Й Й И Й

10

= 8.23

К

К

+ 21 = 21 К ПНК

яК
НК
И
E1 И n
1

К
n2 К И

К E2 > E1 К И
n0 К 2

Й
t=0

К

Й A21 n2 (t)dt К

n2 (t) dt t

К

dn2 = -A21 n2 . dt

ДЕ

n2 (t) = n0 e 2

-A

21

t

.

ДНМЕ И К? К
e

ДЕ
ln 2/A21 1/A21

ДНМЕ
n

2

К

Й Й Й Й К Й

ОК ?
К ? И К Д
A21 e t

К
И

ДНМЕ

e

-A

21

t

К

1-e

-A

И
21

t

И

И

t

Й Й Й Й Й

t

К

t = 0Е
t

МИ

-A

И t = Е A21 e-A21 t И Д И И И
A21 К

21

dt

t + dtК И

К
t=
0

Й Й

tA21 e

-A

21

t

dt =

1 A21 10
-7

К

? 10

-8

И

К Й

ПК

К

I ( ) =

ОМ

К?

Й

1 , 2 ( - 0 )2 + ( /2)2

НММ

0

Д И К
21 К

И

Е

Д ЕК И

Й Й К Й Й A21 И Й Й Й Й Й Й И Й К Й И Й

И

И И

0

1/A21 И

1/ И К A21 К

И

И

К

И К? Д И К Е

И К И И

И

К

E З t ? A21 З 1/A21 = hК h ?

К

К
iК

К

И

И

И К Й

И
i =

i-1 j =1

Aij К

Й И И
i k

К

?

И

К

НМН

И
i-1 j =1 k -1 j =1

ik = i + k , i =
0

Aij , k =

Akj .

ik

ik И ik 1 . 2 + ( /2)2 2 ( - ik ) ik
2 c / 0 = 2 / cИ 0

Iik ( ) =

/0 = / 0 К Й

=

2 2 e2 = re , 3 m 0 c2 3

КК
ik

2/3 2

К

К

К

= 2 1216 ?И = 1.45 З 10

2 ik ik . c

-11

И
= 1.45 З 10
-3

0.01 ?К

v

К

L К A21 4.68 З 10 ?К ? И И К К Д И И

И

8

-1

И

Й Й Й Й

?К

ЕИ ik v /cИ Л И

?К НМО

Й

ЮС СК

К К К? ОНК

Й Й Й

яНК
НК
И
i? h

К

И

Й

(r, t) = H (r, t) t

(r, t) = (r)e E

E t/ih ?

,

КК (r)
H (r) = E (r).

К

КК

E

Й ДНЕ

? Е
H

ДК К

ДНЕ К

Й Й

H = H0 + V .

ДОЕ

И
H0 n = En n ,

КК
n = 1, 2. . .,

КК
(n , m ) =
nm

.

ДПЕ Й Й И

И

И

КК ИКК НМП

И КК ДПЕК ?

И ? VК ? К К

КК

КК

И

К И
V

H

Й

ОК ?
К К И
H = H0 + V , 1К ? И

К
И Й ДЕ Й Е К К En E Й Й

ДОЕ

ДНЕ
E = En + =
l= 0 j =1

= 1К Д КК

j aj = En + a1 + a2 2 + . . .,

l l = 0 + 1 + 2 2 + . . .

ДЕ ДЕ Й ДЕ ДЕ ДЕ

ДНЕ

К

H0 0 = En 0 , H0 1 + V 0 = En 1 + a1 0 , H0 2 + V 1 = En 2 + a1 1 + a2 0 , К К К

И К К ( , ) = 1К

К

Й Й

НМ

ДЕ

И

(0 , 0 ) = 1, (0 , 1 ) + (1 , 0 ) = 0, . . .

ДЕ Й К

К

И

К

И И

И И

К

ПК
En n И

И

К КИ 0 = n К
0

К
ДЕ

ДЕ

n К

(n , H0 1 ) + (n , V n ) = En (n , 1 ) + a1 (n , n ).

?
H0 И ?

И К ? И Н
a1 = (n , V n ).

Й Й К? Й Й

К

И

КК

И
m , m = n

Й

К ДЕ

(m , H0 1 ) + (m , V n ) = En (m , 1 ) + a1 (m , n ).

? КК

?

И

H

0

Й

(En - Em )(m , 1 ) = (m , V n ).

НМ

1

ДЕ И

(m , 1 ) К К {n }К n И

И
m = nК ?

К
1 =
m =n

И

Й Й Й К И

И
(m , V n ) m . En - Em

? И И К
n И a
2

ДЕ

КК
n

Н

Й

И

Й 1 К?

a2 = (n , V 1 ) =
m =n

(n , V m )(m , V n ) = En - Em

m =n

|(n , V m )|2 . En - Em

КК К

И

ДНМЕ КК Й

К

К И И И К

ДНМЕ К И К КИ ?

К E1 < Em К И

n = 1И К К

Й Й К Й

К

К

ИКК НМ

И

kn > 1 К КИ

К

En

Й

И

И
kn

nsn , sn = 1, 2, . . ., kn И 0 К КК 0 =
s =1 n

Й

fs ns . n n

kn sn =1

|fsn |2 = 1.

К К nsn КК
H
0

ДЕ КК

К
f
nsn

К К nsn К И И К

Й Й Й Й ДННЕ

(nsn , 1 ) = fsn К
kn

(nsn , V ns )f n
s =1 n

s n

= a1 fsn , sn = 1, . . ., kn .

ДННЕ

КК

? V f = a1 f
kn fn1 f f = n2 . ... fnkn

Й

? V = {Vsn

sn

},

Vsn

s n

= (nsn , V ns ), n

ДНОЕ

V

И
kn

К К К?

Й
kn КК

К КИ НМ

КК

К

? det{V - a1 } = 0,
Д
sn = 1, . . ., kn К

И

kn

И

И К К

И К

К К И

К? К И

a

(sn ) 1

К

ЕК И Й Й Й И Й

К

КК К

К

И К К

К

Й

(0, 0, E ), E > 0К ЕИ

К V = eE r = eE z И e < 0 И
- e2 h ?2 - + eE z = E . 2 m0 r

E= ДЙ Й

ДНПЕ

H0 = - e2 h ?2 - , 2 m0 r

ДНПЕ
V = V = eE z .

И

V = -E z К

К

К

И

И

НМ

n = 1И E1 = -1/2К a1 = -(100 , E z 100 ) = -E z
100,100

И
= 0.

И

И К n = 2И E2 = -1/8К К

К И И ДНОЕ

Й Й К Й Й

К

КК

1 = 200 , 2 = 210 , 3 = 211 , 4 = 21-1 .

Н НМК И
zИ

К И К НИ
12

Й Й И Й Й Й
210,200

К? (210 , z 200 )

К

И z
2

=z

21

=z

=

z

210,200

=
0

r dr
0

3

cos sin d
0 1

e - r /2 e - r /2 r r co s d 1- = 2 4 2 2 2 1 2 (24 - 60) = -3. 8 3

1 = 8

0

r5 r- 2
4

e

-r

dr
-1

Е2 dЕ =

И
0 3E ? V= 0 0 3E 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

.

НМ

?
(a2 - 9E 2 )a2 = 0. 1 1 = -3E , a К?
(2) (2) 1

f

(1)

1 1 1 = , f 2 0 0

КК

a

(1) 1

= 3E , a

1 = 2

= 0 , a1 = 0 К И К КИ 0 0 1 -1 (3) 0 (4) 0 , f = , f = 0 1 0 1 0 0

(3) 1

(4)

Й

К

И И К КК

К

И

.

К
a

И
(1) 1

Й Й Й Й = -3E

E a
(2) 1

= 3E 0 =
(1)

210 - 200 210 + 200 (2) , 0 = . 2 2

И

КК

И
3E

КК
210 200 + 2 211 , 21-
-3E
1

n=2

КК
К

210 - 200 2

К

ИКК ННМ

И

Й Й И

3E -

И ИКК

1 1 5 + 0.07, E 0.023. 18 8 216 E 0.023 108 ?Л Д ЕК К К

Й

яОК
НК

К
К К И К Й Й Й Й Е

К?

И

К? К

? Д?

i? h

h ?2 (r, t) =- (r, t) + V (r, t)(r, t). t 2m

ДН Е

(r, t) = e
iS (r,t)/h ?

.

ДН Е К Й

ДН Е

ДН ЕК

i S (r, t) i (r, t) = (r, t) , (r, t) = (r, t) S (r, t), t h t ? h ? 1 i 2 2 (S (r, t)) (r, t) + (r, t) ? S (r, t). h h ?

(r, t) = ((r, t)) = -

ННН

?

Е
-

ДН Е

Д

Й ДН Е Й

1 i? h S = (S )2 + V - S. t 2m 2m

К

ОК

S = S0 + i? S1 + (i? )2 S2 + . . . h h

К
ДН Е ДН Е
i? h

Й ДН Е ДН Е Й Й

S0 1 2 = (S0 ) + V , t 2m S1 1 1 - = S0 S1 - S0 . t m 2m -

К ДН Е ?

К Н К

И

S

К

0

К

Й И

ПК

ДН Е
=e

К
iS0 /h-S ?
1

К

К
1

= ||2 = e

-2S

,

j=

h ?i h ? ( - ) = 2 S0 e 2 mi 2 mi ? h

-2S

1

=

1 S 0 . m

ДОМЕ

ННО

Й
S1 = -2 t t 1 1 S0 - 2S0 S1 . m m

,

j =

ДН Е S1 1 1 + j = 2 - + S0 - S0 S t t 2m m И
V

Й
1

= 0.

К К

Й Й И ДОНЕ Й

К

И
-

К
h ?2 + V (r) (r) = E (r), 2m

E

И

И
(r, t) = e
E t/ih ?

(r).

(r) = e
i(r)/h ?

ДООЕ ДОПЕ ДОПЕ К ДН ЕИДН Е 0 1 К ДОНЕ Й

= 0 + ih1 + . . . ?

S

0

S

1

S (r, t) = E t + (r),

i? h 1 ( )2 + V - = E . 2m 2m S0 (r, t) = E t + 0 (r), S1 (r, t) = 1 (r).

ННП

ДН ЕК
1 (0 )2 + V = E , 2m 20 1 - 0 = 0.

Й Й ДО Е Й Й И

К S0 (r, t) ДО Е

0

К ДОМЕК ? И К

К

К

xК d0 (x) dx
2

К

ДО Е
d0 d1 d2 0 = 0. - dx dx dx2

Й Й

= 2m[E - V (x)], 2

?
p(x) = 2m[E - V (x)],

ДО Е

d0 d1 dp(x) = Бp(x), 2p(x) = . dx dx dx

ДО Е И

ДО Е
0 (x) = Б 1 ln p(x). 2

p(x)dx, 1 =

ДООЕИ
(x) = 1

К 0
i h ?

И
1

И ДОПЕИ ДО Е

p(x)

ex p Б

p(x)dx .

НН

К
(x) = C1 p(x) ex p i h ? p(x)dx + C2 p(x) ex p - i h ?

Й Й

p(x)dx . ДО Е

И

К

К Й Й Е Й

К

? И

К
К И К КД
dS dx
2

К ДН Е

h ?

d2 S . dx2

ДО Е

dS p(x)К dx h ?

ДО Е

dp(x) |p2 (x)|. dx (x) = h/p(x)И ? d 1. dx

?

Й

И К ? И И Н ЕК И И
p(x) = 0К

И Й К Д КИ

ДО Е ДО ЕИ

К
К? ДО Е НН И

К

V (x) E И И

К

Й И

ДО ЕИ

К x1 x2 > x1 И p(x)

Д

Е Д

И К ЕК

Й

2 40 30 0 20 10 -1

V (x )

1

p (x )

E x
1

- p (x ) x
0 1
1

x
2 3

2

-2 4

x
2

2

0

КК

0

1

x

3

x

Д ЕК

p(x) Д ЕК

И ДО Е И
|x| [x1 , x2 ]

ИКК ЕИ К Д И И К

ДО Е К

К К
p2 (x)К

Й Й

p(x)

И

И К К

p(x) V (x)К И

И К

Й И Й Й Й И Й И

И

[x1 , x2 ]

НН

|x|

К? xК

К
И
V (x) К И

К
ИКК

Й Й Й

V (x) z ДRe z = xЕ
(x) 1 p(z ) i h ?

И

К
(z ) =

К ДО Е

Й p(x)И И Й

ex p

p(z )dz .

x1

x2 И

x1 p(z ) К? x2 V (x1 ) < 0И V (x2 ) > 0К ?

И p(x1 ) = p(x2 ) = 0К К И 2m[-V (x1 )(z - x1 )И p(z ) 2m[V (x2 )(x2 - z )]К (z )И [x1 , x2 ]К

И

Й Й

Й Й Й

p(z )И К

И К

И

И

(z )

И

p(x)

И x2 - z
x1

2 И e

И КК
2 i/2

И

= -1К ИКК

e

2 i

= 1И

Й

p(z ) x2 И

p(z )

-1К

[x1 , x2 ]

К И НН
(z )

ИКК И

И

КК

К
z

К

И

Й Й

x1

x2
К

КК
x2 К e

И И К

-1И 1/ p(z ) i ex p - h ? p(z ) = p(x)И

Й p(z )И Й p(z ) = -p(x)И
x
1

2 i(-1/4)

x1

x

2

p(x)dxК x2

Й
e
2 i(-1/4)

i ex p h ?

И

x

2

x

1

p(x)dxК ?

x

i ex p - i + 2 h ?

2

x

1

p(x)dx .

И
- i + i 2 h ?

НИ

Й

x

2

p(x)dx = 2 in.
x
1

ЕИ n = 0, 1. . .

Д

НН

x

2

2
x
1

p(x)dx = 2 ? n + h

1 2

.

ДПМЕ И

И
1 r p(r) ex p Б i h ?

КК

(r) =

p(r)dr , p(r) =

2m[En - V (r)],

r

0

2
0

p(r)dr = hn, n = 1, 2, . . .,

ДПНЕ
p(r)

r0

К

К

И К Й К Д И И
2 ? = h h

Й

К
К ДПМЕ И К?
En И

К

К
p(x) (x, p) [x1 , x2 ]

ДПМЕ

Й Й

Д ЕК

К И ЕК И Й Й Й ДПОЕ

К И

И

2m[En - V (z )]dz = h(n + 1/2). x1 n 1И x2

И

n

En К

НН

К

И

И И dx h/pn (x) = 2 К
nК

x2 - x1 И К К К n

Й
n Й Й

И И

И

И

ДПОЕ К

ДПНЕ

И

Й Й Й Й

И Й К ДПОЕ И
hК

К К К И К
h

К

И

И
nК

hК

n 1И

И

Й

К
h
3

Й Й К

я ПК ?
И К КК
HИ К К H n = En n , (n , m ) = =
n=1 nm

И КК
.

Й Й Й

?

КК

Й

cn n .

НОМ

Д

( , H ) = =
n=1 m=1

ССЕ
(cn n , H cm m ) =
n=1 m=1

Em c cm (n , m ) = n
n=1

En |cn |2 .

КК
( , H ) E1 E1 ( , H ) , ( , ) |cn |2 = E1 ( , ).

Й

n=1

К КИ

ДППЕ К? Й ДП Е

= , ,. . .

f (, , . . .) =

, , . . . (, ,. . . , H , ,. . . ) . (, ,. . . , , ,. . . )

ДППЕ
E1 f (, , . . .).

ДП Е К Й

?

Е ДП Е

f
, ,. . .

Д

E1 inf f (, , . . .). , ,. . .

И К НОН

КК

ДП Е ДП Е КК
1 1

И
1 , 1 , . . .

,1 ,

...

ДППЕИ 1 К КК
E2 ( , H ) , ( , )

И

КК

И

К КИ И

Й Й И

( , 1

,1 ,

. . . ) = 0.

КК КК

К К К О К К И К

Й

И Н К

НОО

ЮС С СК

я НК
НО К К И НЛО И И И К И К К Й Й

(r) =

1 (r) 2 (r)

.

ДНЕ

S= z x = 0 1 1 0 , y =

h ? , 2 И -i 0 10 01

0 i

, z =

.

Д И

И О К К

ЕИ

И И К К 1 (r) = 2 (r)И К

Й К Й Й Й К

И И

К

И И К

ОНК И

Й И

НОП

И К К
H

И
Е=- e SК me c

К

Й Й

-eК

И

И

К

Й e SHИ me c Й

p2 2m - V. t

T=

ДОЕ

p p = -i? , T i? h h T

К

К?

Й Й

12 p + V = E . 2m

И ?К К
e 1 p+ A 2m c
2

И
e? h H = E . 2 me c

Й Й ОНИО

- e -

?

ДНЕИ ДОЕК

A

К

Иp

Д e p + AК c К

E + eИ

Й К Й Й

ЕК И

НО

И Д К И

К К И И И

И ЕК К К

Й Й

Й И К

E 2 = m 2 c4 + c2 p 2 .

ДПЕ К МК К Й Й Й Й Й Й К Е ДПЕ Е Й Й Й Й

И К

И И

И И И

И

И И

К К И И И Д

К ?К К

К

НО И

КИ

К

Д К К

К

К

E = mc2 + cp.

НО

И И И

И К

ДПЕК НИ

И

И К К И К К

Й Й Й К К Й И И Й К Й

И

К

К К И

Й

И КК

И И

К

К К? И КК К К К ? Н ПО К Д

ДН ПМ КЕК Й Й К Й К К К?

И НП КЕ ?

К

я ОК
НК
Д

К

И НО

И

Й

Е

К К
J = L + S,

Й Й

?

И ? И
Enj = e2 /(hc) ?

И

j mj = -j, . . ., j К j = l Б 1/2К

nj m e c2 - m e c2 . = (1 + 2 /n2 )1/2 1

ДЕ К Д ЕК
n

И

(j + 1/2)2 - 2 .

1

?

ДЕ
nИ j (j + 1)h2 К ?

n n1 = n - j - 1 / 2 + En j

К

Enj Й Й

К И

И ? l = j - 1/2И И

? ?К ? l = j + 1/2К ? C- |C- /C+ | И
j l = j + 1/2 И C+ К

Й lК Й Й И Й

|C- /C+ | 1/К
4

И

Й

10

l = j - 1/2И

|C- /C+ |2 К

nК l = 0, 1, 2. . ., n - 1 И

Й

И НО

j

И j = 1/2, 3/2, . . ., n - 1/2К Й 2j + 1К ?

2 + 4 + 6 + . . . + 2n = n(n + 1)К ? l = 1, 2, . . ., n - 1И j = 1/2, 3/2, . . ., n - 3/2К 2 + 4 + . . . + 2n - 2 = n(n - 1)К И n 2 n2 И я 2 10-4 И 2 К К n1 = n - j - 1 1 + j+ 2 2 1- 1- 2 (j + 1/2)2 = n-

Й ЮК
n

Й
1

1 1 n-j - + j + 2 2 n

2 2(j + 1/2)2

1 2 . 2 j + 1/2

1

2 К ? n
1

И ДЕ

4
2

Enj -

me e 1 h ? 2 2n

4

1+

n2

2

n 3 - j + 1/2 4

.

И ?
j

И К К? n "l j К И И
1/2

И

Й Й Й Й Й Й 2Ш3/2 И

К 1Ы1/2 И 3Ы1/2 , 3Ш

И

, 3Ш

3/2

,3

3/2

,3

5/2

2Ы1/2 , 2Ш КК

1/2

ОК

И

К
Д И

К

И

И И М К М И

Й ЕИ Й Й Й

К И

К

НО

И

И ? Д ? И

? К? К К? ЕК ? К И Й

И КК Е И К? ИКК И К Д И

К И ?К ?И ?

Й Й Й Й Й Й Й

И

Д

И К? К Е

И

К И НМ КМП

j И

ОЫ1/2 К И

ОШ

1/2

ОЫ

1/2

Д
10

9

И Е

И НМ

И НМММ

Й К? Й Й Й

Й Й Й Й К

К К К

К

И Й Й

К ?К НО

К К

И ДН Н КЕИ К

И

К?
J f = j Б 1/2К ? n" l f К j К

Й Й

ПК

НЫ1/2 l = 0К П ММ Н ОМ

К
К

И

И И

Й Й И Й Й Й

К К

ОН

И

К К A = 2.85 З 10-15 3 З 1014 107 К МКМ

-1

И

И К

К

И

Й

2P

2737
3/2

2745

2P
10950

3/2

-8 9910

+9 -15

2P 2P

2 3/2 1 3/2

2S

1/2

2P

1/2

2S 2P

1/2

1058
1/2

+1041 -17

КК
И Н

+44 -133 +15 -44

К

2 2 2 2

S S P P

1 1/2 0 1/2 1 1/2 0 1/2

Д ОШ
1/2

К ЕК НП

ОЫ1/2 + 2Ш1/2 НМ М К ? ОШ3/2 ОЫ1/2 НПМ

Й ИКК ОП К Й

ОШ1/2 НМ Н

К?

ОЫ И НППИ К

1/2

ОШ

3/2

НМ

К И И ОЫ ОЫ

НМ ОШ Н

К
1 3/2

ОШ2/2 3 ОШ3/2 К ОЫ1/2 И ОШ ОШ1/2 К

Н

1 1/2

ОШ

1 1/2

0 1/2

0 1/2

И К

Й

я ПК
НК
И И К И И К И К
= (r, s)И s

К
И И К К Й И К

Й Й

К К И

К? Й Й Й Й НМК Й Й К НПН И
rИ

Й К Й Й И

К

И | (r)|2 d3 r d3 r

rК

(r)И

И

И

r

r

К

Й ?
1

И
2 К d1

И? К И d2 И К?

? ? Й Й

К

К? И И

Й

| (1 , 2 )|2 d1 d2 К И

И

| (2 , 1 )|2 d1 d2 = | (1 , 2 )|2 d1 d2

И

И
| (2 , 1 )| = | (1 , 2 )|.

(2 , 1 ) = ei (1 , 2 ).

Иe

i

ОК
И И

= Б1К

И

И

e

2i

=1 И

И

К
И И

К

И

Й И И ОНИО К ? Й

К?

К

К?
К К? К

И

И

Й Й К
Й

И
НПО

КК

И К И

( , ) = 0И И

К К К И Й

И

К

ПК ?
КК
H0 ( )

КК
H0 ( )n ( ) = En n ( ).

К

И

N
N

Й

H=
j =1

H0 (j ).

ДЕ

H (1 , . . ., N ) = E (1 , . . ., N )

ДЕ

К
N

(1 , . . ., N ) =
j =1

nj (j ).

ДЕ ДЕ Й Й И Д ЕИ

И

ДЕ

ДЕ К?
N

E=
j =1

Enj .

ДЕ ДЕ

К

К К

НПП

n1 ( ) n2 ( )

И И

К

И

К

Й Й Й

1 s (1 , 2 ) = [n1 (1 )n2 (2 ) + n1 (2 )n2 (1 )], 2 1 a (1 , 2 ) = [n1 (1 )n2 (2 ) - n1 (2 )n2 (1 )]. 2

?

1 s (1 , . . ., N ) = N!
N

N nj (j ),
(n1 . . .nN ) j =1

Й ДЕ

? Д ЕИ

И К [n1 . . .nN ]

К
N !К

И И И Й

(n1 . . .nN )
N

1 a (1 , . . ., N ) = N!

(n1 . . .nN )

(-1)[

n1 . . .nN ] j =1

nj (j ).

И

И

И

И
n1 (1 ) ... nN (1 )

И

И

1 a (1 , . . ., N ) = N!

. . . n1 (N ) ... ... . . . nN (N )

.

Й И

К

К

И

Й

Й

НП

К?
К

И И К И

К

И

Й

Й

Й Й И И И
n1 (r)

? К К К

Й Й Й

И

s (r1 , r2 ) =

К n2 (r)К

n1 (r1 )n2 (r2 ) + n1 (r2 )n2 (r1 ) , 2 n1 (r1 )n2 (r2 ) - n1 (r2 )n2 (r1 ) . a (r1 , r2 ) = 2

И
s = n1 (r1 )n1 (r2 ),

Й

zИ

h ? /2

-? /2И h 1 0 ,

И
u- = 0 1

К

u+ =

.

zЕ u
11

Д
=u
(1) (2) - u-

=u

(1) (2) + u+

,

u

10

u

00

1 (1) (2) (2) (1) = [u+ u- + u+ u- ], u 2 1 (1) (2) (2) (1) = [u+ u- - u+ u- ]. 2

1 -1

,Д Е

ДНМЕ

НП

К ОК И

И К? И

Н

Й Й Й Й Й Й Й

И И

К ИКК К

И К

И

я К?
НК К
H = H0 (r1 ) + H0 (r2 ) +

e2 , |r1 - r2 |
2

Й

ДННЕ

H0 (r) = -

2e h ?2 r - 2 me r

И ДННЕ И
n1 l 1 m
1

Z = 2К

К
nlm (r)К ? H
0

Й Й Й К Й

К И И И

n 2 l 2 m2 К

И НК И Й

Й

К

НП

И И
100 (r)К ?

К К НИ К К n l m (r)К

Й Й

И

К

Й Й

En (He) = E1 + En = -

22 2 22 - 2 = -2 - 2 . 2 2n n

К

И n = 1И
100 (r1 )100 (r2 )К

Д ЕК

Й ДНМЕИ К

ДНМЕИ И К

К?

Й

ОК
НЕ

И

К

К

Й И Й Й
-Z r

К
Z 3/2 e Z3 e

КК Z = 2К
-Z r
1 2

Z 3/2 Z (r1 , r2 ) = 100 (r1 )100 (r2 ) = e Z = 2К ? К

=

-Z r 1 -Z r

2

E1 (He) = -4К

ДНОЕ Й К Й

И
Z = 2К r2 К r2

И К
r1

НП

И

И r1 К

r1

r2

И И
a1 = 8 Z =8
0

И Z И

ZИ
2 r1

r1 , r2 2 К ? Е = co s 2 К r1 = Z r1 И К И 1/Z К ? К?
1

|r1 - r2 | = ДНОЕИ 1 К И

2 2 r1 + r2 - 2r1 r2 cos 2 К

r1

2 З 2 З 2 = 8 2 К 2 И Й r2 = Z r2 К r1 r2 И Й

Й

2

dr1
0

2 r2

dr2
-1

0

1 dЕ e 2 2 r1 + r2 - 2r1 r2 Е 2
2 r2 dr2

-2r1 -2r

2

=

e

-2r

1

2 r1 dr1

e
0

-2r

2

2 2 r1 + r2 - 2r1 r2 Е -r1 r2

1

=
-1

=8
0

e

-2r

1

r1 dr1
0

e
1

-2r

2

r2 dr2 [r1 + r2 - |r1 - r2 |] =

=8
0

e

-2r

1

r1 dr1 dr1

r

e
0

-2r

2

r2 dr2 2r2 +
r
1

e

-2r

2

= 16
0

r1 e

-2r

1

1 -e 4

-2r

1

2 r1 r1 1 +e ++ 2 24

r2 dr2 2r1 =
1

-2r

2 r1 r1 + 2 4

=

= 16
0

r1 e

-2r

1

dr1

1 r1 + 1 - e 4 4

-2r

1

=4

5 1 1 2 =. - - 4 16 64 8

Z=2 ЛИ -2.75 К К Д

Е

Й E1 (He) = -4 + 5/4 = -11/4 = -74.8 ?К И -78.9 ?К НП

E И

К К?

И КК И
-2К

Й Й Й

Z=2 ОМК ?К МК М К К= 24.5 ?К

И И К К
1/r1 И

И E = 0.75 К К Й Й ДНОЕИ
Z Й Й И 1/r

ОЕ ?

ДННЕК ?

К

К

ОМБК

r2 И 100 (r)К

НК

1/r К

ККИ
ZИ

КК Й

Z=1 (Z , Z /r1 ) = Z (100 , 100 4 /r ) = Z

e
0

-2r

rdr = Z,

-4Z К

Й И И И И К?
Z -Z /r

К -Z 2 /2И -Z 2 К

И

Й

К

Z 2 /2К

Й

f (Z ) = (Z , H Z ) = 2

E1 (He) 27 16
2

Z2 5 27 - 4Z + Z = Z 2 - Z . 2 8 8 Z = 27/16 = 1.69И 27 16
2

-

27 27 =- 8 16

= -2.85

НП

E = 0.85 К К = 23.1 ?И БК И К И Z = 2И f (2) = -11/4 Д Z = 27/16 = 1.69К ЕИ К К Z = 1.69 О И К

И

Й Й Й

ПК ?

Д

Е

К
КК

Д
Z =2

Е

Й

Б (r1 , r2 ) =

100 (r1 )nlm (r2 ) Б 100 (r2 )nlm (r1 ) , 2

n > 1.

И И К К К
m

Й Й Й Й И

К
-2 - 2/n

2

КК

И

n l

К

aБ = 1

d3 r1 d3 r2 (r1 , r2 )Б (r1 , r2 ) = C Б A. |r1 - r2 | Б

И
(r1 )nlm (r2 ) C=

КК
d3 r1 d3 r2 |100 (r1 )|2 |nlm (r2 )|2 . |r1 - r2 |

К? НМ

КК
A = A = d3 r1 d3 r2 (r1 )nlm (r2 )100 (r2 )nlm (r1 ). |r1 - r2 | 100

? К И ЕК

К

К? Д

A

Й C

К
К

К

Й

41S

7.37

6.86

6.86

6.86

1
12.10 13.45 12.20

8.01

7.09

6.87

6.86

4 3F

31S

3 1D

12.20 15.07

12.74

12.21

3 3D

2

3S

3

3
27.17

2 1P

27.12 29.22

2 3P

21S 11S

32.03

4

198.30

38.45

К НМК
К НМ К Д1 0

5

23 S

К

ИКК
3 -1

Й
1.986 З 10
-13

=

НН

0.1240 ?ЕК n3 " l

И

Д ?К И К И

n1 " l

Й Й

ЮЕК

К НМИ

Й Й

К К К И Д И МЕИ НК К И К И И МИ К К П -1, 0, +1К К И

Й Й Й Й Й ИКК Й

НО

С

К

К

ОНИП И

Й Й О ИП К ? И К Й ИКК КЙ Й Й

И К К К

я НК
НК
НЕ ОЕ К К

К?
К ИКК И К
m2 К ?

Н К

Й Й

ПЕ ?

И КК

К И Й

Е
r2 К m

К
t

К И К? Е

1

Й r1

К ?
m1 r1 + m2 r2 R= , m1 + m2 r = r2 - r1 .

Й Й

R

НП

К
r1 = R - m

Иr

Й

И

Й К

m m1 m m2 r=R- r, r2 = R + r=R+ r, m1 + m2 m1 m1 + m2 m2 m1 m2 . m1 + m2

m=

Й
r m1 ?1 = -F(r), F(r) r m2 ?2 = F(r),

ДНЕ

И
r r m1 ?1 + m2 ?2 = 0,

К

ДНЕ ДОЕ

m1 r1 + m2 r2 = (m1 + m2 )V0 ,

V0

И И

К
R(t) = V0 t + R0 .

?

К

Й ДНЕИ И
m1 И

m2 И

И

Й ДПЕ Й

m? = F(r). r

К

ОК
F

К
-V (r)И И

Е ДОЕИ

К?
Е ОЕ К

И

И

V (r) |r|

К Н

F(r) = Й V (r) 0И К К Й

ДПЕ

r

m? r = F(r) r = -r V (r). r r2 + V (r) = E . 2

m

К К
m1 m1 2 m2 2 r+ r + V (r) = 21 22 2 V0 -

И И

И

E

И
2

m m2 r+ m1 2 m1 + m2 2 + V (r) = V0 + E . 2

V0 +

m r m2

2

+

И

К

ПК
? ?

К

И

К И

И

?И

?
t = БК

Й Й Й Й

m1 r1 (-) = p1 m2 r2 (-) = p2

И t = - |r(-)| = + V (r(-)) = 0

m1 r1 (+) = p m2 r2 (+) = p

1 2

И
p1 + p2 = p + p , 1 2

И

И t = + |r(+)| = + V (r(+)) = 0

Й

2 p1 p2 p 2 p 2 + 2= 1 + 2. 2 m1 2 m2 2 m1 2 m2

И К Н

Й

?
p1 p p p2 - , v = v n = r() = 2 - 1 . m2 m1 m2 m1 n 2 E, v m 2 E, m

v = v n0 = r(-) =

К

n0

Й И
2

v 2 = |r(-)|2 =

= |r(+)|2 =

КК К

К К

Й

p1 = m1 V0 - mv n0 p2 = m2 V0 + mv n0

p = m1 V0 - mv n p = p1 + mv n0 - mv n 1 1 p = m2 V0 + mv n p 2 = p2 - mv n0 + mv n 2

Е К v = vИ И И К К

К

Д

Й Й Й Й Й И И
nИ

К

И

Й Й Й

n = (sin cos , sin sin , cos ). Е = co s К n0 К Й

К

Н

К

К?

К

КК К

К

К

К

К Й И Й

ОН

V0 = 0 p1 = -mv p2 = mv p = -mv n 1 p = mv n 2 v = v n0 v = vn p1 = 0 p2 = m2 v

V0 =

m v m1 p 1 = mv (n0 - n) m2 p 2 = mv n + n0 m1

? К

И
p p2 p p1 1 = 2 2 = nn0 = cos = Е. m2 v 2 m2 v

Й Й

?

Д

Е

Й Й

1-Е 1-Е p2 p 1 = sin , = | = |p2 ||p1 2 2 2 - 2Е p2 p Е + m2 / m1 2 c o s 2 = = . |p2 ||p | 1 + m2 x2 /m2 + 2(m2 /m1 )Е 2 1 c o s 1 =

К
И Й
n0 К

К
К

И

И

Й Й

К

Н

И

К? К К

И К

Й
n0 b И b

И Й

Й Й И

К

b = lim

t-

r - (r r)

r . |r|2

b = lim r - (r r)
t

?

r . |r|2

И
И

К
vК b К ДПЕК

Й Й Й

И

К

И

К К
b = b()И Й v

К
И

Й Й Й Й И Й

И К И

И И КК b = b()К И Н
= 0К

И

Й

К

И
2 b()

Й

0 =
0

d
0

bdb.

И = (b, ), = (, )К 1 D(, ) . = D(b, ) D(b, ) D(, )

И

И Й

?

, 0 = b D(b, ) dd. D(, )

Й

0 = (n) (n) = 1 D(b, ) b b = , sin D(, ) sin D(, ) D(b, ) (n)d2 n = (, ) sin dd.

ДЕ

К И К ИКК

И

И

И

К

И К Н И

Й

К
V = V (r)

r F = -V (r) К r

К?
К
L = mr з r

И

Й Й

И
dL = L = mr з r + mr з ? = 0 . r dt

К
m1 r1 з r1 + m2 r2 з r2 = m + R+
1

И
m m r з V0 - r+ m1 m1

R-

m m r з V0 + r m2 m2

= (m1 + m2 )R0 з V0 + L.

И
LК

r

r

К К

И ДЕ

И = И

Й И Й Й

() =

1 db b b = . sin d sin d db

ДЕ

0 = 2
0

() sin d.

?
L = m|r з r| = m r - (rr) r з r = mb v . |r|2

ДЕ

И НМ

И

К
t -К И L = mb v = mb v И b = bК

L ДЕ

И
t И

Й И Й

К? К
?

rК

И

Й

Й
V (r)

Й Й

LИ

Й

К?

И

r = r(cos , sin ), r = r (cos , sin ) + r(- sin , cos ).

К
E=

Й

И

И

Й

m2 m r + V (r) = (r2 + r2 2 ) + V (r), 2 2 L = mr2 ||.

r=Б r

2 m

E - V (r) - К m 2

L2 L , = Б 2. 2 2 mr mr

Й
1 . E - V (r) - L2 /(2mr2 )

L d =Б dr mr

2

ДЕ ИКК Й Й Й Й

К И
b

К

НН

x=b

x = -И И

К
b

Й Й

И
t = - r + rИ r t = +К 0 К ?

К

К И r0 К Й ДЕ Й ДЕ И

+

И

И
r

И К
> 0

НЕ

?+?И

И

И

<

0

?-?К И И

К V (r) > 0К
0 > / 2 К

К ННИ К
10 8 6 4 2 0 -6 4

И

= =

0

=

0

r ()

2 0 -2

b

r () = -
-6 -4 -2 0 2 4 6

= b =
-4 -2 0 2 4

-4 -6

К ННК
И

И

К

И
r

> > 0 И d dr. dr

=+

d dr = - dr

r

НО

?

И

И

rИ

0 = -

d dr. dr

ДЕ
0 > > И

r

0

r

= 0 -

r

d dr. dr

0

= 0 -

r

d dr. dr

ДЕ
0 И

0

ДЕ

ДЕ
d dr. dr

=-2 r0 ДЕ V (r) < 0И 0 < / 2 И И

ДНМЕ Й К Й

r

0

К

И

ОЕ

К ННИ К

И
r

К Й

И

Д ЕК
= - К

К И И

И

=2
r
0

d dr - . dr

ДННЕ

НП

ДНМЕ

ДННЕ И L = mb v И vК

К

И
b

И Й К Й Й

Д ЕК

НЕ

К

К
R
1

R2 К

К
К b < R1 + R2 К V (r) = 0К r0 = R1 + R2 К
1 1 - L /(2mE r2 )
2

И V (r0 ) = V (R1 + R2 ) = К ДНМЕ dr L = - 2 r2 2 mE
r
0

И

.

L / 2 mE = mb v / m2 v 2 = b И y = b/ r
b/r
0

=-2

dy
0

1-y

2

= - 2 arcsin b =. 2 r0

b b = 2 a r cco s r0 r0

co s

ДНОЕ К К

И

b < r0

Й К К И Й

И ДНОЕ И

db r0 = - sin И d 2 2 br0 r2 b r0 sin = =0 () = sin 2 2 4 4 co s 2

И

И

r0

ДНОЕ

Н

К
2 0 = 4 () = r0 = (R1 + R2 )2 .

И

И ОЕ И

К
V (r) =

К ИКК
Z1 Z2 e2 , r

Z

1

Z

2

И

К

К

Й

L = 2 2 mE

r

dr r2

0

1 - . 1 - Z1 Z2 e /(E r) - L2 /(2mE r2 )
2

ДНПЕ

И
r = b/ y

И

L / 2 mE = b И Z1 Z2 e2 , mv 2 b

y =

ДНПЕ
y
0

= 2
0

dy 1 + y - (y - y
2

)2

- = 2 arcsin

1 1 + 1/y
2

.

ДН Е Й Й

?

y /2К

0

И

И
y=y И |Z1 Z2 |e2 ctg . mv 2 2
0

И

ДНПЕК

ДН Е

b=

Н

() =

Д ЕИ
2

Z1 Z2 e2 2mv 2 sin(/2)

.

ДН Е К Й Й

ДЙ К

И

К Е И 1/ 4 К К

НМ

К

Й Д 1/v 4 Е И Й К Й Й Й К

0

К

К И

И Е

sin И

Д К

я ОК
НК
И

К
Й К И И Й Й

К И И К И

И К

И Н

НЕ И ОЕ И ПЕ

К
j

К И И И И d2 nИ
|j |=j d2 n, (n)

Й К Й Й Й Й Й

Й К

n NИ

К

d2 N

К

d2 N

= (n)N j

ДН Е И Й

И

К d2 nИ
d2 N =j

r2 d2 n,

К И
N =1 (n) = j j r
2

И

Й ОЕ Й ДН Е

.

И

ДН ЕИ

Й

0 =

(n)d2 n,

КК К И Н

К Й Й

К Д К И И И И И

Е

Й К Й Й Й Й

К

Й К И Й Й

ОК
И
V (r)К

К

- m

h ?2 + V (r) (r) = E (r), 2m

ДН Е

К И
E= ?2 2 h k. 2m

ИКК ДН Е И И Й

ИКК

(r) з (r) = +

К
ik0 r

=A e

+

f (n) e r

ikr

,

ДОМЕ Й

k0 = k n0 Иr

КК

К

Й К

И f (n) И

Иk

ПК

И

Н

ДН ЕИ

К

К И К
j = h ? 2 mi

К?

Й Й Й

-

=|A|2 |A|2

h ?k n0 m

ДОНЕ
h ?k n0 И m Й И И К

A

К |A|2 = 1И

К?
j =

И Д К

И Е
r r

И

И К Й Й

h ? ff AA 2 e 2 mi r

-ikr ikr

e

2ik

r h ?k n = |A|2 |f |2 2 . r m r

ДООЕ

ДОНЕ

ДООЕ

ДН ЕИ

(n) = |f (n)|2 .

И И К

К

И

И

Й Й

я ПК
НК
ДН ЕИ Н И

К

Й

КК k0 r = k z К

ДОМЕК И
(r) = e
ikz

n0 = (0, 0, 1)И К

+ w(r). A

ДОПЕ И Й Й

A = 1К

И ДОПЕ

ДН ЕК

ДН ЕИ И

(- - k 2 )w(r) = -

2m V (r) (r). h ?2 К

ДО Е Й Й Й К Й Й Й Й К

ДОПЕИ

w(r)К ?

К

ДО Е И

И

К

ДО Е

ОК

(- - k 2 )u(r) = g (r).

К
ДО Е И ДО Е К Й

Й

К

(- - k 2 )G(r, r1 ) = (r - r1 ).

ДО Е ДО Е Й

ДО ЕК

И НМ

И

g (r)

И

К

Й

u(r) =

G(r, r1 )g (r1 )d3 r1

И

ДО ЕК

ДО Е ДО Е Й Й
1 1 . 4 |r - r1 |

-G1 (r, r1 ) = (r - r1 )

К К

G1 (r, r1 ) =

ДО Е Й

ДО ЕИ

ДО ЕИ ДО ЕИ

И

ДО Е И

G(r, r1 ) = G(|r - r1 |), G(r) = 1 eikr . 4 r

ДО ЕК

ПК

ДО Е
2m 1 h ? 2 4 w(r)К

К

К

И
eik|r-r1 | 3 d r1 . |r - r1 |

Й

w(r) = -

V (r1 ) (r1 )

ДО Е Й Й

wК

ДО Е

И

И

И

И

НН

ДО Е И r И
|r-r1 | =

ДО ЕК ?

И И
1+

И К
r1 rИ

И

2 r2 + r1 - 2rr1 = r

2 rr1 rr1 r1 - 2 2 r 1 - 2 = r-r1 n. ДПМЕ r2 r r

Е

ДПМЕ И
2m 1 h ? 2 4 e r

Д И
e
ikr

Й r1 rК
,

К

Й

w(r) -

V (r1 ) (r1 )

ikr -iknr1

r

d3 r1 = f (n)

r

ДПНЕ

Д
f (n) = - 2m 1 h ? 2 4 V (r1 ) (r1 )e
-iknr1 3

Е
d r1 .

ДПОЕ

И ДО ЕК

ИКК ДПОЕ w(r)К И (r) rИ

И

ДПНЕК И

(r)И V (r)

wИ

К К

И

Й Й Й И КК Й

я К
НК
|w(r)| |e
ikz

К
| = 1.

ИКК

И

НО

?

И
w(r) = -

ДО Е
(r) 2m 1 h ? 2 4 2m 1 h ? 2 4 w(r) И V (r1 ) e
ikz1 +ik|r-r1 |

Й Й
d3 r1 .

|r - r1 |

ДППЕ

f (n) = -

V (r1 )e

ikz1 -iknr1 3

d r1 ,

ДП Е

? КК ? К ДО ЕК

И

К ДППЕ

И И

К

И

К
V (r)

К

И

ОК

К?

К ДП ЕИ n0 = (0, 0, 1)И n = (sin cos , sin sin , cos )К k r1 (n0 - n) = r1 KК ДП Е И KК r1 K = K r1 cos 1 = K r1
2m 1 f (, ) = - 2 h ? 4 m e = - 2 V (r)r2 dr h ?
0 iK r 1

V (r) = V (r)

К

Й

K = k (n0 -n)И k (z1 - nr1 ) =

Й

V
0

2 (r1 )r1

2 dr1
-1

d e

iK r1

=

- e- iK r

iK r

2m =- 2 V (r)r sin K rdr = f ().ДП Е h ?K
0

?

K |K| = k |n0 - n| = k 2 - 2 cos = 2k sin . 2

НП

И К

К

К

Й Й

ПК
V (r) =

К
-V0 0 r a, r > a.

Й ДП Е Й

ДП Е
2mV0 f () = 2 h ?K
a

ДП ЕИ
2mV0 (sin K a - K a cos K a). h ? 2K 3

r sin K rdr =
0

?

И
f (0) = 2mV0 3 3 2m V0 a3 . 2 3K a = h ?K h ?2

И К К

И И

Й

Й Й Й Й Й

К
К И
|w(0)| 1И 2m 1 |w(0)| = 2 V0 2 h ? 4 mV0 =2 h ?k
a

К
И

К

И

a

1

rdr
0 -1

e

ikr +ikr

d =

dre
0

ikr

e

2ikr

-1

mV0 = 22 2h k ?

2ak

e
0

ix

- 1 dx .

Н

? НЕ 2k a 1К ? И

К И

К

Й Й

|w(0)| =

m mV0 1 (2ak )2 = 2 V0 a2 1. 2 h2 k 2 2 ? h ? ak И К К V0 a2 ? 2 /mК h

?

И ОЕ 2ak 1К

НИ
|w(0)| = mV0 m 2ak = 2 V0 a 1, 2h2 k 2 ? h ?k

И

Й

Й
2 ak m V0 a2 . h ?2 V0 a2 К

И Л

И

h ? 2 / mИ К К К V0 a2 (h2 /m)2ak И ? И К

И

Й Й К Й

К
И
V (r) = Z1 Z2 e2 0 e r
-r /a

К

К

Й Й Й

. eК ? И a Й Й a

?М? И И К Н

К

К

?

2 0

ДП Е

Й

2m f () = - 2 Z1 Z2 e h ?K

e
0

-r /a

sin K rdr = -

2 m Z 1 Z 2 e 2 a2 0 . h ? 2 1 + a2 K 2

ДП Е

?

И
f (0) = - 2m 2 m Z 1 Z 2 e 2 a2 0 = - 2 eV (a)a3 , h ?2 h ?

К Й
2 0 2

0 = 2
0

mZ 1 Z 2 e h ?2
2k

sin d

a4 = (1 + a2 K 2 )2 mZ 1 Z 2 e h ?2
2 0 2

=

mZ 1 Z 2 e h ?2

2 0

2

1 k2

a4 dK 2 = (1 + a2 K 2 )2

4 a4 . 1 + 4 a2 K 2

0

a К

Й

К

К

К
f () = -

К
2 mZ 1 Z 2 e 2 0 . h ? 2K 2

a И

ДП Е

Й ДП Е

ДН Е
() = 2 mZ 1 Z 2 e h ? 2K 2
2 0 2

Z1 Z2 e2 0 2mv 2 sin2 (/2)
2

Й

=

,

ДП Е

К И К

И

Й И

Н

И И ДП Е
2 nk e K2

И

ИК И И К

К Й Й

К К И
(1 + in) , (1 - in)

ОН Д МЕ

f () = -

-2in ln sin( /2)

n= v = h k / mК ?

Z1 Z2 e2 0 , h ?v 2 mZ 1 Z 2 e 2 0 К h ?2K 2 И К

И ДП ЕИ КК И ЕИ И

ДП Е -

Д

Е

И

К

Z1 = - Z2 = 1 Д И e2 e2 c c |n| = 0 = 0 = К h ?v h ?c v 137v И v c/ 1 3 7 И К К К? И

|n| 1И И К Й |n| 1

Й

Й Й

К И

К К К К И И И

Й Й Й Й

И

Н

яК
НК
К

К?
И

И И К

Й Й

И

К К

И

Й Й Й И

r1 R

r2 r

Д
e

s a (r) e
ikz

Е

Й Й И r -rК ? Й - И Б rК

Бe

-ikz

ikr

+

r

[f (, ) Б f ( - , + )].

К Й

И И К Й

s a = |f (, ) Б f ( - , + )|2 .

s a = |f (, )|2 + |f ( - , + )|2 Б Б [f (, )f ( - , + ) + f (, )f ( - , + )].

И

ИКК

И

Д И К

Е

Й Й

Н

И
s

К
a

Й Й Й К

ОК
И КК И К 0
2 sК s

К

И ОНК

К НЕ
0

Й Й К

Й Й К И 1 + 5 + . . . + 4s + 1 = (s + 1)(2s + 1)И 3 + 7 + . . . + 4s - 1 = s(2s + 1)К (2s + 1)2 К И И И И К

И

=

s(2s + 1) (s + 1)(2s + 1) s + a =|f (, )|2 + |f ( - , + )|2+ 2 (2s + 1) (2s + 1)2 1 + [f (, )f ( - , + ) + f (, )f ( - , + )]. 2s + 1

ОЕ

И

К И
1

И
0

Й

(s + 1)(2s + 1)И

И
=

s

К

К Й 3 + 7 + . . . + 4s + 1 = 1 + 3 + . . . + 4s - 1 = s(2s + 1)К И

(s + 1)(2s + 1) s(2s + 1) a + s =|f (, )|2 + |f ( - , + )|2- (2s + 1)2 (2s + 1)2 1 - [f (, )f ( - , + ) + f (, )f ( - , + )]. Д НЕ 2s + 1

К

Й

Н

ПК

К

НЛО ОНК
(1 + in) , K = 2k sin (1 - in) 2 2) (1 + in) , K 1 = 2 k co (1 - in)

Й Д МЕ

2 nk - e K2 2 nk f ( - ) = - 2 e K1 f () = -

2in ln sin( /2)

, s. 2

-2in ln cos( /

2 nk (2k )2
2

Д НЕИ
cos 2n ln tg 1 1 2 - + in4 (/2) cos4 (/2) sin2 (/2) cos4 (/2

() =

И

s

И

К

. )

Й

Z 2 e2 ? h Z 2 e2 2 nk = , = 2 (2k ) h ? v 2(m/2)v mv 2

?
() = Z 2 e2 mv 2
2

m/ 2 К n1 1 - (3/4) sin2 = (1/16) sin4 2 Z 2 e2 mv 2
2

4 - 3 sin2 . sin4

И И К К

К n 1И

Й

НМ

СК

я НК
НК
С ИК ДК И

К?
К И КК И ?К С К? И К И К

К? И ?К Й И К

Й И Й Й К Й Й Й Й

ДК И

Д К ?К К

КК

И

И

К

И ЕК

К

Е

ЕК

Й Й Й

К

К ?К ПК О К К

К К Й Й

ОК
И И К И И

К
И К К К
dA = -P dV ,

Й Й Й И

К

НН

P

К И
P =-

К
E V

Й Й Й ДНЕ К И

К

ПК ?
К И К?

И

Е

К
Й И
aj К

Д И

Й Й Й Й

VК

tИ

К

Й Й E = E (t, V )К К Й Й Й

И

К?
И К И И

К

К И

И

И

К
dE = -P dV .

Й

dE = -

Е
Xj daj ,

ДОЕ

НО

a

j

И
P dV

К? И

И И И

X

j

Й Й

ДОЕК И И Д Е И

К Й К И

К
И EК
P dV К

К
К ?
E

?

Й

И
dQ = P dV + dE ,

dW К Й И К К dW = -d(E + E )К dW = И Й К dQ dE = dQ - P dV .

ДПЕ Й Й Й Й Й Й К Й Й И Й И

? К И К? И

И

К ИКК Й И К? К НП

И

dQ = 0К ДПЕ

К

И

Д

Д Е Н

И

КН

Д

ЕК

Е КН
З10
7

К

я ОК
НК
И И К И Е И

К
Д Е К? К Д К И К И И К К Д

Й Й Й Й Й Й К

И И

И

К И КК И ЕК И К КИ И

Й Й Й Й Й Й

СССК ? К

ОК

К К К

К
Й К Н К ЕК И

Й И Й

Д И

И

И

И

Й

И
Ej И E=
j =1

К

И И
Vj

Й И Й К

j = 1, . . ., j0 К ?
j0 j0

Ej , V =
j =1

Vj К ?

Ej = Ej (Vj , E )К

И

E = Gj (Ej , Vj )К ?

G1 (E1 , V1 ) = . . . = Gj0 (Ej0 , Vj0 ),

(Gj (Ej , Vj )) t1 = . . . = tj0 .

tj =

? К

К

И

Й Й Й Д ЕК

ПК
К И К

К
И К ? И К К К И

Й Й Й К Д Й Й Й Й

Е

К

К?
К Н

К

К

Й

И
НЕ ОЕ ПЕ И И И К Е И И

К
И К К К

Й

И

К

Й Й Й Й Й ЕИ

ДК К

К К

Й И Й

Е К Й К
QИ

К И

К

A1 И

И 0 = A2 - E К К

A2 К

Й Q = A1 + E A = A1 + A2 = Q > 0К Й Д QЕИ К И

E К

Й Й Й Й

я ПК
НК К?
К

Н

ИКК
P dV = 0.

К К

VК

Й

И

P dV

К

К? К

И
F

-P dV И

Й Й К Й

dF = -P dV +

F dt. t

ДЕ Д ЕИ Д Й

Е
dE = dQ + dF -

ДПЕ
F dt. t

?
dQ = d(E - F ) + F dt t

Е
G = E - F, g=- F . t

ДЕ ДЕ

ОК ?

dQ = dG - g dt.

К

dQ = dG - g dt = 0.

Н

И
(G, g , t)

tИ

К

И g = G (t)К ?

К

Й G = G (t)И И К Й Й Й И Й Й И Й

И
(G, t)

(G1 , g1 , t1 ) (G2 , g2 , t2 )К t Gl = G (tl ), gl = G (tl ), l = 1, 2К G (t)

И И
tИ

И
G G = H (g , t),

К К И

g

ДЕ

H (g , t) H (g , t) g (t) + = g (t) g t gК

ДЕ И И И

(g , t) = C = гвзиК И К Д ЕК И
G

Й И Й Й Й И Й

ПК
К? И И К К

И

gК

И

К
G F = F1 + F2 , G = G1 + G2 .

К

E = E1 + E2 ,

ДЕ Й

Н

К
g

И
F F1 F2 = + , t t t g = g1 + g2 .

Д Е

Й ДЕ

ДЕ
G = H (g , t), G1 = H1 (g1 , t), G2 = H2 (g2 , t).

ДНМЕ

ДНМЕИ Д Е

ДЕ

И

H (g1 + g2 , t) = H1 (g1 , t) + H2 (g2 , t).

И
H

И И
tИ

g

g

Й

H1 (g1 , t) = (t)g1 + 1 (t),

H2 (g2 , t) = (t)g2 + 2 (t),

H (g , t) = (t)g + (t), (t) = 1 (t) + 2 (t).

ДННЕ Й (t) Й К

И
tК (t)

К

И

К?
g=

К
G- ,

ДЕ

ДЕ

ДННЕИ
G - (t) dt. (t) t

dQ = dG - g dt = dG -

SИ

И 1/T (t)К

G

И

tК

Й Й

Н

dS =

dG - [G - (t)]dt/(t) . T (t) S S S = G t t G
2 2

ДНОЕ

(t) - T (t) 1 =- 2 (t) T (t)T (t) dt dT = . T (t)

T (t)

T (t)К И

T = T (t) = T0 exp (t) > 0

t

t0

dt . (t )

И

И И И
SИ

К К К К

Й Й

И

Й Й

К

К

К И T dG - dT dT dS = + (t) 2 . 2 T T
S= G + T (t) dT . T2

ДНОЕИ К

ДНОЕ

И И К К

И

Й

НМ

К

К

ДНОЕ
dS = dQ , T dS = 0К

Й

?

И

dQ = 0

Й

И
dS =

dQ = 0, T

ДНПЕ И

К
dQ = T dS,

dE = T dS - P dV .

ДН Е К

К
S= E-F + T (t) dT . T2 dT . T2

К

F = E - TS + T

(t)

ДН Е К Й

F (t)И ДН Е F = E - T S. TS ДН Е

ДН Е К
S

К

И

И E
F

Й

К?

К

НН

яК
НК
ИКК
C=

К

К
dQ . dT

И

Й И Й ДН Е

К?Й И И К

И
dQ

ДН Е dQ

T dS К ? Й

И

Й Й К

Cv = T

S T

,
V

Cp = T

S T

.
P

ДН Е

ДН Е
Cv = E T .
V

И

К ДН ЕК
T dS = dE + P dV .

Й ДН Е

dE = dT К ? E T dT +
V

Й

E V

dV .
T

И

И
E V V T

Cp = Cv +

+P
T

.
P

ДН Е Й

ОК

К?

И

НО

К И К
T T
2

Й

T

1

V

1

V1 V

2

V

2

V (V , T )К

К НОК
К НО И И И (V , T )К И

И К

(V1 , T2 )К И T
2

Й Й Й

T = T1 V1 < V < V2 К ? (V2 , T2 ) (V1 , T1 ) И T < 0К V S К И T2 К

T1 < T2 К T=T

2

V1 < V < V2 И T1 T К

2

AИ

Д

Е К

И

Й Й

НП

Q2 К

И
= A . Q2

Q1 К

ДНПЕ Й
Q
2

И К

К

Й Й Й Й Й

Q

1

1 dQ = T T2

dQ +
V1
1 T1
V2 >V >V1

dQ =

Q2 Q1 - = 0. T2 T1 A = Q2 - Q1 И

=

Q2 - Q1 Q1 T1 T2 - T1 =1- =1- = . Q2 Q2 T2 T2

ДОМЕ

T

ДОМЕ

2

1

ПК
Д

dQ > 0ЕИ T

ДОМЕК

T

Й И
И К Й Й
T
m in

К
И И ДdQ < 0ЕИ
-T
бм бв

И

бм

К

dQ = T

T

бм

T

.

dQ - T
dQ>0 dQ<0

|dQ| =0 T

dQ>0

1 dQ T Tб

dQ =
м

dQ>0

Q+ , Tmax

dQ<0

1 |dQ| T Tб

в

|dQ| =
dQ>0

Q- . Tб в

Н

И
Q- Tб в
dQ<0

И
Q+ Q dQ , T Tб м Q
- +

Й
Tб в . Tб м

|dQ| = T
dQ>0

A = Q+ - Q- И = Q+ - Q A = Q+ Q+
-

1-

Tб Tб

в м

=

T

бм

T

-T
бм

бв

.

К

И

яК
НК К
И КК И И ЕИ
PV = гвзи. T

К К

К

И И Д Й ДОНЕ

КК И Д К
N
A

К Й Д ? НКММ К
-24

И ДОНЕ ЕК

И И Н Д К? И И

И Й Й И Е Й

Й К ?

Е

1.6734 З 10

NA mH = 1.008 И mH = К NA = 6.023 З 1023 К

Н

Н

vК P v = RT ,

Н

R = 8.314 З 10 И

7

Л

= 8.314

Л Л
-23

К
= 1.3804 З 10

Й

k = R/NA = 1.3804 З 10

-16

Л Й

К
P V = Nk T,

V=

N vК NA

И

К К? К

И И

И И

Й Й И

R(T100 - T0 ) 100 (P V )100 - (P V )0 = = = 0.36608. (P V )0 R T0 T0

НММ

М
T0 = 273.16

К

-273.16

И

И

К

T = t + 273.16.

ОК
К К И И
E= 3 Nk T 2

К
И Д ЕК

Й Й Й Й

ДООЕ

Н

И

Й
E V

И

СССК

И

Й

= 0.
T

ДОПЕ
V= Nk T P

?
V T =
P

Nk . P

ДН ЕИ ДО Е
Cv Cp

Cp = Cv + N k .

И
Cv =

И

И

И
Cp = N cp . NA

Н

К

Й Й К

N cv , NA

ДО Е
cp = cv + R .

ПК
К
Cv =

ДООЕ
3 Nk , 2 3 R, 2

И

К
И
5 Nk . 2 И 5 R. 2

ДО Е

Й

Cp =

И
cv =

Н
cp =

Й

К

И

К

ДОПЕИ

Й И

dE = Cv dT .

И
dV =

И
Nk T Nk dP. dT - P P2

Н

dS =

ДН ЕИ
dP 5 dT dP dE + P dV dT = (Cv+N k ) -N k = Nk -N k . ДО Е T T P 2 T P 5 ln T - ln P 2

S = Nk

+ S0 .

И
S = N k ln V T N
3/2 + S0 .

К

К
Cv dT + P dV = 0.

ДО Е dS = 0И

ДН ЕИ
Cv Cv = Cp . Cv = гвзи. dT dV + (Cp - Cv ) = 0. T V

ДО Е

ДО Е
TV
-1

ДО Е И

И
PV

= гвзи .

ДО Е И

ДО Е
= 5/3К

ДО Е К

К

ССС

СЮК Н

яК
НК
И КК И И И КК Д И К
E0 К a0 Д j a1 К j a1 И j dS = 0

К

Й К Й Е

И К И К И

И

Й Й Й Й Й Й Й Д

И

Д
E1

И

Е S0 = S (a0 , E0 )К j Е
S1 = S (a1 , E1 ) = S0 К j

Й

ЕК ?

И A = E0 - E2 К И КК К И

a0 И j

И

К

Й E2 = E0 И Й И

A 0И К К E2 E0 И И S1 - S0 = S (a0 , E2 )-S (a0 , E0 ) 0И j j S 1 И = > 0К E T И И И

ДО Е И К Й

ОК

К

К

К

Й Й

Н

К
VК P dV

И К?
Xj daj К

Й

Й И Й К Й
aj И

И К К И И xИ
x

Й ДН ЕК Й Й Й Й Й

И

И

К

И
К

К ? ? К

К И К
x xi i К К E

К E И
T dS = dE + P dV + dx E = E + x . x Д

К

И

Й Й Й

ДО Е ДПМЕ Е Й Й xИ

И

М

НМ

К

ДО Е

И

К ДПМЕ И
V

Й

T dS = dE + P dV - xd .

И К К ИКК

К К И И

И

Д Е И

Е Й Й Й И К И К

ПК

К

VИ

1

И

V

И

E1 И S1 = S (E1 , V1 , 1 )К

Й И

E2 , V2 , 2

К
-x2 2 И

И
x1 E2 , V2 , 2

Й Й S2 = S (E2 , V2 , 2 )К x2 И 2 Й V2 2 Й E2 = E2 - x2 2 К И Й
S2 К

E3 , V1 , 1 К И

И И

Й

E3 , V1 , 1 К

S2 = S (E3 , V1 , 1 )К

И НН

И

Й

К

ИКК И E3 E1
1

S2 = S (E3 , V1 , 1 ) S (E1 , V1 , 1 ) = S dE + P dV = 0И dS = S d 0.

К

E ,V

К

И

К

К

К
И
E, a
j

И
= 0 E a

S = S (E , aj , )К И И К

Й Й Й Й Й Й

И

j

И

ИКК К

К

К

Й Й

НО

С СК

я НК
НК
К И Д И И
N 1К И N

И И К К К И К К И
2.7 З 10

К

Й Й Й И Й

? Е

И Й
19

Н Д

3

ЕК К
6N И N

И

И И

Й Й Й И Й

Д К К? И К И

ЕИ
6N

И К

К

И Й Й

ОК

К
N Й ri

К Й pi , i =

НП

1, . . ., N К ? К

И К
6N Й 6N

И К
(p, q )И И p dpdq И

И

К К И

Й Й И И Й Й

И
q

К К И

И

Е p = (p1 , p2 , ..., pN )И К dp = d3 p1 d3 p2 ...d3 pN И dq = d3 r1 d3 r2 ...d3 rN К К И И К? К

Й Д Й q = (r1 , r2 , ..., rN )И Й

Й Й Й Й Й Й

ЕИ К

К И К

И

Д К И

Й

ПК
И

К?
К

Й Й И К Й И Й И

К И И К
t

И

И

И

Н

NЙ dpdq dw = f (p, q , t) dpdq . f (p, q , t)

Й

И ?

К

NЙ

И

НК

К

Й Й К

d h

N

=

dpdq . N !h3N h
3N

И

К

И

К И

N!

И К Д Е

К

Й Й h3 К ? Й Й Й И Й ДНЕ И
dN К

fN (p, q , t) d

N

= 1.

d
N

dpdq К

Й

К
К? И И

К И
f
N 1 +N

К

К И

Й Й

f

К
N
1

f

N

2

И

Й

2

=f

N

1

f

N

2

.

Н

К Д

f

N

Й К И И И
A(p, q , t)

Е К

Й Й Й Й

И
A=

И К К К

A(p, q , t) fN (p, q , t) dN .

Е

И И К К? Д

Д

Е

Й Й Й

я ОК
И Н К К? И
fN + div t

К И И К

И

И И Й Й Й Й Й И

N

6N

(fN V6N ) = 0.

ДОЕ

Н

6N fN + t

И

К
(fN pi ) + (fN qi ) = 0. pi qi

ДОЕ

Й

3N i=1

fN + t
3N i=1

fN fN pi + qi + f pi qi

N

pi qi + pi qi

= 0.

ДПЕ Й ДЕ

И

dqi H dpi H , . = =- dt pi dt qi

ДЕ

И
qi pi 2H =- = . qi pi pi qi

ДЕ Й

ДПЕ
fN (p, q , t) + t
3N i=1

ДЕ

fN (p, q , t) fN (p, q , t) pi + qi = 0. pi qi

И

dfN (p, q , t) = 0. dt

НЕ ОЕ ПЕ

К
Н

К

И

К

К

я ПК
НК
И

К
И И Й

j0
1/r И

fN = 0К t

И
r

Й N1 , N2 , . . ., Nj0 К К И И И К И Й К Й Й Й К И Й Й ДЙ Й Й Й Й К Й И
P

ОК

И К И И

И И

И

Н ИООК

К И ЕК К Д

И

Е

К

К

К К К

ОК
К И

К

И

И

К

К И Н

EИ

К?

Й Й LК

И

И К И

К

К К

К Й Й Й Й Й

К И

К?

И К И К И
N
j

И

Й
= j + EN
j0
j

ln f

ДЕ
j0

ln f

N

= + EN , =
j =1

j , EN =
j =1

ENj .

ДЕ

? j

И К И И

К К?

К ДЕ

К

ln fN (p, q ) = + EN (p, q ), EN (p, q )

ДЕ К И К ИЕ Й Й И

ДЕ

И К К? И К И К И

К

НЕ И ОЕ

И

И

Н

К ПЕ ДЕ

К

И К К ДЕ К

ПК
И

К

ln fN (p, q ) = + EN (p, q ) + N .

ln f

N

j

(p, q ) = j + ENj (p, q ) + Nj .

И

j
N =0

И

Й

fN (p, q )d

N

= 1.

ДНМЕ Й Й

К И

К К ДЕ Д ЕИ

И

Й Й

К

яК
НК К
ИКК
N =0

И К К
ln fN (p, q ) fN (p, q )dN .

Й Й

S = -k

ОММ

И ИКК Д
N

ДНМЕИ
6N К И ДНЕЕ N

Й Й

И

И

И

S = -k

ln fN (p, q ) fN (p, q )dN .

И

kК

ОК

И ?К

К
И
X x1 p1 x2 p2 ... ... xn pn

И ? К

Й И Й Й Й

n

S

=
j =1

pj ln pj .

НИ Д
S

Е И = -(1/n) ln nК

МК

И И К

Й Й Й Й Й

К?
(X, Y )

К И

К

И

ОМН

y1 y2 ... ym

x1 p1 q1 p1 q2 ... p1 qm

x2 p2 q1 p2 q2 ... p2 qm

. . . . .

. . . . .

. . . . .

xn pn q1 pn q2 ... pn qm

n

m

n

m

n

m

S

=
j = 1 l= 1 n

pj ql ln(pj ql ) =
j = 1 l= 1 m

pj ql ln pj +
j = 1 l= 1

pj ql ln ql = (Y ).

=
j =1

pj ln pj +
l= 1

ql ln ql = S

(X ) + S

f (x)И

К
S

X = f (x) ln f (x)dx.

Й Й

И И И К

К К К К

Й Й

Й

ПК

И

К
1 dS = . T dE

ДННЕ К И
T1 , T
2

И
S1 , S
2

E1 , E2 И

К

Й Й

ОМО

И
S = S1 (E1 ) + S2 (E2 ), dE2 = -dE1 К E1 + E2 = E = гвзи.

К

Й Й

ИКК

E1 К

E2 = E - E1 И

dS1 (E1 ) dS2 (E - E1 ) dS1 dS2 dS = + = - =0 dE1 dE1 dE1 dE1 dE2 1 1 dS = - = 0. dE1 T1 T2

И
dS = T1 < T2 И

T1 = T2 К 1 1 - T1 T2 dE1 > 0.

dE1 > 0И

К

К

И

И

К?

VИ

К
И
SИ NК

К К? И

Й EИ Й К Й И Й К

К? К К

И

К
К
Е

К

Й

Е=

E N

.
V ,S

ДНОЕ

ОМП

И К

И К

И И

dE = -P dV + T dS + ЕdN .

ДНПЕ Й Й

?

Д

ДНОЕК

ДНЕ
E V

СЕИ
E S

ДННЕ
E N

P =-

,T=
S,N

, Е=
V ,N

.
V ,S

Д И

ДНПЕ К?

И И

ЕК И И К И

Й Й Й

К?

И

К
И К К

К
К

Й Й И Й

К НЕ

И ООК

И

И

F = E - T S,

dF = -P dV - S dT + ЕdN .

ОЕ

Д

Е
d = -S dT + v dP + ЕdN .

= F + P V = E - T S + P V,

ОМ

ПЕ

Д Е

И
d = -P dV - S dT - N dЕ.

= F - ЕN = E - T S - ЕN ,

ДН Е

Е

W = E + P V,

dW = V dP + T dS + ЕdN .

И

И

И К
V , S=- T

И К

К

К

Й Й Й Й

И Е

P =-

T ,Е

V ,Е

, N =-

.
V ,T

ДН Е

К
К

К

Й
К NИ = (V , T , Е)

И
VК И

Й

= (T , P, N )

К И К И И ИN
VК

Й Й Й Й ДН Е Й ДН Е

И
= ЕN , = -P V .

ДН Е

E = T S - P V + ЕN .

ОМ

И

И

И

К?

ДН ЕИ ДН Е И

Й Й ДН Е

E = T S + + ЕN

И

ДН Е

К

К
S=

И
E - ЕN - . T

И ДН Е

К
К ПК К И К И
N = N1 + N2 = гвзи. E1 N1 К S = S1 + S2 ,К

К
И К К Й Й Й

И

E = E1 + E2 = гвзи,

? ДНПЕ И
S = 0, E1 S = 0. N1

dS =

И

dE + P dV - ЕdN . T

ДОМЕ К ДОНЕ ДОМЕ И

ДОНЕ

S 1 1 = - = 0, E1 T1 T2

S Е1 Е2 =- + = 0. N1 T1 T2

ОМ

T1 = T

2

И Е1 = Е2 И И

К

Й Й Й

К К

И

яК
?
~ fN К

И И
f

И

Н К

Й Й Й Й Й

И

N

К

К

К

К
~ S = -k
N =0

И
~ ~ fN ln fN d
N

ДООЕ

N =0

~ fN dN = 1,

N =0

~ EN (p, q )fN dN = E ,

~ N fN dN = N . ДОПЕ

N =0

N =0

fN dN = 1,

N =0

EN (p, q )fN dN = E ,

N fN dN = N . ДО Е

N =0

~ = S +З1+ ЗE + ЗN =

Й Й

~ fN d

N

N =0

~ -k ln fN + + EN (p, q ) + N .

ОМ

И К

И

К? Й ~ fN ~ К? Й fN

N =0

=

~ fN d

N

~ -k ln fN - k + + EN (p, q ) + N .

К
~ fN = 0 И К К

И

К И
+ EN (p, q ) + N ~0 ln fN = -1 + . k

И И Й

Д ЕК
- 1, = , = . k k k

Й

=

И К
S = -k

И

К

И

Й

N =0

fN ln fN d

N

N =0

К

~ fN

ДООЕИ Й
~ fN ~ dN = fN ln fN

~ S = -k

~ fN ln fN dN - k

N =0

ОМ

= -k -k
N =0

N =0

~ fN [ + EN (p, q ) + N ]dN -
N

f

N

~ ~ fN fN ln d fN fN

S -k

N =0

f

N

~ fN fN = S. 1- ~ fN fN

1 ln x 1 - x И

Й
x > 0И

Й И Й

И ДОПЕК

К

1 ln x 1- x 1 g (x) = ln x - 1 + К x 1 x-1 1 - 2= xx x2 x=1 ?

К
f (1) = 0И x>1

Й

f (x) = x < 1И

К

К
, ,

Й

я К?
НК
Н К я НИ ?
S = -k
N =0

К
И И

И И яП К К

Й Й

И

К

fN [ + EN (p, q ) + N ]dN = -k [ + E + N ],

ОМ

ДО ЕК ДН ЕИ
= 1 Е ,=- ,= . kT kT kT

ДН ЕИ

Й

ДО Е

ОК ?

ДО Е

- EN (p, q ) + ЕN , kT - EN (p, q ) + ЕN kT

К

Й Й ДО Е

ln fN (p, q ) =

fN (p, q ) = exp

.

ДО Е

e

/(k T )

N =0

e

ЕN/(k T )

e

-EN (p,q)/(k T )

d

N

= 1.

ДО Е Й

= -k T ln

N =0

e

ЕN/(k T )

e

-EN (p,q)/(k T )

dN .

ДО Е

И

ДО ЕК

ДН Е

ДН ЕК

ПК
Е

К

ЕК ДО Е

К

1 k T Е +e

e
V ,T

/(k T )

N =0

e

ЕN/(k T )

e e

-EN (p,q)/(k T )

dN +

/(k T )

N =0

e

ЕN/(k T )

N kT

-EN (p,q)/(k T )

= 0.

ОНМ

k TИ Е

И
= -N .

Й

ДПМЕ

V ,T

К
И
T зe

И

К

К

Й

=
V ,Е

kT e + T k T2

/(k T )

N =0

e

ЕN/(k T )

з

-EN (p,q)/(k T )

[ЕN - EN (p, q )]dN =

+ ЕN - E = -S. ДПНЕ T

К

И Н К ? И

К?

И ДПМЕ

Й Й И Й Й

ДПНЕИ ДН ЕК ? И ДН ЕК

= -P V

К

яК
НК

NК ?

К И
V

К

И

К
ИКК К И

Й Й

ИКК

К

Й E

ОНН

И

E E К ? E = 0И И И

Й К
E

ИКК

f

(p, q ) =

1/G(E , N , V ) 0

E EN (p, q ) E + E , .

G(E , N , V )

dN .
E EN (p,q)E +E

Й ДПОЕ

G(E , N , V ) =

S (E , N , V ) = -k f

(p, q ) ln f

(p, q )dN = k ln G(E , N , V ). ДППЕ

И К

К И К К К?

К И

И Й

ОК ?
E0 E + E = E0 К ? И

К
V0

Й V + V = V0 К N + N = N0 И Й

N

0

EN (p, q ) + EN (p , q ) = EN0 (p0 , q0 ).

К ОНО

Й

И

И

И

Й

И Й

V V V0 , N N N0 , E E E0 .

К

И

G(E0 , N0 , V0 ) = G(E , N , V )G(E , N , V ),

К

Й И Й

fN (p, q ) =
E 0 E
N0

f
(p0 ,q0 )E0 +E

(p0 , q0 )d

N

=

=
E 0 -E E
N 0 -N

f
(p0 ,q0 )E0 -E +E

(p0 , q0 )d

N 0 -N

.

ДПОЕ
fN (p, q ) =

И

И

f

(p0 , q0 )К И

1 G(E0 - EN (p, q ), N0 - N , V ) = . ДП Е G(EN (p, q ), N , V ) G(E0 , N0 , V0 )

ДППЕИ
fN (p, q ) = exp

ДП Е

S (E0 - EN (p, q ), N0 - N , V ) - S (E0 , N0 , V0 ) k
0

. ДП Е

N N

EN (p, q ) E0 И И

И

Й

S (E0 - EN (p, q ), N0 - N , V ) = S (E0 , N0 , V )- - S (E0 , N0 , V ) S (E0 , N0 , V ) EN (p, q ) - N. E0 N0

ДП Е

ОНП

ДП Е
=

ДП Е

S (E0 , N0 , V ) - S (E0 , N0 , V0 ) 1 S (E0 , N0 , V ) , , =- k k E0 1 S (E0 , N0 , V ) =- , k N0

Й И

К

К

Д ЕК Н И

Й Й К

яК
НК
? К

К?
И Й И Й Й Й Й Й Й К Й Й
N EN (p, q ) Е

К ПК К?Н М К К? И И И К И И ? К

И К ННК И ?

И

Д

И К К
(V , T , Е)

Й Й И

ОН

И К Д И И К

ДО Е

Й К Й

Е

К

И К И

ОК

N = NИ

К

ДО Е

= -k T ln e

ЕN/(k T )

e

-EN (p,q)/(k T )

d

N

= ЕN + F

F (V , T , N ) = -k T ln

e

-EN (p,q)/(k T )

dN .

К

ПК
К
n

К
И
EN = EN (n).

И

И И

Й К

И ИКК
g

Й И Й ? К ? Й Й

К
EN (n)И

Nn

И ОН

(V , T , Е) = -k T

N =0

e

ЕN/(k T ) n

e

-EN (n)/(k T )

g

Nn

.

?

К

К
S = -k

К

fN ln fN d
N

N =0

= -k ln fN .

?

ln fN (EN ) =

- EN + ЕN . kT

ДО ЕИ

ДО Е

К

И

И

S = -k ln fN (EN ) = -k

- E + ЕN = -k ln fN (E ). kT

ДП Е И Й

N =0

fN (EN )d

N

= 1,

fN (E ) = 1.

ДП Е Й Й

ДП Е

К

И

ДП Е
S = k ln .

ДП Е

И

WК

И

К

И ДП Е К ДППЕК Й

ОН

И
j0

К

Й

=
j =1

j .

ДП Е
j0 j0

S = k ln
j =1

j =
j =1

Sj , Sj = k ln j .

?

И

И

ДН Е
- EN (p, q ) + ЕN T

?

Й

SN (p, q ) = -

Д МЕ

fN (p, q ) = e

-SN (p,q)/k

.

Д НЕ К? К К Й И Й

Д МЕ ? И

Д НЕ ? И ?

ОН

С С СК

я НК
НК
КК И ИКК К Й К
N

И И И И Д
G N = = G1 N1 + G2 + N2 M

К
К И И И И К

Й И Й Й Й Й
G

К?

И

К

Й

Е
+ + ... ... + GM , + GM .

И И К?

К

Й Й Й

К И И И И ЕК

ОК
К? Й К?Й

К
И Д Е

И И

Й Й Й Й

И

К Е

G

К

N

И

Д

Й Й Й Й ИКК

Д

ОН

К
N GN К Gj j , j = 1, . . ., M К И
N

N

К
G

Й Й И Й Й

G

И

И Nj !К И
GN =

К

И И
N! N GN1 . . .GMM . N1 !. . .NM ! 1

jЙ

Й

N 1 +. . . +N

M

=N

GN = N! GN1 GNM 1 ... M . N1 ! NM ! NК

N 1 +. . . +N

M

=N

N1 , . . ., NM И

Й Й

К

ПК
И И

К

яП И

ЮССС

К
N G

И

И

Й Й И Й Й

К? Nj Gj К
N CG К

И

j

N
N CG =

G
N1 NM CG1 . . .CGM . N 1 +. . . +N
M

=N

ОН

И

Д

Nj И Gj

Й И
Gj 1ЕИ
N

j CGj =

N

Gj j Gj ! Gj (Gj - 1). . .(Gj - Nj + 1) = Nj !(Gj - Nj )! Nj ! Nj !

Д И

ЕИ

И

К И К К
G G

К

К
N

К

Й Й Й
G-1 Й

И К
G+N -1 N
N CG+

К

К К ЕК ? G -1 = CG+N
=
N 1 +. . . +N
M

Й
G-1 Д

К

N -1

-1

К
N1 CG1 + =N NM . . .CGM

И Й И

N CG+

N -1

N 1 -1

+N

M

-1

.

?

И

Nj Gj

jИ
N

Nj CGj +Nj -1

Gj j (Gj + Nj - 1)! (Gj + Nj - 1). . .Gj = = , (Gj - 1)!N1 ! Nj ! Nj !

Д

ЕИ К

И

К

Й Й Й И

ООМ

К И И К ОК ? И Д И К

И Nj К

Й Й Й Й И Й Й Й

И К ?

К

И

К
И

К
К

ЕИ

?

И К

Й Й К Й
О

G1 = 1 П О О Н Н Н М М М М

G2 = 2 М Н М О Н М П О Н М

G3 = 3 М М Н М Н О М Н О П

ОН

Н Н О О П

НО П О П О

ОМ М М М Н П М П Н

НО НМ

я ОК
НК К
ООН Й

К

И К

И К

Й Й Й Й

(p, r)К ?

p

(p, r) = (p) + U (r),

К

rК

И ДНЕ Дp = |p|И

(p) = c m N d3 pd3 rК

2

К

m 2 c2 + p 2 - m c ЕИ U (r)

2

(p, r)К EN (p, r) = N (p, r)К

И

?

?

И И

И КК

Й

(p, r) = -k T ln

e
N

[Е-(p,r)]N/(k T )

.

И

К К И

И

Й

ОК
К

К

Й Й

N (p, r) = - f (p, r) =

(p, r) . Е

ДОЕ

1 N (p, r) h3

ООО

К

h

3

К И
d3 pd3 r , h3 d3 pd3 r . h3

Й Й И Й

К
(V , T , Е) = (p, r)

N =-

(V , T , Е) = Е

N (p, r)

И
h3 / g К

h3 И sИ

И
h
3

К

Й Й

g = 2s + 1

f (p, r)d3 pd3 r = N .

ДПЕ К И Й Й НК
.

И К

ПК

И
(p, r) = -k T ln 1 + e

К
М

[Е-(p,r)]/(k T )

ДЕ

(V , T , Е) = -k T

ln 1 + e

[Е-(p,r)]/(k T )

d3 pd3 r . h3

ДЕ

К
И

К?

К

Й

ООП

Е 0К

И
(p, r) = k T ln 1 - e
[Е-(p,r)]/(k T )

К Й ДЕ

.

(V , T , Е) = k T

ln 1 - e

[Е-(p,r)]/(k T )

d3 pd3 r . h3

ДЕ Й

К

К

К

Д ЕИ Д Е
[Е-(p,r)]/(k T )

Й

(p, r) = k T ln 1 Б e

,

И И

Д ЕИ Д Е
ln 1 Б e

К
d3 pd3 r . h3

(V , T , Е) = k T

[Е-(p,r)]/(k T )

ДЕ

N (p, r) = 1 e
[(p,r)-Е]/(k T )

ДОЕ
,

f (p, r) = 1 h3 e 1

Б1

ДЕ

[(p,r)-Е]/(k T )

Б1

.

ДНМЕ ДЕ

ДЕ
N =- (V , T , Е) = Е d3 pd3 r h3 e 1
[(p,r)-Е]/(k T )

Б1

.

ДННЕ

ОО

ДН Е
S=- - T

К

d3 pd3 r [Е - (p, r)]/T - - ЕN + E . = h3 e[(p,r)-Е]/(k T ) Б 1 T

ССИ
E= d3 pd3 r h3 e (p, r)
[(p,r)-Е]/(k T )

ДН Е

К ДННЕ

И

Б1

=

d3 pd3 r(p, r)f (p, r).

Й

К?

К

К?

Й Й

0 1 1/(q + 1) q /(q + 1). q e
[Е-(p,r)]/(k T )

К

И
0 1-q

И ДННЕ

К ?+?

1 ... N ... q (1 - q ) . . . q N (1 - q ) . . .

q<1

К
N =0

N (p, r) =

N q N (1 - q ) = (1 - q )q

d1 q = , dq 1 - q 1-q

ДЕ

К
К

?-?К И К ОО

К

Й Й Й

И ?

И ДЕ И ln(1 + x) x
e

-Е/(k T )

Й 1К НИ 0 < x 1К ДНОЕ Й Й К

ДННЕИ

(V , T , Е) = -k T

e

[Е-(p,r)]/(k T )

d3 pd3 r . h3

? И К

К

И

я ПК
НК
ДНОЕИ
(V , T , Е) = - kT e h3
Е/(k T )

К?

Й

d3 rd3 pe

-(p,r)/(k T )

.

ДНПЕ Е

ДНПЕ

Д

И
d3 pd3 r e h3

ДННЕ N
[Е-(p,r)]/(k T )

Й

N =-

(V , T , Е) = Е

.

= -N k T .

ДН Е К ИКК Й 1И ДН Е

ОК

ДНЕ
f (p, r) = 1 e h3

e

ДНМЕ
,

К

e

-Е/(k T )

[Е-(p)]/(k T ) -U (r)/(k T )

ОО

И

К

И

Й яК

ПК
И

U (r) = 0К

К
e
[Е-(p)]/(k T )

(V , T , Е) = -k T V

d3 p . h3

К

= -P V И P = k TV

К?
e
[Е-(p)]/(k T )

Й
d3 p . h3

КК

= -P V

ДН Е И

P V = Nk T,

ЕК

Д

И Й

К

p2 И К К (p) = И 2m kT e h3
Е/(k T )

К

(V , T , Е) = - kT =- 3 e h

e

-p2 /(2mk T )

3

dp

I (T ) =
-U (r)/(k T )

Е/(k T )

(2 mk T )3/2 I (T ), I (T ) = d3 re

.

?

И
k TV (V , T , Е) = - e h3
Е/(k T )

И
(2 mk T )3/2 .

ДН Е

К
N =-

К
(V , T , Е) V = 3e Е h
Е/(k T )

(2 mk T )3/2 .

ОО

e

Е/(k T )

=

h3 N , Е = k T ln V (2 mk T )3/2

h3 N V (2 mk T )3/2

. ДН Е

К

ДН ЕИ 1 N e f (p) = V (2 mk T )3/2 Й

К

ДН Е
-p2 /(2mk T )

Й

.

ДН Е К

ДН Е
S=-

К

К

И

ДН ЕИ

Й

5 k V Е/(k T ) (V , T , Е) e = (2 mk T )3/2 - T 2 h3 Е kV - 3 eЕ/(k T ) (2 mk T )3/2 . h (k T )

ДН Е ДН ЕИ Й

S=k N

5 - ln 2

N h3 V (2 mk T )3/2

.

?

И И И К

К И К

И Й Й Й

К

p2 pv = И = 2m 23 3 E = P V = Nk T. 2 2

К

И ДОМЕ Й

К ОО

яК
? К К
2

И

Й

НК

ДН

Е И

Й
p

К?
И

И

Д
vК

Е

d3 pИ

И К

Й К vК Й 2pК Й p Й f (p)d3 pК Й Й Й Й И Й И

v

К Й
P = 2
p 0

И

f (p)d3 p(p )(v ).

И К К

f (p)

И
/2 2

И

Й

P = 2
0

f (p)2 p pv dp
0

4 cos sin d = 3
2

f (p)p3 v dp = P. ДОНЕ

0

И

И К Д ЕК

И

Й И Й Й И Й

ОК

ДЕ

К

И

ОО

P =-

(V , T , Е) 4 k T =Б V h3

p3 ln 1 Б e 3

[Е-(p)]/(k T )

0

Б

Б

0

(p)/(k T ) p3 ]dp . e[Е-(p)]/(k T ) Б 1 3

ДООЕ

4 P= 3

f (p) (p)p3 dp.

ДОПЕ
(p) = v И

0

ДОНЕ И

ДОПЕ К

И

К

Й

яК
И К К К Й

НК
ДН ЕК

fM (p) =

К

И

Й
.

Й

4 p2 e (2 mk T )3/2

-p2 /(2mk T )

fM (p)dp = 1.
0

И p = 2mk T z И dp = 2mk T dz /(2 z )
4 p= (2 mk T )3/2
l

e
0

-p2 /(2mk T ) l+2

p

dp =

ОПМ

4 (2mk T )( = (2 mk T )3/2

l+3)/2

z
0

(l+1)/2 -z

e

dz .

ДО Е Й

И
2 pl = l+3 2 (2mk T )l/2 .

?

И К К (pl )1/l И
8 mk T ,

К

Й
l = 0, 1, 2

1 = 1,

p=

p 2 = 3 mk T .

И
8

Й

D p = mk T

3-

(p) =

12 3 p = k T. 2m 2

ДО Е К
l = -2

ДО Е
l l > -3К p
-2

ДОМЕК

Й

=

1 . mk T

И
2 vl = l+3 2 2k T m
l/ 2

Й

.

?

И

Иv=

8k T /( m), v 2 = 3k T /mК И T = 300 И ОИ

Й

ОПН

2 9 mH И
5

m

H

Д
(v 2 )1/2 =

0.5 З 10

Л = 0.5

ЛК И

ЕК 3 З 1.38 З 10-16 З 300 29 З 1.67 З 10-24 И ППМ Л К Й К
= 2 mk T

Д

И

ЕК

И

p

ОК
Е

К

И

К
И
Ei < 0И

И

Д

Й Й
Й

К К i = 1, 2. . .

И

Ei И К К

К
ni К

Й Й И
e ,
-Ei /(k T )

Ei И
-Ei /(k T )

И

Й

ni = C g i e g
i

ДО Е

И

C

К

ИКК

ni gi =e n1 g1

-(Ei -E1 )/(k T )

.

ДО Е Й Й ДО Е

К Д

? Д И Е nИ

Д Е

Е
C

И

ОИ

К

ОПО

C Z (T ) = n,

Z (T ) =
i

gi e

-Ei /(k T )

.

ДО Е Й

?

д жи и гв йв и гвИ гв и гв д жи и гвК Д йзи в зйбб ЕК
g (T ) =
i

Z (T )

К

Й

Й Й ДО Е

gi e

-(Ei -E1 )/(k T )

=e

E1 /(k T )

Z (T ).

К
n= n1 g (T ), n = C g (T )e g1
-E1 /(k T )

.

n g (T ) = , n1 g1 g (T )

ДПМЕ И

?

К И
Ei = -

И И
1 , i2

И И
gi = 2i2 ,

И К

К

И

1 = 157200 , k

МИ КК ? К

И

ДО Е К И

i

И К? К Й Й

r i i2 И 1 0 -8 З 1 0 6 = 1 0

-2

К

i = 1000 ИКК

ОПП

И И

И К
i
0

И К

Й

i0

Z (T ) =
i=1

gi e

-Ei /(k T )

.

i

0

? И
3 N ri0 1К i2 И 0

К
N

И

И Й Й Й Й

И i0 И К И

И И
N i
-7.5 0

К

И И

ri0

Ni

-6 0

К

i

0

Й

К
N i

К?
0

И К И И ПМЙ N
i
0

К

И И К

И

И Й i0 lg N = 23.26-7.5 lg i0 К К И Й И Й

И

ПК

К

И

К

И И

К
И

Й
Й Й Й

К ОП

К К

И

ОК К И И ДО ЕИ И Й Й

К

И

И

И

ДО ЕИ
.

Й ДПНЕ Й И
pИ

dg dne = e n1 g1

-[p2 /2m-E1 ]/(k T )

К И И
dg = V0 4 p2 dpV0 , h3 / 2

К? 1/2К

И

Й
h3 / 2 И

ДПОЕ И
dn И КК

К

К?

e

ДПНЕ

dne = n

e

4 p2 dp e (2 mk T )3/2

-p2 /(2mk T )

.

И
V0

И ИКК
V0 =
+ g1 , n+ 1

К

Й

n

+ 1

К ОП

Иg

+ 1

Й И

gИ
+

ИКК

ДПМЕ

ДО ЕК
n+ n+ 1 + = +. g g1 E1

n

+

? И
n
e

ДПНЕ

ДПОЕ

1 = -E1 К

Й Й

n+ g + (2 mk T )3/2 =2 e n1 g1 h3

-1 /(k T )

.

И n+ / n

1

1 / k И n+ / n И И И

И

И К

К К И

Й И Й Й К И

К
g1 = 2, g + = 1И

И

И

n+ = ne К e

И

n2 e = 2.4 З 1015 T n1

3/2 -157200/T

.

ДППЕ

Н ОММ И 10000 ? 20000 К И И

ДППЕ И И

К

Й

К

я К
НК К?
И К

ОП

N m H z mg z К p2 + mg z , 2m . gК S
0

ДН ЕИ
(p, r) = (p, z ) =

К О яП

Й Й Й

КК
f (p, z ) =

1 ex p h3

mg z p2 Е - - kT kT 2 mk T

ДП Е

?
H

4 S

0 0

dz
0

p2 dpf (p, z ) = N .

e V = S0 H И f (p, z ) =

Е/(k T )

=

И

N h3 x V (2 mk T )3/2 1 - e

-x

,

ДП Е

И x = mg H/(k T )К
x 1-e

N 1 e V (2 mk T )3/2

-p2 /(2mk T ) -mgz /(k T )

e

-x

.

?

И
Е/(k T )

я ПК ДН Е
(2 mk T )3/2 x h3 1-e
-x

ОК

К

= -N k T = -k T V e

.

N=-

И Е ДН Е

И

К

Й

Е (2 mk T )3/2 x S = - = k V ex p T kT h3 1-e

-x

5 Е - + r(x) , ДП Е 2 kT

ОП

r(x) =

ДП ЕИ

1 - e-x (x + 1) . 1 - e -x h3 N x 5 - ln - ln 3/2 2 V (2 mk T ) 1-e

ДП Е

S=k N

-x

+ r(x) .

И

К

ПК

И

К
N x V 1-e

К

n(z ) = 4
0

p2 dpf (p, z ) = z

-x

e

-mgz /(k T )

.

ДП Е

ДОНЕК

ДП Е

Й

И

4 P (z ) = 3

p
0

3

p N x dpf (p, z ) = (k T ) m V 1-e

-x

e

-mgz /(k T )

.

ДП Е

P (z ) = n(z )k T

К
H

N mg N = mg P (0) - P (H ) = k T x = V S0

n(z )dz
0

К
1 P= H
H

kT P (z )dz = H

H

n(z )dz =
0

0

kT N V= kT H S0 V

К?

ДП Е И

И ДП ЕИ К

ДП ЕИ

К

Й Й

ОП

К
H

К?

E = 4 S

0 0

dz
0

p2 dp(p, z )f (p, z ) = N k T

3 + r(x) . 2

ДП Е

К

E = T S + ЕN + И S0 К

ДП Е

К

z

(z )n(z ) = 4 p2 dp(p, z )f (p, z ) =
0

N3 xe-mgz/( k T + mg z V2 1 - e-

k T) x

.

(z ) =

3 k T + mg z К 2

Д МЕ Й ДП ЕИ Й

Д МЕ

ДО ЕИ
1 - e-x (x + 1) 1 - e -x

mg z = (k T )r(x) = k T

kT mg H 2

x 1, x 1.

?

К

И

Й

К
Д СС
ЕИ

К

ДНПЕ

К?

Й

dE = d + T dS + S dT + ЕdN + N dЕ.

Д НЕ

VИ

К ? x = mg H/(k T )И = k T, u= Е . kT

ОП

?

= - V e
u

Й
(2 m)3/2 1 - e h3 x
-x

.

И

d 5 d dV dx = + + du - r(x) . 2 V x V, T , Е H И

Й

Е dV dЕ mg 5 dT d = - + r(x) + + - r(x)dH. 2 kT T V kT k Tx

Д НЕИ

И

dH . H

Й Д ОЕ Й Д ОЕ К? Й И Й dH Й k T r(x) К mg

dE = T dS - P dV + ЕdN + N k T r(x)

?
dH/H

H

gК

Й

И

И

dg /g К

К

И И

яК
Д К ООЕК К К Й И И Й Й

НК
e
/(k T ) N =0

К
e

И

e

ЕN/(k T )

-EN (p,q)/(k T )

d

N

= 1.

Д ПЕ

ОМ

d
N

NЙ dpdq d3 p1 d3 r1 d3 pN d3 rN 1 ... = . h3N N ! h3 h3 N!

=

N

EN (p, q ) =
j =1

(pj , rj ),

N

e
j =1

Е/(k T )

e

-(pj ,rj )/(k T )

d3 pj d3 rj h3

.

? И

ДН ЕИ Д ПЕ
e
-N N =0

ДПЕ

NК ДН ЕИ

N = 1. N! NИ DN = N К

N

Д К

Е Й Й

N 2 = N (N + 1)И = N К N =

1 = . N N

N

И
(N + 1) = N !

И
2 N N e
N

,

К

Д

Е

ОН

N

Д ЕИ
N

К NК
N e N!

N

Д
N

И Е

Й

e

-N

-N

N . 2 N (N/e)N

Д

Е Й

x=

Д ЕК
e
-N N =1 N =0

N =N +x N N +x N 1 N +x N N
N +x

N -N , N

Д Д ЕИ
e
N

Е

N

2

1 ex p x 2 N
N =0

x N - (N + x N ) ln 1 + N N - (N + x
N =0

1 2 N

ex p x

N) .

x x2 - 2N N

1 2 N

e

-x2 /2

И
dN

НИ
1 2

Д

Е

И

dx = 1/ N К

e
-

-x2 /2

dx = 1,

Д

Е К

К

ОК
И

К
N
N

И

И

E=
j =1

p2 j . 2m

Д

Е

ОО

e

-E /(k T )

И
NЙ

Й И К К Й Й Й И
p E
3N -1

ДЕ И
p
3N -2

К?

dE E N

(3N -2)/2

dE К
-E /(k T )

И
E
3N/2-1

NЙ Й dp И E + dE И

W (E ) dE = C e

dE .

W (E )dE = C
0 0 -3N/2

e

-E /(k T )

E

3N/2-1

dE = 1,

C = (k T )

/(3N/2)К

И
-E /(k T )

W (E ) =

E 3N/2-1 e (k T )3N/2 (3N/2) y E , (k T )

.

?
y=

s 3N . 2

s=

?
w(y )dy = y

y s-1 dy . (s)

yl =
0

y s+l-1 e (s)

-y

dy =

(s + l) . (s)

l = 0, 1, 2

1 = 1, y = s, y 2 = s(s + 1)И E= 3 Nk T. 2

ОП

И

И

1 y = E = = s

И
1 . 3N /2

D y = sИ И

Й Й

И

И

К К И
y = s + x s, N

y-s x= , s s1 w(y )dy = s y (s + 1) зe
s-1 -y

-s-x s

e s s-1 x s 1+ s dy s 2 s s 1 s(x/s-x2 /s)-xs sdx e dx, 2 e

s-1

з

И ? К

И

1/ N К

Д

ЕК

О

СЮК

я НК
НК
К И И И
gК

К?
И К

Й Й Й

К И Е И К И К К И КК И И К К

И К? Д

Й Й Й Й Й Й И Й

К? К

И Й Й

К? К

И

ОК
VК

И
E

И И
n = N /V

К
N Й = E /V К

ИКК

О

?

К
4 g (V , T , Е) = 3 k T V h ln 1 Б e
[Е-(p)]/(k T )

Й Й
p2 dp.

ДНЕ

0

К И

И

V

И

К

Е

ДНЕ

И
T

Й Й Й

И
4 g n= 3 h

К?

p2 dp e
[(p)-Е]/(k T )

=

4 g h3

0

Б1

,

ДОЕ

(p)
0

p2 dp e
[(p)-Е]/(k T )

Б1

,

ДПЕ

P=

4 g 1 h3 3

p
0

d(p) dp e

p2 dp
[(p)-Е]/(k T )

Б1

.

ДЕ

?
(p) = c

p2 2 c2 + p 2 - m c2 m 2m pc p m
2 c2

p m c, p m c, p m c, p m c.

ДЕ

d(p) v= =c dp

+p

2

p m c

ДЕ И Й Й Й

И

ДЕ

ДЕ И

К

К О

Е n

ДОЕ Д Е К К К?
S=V n T TК

И

T

ЕК

n,

P

P

Й ДОЕИ Й Й Й

К

И К
P T

И И К
V, Е

Й ?

К К И

И К И К Й Й И

ООК

ПК
p2 /(2m)

pv = p2 / m ОК

К?
P = 2 / 3

Й Й P V = 2E /3 Й
1/2

И p = 2mk T z , dp = 2mk T dz /(2 z )К

И

Е/(k T )К

Й

4 g 1 n = 3 (2mk T )3/2 h 2

z e

dz Б1

0

z -Е/(k T )

,

ДЕ

4 g 1 1 P= 3 (2mk T )5/2 h 3m 2

z e

3/2

dz Б1

0

z -Е/(k T )

.

ДЕ Й

К
О

К?

И К К

К

И

И

И
= p cК

Й

Й
p=

P = / 3 k T z / cИ

P V = E /3К

4 g n= 3 h 4 g P= 3 h

kT c kT c

3

z 2 dz e
z -Е/(k T )

0 4

Б1

,

ДЕ

c 3

z 3 dz e
z -Е/(k T )

0

Б1

.

ДНМЕ

И

К

я ОК
НК
e
Е/(k T )

И 0К К e

К
И
Е/(k T )

И К
=X1

И

И

Й Й

X

ДЕ

Д ЕК

И

0

z dz z dz e-z X = X z dz (1e ez / X Б 1 1 Б e -z X
0 0

-z

X )e

-z

= X (+1) 1

X 2
+1

.

И

ДЕ

Д ЕК

ДННЕ Й

О

Й

(5/2) = (3/2)(3/2) = (3/4)(1/2) = (3/4) И X 4 g 3/2 1 X 1 3/2 , n = 3 (2mk T ) h 22 2 X 4 g 1 13 (2mk T )5/2 X 1 5/2 . P= 3 h 3m 24 2

Й

ДНОЕ

И
X 1 3/2 P X 2 1 Б 5/2 . = X nk T 2 1 5/2 2

ДНПЕ И Й Й

?

ДНОЕ
X D =X =n

X

И

К

И

h3 , g (2 mk T )3/2 D D 42 1К

ДН Е Й

?

ДНПЕ
P = nk T 1Б .

И И И

И ДННЕ К К И

И
XИ

Й К Й И

К И

И О

Й Й К? Й

КК К И

К Й И ИКК К
D

К

И Й Й Й И

И К

И И К И

И

Й ДН Е К Й Й

К

ОК

ДОЕ Д ЕИ И

К

К

К
D

Й Й = eЕ/(k T ) К Й p = mc s h

И

ДОЕИ

И
mc2 /(k T ) = y

4 g n= 3 e h =

Е/(k T ) mc2 /(k T )

e

p2 dpe

-

m2 c4 +p2 /(k T )

=

4 g D h3

e y m3 c

3

0

e
0

-y ch

sh2 ch d .

И

Й

4 g n= 3 D h

1 emc e y
y 33 0

-y ch

ch 2 d =

4 g D h3

e y m3 c

3

K2 (y ) , ДН Е y

ОМ

K (y ) =
0

e

-y ch

?
3

И
=

-y e 2y ch d -1 ( ) 2 y y > 0К D =

y 1, y 1.

D

y nh 4 g m3 c3 K2 (y )ey D

nh3 , k T m c2 , g (2 mk T )3/2 3 hc n , k T m c2 . = 8 g k T

И

D

К
lg De /n
-27 -28
e

И D = 1И
n(, T )
1.0 0.8

К? ДН ЕК

Й Й Й

-29 -30 -31 -32 -33 8.0 0.6 0.4 0.2
0.3 0.2 0.5 1 2

T

8.5

9.0

К НПК

0.0 0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 3.5 /k T 9.5 10.0 10.5 lg T

D Д

/ne Е К

КН К

Й К

К НП И И

К ОН

Й Й Й

D

И

К?

И

DК

Й Й

я ПК

D D = К

К И
D

И

И

Й ДН ЕИ Й Й Й Й К И
nК

К?

К

К

К?
nИ

Й Й Й И Е0 К

TК T 0

К

n(, T ) =

1 e
[-Е]/(k T )

И / k Е/k = 1К И И ДЕ
T 0

И

0 1 - + 1 T 0 2 1

> Е0 , = Е0 , < Е0 . T

ДН Е

КН К И
T 0

И

Й

И

p0 К p2 Е0 = 0 К 2m

Й ДЕ

ОО

4 g n= 3 h P= 4 g 1 h3 3 m

p0

p2 dp =
0 p0

4 g p3 0 , h3 3 4 g 1 p5 0 . h3 3 m 5 p
0

p4 dp =
0

И
1 P= 5m

3 h3 4 g T 0
2/3

Й Й

n

5/3

.

? К

И

Й Й

яК

И

НК ?
К

К?
ДЕ
Е/(k T ) = Y z=Y Y - z = yИ

Й К Й

z - Y = yК 1/(e

-y

И + 1) = 1 - 1/(ey + 1)К

I (Y ) =
0 Y

z dz = z -Y + 1 e
Y

Y

0

z dz + z -Y + 1 e

z dz = e +1
z -Y

Y

=
0

(Y - y ) dy +

(Y + y ) - (Y - y ) dy + ey + 1

(Y + y ) dy . ey + 1
+1

ДН Е

0

Y

Y

/( + 1)К

ОП

Y

ДН ЕИ y/ Y

К И
YИ y YИ 1/(ey + 1)

К К К
yК

Й

И yИ

И
Y +1 I (Y ) = +Y +1

К? К?
2 . 12

Й

1 + y / Y - (1 - y / Y ) Y +1 dy = + 2 Y ey + 1 +1

-1

0

y dy = y +1 e

0

n=1

(-1)n-

1

2 1 = . 2 n 12

? И К Д К И И Й

И

И

И

И 1/ Y ЕИ И И К И К К? ДЕ ДЕ

Й Й К Й Й

ОК
n=

К
3 4 g (2mk T )3/2 Y 3/2 1 + 3 3h 2 4 g 1 P= (2mk T )5/2 Y 5/2 1 + 3 h3 5 m

2 -2 , Y 12 1 5 2 -2 . Y 2 12

ДН Е

О

Y

?

И
5/3 5 1 + 2 Y 8 5 1 + 2 Y 24 n
-2

2 mk T К

И
3 h3 4 g
2/3

P 1 = n5/3 5m

=
-2

1 5m

3 h3 4 g

2/3

1+

52 Y 12

-2

.

? Y

К
T
0 -4/3

Й Й

1 P= 5m =

3 h3 4 g 1 5m

2/3

n 3 h3 4 g

5/3

5 1+ 12
5/3

2

3 D 4
1/3 4/3

=

2/3

n

1+5 D

4

3

7/3

T T0

2

.

И ДН Е
k T Y = ЕИ

1

T T0 К ?

Й
S Й

И К?
k Е
2

К И
4 g 3 h3
2/3

К К

Й

S =V

4 g (2mЕ)5/2 5 3 h3 5m 8

2

2T = V k 2 n

1/3

mk T .

СИ
T 0 T =0

К И И К К

Й К Й Й Й И

НК И

T =0

И

О

И К

К

Й Й

яК
НК
m cИ

ДН ЕК И

К
p
0

Й
mc

К ?

К? Е0 = (p0 ) И

К

Й Й

Й И И p = mc sh , p0 = mc sh 0 К dp = mc ch d , = mc2 (ch - 1), v = c th К И p0
4 g n= 3 h
p0

p2 dp =
0

4 g p3 4 g m 3 c3 3 0 =3 sh 0 . h3 3 h 3

ДН Е Й

4 g m4 c P= 3 h 3
5 0

sh4 d =
0

4 g m4 c h3 3

5

1 1 3 sh(40 ) - sh(20 ) + 0 , 32 4 8

ДОМЕ
0 5 0

4 g = 3 m4 c h 4 g = 3 m4 c h
5

sh2 ch (ch - 1)d =

1 1 1 sh(40 ) - sh3 0 - 0 . 32 3 8

ДОНЕ Й

К О

ОК
0 1

К
К? И К К ДОМЕ

И ДОНЕ
5 0 И

Й Й

0 1 sh 0 e0 /2К ? P 4 g m4 c5 e40 . h3 3 2 6 И

Й

n

4 g m3 c3 e30 , h3 3 2 3

= 3P К

Й Й

0 И c 4 3 h3 4 g
1/3

n
4/3

P=

.

m cК

И И К
П
P /

Й Й К Й Й

ПНИ И

lg ne ОНКМ ООКМ ОПКМ О КМ О КМ О КМ О КМ О КМ О КМ ПМКМ ПНКМ

lg[p0 /(mc)] ЙОК ОП ЙОК ЙОКО ЙНК ОП ЙНК ЙНКО ЙМК ОП ЙМК ЙМКО МКМ МК НН

P МК МК МК МК МК МК МК МК МК МК МК

/

П

Н М

lg ne ПОКМ ППКМ П КМ П КМ П КМ П КМ П КМ П КМ МКМ НКМ ОКМ

lg[p0 /(mc)] МК НКМ НК НН НК ОКМ ОК НН ОК ПКМ ПК НН ПК КМ

P / МК М МКП М МКП М МКП Н МКПП МКПП МКПП МКПП МКПП МКППП МКППП

О

?
P /

КП К КН И К
Pe

И

p

0

И
К
e

И

n

e

lg Pe
26 25 24 23 22 21

lg
28 27 26 25 24 23 22

e

КН К
ПК

28

29

30

31

32

29

30

31

32

33

lg ne

Pe Д Е e Д Е

Й
ne К

И я СССИ К И К?

К

Й Й Й Й Й И Й Й Й

P p v nИ

?

К

p

v

К

И
pr hК

О

p pИ nr3 1И

p h/rК
-1/3

Й

И
r n

p hn
5/3

1/3

К

v hn1/3 /mК v c P h cn

4/3

К P h2 n К?

/ mК

И

Й v = p/ m И И Й Й Й Й Й Й И

И К П К И

И

И

К

И

О К

П

К Н

К

К

Д

К ПНЕК

яК
ИКК И И К
4 g 1 n = 3 (2mk T )3/2 h 2

К К

Й Й Й

К

z
1/2

dz -1

e
0

z -Е/(k T )

,

ДООЕ Й n

О

И

И

И
ЕИ Е

Д К

И

Й Й ЕК ? Й

К

Й

4 g 1 n = 3 (2mk T0 )3/2 h 2

0

z 1/2 dz 4 g 3/2 = 3 (2mk T0 ) (3/2). ez - 1 h 4

?

И И
z dz = ( + 1) ( + 1), ez - 1 К T 0

И Й

ОКПН К НПИ

z dz = ez + 1

0

0

1-

1 2

( + 1) ( + 1).

ДОПЕ И

И К И ИКК К
n=n n =

К И

И

К

И

ДООЕ

И К И

К

Й Й

p>

И 0+n

К
p=0

(p)И T 3/2 0

И
T T0 ,n
p=0

p>0

4 g (3/2) 3 (2mk T )3/2 = n 4 h

= n 1-

T T0

3/2

.

ОМ

И
4 g (2mk T )5/2 h3 6m

И
z 3/2 dz m = 7.040g ez - 1
3/2

P=

(k T )5/2 , h3

ДО Е И Й

0

ДО ЕИ

НК ПК

И

НК НМК
T T0

К
3/2

P = 0.5133nk T

,

= 0.7700nk T

T T0

3/2

.

И И
T
5/2

К К

И

Й Й
T =0

К

Й

И

К
5P P =V T 3/2 К S=V T 2T 3 Cv = S К 2

Й М

И
T 0И ?

И ИКК

И

К

И К?

Й К Й Й

К

К И ОН

И

И

Й К

И

Е И И

Д К? ?

?И

К И

И

Й

Й

К

яК

4
1/3 4/3

К

КК

C1 = C3 = c 4

1 5m

3 h3 4 g
1/3

2/3

, C4 =

C2 = 5

3

7/3

,

3 h3 4 g

,

g (2 mk )3/2 k (5/2). h3

Й
P = 2/3 P = nk T D=0 P = nk T з D з 1Б 42

Й
P = /3

Й

P = nk T

P = nk T

?

D1 D1

Д ЕИД Е
P = C1 n5/3 з T2 з 1 + C2 2 T0 P = C4 T 5/2 P = C1 n5/
3

ДОЕ Д Е

Д ЕИДНМЕ

D1 D=

ДН Е ДОНЕ

P = C3 n4/

3

ОО

?
P =0

Й К? К? К И И Й Й

И К

яК
И К НИ И И
div A = 0

И И

НК К Й ПИ Й Й Й

ОК

К? И К ?

И ОК И

К

И

Й Й Й Й

К К К? N К Д И ЕИ И я СС К

И

И

К И

N = гвзиИ Й

И

ОП

Е = 0К

К

И
P = / 3 И g Е cp3 dp e
cp/(k T )

И

g=2

К

И И
8 = 3 h

Й Й

0

-1

.

?

И

И

И

p = h / cК
3 d e
h /(k T )

Й

8 h = 3 c

0

-1

.

z = h /(k T ) 8 5 h 1 5 c3 k h
4

Й

= aT 4 , a =

= 7.564 З 10

-15

4

3

= 7.564 З 10

-16

4

3

.

И

4 /15К a

ДО Е Д Е

К

ДОПЕ

ДО Е = 3И Й Й

=
0

d, =

8 h 3 c3 e

1
h /(k T )

-1

.

ДО Е

И

К И

8 2 k T. c3

h 1И kT

ДО Е

О

? ?
=

h 1 kT 8 h 3 e c3
-h /(k T )

.

Й ДО Е

ДО Е Д?

ДО Е

? К

К -1 ДО Е hИ И

ДО ЕИ К ДО Е ?И

И

Й Й И Й

ЕИ

48 = 150.7964К

ДО Е 8 5 /15 = 163.2105

Й И Й Й Й

I К ?

Д
= 4 I , c 2 h 3 c2 e

ЕИ

I = B (T ), B (T ) = B (T )

1
h /(k T )

c/

c 2 h c2 =5 2 e

И

К
1

-1

.

B (T ) = B

(T )

hc/(k T )

К
B (T )

Й
2c k T, 4

-1

.

Й

К

К

Й Й

О

T = T5 З 105 1015 Д = З 10
B (T )
0.20
10

-15

ЕИ

КНК

?К

Й

B (T )

4
10

0.15
9

3
5

T

5

0.10 0.05
5 7 6

T
8

2 1 0

9 8 7 6 5

0.00

КН К

0

2

4

6

8

10 12 14

0
B

500

1000

1500

2000

B (T ) Д Е

(T ) Д ЕК

B (T ) б м И
B (T ) hб м = 4.965114231744К ck T И И И

h б м = 2.821439372122К kT И Й
бм

б

м

Й Й

К И

К

И

И
h1/2 hc = = 3.503018826К kT 1/2 k T
2

Й

/2

H =
0

d
0

cos sin dI

ЕК О

Д

И

И

Й

К

И
-5

И H = I = B (T )К H = ( c/4 )aT 4 К
/( З
2

Й К /( З Й )К Й

4

И
-8

ca/4 = 5.669 З 10

К
8 h3

) = 5.669 З 10
3

2

4

n=

8 h3

p2 dp e
cp/(k T )

0

-1

=

kT c

0

z 2 dz . ez - 1 T
3

202.4

-3

-3

К И

(3) (3) = 2 З 1.20205690 К?

Й Й Й И Й

К? К И К 3.6016k К К И И

И

T 0 И

К

T =0 S= 43 aT V 3

T0

Cv = 3S К

Й Й

О

ЮК

я НК
НК
К? И К

К?

К К

Й Й

И К?

Д ЕИ К

И К И

Й Й Й Й К Й И Й И

К

И
r fa (p)К a Й

Иt

a , a1 КК И ma , ma1 , . . . fa (p, r, t)И И К

Иp

ИКК И И h3 / g a И
g
a

fa (pa )К И

И

Й
aК

И И

Й И Й И Й

h3 fa (p, r, t)К ga

К

И

fa (p, r, t)d3 p = na (r, t),

О

na (r, t)

И
na (r, t)d3 r =

aК

И

fa (p, r, t)d3 pd3 r = Na (t).

? О К К

И

ИКК

Й Й Й

ОК
Й
a

И

К
К
t

va =

rК Й va = pa /ma К Fa К ? Й fa (pa , r, t)К ? fa (pa , r, t)d3 pa d3 rК И dtК pa К pa , ma dpa = Fa . dt

К

Й Й

?

t + dt r + va dt, pa + Fa dt.

И К

dtК

Й

fa (pa , r, t)d3 pa d3 r = fa (pa + Fa dt, r + va dt, t + dt)d3 pa d3 r. dt 0И fa + va r fa + Fa pa fa = 0. t

Й

ДНЕ

О

?

К К

Й К Й

ПК ?

И
fa + r (fa va ) + t dpa dt

К

p

a

f

a

= 0.

ЕИ К

Д И

ДНЕК

Й И Й

я ОК
НК
pa К

И

К?
Д И И И И ЕИ К К
pa К

Й Й Й К Й

?

И

fa (pa ,r,t) fa (pa ,r,t) . ДОЕ + var fa (pa ,r,t) + Fapa fa (pa ,r,t) = t t c

?c ? К Н ОК

гаа з гвз И И И И К

К И

Й Й Й К

К ОМ

И И К К К К Д И И К НЕ ОЕ ПЕ И К К Е КИ И

К

Й Й ИИ Й Й Й Й Й И Й

Д

И И К О ЕК

И

И

К

И КК Е

Й Й Й ЕК Й И

И

ЕК

Д

Д

Д К И К К

Е Е Е ДОЕ

И

К

Й

fa t

=
c a1

Ia

a1

,

ОН

Ia

a1

И И
a

И

К

И

a1 = aЕК И

a1 Д С Й

ОК
a

a1 К p , p a

К
a1

К?

pa , pa1 И

Й Й

К
pa = ma Va a1 - ma a1 va a1 pa1 = ma1 Va a1 + ma a1 va a1 Va = p = ma Va a1 - ma a1 va a1 n, a p 1 = ma1 Va a1 + ma a1 va a1 n. a pa + pa1 ma + ma1

ДПЕ

a1

И
va
a1

=

pa1 pa , va - ma1 ma

a1

= |va

a1

|,

И
m
a a1

=

ma ma1 ma + ma1

И

И

К И К

К

И

Й

И К И К

ИКК И

И Й Й

И
n, |n| = 1К

ОО

ПК ?
И
pa

К

К?

r a1 И a t

Й Й Й

Ia

a1

t a

= +a1 - -a1 . a a

К
t + dtК

Й

a

И

1

И

va

a1

И

К pa1 b b + db И + dК a

Й
dtИ

fa1 (pa1 , r, t)va aИ

a1

bdbddt.

И
fa (pa , r, t)d3 pa d3 r.

?

d3 pa d3 r

dt
a1

-a1 d3 pa d3 rdt = fa (pa , r, t)d3 pa d3 rdt d3 pa1 fa1 (pa1 , r, t)va a

bdbd

И ?
a

a

К И

К

ДЕ Й Й И Й Й

+a1 d3 pa d3 rdt = d3 rdt fa (p a , r, t)d3 p d3 p 1 fa1 (p a a a

a1

, r, t)va

a1

b db d .

И

И

ДЕ Д ЕИ ОП ДЕ К

И
d3 p d3 p 1 a a
3

ДПЕ
= d pa d pa1 .
3

НИ

И К
+a1 d3 pa d3 rdt = d3 pa d3 rdt a

ДПЕИ К И
b И va a1

И
a1

Й Й
bdbd.

К

fa (p , r, t)d3 pa1 fa1 (p a

, r, t)va

a1

И
Ia
a1

= d3 pa1 va bdbdз

a1

з {fa (p , r, t)fa1 (p 1 , r, t) - fa (pa , r, t)fa1 (pa1 , r, t)}. a a

ДЕ Й

К И ДЕ ЕК К

bД

К
nК b,

, И

К
d2 n = sin ddК ? Й

a

a1

(n) =

ДС Е Д ЕК
b

b D(b, ) b db = sin D(, ) sin d

ДЕ И Й Й Й И Й Й Й

К?
И

И

Ia =

И
d3 pa1 va
a1 a a1

a1

(n)d2 nз

О

з {fa (p , r, t)fa1 (p a

a1

, r, t) - fa (pa , r, t)fa1 (pa1 , r, t)}.

ДЕ Й

К К ? fa (p a )fa1 (p К И

К? Й

И ДПЕК ? Й И И И И

Й К Й

К
a1

) - fa (pa )fa1 (pa1 )И И

f f1 - f f1 И

К

я ПК
И К И И И
fa f a1

К

И ДЕ И

Й Й Й ДЕ К Й К

К

К = fa f

a1 a1

ln fa (p ) + ln fa1 (p a

) = ln fa (pa ) + ln fa1 (pa1 ),

ДЕ

И

ln fa (pa ) = a +

p2 a + pa , 2 ma

ДНМЕ

К О

И

ДНМЕ
fa (pa ) = na (pa - ma v0 )2 ex p - 2 ma k T (2 ma k T )3/2 .

ДННЕ Й

a = ln
2 ma v0 na - , 3/2 2k T (2 ma k T )

И
=- 1 v0 , = . kT kT

? ДННЕИ
n
a

ДНМЕИ К
fa (pa )d3 pa = na ,

aИ v0

И

И

И ДННЕ

И

ДНМЕ Й

pa fa (pa )d3 pa = na ma v0 ,

T 3 p2 a fa (pa )d3 pa = na k T . 2 ma 2

И

И

И

К

Й

яК
НК
К

f
a

К
Й К К?

И И

a

a

1

Й Й

v

a a1

va
a1 a a1

a1 a a1 0 d3 pa1 a a1 fa1

d3 pa1 va

(n)d2 nfa1 (pa1 , r, t) = v

(pa1 , r, t).

f

a1

v

a a1

na1

a a1

.?

И

И

Й

О

К И
d3 pa1 va

К

na1

a a1

ОК

К

Й Й
a1

Ia

a1

(pa ) =

a1 a a1

(n)d2 n{fa (p )fa1 (p a

) - fa (pa )fa1 (pa1 }.

К К?
a (pa )

d3 pa a (pa )Ia
a1 a a1

И Й И Й

Ja a1 =

a1

(pa ) =

=

d3 pa d3 pa1 va

(n)d2 n{f f1 - f f1 }a (pa ).

ДНОЕ Й Й И Й

ПК
И К
d3 p

К?
И
a К

К?

ДНОЕ

И

К
Ja a1 = -

a

d3 pa1 va
a1 a a1

a1 a a1

(n)d2 n{f f1 - f f1 }a (p a ) =

=

1 2

d3 pa d3 pa1 va

(n)d2 n{f f1 - f f1 }[a (pa ) - a (p )]. a

Ja a1 = 0К

И

a = 1

a = ma И

К
a a
1

И

ДНОЕИ

К

Й Й

Ja1 a =

d3 pa d3 pa1 va

a1 a a1

(n)d2 n{f f1 - f f1 }a1 (pa1 ) =

О

=- =

d3 p

a

d3 pa1 va
a1 a a1

a1 a a1

(n)d2 n{f f1 - f f1 }a1 (p

a1

)=
a1

13 d pa d3 pa1 va 2

(n)d2 n{f f1 - f f1 }[a1 (pa1 ) - a1 (p

)].

К
Ja a1 + Ja1 a =

К

1 d3 pa d3 pa1 va a1 a a1 (n)d2 nз 2 з {f f1 - f f1 }[a (pa ) + a1 (pa1 ) - a1 (p ) - a1 (p a

a1

)]. ДНПЕ 1/2

И К

К
a pax , pay , p

az

Д p2 /(2ma )ЕИ a К

К

Й Й ДНПЕ

я К HЙ
К
fa (pa , t) = t Ia,
a1 a1

Й

(pa ) =
a1

d3 pa1 va

a1 a a1

d2 n{f f1 - f f1 }.

H (t) =

И

H Й d3 pa fa (pa , t) ln fa (pa , t).

a

И
dH (t) = dt

К

S = -k V H (t)И H Й fa (pa , t) . t

V

d3 pa [1 + ln fa (pa , t)]
a

О

ДНОЕ
dH (t) = dt

1 Ja,+ln a1 a,a1 fa

И

Й

d3 pa [1 + ln fa (pa )]Ia
a,a1

a1

(pa ) =

.

ДН Е И Й

ДН Е
dH (t) 1 = dt 4 d3 pa d3 pa1 va
a,a1 a1 a a1 (n)d2 n{f f1 - f f1 }з

з[1 + ln fa (pa , t) + 1 + ln fa1(pa1, t) - 1 - ln fa (p , t) - 1 - ln fa1(p 1, t)]. a a

1 dH (t) = dt 4

И

fa fa1 . fa fa1

Й

d3 pa d3 pa1 va
a,a1

a1 a a1

(n)d2 n{f f1 - f f1 } ln

?
dH (t) 1 = dt 4 d3 pa d3 pa1 va
a,a1 a1 a a1

К

Й

(n)d2 nf f1 {1 - X } ln X, X =

f f1 . f f1

К

X = 1К ?

И (1 - X ) ln X 0И К И И
X 1И

X

ДН Е Й Й Й Й

ДН Е

H

Й

HЙ

К

К К
И ? Й Й Й

К

О

И К

И

яК
a
1

К И
a

И

И

a1

pa , pa1 p , p a

К

К
p a

Й

И

Й

Й fa (pa )fa1 (pa1 )К И Й К Й Н 0
h3 fa (p ) 1К a ga

М
1-

Й Й

К

h3 fa (p )И a ga И К

a

1

Й Й Й Й

И И
Ia
a1

К?

1+

h3 fa (p )К ga1 1 a1 К

Й

=
a1

d3 pa1 va ) 1-

a1 a a1

(n)d2 nз 1+ 1+ h3 fa (pa1 ) - ga1 1
a1

з fa (p )fa1 (p a

h3 fa (pa ) ga

-fa (pa )fa1 (pa1 ) 1 -

h3 fa (p ) a ga

h3 fa (p ga1 1

)

.

ДН Е К Й

ОМ

И

И ЕК ДН ЕИ ? И И

Й И К

Д

И

Й

Е

я ПИ И И
a1 К

Д
a

Й Й Й Й Й

К И К? И

К И

Д ЕИ

И

И

И

Д

КИ

И О ИП ЕК

ОН

ЮСК

И

И К?

К

И Й Й Й

я НК
НК
НО К

К
К? Д Й
rК

Й ОНИО К И КК
(r)

НЕ ?
n(r)

Е

Й И И КК Й Й Й ПЕИ Й Й

ОЕ ПЕ Е

К
h3 / 2 К Z Z N 1К

И
N

ОК
r

ИКК

К
pИ

И

E= p0 (r)И

p2 - e(r) < 0. 2m

К ОЕ

К
p2 (r) 0 - e(r) = E0 -e0 , 2m 0 > 0.

ОО

E0

И

rИ К К

Й К Й

И 0 = гвзи

И

p2 (r) = 2me[(r) - 0 ]. 0

?
r

К?
n(r)d3 r = 4 p3 d3 r 0 3 h3 / 2
3/2

d3 r

Й

И
n(r) = 8 3 2 me [(r) - 0 ] h2 .

ДНЕ Й

И

?

И
r = -4 (r), (r) = -en(r),

r ДНЕ И 1d r2 dr r
2

И
d dr

К

Й

=

32 2 e 2 2(me)3/2 [(r) - 0 ]3/2 . 3 h3

ДОЕ Й

ДОЕ

ПК
К К И
r0 (r)

И

К
И

Й Й

НЕ

Ze . r

ОЕ

n(R) = 0К ? e(Z - N ) (r) = Z -N e. r

Дr > R Е

ОП

ПЕ

r=R Е (R) = 0 = R Z -N e, R

ИКК Z -N e. (R) = - R2 И И

rД

Й ДПЕ Й

К

К
НЕ
h = 2 К

К

К
e = m = h = 1К ?

Й Й

ОЕ ПЕ ?

Z (x), r И (x) =

r = bZ 4/3 r n 32/3 2Z

-1/3

xК

(r) - 0 =

2/3

(r).

ДЕ К

?
1 b2 Z -

b

ДОЕ
2/3

1d x2 dx

d Z (x) x dx bZ -1/3 x
2

82 Z (x) = 3 bZ -1/3 x Z

3/2

.
2

К

Й

b 1 821 , = b3 3 b3/2

b= R

1 2

3 4 x0

2/3

= 0.88534.

? ДПЕ
(x) =

И
r [(r) - 0 ] Z

=

R = bZ

-1/3

К

x0 К Й

x

1 [(r) - 0 + r (r)] bZ Z
-1/3

-1/3

,

1 Z -N bZ (x0 ) = - R Z R2

=-

Z-N 1 . Z x0

К

x1/2 (x) =
3/2

К?
И
(x).

Й ДЕ

О

ПНИ И
(0) = 1, (x0 ) = 0,

И К ПЕИ
x0 (x0 ) = - N = ZК x0 = И Z -N . Z

К

Й Й

ДЕ

? (x0 ) = (x0 ) = 0К И

К
N/Z К

К И
Z

И
-1/3

КК
Z И

И К 1/Z К И К К И

И

Й

К
x (x) =
n=0

ДЕ
an xn/2 ,

К
a0 = 1 .

ДЕ

И
x1/2 (x) =

a

n

n=1

n(n - 2) ( x 4

n-4)/2

1 a1 1 =- + 4x 4
j =0

j =0

(j+1)(j+3)a xИ

j +3

xj /2 .

x=y

2

y (y 2 ) = -

1 1 a1 + 4 y2 4

(j + 1)(j + 3)a

j +3

yj .

ДЕ Й

К

ДЕ

К?

О

(1 + z )3/2 =

m =0

(-1)m

3(2m - 5)!! m z. (2m)!

И

3/2

(y 2 ) =

m=

(-1)!! = 1, (-3)!! = -1, (-5)!! = 1/3К m m 3(2m - 5)!! j (-1) aj y . 2 m! 0 j =1

3/2

3 3 a1 y + a2y 2 + a3 y 3 + a4 y 4 + a2 y 2 + 2a1 a2 y 3+ 2 81 1 3 + a2 y 4 + 2 a1 a3 y 4 - a3 y 3 + 3 a2 a2 y 4 + a4 y 4 + . . . 2 1 16 1 32 1 (y 2 ) = 1 +

4 a1 = 0 , a3 = , a4 = 0 . 3 a2 (0) = a2 = a.

yИ

И

Й

j =1

l=1 i1 +i2 +. . .+il =m

К

К

Й

cj

m

=

m! ci1 ci2 . . .cil . l i1 !i2 !. . .il ! 1 2

i1 , i2 , . . ., il И К И a1 = 0 И
3/2

И

Й Й

(y ) =

2

m=

3(2m - 5)!! (-y ) 2m m!i +i 0
2m
1

2+

. . .+il

l m!ai1 ai2 . . .ai+1 23 l y i !i !. . .il ! =m 1 2

i2+2i3+. . .+(l-1)il

.

yИ y

i1 + 2i2 + . . . + l il = k К И

О

ymИ

К?
3(2m - 5)!! 2m i +i +
1 2

Й

3/2

(y 2 ) =
k =0

m =0

(-y )m
k

. . .+il

i il ai1 a33 . . .al+1 2 y i !i !. . .il ! =m 1 2

i1+2i2+3i3+. . .+lil

=

=

y

k

m =0

(-1)m

3(2m - 5)!! y 2 m m!

m
i1 +i2 +. . .+il =m i1 +2i2 +. . .+lil =k

l ai1 ai2 . . .ai+1 23 l .ДЕ i1 !i2 !. . .il !

ДЕ

3/2

n = m + kК
n=0 [n/2]

(y 2 ) =

y

n m =0

(-1)m

3(2m - 5)!! 2 m m! i

1 +i2 +. . .+il = i1 +2i2 +. . .+lil =n-m

l ai1 ai2 . . .ai+1 23 l , ДНМЕ i !i !. . .il ! m12

a
n+3

К ДЕ
[n/2]

m

Й Й

ДНМЕИ
i l a21 ai3 . . .ai+1 3 l . i1 !i2 !. . .il !

=

12 (n + 1)(n + 3)

m =0

(-1)m

(2m - 5)!! 2 m m!

i1 +i2 +. . .+il =m i1 +2i2 +. . .+lil =n-m

Й

2 1 3 2 4 a 1 = 0 , a 2 = a , a3 = , a 4 = 0 , a 5 = a , a6 = , a 7 = a 2 , a 8 = a , 3 5 3 70 15 4 a3 a2 a3 4 a3 31 2 , a12 = , a10 = , a11 = + + , a9 = - 27 252 175 1485 1056 405 1575 557 4 3 a3 2 9 a3 a13 = a2 , a14 = a, - - 100100 9152 693 24255 101 6 2 3 a3 7 a6 68 46 a15 = - + , a16 = - - a3 a2 , 52650 351000 49920 45045 105105 191 2515237 3 3 a17 = - - a+ a6 a , 706860 1979208000 43520 1046 3 4 23 + a- a6 , a18 = 473850 675675 100395

О

799399 - 698377680 1 510557 - a20 = 1033782750 0.3 ? 0.7 (y 0.5) ДЕ Д Z (r) r a19 =

1232951 3 99 a+ a6 278076800 2646016 16984529 3 256 a+ 1206079875 1044225 1 0 -3 К

a2 , a
6

a. x

ДЕ ?

Е Z-N a + +Z R b К

4/3

.

ДННЕ И

К
x

К

К

Е
a

x

Й К

И

a = -1.58807И ДННЕ И Ы -0.163Z

ДЕ КНК
4/3

К

ДЕ Й

-1.794Z 4/3 ОН

= -48.81Z

4/3

?К К

И

(x) 1.0
0.8 0.6 0.4 0.2 0.0 0

КН К

1

2

3

4

5

x

(x)

N/Z = 1К

О

я ОК
НК К?
И И И НЕ ПЕ ИКК К ЕК Е КК И К К И Д Й О К Й К К К И Й

aК ОЕ

?
ma Za e n a m -e n e

Ш mP e n P

i mi Zi e n i

e
a

Z a n = 0 , a

a

Д Е

Е

И

И
fa (pa )К

К

Й

ОК
К

К

Ze

И

Й

О

К r fa (pa , r)К

ЕК
(r)К

И

Д

Й Й Й Й

= -4 Z e (r) - 4 e

Za na (r),
a

ДНОЕ ДНПЕ ДНОЕ

na (r) = 4
0

fa (pa , r)p2 dpa . a

?

И
Ze . r

(r) =

?
(r) (r)К a E = -(r)

И
(r) 0

И И
r0 r К Fa = Za eEИ

Й

И

Й

?

r Fa = -Za e (r) . r

К

Й

ПК

a va r fa - Za epa fa = 0. r r fa pa pa fa r =0 - Za e ma r r r pa pa fa 1 fa = 0. - Za e ma r pa

К

pa И

ОМ

Й
dr dpa =- 1 / ma Za e (r)/pa pa Za e (r)dr + dpa = 0. ma p2 a + Za e(r) = Ea = гвзи, 2 ma

Ea К

К К? r f
fa (pa , r) = f
a

a

fa fa (pa )И
p2 + 2ma Za e(r) . a

Й

И

ДНПЕИ

rИ

Й К К

К

К

К

fa (pa , r) f
a

К
p2 a

К

p

a

1 + ma Z a e

fa (pa ) + fa (pa )ma Za e

(r) . pa

na n + ma Za e(r)4

a

fa (pa )pa dpa .

0

И
na n - ma Za e(r)4
a fa (pa )dpa = na - ma Za e(r)p -2 a na

. ДН Е

0

ОН

?

p
-2 a

И

Й

= 4
0

fa (pa )dpa =

fa (pa )

d3 pa . p2 a

ma Za e(r)p

-2 a

1.

ДН Е

К
И
Za na (r) Za n
a a

К

ДНОЕ
-2 a

a

1 - maZa e(r)p

=-e(r)

2 Z a ma n p a a

-2 a

.

?
1 2 = 4 e 2 Z a ma n p a 2 rDa
-2 a

,

1 2= rD

a

1 2. rDa

?

rD

К

И ДНОЕК

rD

a

К
(r) - 1 2 (r) = -4 Z e (r). rD

К

ДНОЕ

(r) = (r)e
-r /r
D

И
= Ze e r
-r /r
D

.

И r rD И К

К И ОО К

Й Й Й

ЕИ

ДН Е И

И
Ze = - 1 И (r)

И

Д К

К

Й И Й Й

К

К
fa (pa ) =

Й

p2 n a a ex p - 3/2 2 ma k T (2 ma k T )

.
a

И

Дя
p
-2 a

СССЕИ
= 1 . ma k T a k Ta . 2 4 Z a e 2 n a

?
rDa =

К
a =
2 4 Za e2 = ma

И
k Ta 1 ma rD

И

a

И К?
k T / ma = 1 /
- va 2 К

К
Z Za e e r
2 -r /r

К?
И
D

ДН Е
-2 a

ma p

1.

?
1 Z rDa e 3 Za r
-r /r
D

Й
4 3 r n. 3 Da a a

ДН Е К

ОП

К
1 Z rD e 3r

ДН Е
-r /r
D

n n И a e 4 3 r n. 3De

Й

я ПК
НК
И К К И К К? К К К Н К ОМ
I (t) = d d = e (Z1 r1 + Z2 r2 ),

К

И

И К И

Й Й Й Й Й Й Й Й Й Й Й ДН Е

И И Д
2 1 ?2 d. 3 c3 Z1 e

И И Е

К К

Z2 e

R

И Й
R

Н К
r

О Z1 e И

К Z2 e m1 К r = r2 -r1 Й

m

2

Й

Й

r1 = R -

m m r, r2 = R + r. m1 m2

О

m

m=

m1 m2 . m1 + m2

d = e [(Z1 + Z2 ) R + m (Z2 /m2 - Z1 /m1 ) r].

Е

ИКК

ДН Е

И

Д

Й

? d = m e (Z2 /m2 - Z1 /m1 ) w. w ДН Е

ДН Е К К? Й Й Й Й Д Й

И

И К К
Z eИ К К

И

Z2 = - 1 , Z1 = Z К И mЕК

ОК
v

К
К? bК И

bК

Й Й Й И Й

t b/ v К

Е w Z e2 /(m b2 )К

Д

E =
-

I (t) dt

E

2 e2 3 c3

Z e2 1 m b2 q

2

b 2 e2 Z 2 e4 1 . v 3 c3 m 2 b 3 v

И КК

Й

О

К
q=
0

К

dq /d К E 2 b db =
0

Й

dq d . d

ДН Е

ПК
t 1К v / b v / bК

К
И

К
И bИ

dq /d Й tИ Й

ДН Е Д

b v / К Й dbЕИ

q

E 2 b3 d /v .

0

dq 4 Z 2 e6 1 . d 3 m 2 c3 v 2

ДОМЕ ДОМЕ Й Й

И
dq /d

К

И К

dq 1 6 Z 2 e6 1 gcc (v , ). = d 3 3 m 2 c3 v 2

ДОНЕ Е ДОНЕ Д И Й Й Й ДООЕ К ?К Й

gcc (v , ) ЕК И

И

И К К

Д К?

dq dq 3 2 2 Z 2 e6 1 gcc(v , ). = 2 = d d 3 3 m 2 c3 v 2

ДОНЕ Н ОП К

О

?

И

ДООЕ

1 dq . h d
2

И ДОПЕ Й К

cc (v , ) =

И

Д ДООЕ
cc (v , ) =

ЗЕ

Е

Д

3 2 2 Z 2 e6 1 gcc(v , ). 3 3 m 2 c3 v 2 h

ДО Е

?

И

ДООЕ

К

ДО Е

И

К

К

К

ДО Е

И

f (v ) =

4 v 2 m3 m v2 ex p - 2k T (2 m k T )3/2 + d И

.

ДО Е

h cc (v , )d ne n+ f (v ) v dv К И К?

v

v +dv И

И К

И

Й Й Й

cc( )К ?

И

4 cc ( ) = ne n h
vm
in

+

cc (v , ) f (v ) v dv .

ДО Е Й К

К

И

И

О

v К m (v )2 m v2 = + h . 2 2 v vmin = ДО Е v К
2

И

ДО Е И Й Й Д Й

2 h /mК

И И

Й

v dv = v dv f (v )/v = [f (v )/(v )2 ] exp(-h /(k T ))И ЕИ
+

cc ( ) = ne n

kT h 3 2 2 Z 2 e6 g (, T ) exp - 3 3/2 cc kT (2 m k T ) 33 c

.

К
cc ( )/ne n
+

Й

T

5

3

4

5

6

7

8

КН К

13

14

15

16

17

18

19

20

lg T = T5 З 105

К Й

КН И
gcc (, T )

К ИКК

И

О

cc

=
0

cc ( )d = ne n

+

(k T )2 3 2 2 Z 2 e6 gcc . 3 h (2 m k T )3/2 33 c

ДО Е

ДО Е
4
cc

И
-27

К

= 1.42 З 10

ZT

2

1/2

ne n

+

ЛД

3

).

К

К ДО ЕК Д К И И

ЕИ И И И

И К

И Й Й Й Й Й

ne n+ f (v )dv v v v ДО ЕК К И

c c B (T ) c2 B (T ) = ne n+ f (v )dv kcc d 1 + d. ДО Е 4 2 h 3 h

И ДО Е

Й

kcc (v , ) =

c2 v 2 4 Z 2 e6 gc c Z2 (v , ) = = 1.80 З 1014 3 . 2 v cc 2 ch v 3 8 v 3 3m

И
ne n+ kcc ( )B (T ) = cc ( ) 1 +

И
c2 B (t) , 2 h 3

Й

К

kcc (v , )f (v )dv =

Й

kcc ( ) =
0

1 6 2 Z 2 e6 kT gcc (, T ) . ch (2 mk T )3/2 3 33

О

Z2 1 kcc ( ) = 3.69 З 108 1/2 3 . T 5 kcc И -1 cc = ne n+ kcc К И И К И

Й Й

яК
НК
- Z 2 H / i 2 И 2 2 me 4 / h 2 i

Н К

К
И
iК h = mv 2 - Ei . 2 v
H

Й

Ei = = me4 /(2h2 ) = ? К mv 2 / 2

И

ДПМЕ И И Й К

1 dEi 2 H d . =- = Z2 di h di h i3 И

К
+ d И i ci (v , ) = gci ( )

1 dq d К h d i + diК

Й

ДОПЕ

27 4 Z 4 e10 1 1 1 dq d = gci ( ), h d di 3 3 m c3 h 4 i 3 v 2

ДПНЕ

К ПММ

ОК
К И
iЙ

К

И

Й Й Й Й И

И

ДПМЕ
iЙ

И

К И К
mv dv = hd К

i = -Ei /hИ ci ( )d = ne n+ h

ДО ЕИ
ci ( ) = ne n
+

1 ci ( )v dv f (v ). 4 ДПНЕ

ДПМЕИ

27 4 Z 4 e10 m 1 gci ( ) Z 2 H h . ДПОЕ +2 ex p - 3 h2 i3 (2 mk T )3/2 k T 2i k T 33c

К ?К К

ДПНЕ

ДПОЕ Д К И

И

Е

Й Й Й Й

4 Aci = ne n+

i

d ci ( ) = h

ci ( )f (v )v dv .
0

И

h i kT ex p

Й

Й Й
.

g ci 29 5 Z 4 e10 m 1 Aci = E 3 3 c3 h3 i3 (2 mk T )3/2 E1 (x)

1

h i kT

И

К

ПК

К
d c2 B (T ) . = ne n+ f (v )v dv ci ( ) 1 + h 2 h 3

4 ni kic ( )B (T )

ПМН

g + = 1Е kic ( ) =

И

И

Д

Й

1 c2 m 2 v 2 e10 m 1 1 26 4 ci ( ) = Z 4 gci ( ). g i h2 2 ch 6 i 5 3 33

ДППЕ

И
= i И

К? ДППЕ
kic ( ) iЙ

И

iК
i=i0 ( )

Й ДПМЕИ i К Й И КК Й Й

ni kic ( )И
i0 ( )

b f ( ) =

К

И

Й И

И К
lg[bf ( )/n1 ] + 19
0 -10
1.0 0.7 0.5

И

lg[bf ( )/n1 ] + 19
4 2 0 -2
1 10 4 6

3

T
-20

5

0.3

T

2
5

0.2

-4 14.5 15.0 15.5 16.0 13.5 14.0 14.5 15.0 15.5 16.0 lg

-30 13.5

14.0

КН К
И

lg[bf ( )/n1 ] + 19 T = T5 З 105 И T5 = 0.2, 0.3, 0.5, 0.7, 1 Д Е T5 = 1, 2, 3, 4, 6, 10 Д ЕК

Д

ЕИ

И

Й Й

ПМО

c

c

~ ic = ne n+ kic И
10

И

Й

2 6 4 Z 4 me ~ kic ( ) = 3 3 ch 3

gci ( ) 11 e 3/2 i3 3 (2 mk T )
2

-Ei /k T

.

kic

И

~ kic

5

К

bf ( ) cc ( ) + bf ( ) И

К lg[( )/(ne n+ )] + 41 Д К ОМЕ T5 К Й Й

Д гйв Й ж Е ( ) = Й Й Й lg[b f ( )/n1 ] + 19 Д КН Е T = T5 З 105 К ? Й К Й

Й

lg[( )/(ne n+ )] + 41
80
0.1

lg[( )/(ne n+ )] + 41
10 8
1

60 40 20 0 13.5

T

5

T
6 4 2

5

0.2 0.3 0.6 1.0

2 3 5 10

14.0 14.5

15.0

0 15.5 16.0 13.5

14.0

14.5

15.0

15.5

16.0 lg

К ОМК

lg[( )/(ne n+ )] + 41 T = T5 З 105 И T5 = 0.2, 0.3, 0.5, 0.7, 1 Д Е T5 = 1, 2, 3, 4, 6, 10 Д ЕК

К И ПМП

И

Й НО ?К

Й Й

И

К К

Й Й

яК
И я П Н К
b F Z 2 e2 / b
2

И

И

?

К

К

Й К Й

И

(v )2 Z 4 e4 /(m2 v 2 b2 )К ? v d(v )2 nv dt n

v v F t/m Z 2 e2 /(mv b)И (v )2

ZЙ t b/ v И К Й

Й

Z 4 e4 (v ) 2 bdb = nv 2 2 2 mv
2

bm

ax

db , b

bm

in

К
mv 2 / 2 22 Z e /bmin bmin = 2Z 2 e2 /(mv 2 )К ? v -2 m
-1/2

И

Й Й Й

b

max

= rD =

4 Z 2 e2 n

.

?

1 bmax 1 d(v )2 Z 4 e4 . =2 = nv 2 4 ln v dt mv b m in

ПМ

Z 4 e4 1 = nv 2 ln , m2 (v 2 )2

Й

= rD 1 = rmin 4 m3 1 n Z 3 e v
3 2 -2

v

К

1 = nv 0 , 0 = Z 4e
4

0 =

1 , nv

m2 (v 2 )2

2 ln .

я
0 =

СССИ v

-2

ИИ = m/(k T ), v 2 = 3k T /m
= 31 4 n kT Ze
3

2 Z 4 e4 ln , 9 (k T )2

.

ДП Е К

ДП Е

К

ПМ

НК ? ОК ? ПК ? К? К К К К? К Н НК П НМК Н КИ КИ

К? К?

К КИ ИН

К К

КИ К

ИН

МК

К К Й

?К ?К И Н ПК ОП К К КИ ?К КИ К КИ К КК К ?КИ К 3j К К КИ ?К КИ ?К КИ К И КИ К К К КИ К К ИН КИ КО МК К

К

К КК

ИН

Й

ИН

ОК К КИ ИН ПК Й Й КИ И Й И И ИН И К И К

К

К?

?К К ИН

К КП К К

К

КК

КО О К К ?К К К ? К КИ К КИ КК И Н НК ННМ К К И

К К КИ

КИ КИ

ННК Н ОК НОК ОМ К НПК

К ? К КИ К КИ ИН

НК К? ? Н МК ПО К НК НК НК НК ?К К К КИ КК НК Н КК

К ПК ИН

КИ К К К К КИ К

Й КИ Й

ИН ИН

К

?К ?К К ОК

ПМ

НК ОМК ОНК К ООК ОПК ОК ОК ОК ОК ОК ОК ПМК ПНК ПОК Й ИН ППК ПК ПК ПК К КИ

К КИ К КИ К КИ К К КИ КИ

КН

К

КК К ОН

К

К ? НМ К К ? НМ К

К СК К ССК

КК ИН К НО К К К К

К

К ? НМ К К СССК КИ ИН К К ? НМ К К КИ ИН К ЮК К Й

К КИ ?К К

К

К

К К СК

КИ

ИН

КМ

П

К

К ? О К К НК

?К КИ ? К ? О К К ОК К КИ ИН К КИ К К КП

КИ

К ?КИ

ИН К

?К ?КК НК НО К К К КИ К ИН К К К? ККК К КИ КИ ИН КИ

К ?К ? И Н ПК Н К К ? МК НО К К

Й КИ К КИ И И К

ИН Н Н М

К

?К К ? НК ППО К К К ?К К К ?К ?К К КИ К ?К

Й МК ОММ К К К КИ ИН К МК НМ К

К

И К КИ К КИ

Й ИН КМ ИН К К НМ К Й

К

К

КИ

ИН

К

К

ПМ

К

?К ?К КК КК

Ц М ММ М Й М КМПКОММ К К К К Н К МК КН КЙ МП И КЙ К К К Н К НК И

Н КМ К

60 з 84 НЛН К

К

МММ

К

МММК КИ Л К

Н

МП И

КЙ

И

К

К ИК