Äîêóìåíò âçÿò èç êýøà ïîèñêîâîé ìàøèíû. Àäðåñ îðèãèíàëüíîãî äîêóìåíòà : http://www.astro.spbu.ru/sites/default/files/sqs.pdf
Äàòà èçìåíåíèÿ: Mon Feb 22 15:24:50 2010
Äàòà èíäåêñèðîâàíèÿ: Sun Apr 10 00:29:59 2016
Êîäèðîâêà: ISO8859-5

Ïîèñêîâûå ñëîâà: ï ï ï ï ï ï ï ï ï ï ï ï ï ï ï
Ê

Ê

?? ?

?? ? ?

? ? ?

?

É ÎÌÌ


É

Ê

Ê

?? ?

?? ?

?

? ?

?

?

É ÎÌÌ




ÏÌÊÍ ÄÌ Ê Å ÎÎÊÏÍ Í
É ÊÉ Ê Ê Ä Ê É ÊÉ Ê Ä ÊÉ ÊÉ È Ê Ê Ê Ê ? ÅÈ Ê Ê Ê ?Ê Ê ? Å

ÊÉ
Í


ÊÊ Ê

É

ÏÌ Ê

Ê È ÎÌÌ Ê

Ê

É

ÑÛ Ö ÉÎ ÉÌÎ
? È Ê

É
Ê É Ê Ê Ê  ÊÊ Ê ÎÌ É É É Ê É É





Ê ÊÏ

Ê? Ê



Ê

ÎÌÌÎ ÊÈ Ö É
ÊÊ ÊÉ

 ÎÎÊÏÍ
È ÎÌÌ

ÑÛ Ö ÉÎ

ÉÌÎ

É

È ÎÌÌ


ÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊ

ÍÍ


ÍÊ

ÑÊ ? ÿ ÍÊ
ÄÍ ÅÊ ÏÊ ÄÍ ÅÊ

ÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊ ÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊ ÄÍÏÅÊ ÎÊ É É È ÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊ ÄÍ ÅÊ ÄÍ ÅÊ ÎÊ É

ÍÏ

ÍÊ

ÿ ÎÊ

Í

ÄÍ ÅÊ ÏÊ

ÍÊ ÏÊ Ê

ÿ ÏÊ

Í ÄÍ ÅÊ ÎÊ ÄÍ ÅÊ Ê ÄÎÎÅÊ Ê ÄÍ ÅÊ Ê ÄÍ ÅÊ ÄÍ ÅÊ ÄÎÍÅÊ Ê É ÄÎÎÅÊ Ê É Ê ÊÊÊÊÊÊ ÄÎ ÅÊ ÎÊ ÄÎ ÅÊ Ê ÄÎ ÅÊ ÄÎ ÅÊ ÎÊ É É ÊÊÊ ÄÎ ÅÊ Î Î



ÍÊ ? ÄÎ ÅÊ ÏÊ ÄÎ ÅÊ Ê ÍÊ ÏÊ ÍÊ

ÑÑÊ ÿ ÍÊ ÿ ÎÊ

ÄÎÏÅÊ

ÿ ÏÊ ÿÊ


ÄÏÌÅÊ

ÄÏÎÅÊ ÎÊ ÄÏ ÅÊ Ê

ÍÊ ?

ÄÏ ÅÊ Ê Ê

ÄÏ ÅÊ Ê

Ä ÍÅÊ ÍÍÊ

ÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊ ÄÏÏÅÊ ÏÊ É ÄÏ ÅÊ ÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊ ÄÏ ÅÊ ÎÊ ÄÏ ÅÊ ÏÊ É ÄÏ ÅÊ Ê É ÄÏ ÅÊ Ê ÄÏ ÅÊ Ê ÄÏ ÅÊ Ä ÌÅÊ ÍÌÊ É Ä ÍÅÊ



ÏÎ

Ï

Ï




ÑÑÑÊ ÿ ÍÊ ÿ ÎÊ
Ä ÏÅÊ ÎÊ

ÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊ ÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊ ÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊ
NÄ NÄ

Î Ï

È

ÍÊ ÏÊ ÍÊ ÏÊ

ÅÊ É

ÿ ÏÊ
Ä ÅÊ Ê

Ä

ÅÊ

ÅÊ Ê

Ä

ÅÊ ÎÊ Ä ÅÊ Ê Ä ÌÅÊ Ä ÅÊ Ê

ÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊ Ä ÅÊ É


ÍÊ ÍÊ

ÑÞÊ ÿ ÍÊ ÿ ÎÊ ÿ ÏÊ ÿÊ ÿÊ
Ä Ä ÏÅÊ ÏÊ ÅÊ Ê Ä ÅÊ Ê Ä Ä Ä ÅÊ ÅÊ ÎÊ

Ä

ÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊ ÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊ ÅÊ ÎÊ Ä ÅÊ ÏÊ É ÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊ Ä ÅÊ ÏÊ
2

ÍÊ Ê ÍÊ ÍÊ Ê ÍÊ

J J z Ä ÅÊ ÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊ Ä ÅÊ ÎÊ ÅÊ ÏÊ ? Ä Ä ÅÊ Ê Ä ÌÅÊ ÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊ Ä ÍÅÊ ÎÊ Ä ÍÅÊ ÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊ Ä ÎÅÊ ÎÊ

ÊÊ É ÅÊ ÊÊ ÊÊ É É ÅÊ É Í Î

ÿÊ ÞÊ ÿ ÍÊ

ÍËÎ Ä

ÅÊ Ä ÅÊ ÎÊ Ä ÅÊ Ê

Ä

ÍËÎ
l

Ä ÅÊ ÏÊ ÍËÎ Ä ÅÊ Ê


ÍÊ ÏÊ ?

ÍËÎ Ä ÅÊ

Å

Ä ÌÅÊ Ê ?

ÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊ ÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊ Ä ÅÊ ÎÊ Ä ÅÊ Ä ÅÊ Ê ? É Ä ÍÅÊ


ÍÊ ÏÊ

ÿ ÎÊ ÿ ÏÊ ? ÿÊ
Ä ÏÅÊ

ÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊ Ä ÍÅÊ ÎÊ ? Ä ÍÅÊ Ä ÎÅÊ Ê É ÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊ ÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊ Ä ÅÊ ÎÊ

Í

ÍÊ Ê ÍÊ ÎÊ

Ä

ÅÊ ÏÊ ?

ÿ Ê? ÞÑÊ ÿ ÍÊ
Ä ÅÊ ÏÊ Ä

Ä ÌÅÊ Ê

ÊÊ Ä ÍÅÊ

Ä

É ÅÊ Î



Ä

ÅÊ ÏÊ

Ä

ÅÊ

ÊÊÊÊ Ä ÎÅÊ

ÍÊ

ÅÊ ÎÊ

ÍÊ

ÍÊ ÏÊ

ÿ ÿ ÿ ÿ ÿ ÿ

ÎÊ ÏÊ Ê Ê Ê Ê

Ä ÏÅÊ ÎÊ
2 ÊÊ



ÍÊ

ÿÍÊ
ÄÍÌ ÅÊ ÏÊ

ÄÍÌÌÅÊ Ê

Ä

ÞÑÑÊ

ÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊ É Ä ÌÅÊ Aik Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê ÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊ Ä ÅÊ ÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊ 1 ÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊ ÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊ ÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊ ÅÊ ÎÊ ? ÄÍÌÌÅÊ ÄÍÌÍÅÊ



ÊÊÊÊÊÊÊ



Í Ï

ÄÍÌ ÅÊ ÍÊ

ÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊ ÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊ ÄÍÌÏÅÊ ÎÊ ? É ÄÍÌ ÅÊ Ê ÄÍÌ ÅÊ Ê É ÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊ ÄÍÍÍÅÊ ÎÊ

ÍÌÏ

ÿÎÊ
ÄÍÍÎÅÊ Ê ÄÍÍ ÅÊ Ê ÄÍÍ ÅÊ Ê ÄÍÍÎÅÊ ÏÊ

ÍÍÍ

Ê

ÿ ÏÊ ?

ÄÍÍ ÅÊ ÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊ

É ÄÍÍÏÅÊ Ê É ÄÍÍ ÅÊ Ê É  ÄÍÍ ÅÊ ÍÎÌ



ÍÊ

ÞÑÑÑÊ ÿ ÍÊ ÿ ÎÊ ÿ ÏÊ
ÄÍÏ ÅÊ

ÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊ ÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊ ÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊ ÄÍÎ ÅÊ ÎÊ ÄÍÎ ÅÊ ÏÊ ÄÍÏÌÅÊ ÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊ ÄÍÏÍÅÊ ÎÊ ÄÍÏÏÅÊ ÊÊÊÊÊ

ÍÎÏ

ÍÎ

ÍÊ ÏÊ ?

ÊÊÊÊÊ ÄÍÏÎÅÊ ÏÊ ? É É

ÍÏÍ

ÍÊ


ÍÊ

ÄÍÏ ÅÊ ÏÊ ? ÄÍ ÍÅÊ

ÿ Ê?

ÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊ ÄÍÏ ÅÊ ÎÊ É ÄÍ ÌÅÊ Ê

ÍÏ

ÑÊ ÿ ÍÊ
ÅÊ


ÄÍ ÅÊ ÏÊ ÄÍ ÅÊ Ê

ÊÊÊÊÊÊÊ ÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊ ÄÍ ÏÅÊ ÎÊ É ÄÍ ÅÊ Ê É ÄÍ ÅÊ Ê É É ÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊ ÄÍ ÅÊ ÎÊ ÄÍ ÅÊ ÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊ ÄÍ ÅÊ ÎÊ É ÄÍ ÍÅÊ ÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊ ÄÍ ÎÅÊ ÎÊ É ÄÍ ÅÊ Ê É É ÄÍ ÅÊ ÊÊÊÊÊÊÊÊ ÄÍ ÅÊ

ÍÏ

ÄÍ

Ê

ÄÍ ÌÅÊ Ê ? ÄÍ ÍÅÊ Ê

ÿ ÎÊ

ÍÊ

ÿ ÏÊ
ÍÊ

ÄÍ ÅÊ ÏÊ



ÄÍ ÅÊ

Í

Í

ÍÊ ÄÍ ÍÊ ÏÊ

ÿ Ê ÿÊ
ÅÊ Ê ÄÍ

ÄÍ ÌÅÊ ÏÊ

ÍÎ

ÄÍ ÏÅÊ ÏÊ ÄÍ ÅÊ Ê

Í

ÅÊ ÎÊ ÄÍ ÌÅÊ





ÍÊ

ÑÊ ÿ ÍÊ
ÄÍ ÍÅÊ ÏÊ ?

ÊÊÊÊÊÊÊ ÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊ ÄÍ ÍÅÊ ÎÊ ÄÍ ÎÅÊ Ê ÄÍ ÏÅÊ ÄÍ ÄÍ ÅÊ ÄÍ ÄÍ ÅÊ Ê ÄÍ ÍÅÊ ÄÍ ÎÅÊ ÎÊ ÅÊ ÎÊ ? ÄÍ ÎÅÊ Ê ? É É

ÍÍ

ÍÊ ÏÊ

ÿ ÎÊ ÿ ÏÊ

Í ÅÊ ÎÊ ÄÍ ÅÊ Ê ? ÄÍ ÅÊ Í

ÍÊ ÏÊ

ÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊ ÄÍ ÅÊ G g ÄÍ ÅÊ Ê ? É ÄÍ ÌÅÊ Ê ÄÍ ÍÅÊ Ê ÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊ ÄÍ ÎÅÊ ÏÊ

ÍÊ

ÿÊ
ÄÍ

ÍÎ

ÍÊ Ê ÍÊ

ÿÊ

ÅÊ

ÄÍ

ÿÊ ÑÑÊ ÿ ÍÊ




Ê

ÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊ ÄÍ ÅÊ ÎÊ ÅÊ ÏÊ ÄÍ ÅÊ ÄÍ ÅÊ Ê ÄÍ ÅÊ ÊÊÊÊ ÄÍ ÅÊ ÎÊ É ÄÍ ÅÊ ÏÊ ÄÍ ÍÅÊ ÄÍ ÎÅÊ

Í

Í



ÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊ ÄÍ ÏÅÊ ÎÊ ÄÍ ÅÊ Ê

ÍÊ



ÍÏ É É Í Í

ÄÍ ÏÅÊ ÏÊ

ÍÊ ÏÊ 

ÿ ÎÊ ÿ ÏÊ


ÄÍ

ÄÍ

ÅÊ ÎÊ



ÅÊ ÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊ ÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊ ÄÍ ÅÊ ÄÎÌÌÅÊ


ÿÊ
ÍÊ ÄÎÌÌÅÊ ÎÊ ÄÎÌÎÅÊ Ê ?



ÍÊ

ÍÊ

ÍÊ


ÍÊ

ÊÊ É ÄÎÍÌÅÊ ÏÊ ÄÎÍÌÅÊ Ê ÄÎÍÍÅÊ Ê ÄÎÍÍÅÊ ÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊ ÄÎÍÍÅÊ ÎÊ ? ÄÎÍÎÅÊ ÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊ ÄÎÍ ÅÊ ÎÊ É ÄÎÍ ÅÊ ÏÊ ÄÎÍ ÅÊ Ê É ÄÎÍ ÅÊ ÄÎÌ ÅÊ ÎÊ ?

ÿÊ ÿ Ê? ÿÊ

ÄÎÌ ÅÊ Ê ÄÎÌ ÅÊ Ê ÄÎÌ ÅÊ

ÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊ ÄÎÌÍÅÊ ÏÊ É ÄÎÌÏÅÊ Ê É ÄÎÌÏÅÊ Ê É

ÎÌÌ



ÊÊÊÊÊ

ÎÌ ÎÌ



ÎÍÍ

ÿÊ

ÎÍ

ÑÑÑÊ ÿ ÍÊ

ÄÎÍ ÅÊ ÏÊ ÄÎÎÍÅÊ



ÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊ ÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊ ÄÎÍ ÅÊ ÎÊ  ÄÎÍ ÅÊ Ê ÄÎÎÌÅÊ Ê É

ÎÍ

ÍÊ ÏÊ

ÿ ÎÊ

ÎÎÍ ÄÎÎÍÅÊ ÎÊ ÄÎÎÏÅÊ Ê ÄÎÎ ÅÊ Ê? ÄÎÎÎÅÊ  É ÎÎ

ÄÎÎ ÅÊ ÍÊ  Ê

ÄÎÎÏÅÊ Ê ÄÎÎ ÅÊ Ê

ÿ ÏÊ

ÄÎÎ ÅÊ ÏÊ ÄÎÎ ÅÊ Ê ÄÎÎ ÅÊ

ÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊ ÄÎÎ ÅÊ ÎÊ ÄÎÎ ÅÊ Ê É ÄÎÎ ÅÊ Ê ÄÎÎ ÅÊ ÄÎÎ ÅÊ Ê ÄÎÎ ÅÊ Ê É ÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊ ÄÎÎ ÅÊ ÎÊ É

ÍÊ

ÿÊ

ÎÎ

ÄÎÎ ÅÊ

É


ÍÊ

ÿÊ ÿ Ê ÿÊ
ÄÎÏ ÅÊ

ÄÎÏÌÅÊ ÎÊ



ÊÊÊÊ ÄÎÏÎÅÊ ÏÊ É ÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊ

ÎÏÌ

ÎÏ

ÍÊ Ê

ÄÎÏ ÅÊ ÄÎÏ ÅÊ

Ê

ÄÎÏ ÅÊ ÎÊ  ÄÎÏ ÅÊ ÏÊ 



ÄÎÏ ÅÊ ÊÊ ÄÎ ÎÅÊ ÎÌ Î



ÍÊ

ÍÊ

ÑÞÊ ÿ ÍÊ
È

ÄÎ ÌÅÊ ÎÊ ÊÊÊÊÊ ÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊ ÄÎ ÅÊ ÄÎ ÅÊ ÏÊ ÄÎ

ÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊ ÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊ ÎÊ É ÅÊ

ÿ ÎÊ
ÍÊ

ÄÎ

ÅÊ Ê

ÿ ÏÊ ÿÊ
ÄÎ

ÄÎ

ÅÊ ÎÊ

ÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊ ÄÎ ÌÅÊ

Î

ÍÊ ?



ÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊ ÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊ ÄÎ ÏÅÊ ÎÊ É ÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊ ÄÎ ÅÊ ÎÊ ÄÎ Ê ÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊ ÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊ ÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊ ÅÊ ÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊ ÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊ ÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊ É

ÎÎ ÎÏ

ÿÊ

ÅÊ

Î

ÍÊ

ÄÎ


ÍÊ ÏÊ ? ÍÊ ÄÎ

ÿÊ ÿÊ ÿÊ ÞÊ ÿ ÍÊ ÿ ÎÊ ÿ ÏÊ
ÅÊ

ÅÊ ÏÊ

Î ÎÎ ÎÏ Î ÅÊ ÎÌ

ÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊ ÄÎ ÅÊ ÎÊ ÄÎ ÌÅÊ ÄÎ ÌÅÊ ÎÊ ÄÎ ÎÅÊ Ê ÄÎ




ÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊ ÄÎ ÎÅÊ ÏÊ ? É É ÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊ

Î


ÍÊ

ÄÎ ÅÊ ÏÊ

ÿÊ
ÄÎ

ÄÎ ÄÎ ÅÊ Ê

ÅÊ ÎÊ


ÍÊ ÏÊ Ê

ÿÊ É ÿÊ ÞÑÊ ÿ ÍÊ ÿ ÎÊ


ÅÊ Ê H



ÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊ É ÄÎ ÅÊ Ê É É ÄÎ ÅÊ ÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊ

Î

Î Î ÎÎ

ÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊ


ÄÎ ÄÎ ÎÅÊ ÎÊ ÄÎ ÏÅÊ Ê ÅÊ Ê ÄÎ ÅÊ ÎÊ ÄÎ

ÍÊ

ÍÊ ÏÊ

ÿ ÏÊ
ÄÎ

ÄÎ ÍÅÊ Ê ÄÎ ÎÅÊ Ê ÄÎ ÏÅÊ Ê ÄÎ ÅÊ ÎÊ

ÄÎ ÌÅÊ Ê ÄÎ ÎÅÊ Ê

ÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊ ÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊ ÄÎ ÎÅÊ ÄÎ ÅÊ ÅÊ Ê É ÄÎ ÅÊ ÊÊÊÊÊÊÊ ÄÎ ÅÊ ÏÊ É

Î

ÄÎ ÏÅÊ ÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊ ÄÎ ÅÊ É Î

ÿÊ

ÅÊ Ê

ÄÎ ÅÊ

ÄÎ

ÅÊ

Ê

ÍÊ

ÄÏÌÍÅÊ ÏÊ

ÿÊ

ÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊ ÄÏÌÌÅÊ ÎÊ É ÄÏÌÍÅÊ ÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊ ÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊ

ÏÌÌ

ÏÌ ÏÌ

ÍÌ


È ÎÌ Ä È È ÄÍ Ì È È ? È Ê É È É È È ? È È Ê È ÍÍ Ê Ê Ê È Ê ÅÈ É Ê? È Å

É É

Ê É Ê

É É É É

É É


È È È Ê É Ä È Ê

É É È ÅÊ

ÊÊ Ê Î ÊÊ ?

ÊÊ Ï È ?Ê Ê Ê Ê Ê ?Ê ? ÎÊ



È ÎÌ ÎÎÈ Î È ?Ê Ê ? È È ÅÊ

Ê Ê ÏÈ Ê ?Ê ?

Ê ?Ê

È É

Ä ÛÈ É É É
7

È

È Ê Ê

Û Í = 1 0 -7 Ê -12 Í ? = 1.60 Ç 10 = 1.60 Ç 10-19 ÈÍ = 4.1868 Ç 10 = 4.1868 Ê 6.626 Ç 10-21 = 6.626 Ç 10-28 ÈÍ Í -16 -23 1.986 Ç 10 = 1.986 Ç 10 Ê È Í ? = 1 0 -8 Ê Ê Ê È È ÍÌ ÊÎÌÌÏÊÎÊ

É
-1

Ê ?É

ÍÎ




ÑÊ ?

? Ê È

È

È



È

É É É

ÿ ÍÊ
È Ê È Ê Ê È È

È

É É É

ÍÊ
Å È Ê È Å

ÎÍÈÎÏÊ

Ê

È

È È

Ê

È É É

h ? = h/ 2 h = h Ê ? ? Ê

= 2

È


È

Ê



É

ÍÏ


Ê È Å È Å È

È

È

É

Ê
h ?
nm

Ê
= Tn - Tm Ê

Ê É


É
ÈÎÍÊ

È

È

Ê É É

ÎÊ
Ê? Å Ê Ê È Å Ê

Ê

È

Ê
È È

?

Ê É É Ä É

Ê È Å È

Ê

È È

Ê

È

ÏÊ
Å È Å

Ê
È

È
È

Ê
Ê É

Ê ?Ê

Ê

Ê È

Å Å



ÈÊÊ

Ê Ê
Í È È

Ê Ê

É É É


Ê

È Ê

É É

ÿ ÎÊ
Ê È

ÍÊ
È Ê Ê Ê È È

Ê

È

È

É È

ÎÊ

Ê
Ê
x Ç p hÊ

É É É

ÏÊ
Ê

Ê

È È Ê Ê Ê

É É É É É

È Ê È È

ÍÅ ÎÅ ÏÅ ?

Ê
È È Ê Ê


È

Ê

Ê
È Í

ÊÊ É

Ê

È

È


Ê È Ê Ê Ê È

È È

É É

ÿ ÏÊ
ÍÊ
Ä Ê?

Ê

ÊÈ Ê

È È

É É É

?

ÈÏÌÅÊ

È ÊÊ

1

Ê ? = 0
È = 0, = 0Ê

2 c1 1 + c2 2 È È 0Ê È

È c1

c

2

É

É È É È
+

ÎÊ
Ê ÍÅ

Ä

È

Å

Ê

(, )Ê

(, ) 0È Ê Ê

Ê
(, ) = ||||

Ê ÎÅ
(, ) = ( , ) Ê

Ê = 0Ê ?

È È



É É É

Ê
Í

É


ÏÅ È

(c1 1 + c2 2 , ) = c (1 , ) + c (2 , )Ê 1 2 È È ÎÊ ?

Ê

É É É

Å
|(, )| |||| Ç || ||Ê


È || + || |||| + || ||Ê Ê

Ê

Ê
È È

É É É É

? Ä ÅÈ

(, ) = 0Ê

ÏÊ
È

Ê

n È ||n - || 0

È n Ê È Ê

Ê
È

É É É É É Ê É É

ÅÈ Ê? È È

Ä Ê? È Ê


È

È

È
n

(, )È

Ê

É (n , ) É É

Ê

2

Ê
Ê

È

Ê È

È É

Í


= l2È ÊÊ



(1) (2) ... (n) ...



.

Ê?

È
||||2 =
n=1

È
|(n)|2 < .

È

(, ) =

n=1

(n) (n).

ÄÍÅ É É È

Ê Ê
D

È
L2 (D)Ê

È

ÄÍÅ

ÈÊÊ È

È

|(q )|2 dq < .
D

q DÈ

dq (, ) =
D

Ê
(q ) (q )dq

ÄÎÅ Ê

È

L

2

Ê Í

É É

Ê


Ê

È

È

È Ê

É

Ê
ÍÅ

Ê

Ê
ÈÊÊ È

É Ê

L (c1 1 + c2 2 ) = c1 L (1 ) + c2 L (2 ).

ÎÅ LM È È

Ê

Ê Ê È Ê

Ê
Ê

L

M

È È É É

L M = ML È

Ê ÏÅ Í Å
L L 1 =1

È

Ê
-1

Ê

L M - M L = [L , M ]

-1

Ê

?

?
= 1Ê

Ê

É

Ê È Å (, L )È

È

L =LL È

Ê

È

È Ê È
L


È

É É

Ê


È
L

(, L )





É Ê É

È
(, L ) = (L , ).

È Í

(L ) = L Ê




Å
(L M ) = M L Ê


Ê
È


È

É

(, L M ) = (L , M ) = (M L , ) = ((L M ) , ).

Å Ä Ê ÊÅ
L = È È ÊÊ

Ê


È Ä



É É Å É

Ä Ê ÊÅÊ Ê

È È É È ÊÊ Ê Ê Ê Ê Ê

ÊÊ

É É É È É É Ê É

Ê ÊÈ Ê ÊÈ Å È Å Ln L È ÍÌÅ

Ê?

ÊÊ È

ÊÊ

ÊÊ Ê ÊÈ

Ê

Ê

ÊÊ



È

Ê
Ê Ê ÎÌ

L n L Ê

Ê

ÊÊ

È

É É


Å


f (x) =

n=1

É
an xn È
n=1 n

f (L ) =

an L .

Å
È LÈ f (L ) ÊÊ

È È
f ()Ê

Ê ÊÊ ÊÊ ÊÊ

Ê Ê L= È

È fÊ
l
2

Ê

Ê?

Ê
È

Ê? È
(q ) =
D

É É É

L(q , q )(q )dq . L(q , q )




(, L ) =
D

Ê

dq
D

dq (q )L(q , q ) (q ).

L (q , q )Ê



É

ÍÅ ÎÅ

È Ê ? l2 ÈÊÊ
L2 Ê (q ) (q , q )(q )dq = (q ).
D

{

nm



É



ÄÏÅ

ÎÍ


È ÄÏÅ È



Ê

q (q , q ) = (q - q )Ê É

Ê
ÍÅ


Ê

Ê
Ä Ê ÊÅ È

(q - q )Ê

É É Ê

É É

A =AÊ (, A ) = (A , )Ê È Ê ÎÅ

Ê
Ê

É È (A B ) =

B A = BAÊ ÏÅ





È

Å? Å Ê ÊÈ Å ÊÊ A (q , q )Ê

Ê

Ê
ÊÊ È
An
m

Ê ÊÈ ÊÊ
= A n È m

Ê Ê

Ê Ê É A(q , q ) =

Ê

? l2 Ê Ê L2 ÊÊ

Ê
ÍÅ

(U , U ) = (, )È Ê Ê

Ê

Ê
U

È

ÎÅ È ÏÅ
È

U U =1



U =U



-1

Ê
ÈÊÊ

Ê

É É

Ê

Ê

(U , U ) = (, ) = (, )Ê

Å
= U Ê

Ê

É Ê È U = (, ) = 0È || = 1Ê É (, L ) = (U , U L ) =

ÎÎ


( , L ) = (U , U L U



-1

U )Ê

Ê È ÊÊ

L = ULU



È

-1

= ULU Ê



ÊÊ È

Ê
È Ê

Ê
ÅÊ È
{n }. É É È

?

ÍÅ

Ê
n

Ä

Ê ÈÊÊ

Ê
cm m = 0 n

Ê È

ÊÊ
c
m

= 0È Ê

m =1

É
nm

È (n , m ) =

Ê

Å
= n cm m .

Ä

É




=

cn = (n , )Ê Ê Ê Ê Ê È
m (n , ). L
2

ÄÅ É



(q )È

n (q ) (q ) = (q - q ). n



ÄÎÅ
n (q )m (q )dq =
nm

.

D

ÎÏ




Å

È
|| ||2 = |cm |2 .

Ä

É

Ä È ÎÅ É

Å

Ê
Ê

{n } { }

Ê

Ê

É É É É

( , ) = ( - ).


= c d.

É


c = ( , ),



ÄÅ
= ( , )d.

Ê

È
L

2

(q ) (q )dq = ( - ),
D

(q ) (q )d = (q - q ).



È

È

Ê

É É Ê

Î




Ñ ÑÊ

?

Ê

ÈÎÍÈÎ È

É

ÿ ÍÊ
ÍÊ ?
Ê

Ê?

É È

Ê

Ê?

É É
É É

Ê Ê

Ê
L
2

ÎÊ
Ê
q q = qÊ

Ê?
È Ê ÊÊ
L
2

È ÊÊ Ä ÊÊÅÊ

ÊÊ

Ê?

ÊÊ

q q0 (q ) = q0 q0 (q ) q0 (q )

(q - q0 )q0 (q ) = 0 q = q0 È Ê q0 Ê



É

? È



È

q0 (q ) = (q - q0 )È

È Ê ÊÊ

È É Ê

ÊÊ

É É É É

ÊÊ

q0 (q )q0 (q )dq = (q0 - q0 ).

Î


É

È



É

q0 (q )q0 (q )dq0 = (q - q ).

Ê



ÊÊ

ÊÊ

(q ) =

(q0 )q0 (q )dq0 .

?

Ê É


É É É

ÏÊ
Ä ÊÈ È
q

Ê
ÅÊ È

È È

Ê

p = -i? h

. q

È
(q ) dq = - q (q ) (q )dq . q



É

(q )

ÄÍÅ É

È ? Ä Ê

È

È Ê ÅÊ È Î Ê

È
h ?

ÄÍÅ

É É É É É

ÈÊÊ

Ê




È

Ê

É

[q , p ]f = -i? q h

- q f = -i? q h -1-q q q q q

f = i? f . h

È

È
[q , p ] = i? . h

ÄÎÅ É É

h ?

È ÊÊ ÊÊ Ê
h p p0 (q ) = -i?

Ê Ê ÊÊ

È È

É

p0 (q ) = p0 p0 (q ) q


p0 q 1 ex p - . p0 (q ) = i? h 2 ? h p
0

É

È ÊÊÈ

Ê É



0 p

1 (q )p (q )dq = 0 2 ? h



e
-

i(p -p0 )q/h ? 0

-

dq = (p0 - p0 ).




É


0 p

1 (q )p0 (q )dp0 = 2 ? h


e
-

ip0 (q -q)/h ?

-

dp0 = (q - q ).

Î




Ê

É
1


ÊÊ
~ (p)e
-ipq/h ?

É

(q ) = 2 ? h

dp

-

È
(q )e
ipq/h ?



É

1 ~ (p) = 2 ? h



dq .

-

ÊÊ
p (r) =

p = -i? Ê h 1 e (2 ? )3/2 h
ipr/h ?

È

ÊÊ

,

Ê
r0 ) = (x - x0 ) (y - y0 ) (z - z0 )Ê

ÊÊ

É r0 (r) = (r - È È

Ê

Ê Ê È

È



Ê

É É È É É

Ê È Ê

É

Ê

Ê
m

Ê
T

È
T=

p2 Ê 2m

É É

Î




V (r, t)È Ê

È
H =T +V =- h ?2 + V (r, t), 2m H

É





Ê Ê

ÿ ÎÊ
ÍÊ
Ê

Ê

È

É

?
È Ê Ê È

Ê
Ê
È È È È Ê È Ê È È È Ê

É
È ÊÊ É É

Ê

È ÊÊ Ê Ê É È Î

É É É

ÎÊ
È

Ê?
Ê Ê? É

1 2 È c1 1 + c2 2 Ê




È
c
1

c

2

1 = 2 È

Ê Ê

È È

È
c

Ê É É c=0 ÍÈ É É É É É

ÊÊ Ê

Ê |||| = 1Ê

Ê ei È



ÏÊ
È ÍÅ
Ê

Ê?

Ê

È


A= (, A ) . (, )

A

ÄÏÅ È È É É È Ä É ÅÊ É É

? Ê
A

È

È

ÅÊ

ÄÏÅ Ä ÈÈ È

ÎÅ

È

È

DA = (, (A - A)2 ) = 0.

È
((A - A), (A - A)) = ||((A - A))||2 = 0.

É

ÏÌ


ÈÊÊ
A = A.

È

È Ê ÏÅ
A

È Ê Ê Ê An Ê Ê n Ê Ê
= cn n . A

É

Ê Ê n ÊÊ



nm

È

Ê
cn cm (n , m ) =

È
c cm n
n m nm

È (n , m ) =
= |cn |2 = 1.

( , ) =
n m

È A = ( , A ) =
n

A

È
c cm (n , A m ) = n

ÄÅ É

m nm

=
n m

c

n cm

Am

=

An |cn |2 .

È È An Ê ?

|cn |2 Ê cn Ê A



|cn |2

É É É ÄÅ Å
A A =



f (A) = AA È A

f (An )|cn |2 .

Ä

(A , A ) = (A - A ),

ÏÍ


= dAcA A .

È
( , ) = = dA dA dA c cA (A , A ) = A dA|cA |2 = 1.

dA c cA (A - A ) = A

ÄÅ
A = ( , A ) = = dA dA dA c cA (A , A A ) = A A|cA |2 dA.

dA c cA A (A - A ) = A

|cA |2 A

È Ê?
f (A) = È

Ê? É É



ÄÅ
f (A)|cA |2 dA.

È È cn cA È

Ê

È

ÿ ÏÊ
ÍÊ
È Ê É È Ê È


Ê
ÈÊÊ É É É É

ÏÎ


Ê

Ê Ê

É

È Ê Ê

É É Ê É É É É É

È Ê? È Ê Ê An È
|cA |2 Ê A A |cn |2 Ê ?

È

È

Ê

È É É É

ÎÊ

Ê
Ê Ê Ê

Ê

È

Ê
An0 Ê

1

È
È
n

Ä
Ê È

È

É É Å
Ê É É

An0 Ê

È
An A |cn |2

Ê

Ê

n0 Ê

È

È

È

ÏÏ


ÏÊ



Ê
È È Ê ÊÄ È ÊÊ

Ê Å An

É È É
Bn

Ê Ê n Ê

È Ê È

? Ä Ê Å

È È

È É É É

È

Ê

Ê



Ê

É

[A , B ] = A B - B A = i? C . h

Ê


Ê

h ? Ä? 0 Å h

È

È Ê
Ä

Ê

È

È

É È É È É ÈÊÊ

Å

ÅÈ || || = 1Ê Ä

A

B B = ( , B ), B = ( , (B - B )2 ).

A = ( , A ), A = ( , (A - A)2 ),

È
A Ç B h ? |C |. 2

É

Ï


É
L = (A - A) + i (B - B ),


Ê

Ê

É

L = (A - A) - i (B - B ). L


É

L L = (A -A)2+ 2 (B -B )2+i (A B -B A ) = A2+ 2 B 2-? C . Ä Å h




È ÄÅ

Ê


h ( , L L ) = A2 + 2 B 2 - ? C = (L , L ) 0

ÄÅ



ÄÅ

Ê
2

È
h ? 2 C - 4A2 B 2 0.

C

È

È

Ê

ÄÎÅÊ

È
q p h ? , 2

Ê É

Ê

Ê

È

È

É

ÿÊ
ÍÊ ?
Ê?



Ê
V (r, t)

É Ê

Ê

Ï


È È Ê È

È Ê? Ê?
L2 Ê

Ê È È
(r, t)È



É É É É

?




(r , t) (r - r)d3 r , (r, t)

Ê

(r, t) =



È Ê? ÿ ÎÈ | (r, t)|2 È r Ê ÍÊ Ê

È È Ê

È
t d3 rÊ Ê | (r, t)|2 d3 r

É ÊÊ É É É

Ê

È

È

É

ÎÊ

È

Ê

ÈÊÊ

É È Ê È É Ê É

È È

È Ê Ê

È



Ê
Ï


i? h

(r, t) = H (r, t). t

ÄÅ ÈÊÊ É Ê Ê È È É É

È Ä Å Ê ÈÊÊ Ê È È
,A + t

É

Ê? È

È

ÏÊ

d ( , A ) = dt



Ê
A

Ä ÅÊ

É É É É

,

A t

+ , A

t

.

ÄÅ

È
d dt + (r, t)A (r, t)d3 r = (r, t) A (r, t)d3 r + t

È
(r, t) A (r, t)d3 r+ t (r, t)A (r, t) 3 d r. t

ÄÍÌÅ É

Ä ÅÈ
-i? h


(r, t) = H (r, t). t

ÄÅ

ÄÍÌÅ
d ( , A ) = dt A i + [H A - A H ] . t h ?

,

ÄÍÍÅ

Ï


Ê
A = 1Ê d d ( , ) = dt dt

Ê
(r, t) (r, t)d3 r = i ( , [H - H ] ) = 0. h ?

È É

È Ê

ÍÈ

È

Ê

É È È ÄÍÍÅ É

Ê



ÍÊ

Ê

dA A i = + [H A - A H ]. dt t h ?

ÄÍÎÅ É

È

ÄÍÎÅ

È

Ê È
A

Ê

Ê
A

Ê
È

È

ÄÍÎÅ



A i dA = + [H A - A H ]. dt t h ?

Ê
ÍÅ

Ê

Ê
É È È É

dr i ?2 h i = [H r - rH ] = - [r - r]. dt h ? h ? 2m

È
r



Ê

Ê

Ï


È
(xf ) =

Ê
2f 2f f (xf ) + x 2 + x =2 + xf . x x y z x dr i? h p =- = . dt m m

É

?

ÄÍÏÅ

ÎÅ ?

È

È

dp i i = [H p - p H ] = (-i? )[V (r, t) - V (r, t)] = -V (r, t). ÄÍ Å h dt ? h h ?

ÄÍÏÅ

ÄÍ Å Ê Ê Ê È ÄÍÍÅÈ

É É

Ê

ÍÊ

= | (r, t)|2

Ê

Ê

i ?2 h i = + = ( H - H ) = ( - ). ÄÍ Å t t t h ? h ? 2m h ? ( - ), 2 mi

j=

Ä
div j = j =

Å
h ? ( - ). 2 mi

Ê

É ÄÍ Å

ÄÍ Å

ÄÍ Å
+ div j = 0. t


d dt (r, t)d3 r = (r, t) 3 d r=- t

Ê
div j d3 r = -

È
j n d2 = 0.

Ï


Ê Ä È ÅÈ È
d3 r

È Ê

É È

Ê Ê È

ÈÊÊ



È

Ê
Ê

Ê
È È

È

É É





Ê ÄÅ

Ê? Ê
(r, t) = (t) (r).

È

É

ÄÍ Å É É

Ê ÄÍ ÅÈ

È

ÄÍ Å
(t) H (r) = . (t) (r)

ÄÅ

É

i? h

È



Ê ÄÍ ÅÊ
-iE t/h ?

É
.

É É

(t) = e

H (r) = E (r).

ÄÍ Å

Ì


Ê

E

È

Ä

ÊÊ
+

È

Ê?
-iE t/h ?

Å É

(r, t) = e

(r).

ÍÌÊ
(r) = | (r)|2

Ê

É

Ê ? Ê

Ê? È

È

È Ê È

É

È

A=

d3 re

iE t/h ?

(r)A e

-iE t/h ?

(r) =

d3 r (r)A (r).

ÍÍÊ

ÊÊ

ÊÊ

Ê

Ê

ÄÍ ÅÈ Ê Ê

H n (r) = En n (r), n = 1, 2 . . . , H E (r) = E E (r).

É
-iEn t/h ? -iE t/h ?

(r, t) =
n

Cn e CE

n (r) +

CE e

E (r)dE .

Ê

Cn

É

n

|Cn |2 +

|CE |2 dE = 1.

Í




Ñ Ñ ÑÊ

ÿ ÍÊ
ÈÊÊ
V =0 H =TÊ h ?2 (r) = E (r). 2m

É É

-

ÄÍÅ È

E=

p2 h ?2 2 = k. 2m 2m

ÄÍÅ
(r) = -k 2 (r).

ÄÎÅ È Ä Å È
(r) = e
ipr/h ?

 È È Ä

ÄÎÅ

Ê ÅÊ

É É

È

.

ÊÊ



Ê
(r, t) =

È
1 e (2 ? )3/2 h
-i(E t-pr)/h ?

.

ÄÏÅ Ê

? È

È

È Ê ÄÏÅ
h ? (p - p )/? = k - k Ê h

É ÈÊÊ

É É É

Î


ÊÊ ?

È

È È Ä Å

Ê É 2 È È Ê É È


j=

È

Ê = | (r, t)|2 = 1/(2 ? )3 h Ê?

1p p h ? 2 i= , 2mi (2 ? )3 ? hh m

Ê

È

É

ÿ ÎÊ
ÍÊ
a a


È
Ê
a a - a a = 1. a


ÄÅ


È

a

Ä
a È

Ê
a



ÅÊ

N =a a

É É É

Ê? Ê ?

N



Ê

È È È


É Ê

N


N = (a a ) = a (a ) = a a = N .

ÊÊ Ï


f Ê

ÎÊ

ÊÊ Ê

NÊ (f , f ) = 1Ê Ê ÊÊ

È Ê

Nf = É É

ÍÅ ?

(f , N f ) = (f , f ) = (f , a a f ) = (a f , a f ) 0. (f , f ) = 1È 0Ê ÎÅ ? a f = 0Ê (a f , a f ) = (f , a a f ) = (f , (1+a a )f ) = (f , f +N f ) = (1+)(f , f ) > 0, 0Ê ÏÅ ? af ÌÈ Ê Ê - 1Ê g- = a f = 0Ê Ê




ÊÊ

È

É É

N g- = a a (a f ) = (a a -1)(a f ) = a (a a -1)f = a (-1)f = (-1)g- .

Å? g+ = a f Ê ÏÈ


af



ÊÊ Ê ÎÊ


Ê Ê + 1Ê ? È

N g+ = a a (a f ) = a (a a + 1)f = a (N +1)f = a ( + 1)f = (+1)g+ .

ÊÊ Ê Ê Ê Ê f0 Ê Ê Ê 0 - 1 < 0 Ê

Å

a f0 = 0 È


ÌÊ

0

É ÊÊ

0 = (f0 , N f0 ) = (f0 , a a f0 ) = (a f0 , a f0 ) = 0.

Å
a

ÊÊ

N È ÊÊ

0 < < 1È

Ê Ê



ÊÊ ÊÊ

Ê Ê f Ê
a f = 0È Ê É

Ê

= (a f , a f ) = 0È

È


Å ÊÊ f0

Ê Ê ÌÈ

(a )n f



Ê
0

È

Ê Ê nÊ
NÊ 1Ê

ÏÊ
ÍÅ
(a fn , a fn ) = |cn |2 (f
n+1

a f n = cn f ,f
n+1



n+

) = (fn , a a fn ) = (n + 1)(fn , fn ) = n + 1.

È ||a fn || = cn = n + 1Ê ÎÅ Ê a fn = n + 1fn+1 Ê ÏÅ Ê a fn = nfn-1 Ê Ê f0 ÊÊ Å? 1 fn = (a )n f0 . n!

È É

ÄÅ
f

Ê

l2È 0 . 1 . , a = 0 . 0 . ... 0 0 0 0 0 0 2 0 0 0 30 ... ... ... . . . . . . . . . . . . . . .

Ê

n

0 0 a = 0 ...



1 0 2 0 0 0 ... ...

0 0 3 ...

. . . .

. . . .



,

É

0, 1, 2, 3, . . .

ÿ ÏÊ
ÍÊ
Ä È

Ê



È È Ê

ÅÈ


12 kx È 2

V (x) = k

Ê
mx = -k x. ?

?

0 È

k

k

É

2 k = m 0 .

2 x + 0 x = 0. ?

x = A cos(0 t + 0 ).

È
E=m
2 x2 x2 A2 2A +k =k = m 0 . 2 2 2 2

É É

ÎÊ
ÎÍ
-

Ê
È
1 h ? 2 d2 + k x2 (x) = E (x). 2 2m dx 2

É

ÄÅ È É É

Ê x = Ê



Ê

-

1 h2 1 d2 ? + k 2 2m 2 d 2 2

2

(x) = E (x).

h ?2 h ?2 h ?2 1 = k 2 , 4 = = 2 2, = m 2 mk m 0

h ? . m 0

È


E = h 0 . ?

ÄÅ
1 2 - d2 + d 2
2


= .

ÄÅ

ÏÊ



È


1 a= 2 + d d

Ê
.

ÄÅ È

ÄÅ
1 a = 2 -

È
d d .

aa =



1 2

+

d d

-

d d

=

1 2

2 -

d2 +1 , d 2

aa=



1 2

-

d d

+

d d

=

1 2

2 -

d2 -1 d 2

=N.

ÄÅ

ÄÅ ÄÅ
N+ 1 2

Ä ÅÈ Ê
= .

È

É

Ê
È
En = h ?
0

Ê
, n = 0, 1, 2, . . .

É

ÊÊ

É É

n+

1 2


ÊÊ

ÊÊ
1 2 + d d 0 = 0.

È

ÊÊ


0 ( ) =

Ê
1
1/4

É

e

- 2 /2

.

ÄÅ

Ê Ê nÈ



É

e

2 /2

Ê

n 1 n ( ) = a a . . .a 0 ( ). n! 0 È 2 2 1 = e /2 e- /2 Ê - 2 /2 e È

ÄÍÌÅ É É É

Ê
e
- 2 /2

ae

2 /2

1 = e 2
2 /2

- 2 /2

-

d d

e

2 /2

=

1 = e 2

- 2 /2

-e

d - e d

2 /2

1d = - . 2 d

?

È

È
1 n ( ) = (-1)n 2 n! ÊÊ n ( ) = (-1)n dn e d n
2 /2

Ê

ÄÍÌÅ

É

-n/2 2 /2

e

- 2 /2

0 ( ).

ÊÊ ÄÍÍÅ

e n!2n ÊÎ Ï ÊÏ

1

dn e d n

-

2

.

ÄÍÍÅ

d 1 - n ( ) = n + 1n+1 ( ), d 2 d 1 + n ( ) = nn-1 ( ), d 2


È
n ( ) = dn ( ) = d n n-1 ( ) + 2 n n-1 ( ) - 2

È
n+1 n+1 ( ) , 2 n+1 n+1 ( ) . 2

ÄÍÎÅ ÄÍÏÅ É

Ê

ÍÏÈ

Ê ÊÊ

2

Hn ( ) = (-1)n e nÊ H
n+1

dn e d n


-
2

. nÈ

É

(x) = 2xHn (x) - 2nH

n-1

(x),

È

H0 (x) = 1Ê H1 (x) = 2x, H2 (x) = 4x2 - 2, H3 (x) = 8x3 - 12x.

È

È
n ( )
0.6 0.4 0.2 0.0 -0.2 -0.4 -0.6 -4

È

Hn (x)

n

ÌÊ

2 n ( )
0 1 2

n
3 4

0.5
0

0.4 0.3 0.2 0.1
3 4 2

n
1

Ê ÍÊ

-3 -2

-1

0

1

2

3



0.0 -4 -3 -2 -1 0 1
2 n

2

3



ÊÊ

n ( ) Ä Å n = 0, 1, 2 3Ê

( ) Ä Å

n ( ) =

e n!2
n

1

- 2 /2

Hn ( ).





ÊÊ

Ê ÍÊ


È

ÊÊ

È

ÊÊ Ê

Ê

È É

Ê

Ê

É

ÍÅ

Ê
È
h ? 0 h ? 0 /2Ê

È Ê Å
h ? Å

È

É É

? ÎÅ È È È Ë Ê Ê


0

È

É É n 1Ê É

Ê

Ê

È

xn =

2 n ( )d = 0

ÄÍ Å

ÏÅ



Ê

-

Ê
-

È

Ê

É ÄÍ Å É

i? h pn = -

n ( )n ( )d = 0,

Ê? Å

ÊÊ
x

ÄÍ ÅÊ ÄÍÎÅÅ
=
2

x =

ÄÍ Å

È

Ê
2 2 n ( )d =

Ä
x2
n

x2 = A2 /2È

=

(x)2 n

-

Ì


2 = 2



1 d [ nn-1 ( ) + n + 1n+1 ( )]2 d = 2 n + 2

.

-

Å
V

È

2 E = k x2 = m0 x2

2 En = m0 x2 n Ê

Ê

É

n

=

12 1 h 2? k x n = m 0 2 2 m

n+
0

1 2

=

1 En . 2

È Å

T n = En /2Ê

É

Ê


1 2

ÄÍÏÅÈ

p

2

n

= (pn )2 = 2mT n = mEn = m? h

0

n+

.

Å

Ê

Ê
xn pn =

È
1 En =h n+ ? 0 2 .

É



Ê

Ê È Ä

È
n = 0ÅÊ

Ä Ê Ê È È È È

Å

É É É É É É É

È
En

Å



E = k A2 /2 Ê

Ê
1/v = 1/

?



È Ê Êw

È 2T /m = 1/ 2[E - V (x)]/mÊ

w (x) =

1 1 . A2 - x2

Í


Ê

È

È Ê
[-A, A]Ê x wn (x) = w (y ), w (y )
3.0 2.5 2.0 1.5 1.0 0.5 0.0 -1.5 -1.0 -0.5 0.0 0.5 1.0

x = ÁA

É

1 |n (x/)|2 .

Ê ÎÊ
n=0 n ( ) Ê n

y

Än = 20Å Ê
-x2 /2

n

w0 (x) = (1/ )e 2 2 w1 (x) = (2/3 ) 2 e-x / Ê È n n Ê ÈÊÊ [-A, A] Ê È

È

n=1

n 20 = ÊÎ 2 w (y ) = 2n + 1n ( 2n + 1y )

Ê

É É A = 2n + 1È É É È É
w (y ) =

Î


1

1 1-y
2

Ê


y = x/ 2n + 1Ê

È ? È

Ä È

Å Ê

Ê

É É



Ê

Ï




ÑÞÊ

ÿ ÍÊ
ÍÊ
?
r pÈ

Ê
? È Ä

Ê? ÅÊ ?

É É É É ÄÍÅ Å É

L = r ç p = (y pz - z py , z px - xpz , xpy - y px ),

É

Ä

Ê? ÄÍÅ

È



L = r ç p = (y pz - z py , z px - xpz , xpy - y px ). L = (Lx , Ly , Lz )

Ê?
- (z px - xpz )(y pz - z py ) = y pz px - z px y pz + z py xpz - xpz z py = h h = (y px - xpy )(pz z - z pz ) = i? (xpy y px ) = i? Lz . x y z xÊ [Lx , Ly ] = Lx Ly - Ly Lx = (y pz - z py )(z px - xpz )-

È
h Lx Ly - Ly Lx = i? Lz , Ly Lz - Lz Ly = i? Lx , h h Lz Lx - Lx Lz = i? Ly .

É


L ç L = i? L . h

É

É

Ê


ÎÊ

Ê
J È J x J y - J y J x = i? J z , h h J y J z - J z J y = i? J x , J z J x - J x J z = i? J y . h J ç J = i? J . h

ÈÎÍÊ

É É

ÄÎÅ

ÄÏÅ Ê È È È É É

Ê Ê ÊÈ

ÈÊÊ

È

Ê Ê
J
2

ÏÊ

= J x + Jy + J J zÊ

2

Ê

È
2 z 2 z

2

È

J

J

z

Ê É É

J

z

È
2 2 2 2 2 2

È

J J z - J z J = J x J z - J z J x + J y J z - J z J y + J x J z J x - J x J z J x+ + J y J z J y - J y J z J y = J x (J x J z - J z J x ) + (J x J z - J z J x )J x+ + J y (J y J z - J z J y ) + (J y J z - J z J y )J y = = J x (-i? J y ) + (-i? J y )J x + J y (i? J x ) + (i? J x )J y = 0. h h h h
2

È Ê È
J zÊ

Ê ÊÊ

J


ÿ ÎÊ
ÍÊ
È

Ê
h J Å = ? 2 Å ,
2

ÊÊ
J z Å = Å? Å . h

ÊÊ

É

È Ê

Ê
Å2 Ê

ÊÊ

ÅÊ É

ÎÊ
2

Ê
Å , (J - J z ) = Å , J x
2 2 Å



É

= h2 ( - Å2 )( Å , Å ) = ? + Å , J y
2 Å

Å

0.

È Å1

ÊÊ
Å2 È

ÏÊ
ÍÅ

ÍÈ Å1 Å Å2 Ê

Å

Ê

Ê

Ê

?
J
Á

Ê

É ÄÅ É

= J x Á iJ y . J
Á

ÎÅ

Ê
2 2

= J Ê

J + J - = (J x + iJ y )(J x - iJ y ) =
2

= J x + J y + i(J y J x - J x J y ) = J - J z + hJ z . ?

2

? ÏÅ ÊÊ
Å = Å + 1Ê


J -J J
2

+

= J - J z - ? J z. h J +
2 Å

2

2

Ê? ÈJ

ÌÈ
J J
2 z

É É

Å



J x J yÊ J + Å


Ê J z J + Å = J z (J x + iJ y ) Å =

ÄÎÅ

É

? ? = (i? J y + J x J z + hJ x + iJ y J z ) Å = h(Å + 1)J + Å . h

Å ÌÈ ÊÊ Å = Å - 1Ê ÍÅ
Å1 (J - = (
Å1 Å1

Ê?
J

2

J - J È
2

Å

Ê

J

z

Ê

Ê Ê
, J -
2 Å1

È
Å1

J zÊ J -

Å1

= 0È )=

) = (
Å1

ÎÅ Å2

?

, (J - J z + hJ z ) ?

2

, J + J -

Å1

) = h2 ( - Å2 + Å1 ) = 0. ? 1 J +
Å2

ÄÅ É È ÄÅ

Ê? È

Ê

= 0È

ÄÅ

- Å2 + Å1 = 0, - Å2 - Å2 = 0. 2 1

ÏÅ ? Å ? j Å Ê ÄÅ
Å

È

Ê?

È È

Å

Ê
Å

Ä Ê

Ê = j (j + 1). Ê Å2 = -Å1 = j. jÈ Ê Ê Ê Ê -j jÊ j j J -È Ê Ê j Å = j - 1, j - 2, . . .Ê j -j È Èj ÌÊ È 2j

É (Å1 + Å2 )(Å2 - Å1 + 1) = 0. È Å2 Å1 Ê ÊÊ

ÊÊ 2j


Å
J
2

2

Ê
J
z

È
J z j Å = Å? j Å , h

? J j Å = j (j + 1)h2 j Å ,

3 1 j = 0, , 1, , 2, . . ., Å = -j, -j + 1, . . ., j - 1, j. 2 2

ÿ ÏÊ
ÍÊ
L È L
z 2

Ê ÊÊ
È
Lz .

É Ê É



Lz = -i? h

Ê

Ê
h L = -? 2 .
2

È

É É

ÎÊ
2

È

Ê? È
Ê

L Yl m (, ) = h2 l(l + 1)Yl m (, ), ?

Lz Yl m (, ) = hmYl m (, ). Ä Å ?


Yl m (, ) = ()().

ÄÅ ÄÅ É

ÄÅ
-i () = m(), m () = e
im

È ÄÅ

.


ÏÊ ?
È
m -l lÈ L

Ê
ÄÅ l

Ê Ê

ÄÅ Ê ÊÊ Ê ÿÍ ÑÑ É
m

È È

È

È È ?

È

J

È ÄÅ

Ê



Ê

Ê



Ê
1 = sin sin

ÍÏ 1 2 + . sin2 2

È

ÄÍÌÅ

ÄÅ
-



1d sin d

ÄÅ ()È () d m2 () = l(l + 1)(). sin - d sin2
= co s Ê

d m2 d (1 - 2 ) + l(l + 1) - d d 1- lm

2

() = 0.

d m2 d (1 - 2 ) + l(l + 1) - d d 1- m=0 (1 - 2 )

2

Pl m () = 0. Pl ( )È

ÄÍÍÅ É ÄÍÎÅ

d2 Pl () dPl () - 2 + l(l + 1)Pl () = 0. d 2 d 1 dl 2 ( - 1)l . 2l l! d l

Pl ( ) =

ÄÍÏÅ



Plm ( ) = (1 - 2 )m mÊ
/2

É
d Pl ( ). d m
m

È

ÄÍÍÅ
l



Å



Ä mÊ È

ÄÍÎÅÈ [-1, 1]Ê

l

Ë

m

È

É É

Pl (1) = 1Ê (l - |m|)! |m| P ( ). (l + |m|)! l

ÍÊ ? É

Pl m ( ) =

2l + 1 2

ÊÊ

Ê


Yl
m

1 (, ) = e 2




Ê


im

ÍÏ

Pl m (cos ).

?


2

Ê

d
0 0

sin d|Yl m (, )|2 = 1.





Ê

Ê

ÄÍÏÅ
3 2 - 1 . 2

È

P0 ( ) = 1, P1 ( ) = , P2 ( ) =
1 P1 ( ) =





1 1 - 2 , P1 (cos ) = sin .

1 Y0 0 (, ) = , Y1 0 (, ) = 4

3 cos , Y1 4

Á1

(, ) =

3 sin e 8

Ái

.

Ì


ÿÊ


ÍÊ
È

È Ê Ê Ê

Ê
ÊÊ È

È È È È

É È È Ê È É É É É



2

Ê
2



È Ê Ê ÊÊ ÊÊ Ê
É S
z

s(s + 1)h È ?

Å? Ê h

Ê

É É

ÍËÎÊ ÅÁ È

s = 0Ê Á È s = 1/2Ê 

0 Ê

Ê Ê KÉ

Ê
P ÁÈ

È É É

È È s = 1Ê È
s = 3/2Ê s = 2Ê È Ê

e È N



ÅÈ Í

Ê Í

ÅÊ

W

Á



È

È È



Ê É É

Ê Î È

Ê

É É Ê Ê Ê É É É

È

É

È

ÎÊ
1/2

Ê
Í


È ?

Ê
S 1 0 0 1
2

É É
SzÊ



11 22

=

,

z

1 2

-

1 2

=

.

Sz =

h ? 2

?
S+ = h ?

10 0 -1

,

S=

2

3 h ? 4

2

10 01

.

ÊÊ
1 2

ÄÅ
11 22

-

1 2

11 22

, S+

= 0, S-

11 22

= h ?

1 2

-

1 2

, S-

1 2

-

1 2

= 0.

È
S+ = h ? 00 01 , ? S- = h 10 00 .

Ê
x = 0 1 1 0 , y = 0 i -i 0 , z = 1 0 0 1 .

É

È
S= h ? . 2

È

Ê

Ê

ÿÊ
ÍÊ
Ê Ä

Ê

J1

J2

É ÅÈ

Î


Ê? È
J = J1 + J2 .

Ê

È

ÄÏÅÊ
h h J1 ç J1 = i? J1 , J2 ç J2 = i? J2 .

Ê

É

J ç J = (J1 + J2 ) ç (J1 + J2 ) = J1 ç J1 + J2 ç J2 + J1 ç J2 + J2 ç J1 = h = i? J1 + i? J2 + J1 ç J2 - J1 ç J2 = J ç J . h

È Ê È

È È È Ê É

ÎÊ
j Å È j1 j
Å1

ÅÈ (1)

ÊÊ j2

Å2

(2) Ä

È j1 , Å1 È

Ê
j2 , Å2 Ê

Ê È

ÊÊ

É ÊÊ

ÅÊ

Jz = J

1z

+J

2z

.

ÄÍ Å É

ÊÊ

ÊÊ
j Å = j1
Å1

(1)j2

Å2

(2).

ÄÍ Å È

ÊÊ

ÄÍ Å
Å = Å1 + Å2 .
2 2 2

ÄÍ Å É ÄÍ Å

J

= J 1 + J 2 + 2J1 J2 .

Ï


È


Ê Ê ÄÍ ÅÈ È È

Ê

É



ÏÊ
j

È
-j j

Ê
Å

ÍÊ
Å1 = Å = Å1 +

ÄÍ Å j1 Å2 = j2 Ê Å2 = j1 + j2 Ê ? j = j1 + j2 Ê Ê Å = j1 + j2 - 1 Å1 = j1 , Å2 = j2 - 1È Å1 = j1 - 1 j = j1 + j2 j = j1 Å = Å1 + Å2 - 2 j1 + j2 È j1 + j2 - 1È j1 + j2 - 2Ê ?

ÊÊ

È

j
j1 +j2

ÊÊ É È Ê Ê 2j1 + 1 2j2 + 1Ê (2j1 + 1)(2j2 + 1)Ê ÄÍ Å ÊÊ Ê É j1 + j2 , . . ., j0 È

, Å2 = j2 Ê + j2 - 1Ê ÊÊj j = j0 È Ê

É

j =j0

2 (2j + 1) = (j1 + j2 + 1)2 - j0 = (2j1 + 1)(2j2 + 1),

Ê

2 j0 = (j1 - j2 )2 j0 = |j1 - j2 |È j1 j2 Ê È j j = j1 + j2 , j1 + j2 - 1, . . ., |j1 - j2 |.

È

ÄÍ Å
j j 1Åj2 = Å1 +Å2 =Å j Cj1Å 1 Å ,j2 Å2

Ê
(2).

ÄÍ Å ÄÍ Å É É

j1

Å1

(1)j2

Å2



Å

Ê

ÄÍ Å


Ê



Ä

ÊÈ

È ÅÊ

Ê

È Ê Ê j1 = s1 = 1/2 Ì ÍÊ È 1 1 11 0 0 = [ 2 2 (1) 2 2 Í
1 1 = 1
0
11 22

ÍËÎÊ

j2 = s2 = 1/2Ê

Ì
-
1 2

(2) -
-1

1 2

-

1 2

(1)

11 22

(2)].

(1)

11 22

(2),
1 2

1
-
1 2

=
1 2

1 2

1 = [ 2

-
1 2

1 2

(1)

1 2

-

1 2

(2),

11 22

(1)

(2) +

-

(1)

11 22

(2)].

ÿÊ
ÍÊ
ÊÊ
J ÁÊ

ÍËÎ
È ÊÏ ÿÎ
Å+1

Ê

J + j Å = cj

.

(J + j Å , J + j Å ) = |c|2 = (j Å , J - J + j Å ) = h2 (j - Å)(j + Å + 1). ?

È
? J + j Å = h (j - Å)(j + Å + 1)j (j + Å)(j - Å + 1)j

ÊÏ
.

ÿ ÎÊ

É

Å+1

ÄÍ Å ÄÎÌÅ ÄÍ Å

?
J - j Å = h ?

Å-1

.

ÄÎÌÅÈ

ÎÊ
h ? 2 h ? = 2i

ÄÅ

Ê
Å+1

J x j Å = J y j
Å

(j - Å)(j + Å + 1)j (j - Å)(j + Å + 1)

+ -

(j + Å)(j - Å + 1)j (j + Å)(j - Å + 1)j

Å-1 Å-1

, ÄÎÍÅ . ÄÎÎÅ

j Å+1


ÏÊ ÍËÎÊ

l l

s = 1/2Ê

ÄÍ Å
j Å = C+ l

j = l Á 1/2Ê



Å-

1 2

(1)

11 22

+ C- l

Å+

1 2

(1)

1 2

Å
2 2 C+ + C- = 1.

Ê

-

1 2

.

ÄÎÏÅ É

ÄÍ ÅÈ
J
2 2 2

ÄÎÏÅ

É

= L + S + 2J z Sz + 2J x Sx + 2J y Sy .

Ê Ê ÄÎÏÅÊ ÄÎÎÅ
j (j + 1)j Å = l(l + 1) + - C- + C+ + C- l-Å+ l+Å+ 1 3 j Å + C+ Å - l Å- 1 (1) 2 4 2 1 1 Å+ l Å- 1 (1) 1 2 (2)+ 2 2 2 1 2 1 2 l+Å+ l-Å+ 1 2l
Å+
1 2 11 22

É ÄÎÍÅ
(2)-

(1)

1 2

-

1 2

(2)+ (2).

1 2l

Å+

1 2

(1)

1 2

-

1 2

Ê?



Î

Lx Sx ÍËÎÈ i

Ê



Å

Ly Sy -i

Ê É É
1 C- , 2 1 C+ . 2

Ê ÊÈ
1 2 1 2

Ê

1 j (j + 1)C+ = l(l + 1) + + Å C+ + 4 1 j (j + 1)C- = l(l + 1) + - Å C- + 4

l+Å+ l+Å+

l-Å+ l-Å+


ÈÊÊ
j (j + 1) - l(l + 1) - 1 4
2

È
1 2
2

É

- Å2 - 3 4

l+

- Å2 = 1 = 0. 4

= j 2 + j - l 2 - 2l -

j 2 + j - l2 +

È
1 1 j = - Á |l + 1|, j = - Á |l|. 2 2 j0 È j = l Á 1/2Ê j = l + 1/2 C+ = j = l - 1/2 C+ = 2l - 2Å + 1 , C- = - 2(2l + 1) 2l + 2Å + 1 . 2(2l + 1) 2l + 2Å + 1 , C- = 2(2l + 1) 2l - 2Å + 1 , 2(2l + 1)

È

É

ÄÎ Å

ÄÎ Å ÄÎ Å É

ÄÎ Å Ê j= l j= C+

Ê

ÍËÎÊ
È
0 ÍÊ = 1/2Ê j=0 1È Å = (1 + Å)/2, C- = È

Ê

Å = 0 C+ = -C- = 1/ 2Ê Å = 0, Á1È É (1 - Å)/2Ê ? Ê



Å È

ÞÊ
Ä È Ê Ê V = V (r)Ê È È Ê È È Ê Ê È Ê? Ê É É È ÅÈ Ä É É É É

? È

ÿ ÍÊ
ÍÊ
È Ê Ê V = 0Ê Ê
h ?2 (r, , ) = E (r, , ), 2 m0

Ê

È

È Ê È

Ê

É É

-

ÄÍÅ É

È

m

0

Ê È È
E= h ?2 2 k, 2 m0 E 0Ê

ÄÎÅ



k

Ê
- (r, , ) = k 2 (r, , ).

ÄÏÅ



= r +

1 , r2



r =

1 r2 r

r

2

r

,





Ê

ÄÍÌÅ

Ê

ÎÊ

ÄÏÅ

Ê
(r, , ) = R(r)Ylm (, ),

ÄÅ ÊÊ

Ylm (, )





È

Ylm (, ) = -l(l + 1)Ylm (, ).



ÄÅ
Yl
m

ÄÏÅÈ

È È
l(l + 1) R(r) = k 2 R(r). r2

-r R(r) +

ÄÅ É É

Ê

È R(r) È ÎÍÈÏ È Ê Ê 



ÍÏÈ È

È




É Ê? É É É É ÄÅ

Ê ÄÅ

ÏÊ ?



Ê

r È

Ê Ê?

-r R(r) = k 2 R(r),


É
r = 1d r2 dr r
2

d dr

.

ÄÅ


R(r) = (r) . r

Ê ÄÅ É


d2 (r) + k 2 (r) = 0. dr2 = C1 e
ikr

+ C2 e

-ikr

.

È
R(r) C1 e
ikr


r + C2 e
-ikr

r

.

ÄÅ É

Ê?

ÄÍÅ
(r, , ) =
l (1)

Ê
(2)

ÄÅ

[Clm Rl1 (r) + Clm Rl2 (r)]Ylm (, ),

l= 0 m = - l

Rl1 (r)

Rl2 (r) Ê mÈ

É Ä ÅÈ lÈ È
ikr



Ä ÅÈ Ä ÅÊ

Ê
e + g (, ) e
-ikr

É É É É

(r, , ) f (, )

r

r

,

ÄÅ È É



ÄÅ

f

g

Ê?

Ê

ÄÅ



Ê

Ì


Ê?
È È ÊÊ | (r, , )|2 Ê Ê È È È

Ê

Ê Ê É É É É

È

È

È



ÿ ÎÊ
ÍÊ Ê
h ?2 + V (r) (r, , ) = E (r, , ) 2 m0

É

-

ÄÍÌÅ É

Ê ÄÍÌÅ
- h ?2 2m r -

Ä ÅÊ

È

0

l(l + 1) R(r) + V (r)R(r) = E R(r). r2 mÈ

ÄÍÍÅ É

ÄÍÍÅ ?
-? 2 h l(l + 1)h ? È
2

È Ä ÅÈ
EÈ m? h EÈ l mÊ -i? h

È




É É É

Ê

r Ê

ÎÊ ?

Ê


È

V (r) 0È

É É

Í


r

È È È È

È

È Ê

È



1/r Ê E

lÊ V (r)È V (r)

È É É Ä ÅÊ Ê Ê É É Ê

ÍÅ E 0Ê ÄÅ ÈÊÊ È ÄÎÅ

ÎÅ E < 0Ê

V (r) 0 Ä ÅÊ E

Ä ÅÊ

È

E=-

h ?2 2m

2 0

.


d2 (r) - dr2
2

ÄÅ
(r) = 0. eÁ È
r

Ê


È

È È

Ê
e
-r

Å

/r È

É Ê É É É É É É É É É

ÈÊÊ È

È

Ê

È

Ê

Ê

ÏÊ
Ê Î

Ê




È

d3 r = r2 dr sin ddÊ

| (r, , )|2 d3 r ÄÅ

r

É É

|R(r)|2 r2 dr|Ylm (, )|2 sin dd.

ÄÍÎÅ
È eim È



ÍÊ
rÈ Ê?




É

ÄÍÎÅ

Ê ÄÍÎÅ È

È


Ê

É



Ê
Ê Å l mÊ ? d2 = sin dd
Y

Ê
Ê
|Ylm (, )|2 d2 Ê

É É É É É

Ä

Ê

r = |Ylm (, 0)|2 Ê ÍÅ l = 0Ê Y00 = 1/ 4 È Ê Ê

È Ê r = |Ylm (, )|2 È

m = 0Ê

É


3 cos2 4

È

È
Y10 (, ) =

r = 1/(4 )Ê

ÎÅ l = 1, m = 0Ê Ä ÅÈ

Ê 3 co s Ê 4 È Ê

É É É

ÏÅ l = 1, m = Á1Ê

Y1Á1 (, ) =

3 sin e 8

Á

Ê

Ï


r=

ÊÏ

È Ê

3 sin2 8

É È
0.15 0.10

Ê

È

0.08 0.00

l = 0, m = 0

0.05 0.00

-0.08 -0.08 0.08

0.00

0.08

-0.05 -0.10

l = 1, m = 0
0.00 -0.08

-0.15 -0.05

0.05

l = 1, m = Á1
-0.2 -0.1 0.0 0.1 0.2

Ê ÏÊ

Ê

l

È

È



Ä

ÊÈ

ÈÎ Ê

ÍÎÅÊ É

ÿ ÏÊ ?
m
e

È ÊÍ È = e2 /(hc)È ? 1/137.036Ê Ê
c

?

Ê

h ?Ê

e

È

É É É

Ê


Ê

È È
re 2 Ê re = e2 /(me c2 )Ê ?

É É È È È É
Í

Ê Ê È
a0 Ê

?
e me h ? a0 c p0 p2 /me 0 a0 me /p0 c/a0 p2 /(a0 me ) 0 e/a0 e/a2 0

?
e me h ? h ? 2 /(me e2 ) e2 /? h me e2 /? h me e4 /? 2 h h ? 3 /(me e4 ) me e4 /? 3 h m2 e6 /? 4 h e me e3 /? 2 h m2 e5 /? 4 h e 4.8 Ç 10
-10 -28 1/2

Û
9.1 Ç 10 1.05 Ç 10-27 0.529 Ç 10-8 2.19 Ç 108 Ë 2.0 Ç 10-19 Ç 4.36 Ç 10-11 2.42 Ç 10-17 4.13 Ç 1016 2.47 Ç Ë 2 0.0908 1/2 Ç 5.14 Ç 109 ?Ë Ç Ç
3/2

Ë

Ë

?

1/2

Ë

É

me c

2

Ê Ê

Ê È

2 È

Ê?

É

? = re / = h/(me c) = 0.00386 Ç 10 0.529 Ç 10-8 . È 2 = 2 = 0.0242 ?Ê

-8

É É re = e2 /(me c2 ) = 2.8Ç10-13 , , a0 = / = h2 /(me e2 ) = ? È É Ê É È


ÿÊ
ÍÊ Ê
Z eÊ Z e2 . r

É É

V (r) = -

ÄÍÏÅ É

Ê ÄÍÌÅ È Ê?
h ?2 2m

È

È ÄÍÏÅÊ ÿÎ

É È É

ÄÍÍÅ
-

e

r -

Z e2 l(l + 1) R(r) - R(r) = E R(r). r2 r

ÄÍ Å ÄÍ ÅÈ É

? ÊÊ

Ê

ÄE < 0Å Ê

È e = me = h = 1 Ê ?
-

ÄÍ ÅÊ

È

É

l(l + 1) Z 1 r - R(r) - R(r) = E R(r). 2 r2 r r a0 È

me e 4 / ? 2 Ê h

É

E=-

Z2 , 2 n2

Z , n= -2E

ÄÍ Å

È

=

n 2Z r, r = . n 2Z


?
E n 1d dR 2 2 d d -

È
l(l + 1) n 1 + R - R = 0. 2 4

É
Z

ÄÍ Å É É È Å
È

ÎÊ
È Ê ÈÊÊ
R s . Ê ? s s(s + 1) = l(l + 1). s = -l - 1 s=l Ê



Ê
Ê

Ä

É É

ÄÍ Å É

ÄÍ Å

ÄÍ Å È

È
l>0 R
- l- 1 0 22

È ÈÊÊ Ê

É É É É ÄÍ Å

l=0

?



È

Ê



Ê
R
l

|R(r)| r dr

Ê

ÈÊÊ
R = l e


-/2

w.



w w + (2l + 2 - )w + (n - l - 1)w = 0,

ÄÍ Å


=0 ÅÊ

Ê Ä



w

É É É



Ê

ÄÍ Å Ê Ê
d2 w dw + (c - z ) - aw = 0 . dz 2 dz

ÏÊ ?
ÍÏ
z



Ê? Ä? Å

É É

ÄÎÌÅ É



Ä? Å

a(a + 1) z 2 a(a + 1)(a + 2) z 3 a + + ... F (a, c, z ) = 1 + z + c c(c + 1) 2 c(c + 1)(c + 2) 3!

ÄÎÍÅ É

n=0 Ê È

É È ÊÊ



È

a nÄ

nÈ È a = - n, n = 0 , 1 , 2 , . . .

Ê

ÅÊ ?

È

?

É

F (a, a, z ) = ez Ê È ?

ÄÎÌÅ
1-c

w = C1 F (a, c, z ) + C2 z

F (a - c + 1, 2 - c, z ).

ÄÎÎÅ

? ÄÎÍÅ

È

È Ê? ÄÎÎÅÊ

c

É


? Ê ?

Ê
1

z

É É

(c) F (a, c, z ) = (a)(c - a)

t
0

a-1

(1 - t)c

-a-1 z t

e dt.

ÄÎÏÅ É É É Ê

È ?

È

ÅÈ
(c) (a)
m =0

É

Ê

È Ä É

F (a, c, z ) =

(a + m) z m , (c + m) m!

ÄÎÍÅÊ

z +Ê ? t=1-u
1

ÄÎÏÅ

É

(c)ez F (a, c, z ) = (a)(c - a)

0

(1 - u)a-1 u

c-a-1 -z u

e

du = ez F (c - a, c, -z ).

u = v /z (c)ez F (a, c, z ) = (a)(c - a) z 1È ÄÎ ÅÊ ? v
z

0

1-

v z

a-1

v z

c-a-1

e

-v

dv . z

ÄÎ Å È É É

Ê È v Ê

È È v zÊ


z

ÄÎ Å

È
a 0

Ê (c) ez . (a) z c-a

É

(c) ez F (a, c, z ) (a)(c - a) z c-

v

c-a-1 -v

e

dv =

ÄÎ Å É É É É

?

Ê Ê

ÄÎ Å


cË a c a = -n, n = 0, 1, 2, . . .È

È

Ê É

Ê

È Ê È Ê ÎÈ 0Ê Ê ÄÎ ÅÊ


Ê? ÄÍ Å ÄÍ ÅÈ F (-n + l + 1, 2l + 2, )Ê ? l+1-2l-2 = -l-1 È

Ê

È

É



R l e

-/2

e (2l + 2) . (-n + l + 1) n+1+l

ÊÊ ? -k , k = 0, 1, 2, . . . Ê
n = l+1+k l+1 En = - n = 1, 2, 3, . . . ÄÎ Å nÈ Ê Ê Z2 , 2 n2

É É 0È Ê Ê -n + l + 1 = È

Ê

È

ÄÎ Å ÄÍ Å È
l

ÄÎ Å Ê

È È

ÄÍ ÅÈ
n

l = 0, 1, . . ., n - 1Ê Ì

È

É


?

? Ê


En = - Z 2 me e 4 . 2 n2 ? 2 h RÈ


Ê





È

Ê


É

R2 (r)r2 dr = 1.

0

È
Rnl (r) = c
nl

2Z r n c
nl

l

Z ex p - r F n 2Z 3/2 n2 (2l + 2)! n=1

-n + l + 1, 2l + 2,

2Z r, n

=

(n + l)! . (n - l - 1)! 2ÅÈ Z 5/2 Zr , R21 (r) = re 2 26



È



Ä

R10 (r) = 2Z

3/2 -Z r

e

Z 3/2 , R20 (r) = e 2

- Z r /2

1-

- Z r /2

.

ÊÊ



ÄÅ

É

nlm (r, , ) = Rnl (r)Ylm (, ).

È
(r, , ) Z 3/2 100 = e Z 5/2 210 = e 4 2 nÈ
-Z r

- Z r /2

Zr Z 3/2 , 200 = e-Z r/2 1 - , 2 2 2 Z 5/2 r cos , 21Á1 = e-Z r/2 r sin e 8

Ái

.

Å

ÈlÄ

È

È l(l + 1)h2 ?

Ä

Í


ÅÈ È
m? h

È



ÊÊÈ

É Ä ÅÊ

Rnl (r)
2.0 1.5 1.0 0.5 0.0 -0.5 0 20 21 1 2 3 4 5

2 r2 Rnl (r)

nl
10

0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0.0

10

nl
21 20

ÊÊ

r

0

2

4

6

8

r
É





Rnl (r ) Ä Å 2 r 2 Rnl (r ) Ä Å

n = 0, 1È Z = 1Ê

ÊÊ ?

ÊÊ Ê ÊÊ Ê

ÊÊÈ È È

É É

ÿ Ê?


ÍÊ
M

Ê
Z

H =-

h ?2 Z e2 h ?2 r2 - r1 - , 2M 2 me r

Ä

r1

r2

É

È Ê

ÅÈ

r = |r2 - r1 |

Î


È
H (r1 , r2 ) = E (r1 , r2 ) r1 r2

ÄÎ Å

Ê?
M r1 + me r2 , M + me

R=

r = r2 - r1 .

É È
H =-

É

È

Ê É

h2 ? Z e2 h ?2 r - R - . 2(M + me ) 2 m r

(r1 , r2 ) = (R) (r).



(r1 , r2 )

ÄÎ Å

È

-

h ?2 R (R) h ? 2 r (r) Z e2 - - =E 2(M + me ) (R) 2m (r) r

.

ÄÎ Å

m =

M me me = . M + me 1 + me /M

Í È Ê
me Ê ÄÎ ÅÈ

È

Ï È ÊÊ
R r

È Ê È ÄÎ Å

-

h ?2 R (R) = E 2(M + me )

Ê

(R),

Ï


E

h ?2 Z e2 (r) - (r) = E (r), r 2m r = E Ê + EÊ ÄÎ Å È ÄÏÌÅ Ê -

ÄÏÌÅ É É Ê È É É

Ê È

Ê

Ê

ÎÊ
En = - me e 4 Z 2 . h ? 2 2 n2

Ê

É

E = 0 4 E4 = -1/32 3 E3 = -1/18 2 n E2 = -1/8 En = -1/(2n2)

ÊÊ
?
Z = 1Ê

1
Ê

E1 = -1/2


Ê

E1 = -me e4 /(2h2 ) ? 1 = 3.29 Ç 10
15

É
1 = 13.6 ?Ê 1 = 911.7 ?Ê 1 = -E1

É È

È È È Ê?

ÍË

È Ê ÊÊ

È

É É

ik =

Ei - Ek me e 4 = Z2 h 4 ? 3 h

1 1 -2 k2 i

.

?
2.47 Ç 10
15

Å Ô È ËÏ È 21 = 1216 ?Ê ?

È

Ä

ÏË

È Ê Ê 21 ik

É È =

1 = Z 2 RR ik

1 1 -2 k2 i me e 4 . 4 ? 3 c h

,





R RR =

R

me Ê 109678
-1

Ê Ä

È È 1 = 1/RH = 912?Ê Å Ê Ä

È

R



È È È


È = 109737 ÈR

È

-1 H

É Ê = É É

È Ê

È Å Ô È Ô È Ô

È ÊÊ

É É


Ê Ø Ê Ê Ä Ä ? È È È

È Ê

È ÅÈ k= È ÊÊ

Ð È Ø È È ÅÊ

Ê

É É æ È É É

È È

Ê


Ê É Ê É

È

È

1/(k + 1)2 < 1/k 2 - 1/(k + 1)2 , k 2 - 2k - 1 < 0. 2Ê

È Ê

Ä

Å

Ê

k=1 É É

È È Ä Ä ÅÊ × ?

Å È È ÅÈ

Ä Ê? È Ä É É



ÅÊ

ÏÊ
È
l

È

Ê

ÈÊÊ ÊÊ n
m

nlm (r,,)Ê l n - 1È l = 0, 1, . . ., n - 1Ê 2l + 1 n n2 Ê

È

É É n È

l m = -l, . . ., lÊ ? n=1

ÊÊ ? È

Ê

È

n2 Ê É É


È Ê È
2 n2 Ê

Ä È

n

ÍÈ

È

Î

È

È ÏÎÈ

ÅÈ È È

Ä ÅÈ

Ä

Å ÌÊ

É É È É É É

Ê È È Ä È È È Ê ÅÊ È Ì Û Í Ø

È

È Ê?

Ê

Ê

ÍÎÌ ÍÏÌ
n" l

È

È É É È É

È
l "l n=3 e
-r

ÍÎÊ ? È

Î

Ï Ê

Ð
m

Ñ È

Ó Ê ÊÊ 100 = È

l=2

ÏÊ

/ Ê rá
ì

r =1Ä

4r 2 e

-2r

Ê

Ê ÅÈ Ê Ê




ÞÑÊ

? È



É Ê Ê Ê È É

ÿ ÍÊ
ÍÊ
Ê ÊÊ Ê
i g
i


Ê

Ê
Ê

È

È
Ei

È

É È É É È
n
i

È
kÊ gk Ê Ei ik Ê

Ê ik = (Ei - Ek )/h ?É ?É
i k ÏÍÊ È ik Ê È Ê

Ê

Ek È Ei > Ek È

É
n
k

È ÅÊ È È È É É É É É

Ä È

ÅÊ

È

Ä

È

Ê






Ä Ê?

Aik È Bik

Ä Å ni Bik
Bk Aik
i

ik

È Ä ÅÊ


Bik
ik

Å ni Aik È nk Bki ik Ê
Bki

É É É É É É È

ik

ÎÊ
? ?Ê Ê



Ê Ä

Ê
È ÅÊ Ä È

Ä
nk gk =e ni gi 8 h c3  Ê
3 ik

ÊÅ ÅÈ  È

É É É

È

Ê

-(Ek -Ei )/(k T )

,

ÄÍÅ É



È
k

È

ik

=

1 e
hik /(k T )

È

T

-1

.

ÄÎÅ

È È Ä



È Ê Ê Å

È

É É

Ê

È

ni (Aik + Bik ik ) = nk Bki ik .

ÄÏÅ




ÄÍÅ ÄÎÅ
3 8 hik Bik , 3 c

ÄÏÅÈ È
gi Bik = gk Bki . B
3 2hik /c2 È

É É ÄÅ Í Ê É 3 8 hik /c3 Ê Ê

Aik =

È

È

ÄÅ È

ÏÊ
È È È È

Ê

É É É Ê É É É É É É

È Ê

ik

Ê Ê
ds

È È Ê Ê Ê? È È È

È

È È



Ê

È

nk Bki ik dsÈ



È É g k ni nk Bki ik ds - ni Bik ik ds = nk Bki ik ds 1 - Ê? g i nk È  È É 1 - e-hik /(k T ) È Í Ê Ê Ì



È

É É È ni Bik ik dsÈ


?

Ê



È Å Ä

Ä

È

ik

É ÅÊ É É È É É É

È ?Ê Ê Ê È Ê ? È È È È È Ê È Ê Ê È Ê È

È

Ê

Ê Ê 

Ê É É È É É

È Ê

È Ê

È

Ê

ÿ ÎÊ
È È È



Aik
Ê? É É É É ÅÊ Ê Ê

Ä

È Ê Ê



È Ê Í


Ê

È È
I=


2 e2 2 |?| . r 3 c3 0

ÎÌ Ê

É

I=

2 e2 4 2 r. 3 c3 0 N

È


È

N IÊ

É

Ê

ik

0

È
Aik = r2 Ê Iik . h ? ik i

È É = 2 ik Ê

kÈ ni Iik = hik ni Aik È ?

È
i (r)rk (r)d3 r,

È

È É É

rik = (i , rk ) = i k

ÊÊ r2

|rik |2 È

Ê È Ê É

?

r2 2|rik |2 ,

|rik |2 = |xik |2 + |yik |2 + |zik |2 .



Aik =

3 4 e2 ik |rik |2 . 3? 3c h

ÄÅ

È
Aik =
3 64 e ik |rik |2 . 3 c3 h 4 2

Î


ÎÈ È Ê È Ê Ê

Ê ÄÅ ÅÈ Ä

È É É É



ÊÊ

ÿ ÏÊ
ÍÊ
ÄÅ È


Ê?
ÄÅ ÊÊ





É É È É É

?




ik =

i ( ) k ( )d
-

Ê


È ÊÊ

ÊÊ

ÊÊ
+1

È
( )

É

k ( ) =

k k

-1

( ) + k + 1k 2

.

ik =

k (i , k-1 ) + 2

k+1 (i , k+1 ) = 2

k 2

i k-1

+

k+1 2

i k+1

. ÄÅ

i = k + 1Ê Ê

ÄÅ È ik = 0 È Ê Ê Ê

ÊÊ

È

i = k-1

Ê

Ï




ÎÊ



Ê
n xn
n-1

=

An n-1 Ê n/2È
n-1

Ê

É É
h ? m0 n . 2

n-1

= n

=

0

An

n-1

=

2 e2 2 n. 3 m 0 c3 0

ÄÅ Ä

ÅÊ

n=0

ÄÅ
2 e2 2 . 3 m 0 c3 0

È

É ÎÌ ÄÅ

=

?

An

n-1

= nÊ


e2 n. 3 ? 0 m0 h

Bn

n-1

=

ÿÊ
ik n , l , m n , l , mÊ ÊÊ n , l , mÊ

È Ê

nlm (r) = Rnl (r)Ylm (, ),

È
x = r sin cos , y = r sin sin , z = r cos .

?



Ê

Å = co s Ê


È
z
n l m ,nlm 1 3


= Cl


É
2

m



Clm ç (Å)dÅ

ç

Rn l (r)Rnl (r)r dr
0 -1

ÅPlm

(Å)Plm

e
0

i(m-m )

d.


r r2 sin Ê

Cl

m


r dÅÊ

È sin

Å Ê

z

Ê




É É É É É É

È 2 È

È
m = mÈ ÅPlm (Å) ÅPlm (Å) = Ê

m

m

Ê È

Ê Ä

Ê ÍÏÅ

l-m+1 m l+m m Pl+1 (Å) + P (Å). 2l + 1 2 l + 1 l- 1

l = l Á 1Ê
x Á iy È

Å

È È
(x Á iy )n
1 3 l m ,nlm

x

y
Ái

É




x Á iy = r sin e = Cl


m



Clm ç

2 i(m-m Á1)

ç Rn l (r)Rnl (r)r dr
0

-1

1-

Å2

Plm

(Å)Plm

(Å)dÅ e
0

d.

? m = m Á 1 Ê È

Plm+1 (Å) - Plm+1 (Å) -1 +1 = 2l + 1 (l - m + 1)(l - m + 2) m-1 (l + m - 1)(l + m) m-1 = Pl+1 (Å) - Pl-1 (Å). 2l + 1 2l + 1 1 - Å2 Plm (Å) =



Äm = m + 1



m = m - 1 Å

1 - Å2


È


l = l Á 1Ê ? Å

È Ê
n - n x

È


Ê

È È

È È

Ê

l = l Á 1,

m = m, m Á 1 .

È

È Ê

Ê È È

É É

ÿÊ
? Ä ÅÈ Ê

21
Ä Å È
, A210,100 , A21Á1,100 Ê A200, Ï Ê Ä ÅÊ ? me e 4 3 = Ê 2h2 4 ? Ê? 21 = 3/8Ê A200,
100

É
L Ê

100

= 0È

É È É



21

?


Ê

Ê
5

É

R21 (r)R10 (r)r dr =
0 0

3

r e - r /2 2e 26

-r 3

1 r dr = 6

2 3

24 =

215/2 . 39/2


Ê
z
2 210,100 1 2

É

sin d
0 0

d cos

Y1 0

(, )Y00 (, ) =
-1

ÅdÅ
0

d

1 1 3 Å = . 4 4 3

x Á iy
2

sin d
0 1 0

d sin e

Ái

Y1 1 (, )Y00 (, ) = Á 3 8 1 - Å2 e
i

2

=
-1

1-

Å2 eÁi


0

d

1 . 4

Ê
3 22
1

É

-1

2 (1 - Å )dÅ = . 3
2

Ê È È
|z
210,100

È x

y

Ê
1/3Ê x y

È

É 1/ 6Ê É

É

z

|2 = |x21Á

1,100

|2 + |y

21Á1,100

|2 =

215 215 1 = 10 . 93 3 3

Ê
A21,
10

È
41 3 c3 3 8
3


2 3
15 10

= A210,

100

= A21Á

1,100

=

=

2 3

8

1 . c3


? ÿÏ Û ÞÊ



c = 137.036È A21,
10 10

Ê
-1

É Ê ÊÍ

A21,

= 6.24 Ç 10

8

ÿÊ
ÍÊ È
A21 = A200,
100


+ A210,
100

Ä
21
100

È
+ A21-
1,100

Å ÍÊ

É É Ê
8 -1

+ A211, 4

3 = A21,10 = 4.68Ç10 4

.

ÎÊ

Z

4

Z 2È

Ê

3 ik

È
1/Z È

Z Z 6Ê

É É É

È

Å Z 4Ê

È

Ê Í

Ð

+

1/Z 2 Ê ? É

Ê ÏÊ ? È

Aik

Ê

h ? ik Bki = cre fik , c re = e2 /(m0 c2 ) = 2.818 Ç 10 Ê ? fn n-1 = n/3Ê
-13

? Ê

È

É

Aik = 2

gk e 2 fik . m0 c3 ik gi

2

ÍÊ
f
21

È
= 213 /39 = 0.4162Ê

È
21

È È



É


Ê È Ê Ê ×ÑÑÑÈ
N

Ê ÄÅ Ê

Aik È

È È Ê

È



Ä ÅÈ É É É É É É É

È È

È

2

È N1 = 4959 ?È Ê
A20,

Ê Ê
-1

N1 = 5007 ? N2 AN1 = 0.021 AN2 = 0.0071Ê 200 100È



È

21

É É É É È É

10

= 8.23

Ê

Ê

+ 21 = 21 Ê ÏÍÊ

ÿÊ
ÍÊ
È
E1 È n
1


Ê
n2 Ê È

Ê E2 > E1 Ê È
n0 Ê 2

É
t=0

Ê

É A21 n2 (t)dt Ê

n2 (t) dt t

Ê

dn2 = -A21 n2 . dt

ÄÅ


n2 (t) = n0 e 2

-A

21

t

.

ÄÍÌÅ È Ê? Ê
e

ÄÅ
ln 2/A21 1/A21

ÄÍÌÅ
n

2

Ê

É É É É Ê É

ÎÊ ?
Ê ? È Ê Ä
A21 e t

Ê
È

ÄÍÌÅ

e

-A

21

t

Ê

1-e

-A

È
21

t

È

È

t

É É É É É

t



Ê

t = 0Å
t

ÌÈ

-A

È t = Å A21 e-A21 t È Ä È È È
A21 Ê

21

dt

t + dtÊ È




Ê
t=
0

É É

tA21 e

-A

21

t

dt =

1 A21 10
-7

Ê

? 10

-8

È

Ê É

ÏÊ

Ê

I ( ) =

ÎÌ

Ê?

É

1 , 2 ( - 0 )2 + ( /2)2

ÍÌÌ




0

Ä È Ê
21 Ê

È

Å



Ä ÅÊ È

É É Ê É É A21 È É É É É É É È É Ê É È É

È

È È




0

1/A21 È

1/ È Ê A21 Ê

È



È

Ê

È Ê? Ä È Ê Å

È Ê È È

È

Ê

E Ç t ? A21 Ç 1/A21 = hÊ h ?

Ê

Ê


Ê

È

È

È Ê É

È
i =

i-1 j =1

Aij Ê

É È È
i k

Ê

?

È

Ê

ÍÌÍ


È
i-1 j =1 k -1 j =1

ik = i + k , i =
0

Aij , k =

Akj .





ik



ik È ik 1 . 2 + ( /2)2 2 ( - ik ) ik
2 c / 0 = 2 / cÈ 0

Iik ( ) =

/0 = / 0 Ê É

=

2 2 e2 = re , 3 m 0 c2 3

ÊÊ
ik

2/3 2

Ê

Ê

Ê

= 2 1216 ?È = 1.45 Ç 10

2 ik ik . c

-11



È
= 1.45 Ç 10
-3

0.01 ?Ê


v

Ê

L Ê A21 4.68 Ç 10 ?Ê ? È È Ê Ê Ä È È

È

8

-1

È

É É É É



ÅÈ ik v /cÈ Ë È

?Ê ÍÌÎ

É




ÞÑ ÑÊ

Ê Ê Ê? ÎÍÊ

É É É

ÿÍÊ
ÍÊ
È
i? h

Ê

È

É

(r, t) = H (r, t) t

(r, t) = (r)e E

E t/ih ?

,

ÊÊ (r)
H (r) = E (r).

Ê

ÊÊ

E

É ÄÍÅ

? Å
H

ÄÊ Ê

ÄÍÅ Ê

É É

H = H0 + V .

ÄÎÅ

È
H0 n = En n ,

ÊÊ
n = 1, 2. . .,

ÊÊ
(n , m ) =
nm

.

ÄÏÅ É É È

È

È

ÊÊ ÈÊÊ ÍÌÏ

È ÊÊ ÄÏÅÊ ?


È ? VÊ ? Ê Ê

ÊÊ

ÊÊ

È

Ê È
V

H

É

ÎÊ ?
Ê Ê È
H = H0 + V , 1Ê ? È

Ê
È É ÄÅ É Å Ê Ê En E É É

ÄÎÅ



ÄÍÅ
E = En + =
l= 0 j =1

= 1Ê Ä ÊÊ

j aj = En + a1 + a2 2 + . . .,

l l = 0 + 1 + 2 2 + . . .

ÄÅ ÄÅ É ÄÅ ÄÅ ÄÅ



ÄÍÅ

Ê

H0 0 = En 0 , H0 1 + V 0 = En 1 + a1 0 , H0 2 + V 1 = En 2 + a1 1 + a2 0 , Ê Ê Ê

È Ê Ê ( , ) = 1Ê

Ê

É É

ÍÌ


ÄÅ



È

(0 , 0 ) = 1, (0 , 1 ) + (1 , 0 ) = 0, . . .

ÄÅ É Ê

Ê

È

Ê

È È

È È

Ê

ÏÊ
En n È

È

Ê ÊÈ 0 = n Ê
0

Ê
ÄÅ

ÄÅ

n Ê

(n , H0 1 ) + (n , V n ) = En (n , 1 ) + a1 (n , n ).

?
H0 È ?

È Ê ? È Í
a1 = (n , V n ).

É É Ê? É É

Ê

È

ÊÊ

È
m , m = n

É

Ê ÄÅ

(m , H0 1 ) + (m , V n ) = En (m , 1 ) + a1 (m , n ).

? ÊÊ

?

È

H

0

É

(En - Em )(m , 1 ) = (m , V n ).

ÍÌ




1

ÄÅ È

(m , 1 ) Ê Ê {n }Ê n È

È
m = nÊ ?

Ê
1 =
m =n

È

É É É Ê È

È
(m , V n ) m . En - Em



? È È Ê
n È a
2

ÄÅ

ÊÊ
n

Í

É

È

É 1 Ê?

a2 = (n , V 1 ) =
m =n

(n , V m )(m , V n ) = En - Em

m =n

|(n , V m )|2 . En - Em

ÊÊ Ê



È

ÄÍÌÅ ÊÊ É

Ê

Ê È È È Ê

ÄÍÌÅ Ê È Ê ÊÈ ?

Ê E1 < Em Ê È

n = 1È Ê Ê

É É Ê É

Ê

Ê

ÈÊÊ ÍÌ

È

kn > 1 Ê ÊÈ

Ê

En

É


È

È
kn

nsn , sn = 1, 2, . . ., kn È 0 Ê ÊÊ 0 =
s =1 n

É

fs ns . n n


kn sn =1

|fsn |2 = 1.

Ê Ê nsn ÊÊ
H
0

ÄÅ ÊÊ

Ê
f
nsn

Ê Ê nsn Ê È È Ê

É É É É ÄÍÍÅ

(nsn , 1 ) = fsn Ê
kn

(nsn , V ns )f n
s =1 n

s n

= a1 fsn , sn = 1, . . ., kn .



ÄÍÍÅ

ÊÊ

? V f = a1 f
kn fn1 f f = n2 . ... fnkn

É

? V = {Vsn

sn

},

Vsn

s n

= (nsn , V ns ), n

ÄÍÎÅ

V

È
kn

Ê Ê Ê?

É
kn ÊÊ

Ê ÊÈ ÍÌ


ÊÊ

Ê

? det{V - a1 } = 0,
Ä
sn = 1, . . ., kn Ê

È

kn

È

È Ê Ê

È Ê

Ê Ê È

Ê? Ê È

a

(sn ) 1

Ê

ÅÊ È É É É È É

Ê

ÊÊ Ê



Ê


È Ê Ê

Ê



É

(0, 0, E ), E > 0Ê ÅÈ

Ê V = eE r = eE z È e < 0 È
- e2 h ?2 - + eE z = E . 2 m0 r

E= ÄÉ É

ÄÍÏÅ


H0 = - e2 h ?2 - , 2 m0 r

ÄÍÏÅ
V = V = eE z .

È

V = -E z Ê

Ê

Ê

È

È

ÍÌ


n = 1È E1 = -1/2Ê a1 = -(100 , E z 100 ) = -E z
100,100

È
= 0.

È

È Ê n = 2È E2 = -1/8Ê Ê



Ê È È ÄÍÎÅ

É É Ê É É

Ê

ÊÊ

1 = 200 , 2 = 210 , 3 = 211 , 4 = 21-1 .

Í ÍÌÊ  È


Ê È Ê ÍÈ
12

É É È É É É
210,200

Ê? (210 , z 200 )


Ê

È z
2

=z

21

=z

=

z

210,200

=
0

r dr
0

3

cos sin d
0 1

e - r /2 e - r /2 r r co s d 1- = 2 4 2 2 2 1 2 (24 - 60) = -3. 8 3

1 = 8

0

r5 r- 2
4

e

-r

dr
-1

Å2 dÅ =

È
0 3E ? V= 0 0 3E 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

.

ÍÌ


?
(a2 - 9E 2 )a2 = 0. 1 1 = -3E , a Ê?
(2) (2) 1

f

(1)

1 1 1 = , f 2 0 0

ÊÊ

a

(1) 1

= 3E , a

1 = 2



= 0 , a1 = 0 Ê È Ê ÊÈ 0 0 1 -1 (3) 0 (4) 0 , f = , f = 0 1 0 1 0 0

(3) 1

(4)

É


Ê

È È Ê ÊÊ

Ê

È

.

Ê
a

È
(1) 1

É É É É = -3E

E a
(2) 1

= 3E 0 =
(1)

210 - 200 210 + 200 (2) , 0 = . 2 2

È

ÊÊ

È
3E

ÊÊ
210 200 + 2 211 , 21-
-3E
1

n=2

ÊÊ
Ê

210 - 200 2

Ê

ÈÊÊ ÍÍÌ

È

É É È


3E -

È ÈÊÊ

1 1 5 + 0.07, E 0.023. 18 8 216 E 0.023 108 ?Ë Ä ÅÊ Ê Ê

É

ÿÎÊ
ÍÊ


Ê
Ê Ê È Ê É É É É Å

Ê?

È

Ê? Ê

?  Ä?



i? h

h ?2 (r, t) =- (r, t) + V (r, t)(r, t). t 2m

ÄÍ Å


(r, t) = e
iS (r,t)/h ?

.

ÄÍ Å Ê É

ÄÍ Å

ÄÍ ÅÊ

i S (r, t) i (r, t) = (r, t) , (r, t) = (r, t) S (r, t), t h t ? h ? 1 i 2 2 (S (r, t)) (r, t) + (r, t) ? S (r, t). h h ?

(r, t) = ((r, t)) = -

ÍÍÍ


?

Å
-

ÄÍ Å

Ä

É ÄÍ Å É

1 i? h S = (S )2 + V - S. t 2m 2m

Ê

ÎÊ


S = S0 + i? S1 + (i? )2 S2 + . . . h h

Ê
ÄÍ Å ÄÍ Å
i? h

É ÄÍ Å ÄÍ Å É É

S0 1 2 = (S0 ) + V , t 2m S1 1 1 - = S0 S1 - S0 . t m 2m -

Ê ÄÍ Å ?

Ê Í Ê

È


S

Ê

0

Ê

É È

ÏÊ

ÄÍ Å
=e

Ê
iS0 /h-S ?
1

Ê

Ê
1

= ||2 = e

-2S

,

j=

h ?i h ? ( - ) = 2 S0 e 2 mi 2 mi ? h

-2S

1

=

1 S 0 . m

ÄÎÌÅ

ÍÍÎ


É
S1 = -2 t t 1 1 S0 - 2S0 S1 . m m

,

j =

ÄÍ Å S1 1 1 + j = 2 - + S0 - S0 S t t 2m m È
V

É
1

= 0.

Ê Ê

É É È ÄÎÍÅ É

Ê

È
-

Ê
h ?2 + V (r) (r) = E (r), 2m

E

È

È
(r, t) = e
E t/ih ?

(r).


(r) = e
i(r)/h ?

ÄÎÎÅ ÄÎÏÅ ÄÎÏÅ Ê ÄÍ ÅÈÄÍ Å 0 1 Ê ÄÎÍÅ É


= 0 + ih1 + . . . ?



S

0

S

1

S (r, t) = E t + (r),


i? h 1 ( )2 + V - = E . 2m 2m S0 (r, t) = E t + 0 (r), S1 (r, t) = 1 (r).

ÍÍÏ


ÄÍ ÅÊ
1 (0 )2 + V = E , 2m 20 1 - 0 = 0.

É É ÄÎ Å É É È

Ê S0 (r, t) ÄÎ Å

0

Ê ÄÎÌÅÊ ? È Ê

Ê

Ê

xÊ d0 (x) dx
2



Ê

ÄÎ Å
d0 d1 d2 0 = 0. - dx dx dx2

É É

= 2m[E - V (x)], 2

?
p(x) = 2m[E - V (x)],

ÄÎ Å

d0 d1 dp(x) = Áp(x), 2p(x) = . dx dx dx

ÄÎ Å È

ÄÎ Å
0 (x) = Á 1 ln p(x). 2

p(x)dx, 1 =

ÄÎÎÅÈ
(x) = 1



Ê 0
i h ?

È
1

È ÄÎÏÅÈ ÄÎ Å

p(x)

ex p Á

p(x)dx .

ÍÍ


Ê
(x) = C1 p(x) ex p i h ? p(x)dx + C2 p(x) ex p - i h ?

É É

p(x)dx . ÄÎ Å

È

Ê

Ê É É Å É

Ê

? È

Ê
Ê È Ê ÊÄ
dS dx
2

Ê ÄÍ Å

h ?

d2 S . dx2

ÄÎ Å



dS p(x)Ê dx h ?

ÄÎ Å

dp(x) |p2 (x)|. dx (x) = h/p(x)È ? d 1. dx

?

É

È Ê ? È È Í ÅÊ È È
p(x) = 0Ê

È É Ê Ä ÊÈ

ÄÎ Å ÄÎ ÅÈ

Ê
Ê? ÄÎ Å ÍÍ È

Ê

V (x) E È È

Ê

É È


ÄÎ ÅÈ

Ê x1 x2 > x1 È p(x)

Ä

Å Ä

È Ê ÅÊ

É

2 40 30 0 20 10 -1

V (x )

1

p (x )

E x
1

- p (x ) x
0 1
1

x
2 3

2

-2 4

x
2

2

0

ÊÊ

0

1

x

3

x

Ä ÅÊ

p(x) Ä ÅÊ

È ÄÎ Å È
|x| [x1 , x2 ]

ÈÊÊ ÅÈ Ê Ä È È Ê

ÄÎ Å Ê

Ê Ê
p2 (x)Ê

É É


p(x)

È

È Ê Ê

p(x) V (x)Ê È

È Ê

É È É É É È É È

È

[x1 , x2 ]

ÍÍ


|x|

Ê? xÊ

Ê
È
V (x) Ê È





Ê
ÈÊÊ

É É É

V (x) z ÄRe z = xÅ
(x) 1 p(z ) i h ?

È

Ê
(z ) =

Ê ÄÎ Å



É p(x)È È É

ex p

p(z )dz .


x1

x2 È

x1 p(z ) Ê? x2 V (x1 ) < 0È V (x2 ) > 0Ê ?

È p(x1 ) = p(x2 ) = 0Ê Ê È 2m[-V (x1 )(z - x1 )È p(z ) 2m[V (x2 )(x2 - z )]Ê (z )È [x1 , x2 ]Ê

È

É É

É É É



p(z )È Ê

È Ê

È

È

(z )

È

p(x)

È x2 - z
x1

2 È e

È ÊÊ
2 i/2

È

= -1Ê ÈÊÊ

e

2 i

= 1È

É

p(z ) x2 È

p(z )

-1Ê


[x1 , x2 ]

Ê È ÍÍ
(z )

ÈÊÊ È

È


ÊÊ

Ê
z

Ê

È

É É

x1

x2
Ê

ÊÊ
x2 Ê e

È È Ê

-1È 1/ p(z ) i ex p - h ? p(z ) = p(x)È



É p(z )È É p(z ) = -p(x)È
x
1

2 i(-1/4)

x1

x

2

p(x)dxÊ x2



É
e
2 i(-1/4)

i ex p h ?

È

x

2

x

1

p(x)dxÊ ?


x

i ex p - i + 2 h ?

2

x

1

p(x)dx .



È
- i + i 2 h ?

ÍÈ

É

x

2

p(x)dx = 2 in.
x
1

ÅÈ n = 0, 1. . .

Ä

ÍÍ


x

2

2
x
1

p(x)dx = 2 ? n + h

1 2

.

ÄÏÌÅ È

È
1 r p(r) ex p Á i h ?

ÊÊ

(r) =

p(r)dr , p(r) =

2m[En - V (r)],

r

0

2
0

p(r)dr = hn, n = 1, 2, . . .,

ÄÏÍÅ
p(r)

r0

Ê

Ê

È Ê É Ê Ä È È
2 ? = h h

É

Ê
Ê ÄÏÌÅ È Ê?
En È

Ê

Ê
p(x) (x, p) [x1 , x2 ]

ÄÏÌÅ

É É

Ä ÅÊ

Ê È ÅÊ È É É É ÄÏÎÅ

Ê È

È

2m[En - V (z )]dz = h(n + 1/2). x1 n 1È x2

È

n

En Ê

 ÍÍ



Ê

È


È È dx h/pn (x) = 2 Ê


x2 - x1 È Ê Ê Ê n



É
n É É

È È

È

È

ÄÏÎÅ Ê

ÄÏÍÅ

È

É É É É

È É Ê ÄÏÎÅ È


Ê Ê Ê È Ê
h

Ê



È

È




n 1È

È

É





Ê
h
3



É É Ê

ÿ ÏÊ ?
È Ê ÊÊ
HÈ Ê Ê H n = En n , (n , m ) = =
n=1 nm

È ÊÊ
.

É É É

?

ÊÊ

É

cn n .

ÍÎÌ


Ä


( , H ) = =
n=1 m=1

ÑÑÅ
(cn n , H cm m ) =
n=1 m=1

Em c cm (n , m ) = n
n=1

En |cn |2 .

ÊÊ
( , H ) E1 E1 ( , H ) , ( , ) |cn |2 = E1 ( , ).

É

n=1

Ê ÊÈ

ÄÏÏÅ Ê? É ÄÏ Å


= , ,. . .


f (, , . . .) =

, , . . . (, ,. . . , H , ,. . . ) . (, ,. . . , , ,. . . )

ÄÏÏÅ
E1 f (, , . . .).

ÄÏ Å Ê É

?

Å ÄÏ Å


f
, ,. . .

Ä

E1 inf f (, , . . .). , ,. . .

È Ê ÍÎÍ

ÊÊ




ÄÏ Å ÄÏ Å ÊÊ
1 1

È
1 , 1 , . . .

,1 ,

...

ÄÏÏÅÈ 1 Ê ÊÊ
E2 ( , H ) , ( , )

È

ÊÊ

È

Ê ÊÈ È

É É È

( , 1

,1 ,

. . . ) = 0.



ÊÊ ÊÊ

Ê Ê Ê Î Ê Ê È Ê

É

È Í Ê

ÍÎÎ




ÞÑ Ñ ÑÊ

ÿ ÍÊ
ÍÎ Ê Ê È ÍËÎ È È È Ê È Ê Ê É É

(r) =

1 (r) 2 (r)

.

ÄÍÅ

S= z x = 0 1 1 0 , y =

h ? , 2 È -i 0 10 01

0 i

, z =

.



Ä È

È Î Ê Ê

ÅÈ

È È Ê Ê 1 (r) = 2 (r)È Ê



É Ê É É É Ê

È È

Ê

È È Ê

ÎÍÊ È

É È

ÍÎÏ


È Ê Ê
H

È
Å=- e SÊ me c

Ê

É É

-eÊ

È

È

Ê

É e SHÈ me c É


p2 2m - V. t

T=

ÄÎÅ

p p = -i? , T i? h h T

Ê

Ê?

É É

12 p + V = E . 2m

È ?Ê Ê
e 1 p+ A 2m c
2

È
e? h H = E . 2 me c



É É ÎÍÈÎ

- e -

?



ÄÍÅÈ ÄÎÅÊ

A

Ê

Èp

Ä e p + AÊ c Ê

E + eÈ

É Ê É É

ÅÊ È

ÍÎ


È Ä Ê È

Ê Ê È È È

È ÅÊ Ê Ê

É É

É È Ê

E 2 = m 2 c4 + c2 p 2 .

ÄÏÅ Ê ÌÊ Ê É É É É É É Ê Å ÄÏÅ Å É É É É



È Ê

È È

È È È

È

È È

Ê Ê È È È Ä

Ê ?Ê Ê

Ê

ÍÎ È

ÊÈ

Ê



Ä Ê Ê

Ê

Ê

E = mc2 + cp.

ÍÎ


È È È


È Ê


ÄÏÅÊ ÍÈ


È

È Ê Ê È Ê Ê

É É É Ê Ê É È È É Ê É

È

Ê

Ê Ê È

É

È ÊÊ

È È

Ê

Ê Ê? È ÊÊ Ê Ê Ê ? Í ÏÎ Ê Ä

ÄÍ ÏÌ ÊÅÊ É É Ê É Ê Ê Ê?

È ÍÏ ÊÅ ?

Ê

ÿ ÎÊ
ÍÊ
Ä

Ê

È ÍÎ

È

É


Å

Ê Ê
J = L + S,

É É

?

È ? È
Enj = e2 /(hc) ?

È

j mj = -j, . . ., j Ê j = l Á 1/2Ê

nj m e c2 - m e c2 . = (1 + 2 /n2 )1/2 1

ÄÅ Ê Ä ÅÊ
n

È


(j + 1/2)2 - 2 .

1

?

ÄÅ
nÈ j (j + 1)h2 Ê ?

n n1 = n - j - 1 / 2 + En j

Ê

Enj É É

Ê È

È ? l = j - 1/2È È

? ?Ê ? l = j + 1/2Ê ? C- |C- /C+ | È
j l = j + 1/2 È C+ Ê

É lÊ É É È É

|C- /C+ | 1/Ê
4

È

É

10

l = j - 1/2È

|C- /C+ |2 Ê

nÊ l = 0, 1, 2. . ., n - 1 È

É

È ÍÎ

j

È j = 1/2, 3/2, . . ., n - 1/2Ê É 2j + 1Ê ?


2 + 4 + 6 + . . . + 2n = n(n + 1)Ê ? l = 1, 2, . . ., n - 1È j = 1/2, 3/2, . . ., n - 3/2Ê 2 + 4 + . . . + 2n - 2 = n(n - 1)Ê È n 2 n2 È ÿ 2 10-4 È 2 Ê Ê n1 = n - j - 1 1 + j+ 2 2 1- 1- 2 (j + 1/2)2 = n-

É ÞÊ
n

É
1

1 1 n-j - + j + 2 2 n

2 2(j + 1/2)2

1 2 . 2 j + 1/2

1

2 Ê ? n
1

È ÄÅ

4
2

Enj -

me e 1 h ? 2 2n

4

1+

n2

2

n 3 - j + 1/2 4

.

È ?
j

È Ê Ê? n "l j Ê È È
1/2

È

É É É É É É 2Ø3/2 È

Ê 1Û1/2 È 3Û1/2 , 3Ø

È

, 3Ø

3/2

,3

3/2

,3

5/2

2Û1/2 , 2Ø ÊÊ

1/2

ÎÊ

È

Ê
Ä È

Ê

È

È È Ì Ê Ì È

É ÅÈ É É É

Ê È

Ê

ÍÎ


È

È ? Ä ? È

? Ê? Ê Ê? ÅÊ ? Ê È É

È ÊÊ Å È Ê? ÈÊÊ È Ê Ä È

Ê È ?Ê ?È ?

É É É É É É É

È

Ä

È Ê? Ê Å

È

Ê  È ÍÌ ÊÌÏ

j È

ÎÛ1/2 Ê È

ÎØ

1/2

ÎÛ

1/2

Ä
10

9

È Å

È ÍÌ

È ÍÌÌÌ

É Ê? É É É

É É É É Ê

Ê Ê Ê

Ê

È É É

Ê ?Ê ÍÎ

Ê Ê

È ÄÍ Í ÊÅÈ Ê


È

Ê?
J f = j Á 1/2Ê ? n" l f Ê j Ê

É É

ÏÊ

ÍÛ1/2 l = 0Ê Ï ÌÌ Í ÎÌ

Ê
Ê

È

È È

É É È É É É

Ê Ê

ÎÍ

È

Ê Ê A = 2.85 Ç 10-15 3 Ç 1014 107 Ê ÌÊÌ

-1

È

È Ê

Ê

È

É

2P

2737
3/2

2745

2P
10950

3/2

-8 9910

+9 -15

2P 2P

2 3/2 1 3/2

2S

1/2

2P

1/2

2S 2P

1/2

1058
1/2

+1041 -17

ÊÊ
È Í

+44 -133 +15 -44



Ê

2 2 2 2

S S P P

1 1/2 0 1/2 1 1/2 0 1/2

Ä ÎØ
1/2

Ê ÅÊ ÍÏ



ÎÛ1/2 + 2Ø1/2 ÍÌ Ì Ê ? ÎØ3/2 ÎÛ1/2 ÍÏÌ

É ÈÊÊ ÎÏ Ê É

ÎØ1/2 ÍÌ Í

Ê?


ÎÛ È ÍÏÏÈ  Ê

1/2

ÎØ

3/2

ÍÌ

Ê È È ÎÛ ÎÛ

ÍÌ ÎØ Í

Ê
1 3/2

ÎØ2/2 3 ÎØ3/2 Ê ÎÛ1/2 È ÎØ ÎØ1/2 Ê

Í

1 1/2

ÎØ

1 1/2

0 1/2

0 1/2

È Ê

É

ÿ ÏÊ
ÍÊ
È È Ê È È Ê È Ê
= (r, s)È s

Ê
È È Ê Ê É È Ê

É É



Ê Ê È

Ê? É É É É ÍÌÊ É É Ê ÍÏÍ È


É Ê É É È

Ê

È | (r)|2 d3 r d3 r




(r)È

È

È

r


r

Ê

É ?
1

È
2 Ê d1

È? Ê È d2 È Ê?

? ? É É

Ê

Ê? È È

É

| (1 , 2 )|2 d1 d2 Ê È

È

| (2 , 1 )|2 d1 d2 = | (1 , 2 )|2 d1 d2

È

È
| (2 , 1 )| = | (1 , 2 )|.




(2 , 1 ) = ei (1 , 2 ).

Èe

i

ÎÊ
È È

= Á1Ê

È

È

e

2i

=1 È

È

Ê
È È

Ê

È

É È È ÎÍÈÎ Ê ? É

Ê?

Ê

Ê?
Ê Ê? Ê



È

È

É É Ê
É

È
ÍÏÎ


ÊÊ


È Ê È



( , ) = 0È È

Ê Ê Ê È É

È

Ê

ÏÊ ?
ÊÊ
H0 ( )


ÊÊ
H0 ( )n ( ) = En n ( ).

Ê

È

N
N

É

H=
j =1

H0 (j ).

ÄÅ

H (1 , . . ., N ) = E (1 , . . ., N )

ÄÅ

Ê
N

(1 , . . ., N ) =
j =1

nj (j ).

ÄÅ ÄÅ É É È Ä ÅÈ

È

ÄÅ

ÄÅ Ê?
N



E=
j =1

Enj .

ÄÅ ÄÅ

Ê

Ê Ê

ÍÏÏ



n1 ( ) n2 ( )

È È

Ê

È

Ê

É É É

1 s (1 , 2 ) = [n1 (1 )n2 (2 ) + n1 (2 )n2 (1 )], 2 1 a (1 , 2 ) = [n1 (1 )n2 (2 ) - n1 (2 )n2 (1 )]. 2

?


1 s (1 , . . ., N ) = N!
N

N nj (j ),
(n1 . . .nN ) j =1

É ÄÅ

? Ä ÅÈ

È Ê [n1 . . .nN ]

Ê
N !Ê

È È È É

(n1 . . .nN )
N

1 a (1 , . . ., N ) = N!

(n1 . . .nN )

(-1)[

n1 . . .nN ] j =1

nj (j ).

È

È



È

È
n1 (1 ) ... nN (1 )

È

È

1 a (1 , . . ., N ) = N!

. . . n1 (N ) ... ... . . . nN (N )

.

É È

Ê

Ê

È



É

É

ÍÏ


Ê?
Ê


È È Ê È

Ê

È

É

É

É É È È È
n1 (r)

? Ê Ê Ê

É É É



È


s (r1 , r2 ) =

Ê n2 (r)Ê

n1 (r1 )n2 (r2 ) + n1 (r2 )n2 (r1 ) , 2 n1 (r1 )n2 (r2 ) - n1 (r2 )n2 (r1 ) . a (r1 , r2 ) = 2



È
s = n1 (r1 )n1 (r2 ),

É



h ? /2

-? /2È h 1 0 ,

È
u- = 0 1

Ê

u+ =

.

zÅ u
11

Ä
=u
(1) (2) - u-

=u

(1) (2) + u+

,

u

10

u

00

1 (1) (2) (2) (1) = [u+ u- + u+ u- ], u 2 1 (1) (2) (2) (1) = [u+ u- - u+ u- ]. 2

1 -1

,Ä Å

ÄÍÌÅ

ÍÏ


Ê ÎÊ È

È Ê? È

Í

É É É É É É É

È È

Ê ÈÊÊ Ê

È Ê

È

ÿ Ê?
ÍÊ Ê
H = H0 (r1 ) + H0 (r2 ) +


e2 , |r1 - r2 |
2

É

ÄÍÍÅ

H0 (r) = -

2e h ?2 r - 2 me r

È ÄÍÍÅ È
n1 l 1 m
1

Z = 2Ê

Ê
nlm (r)Ê ? H
0

É É É Ê É

Ê È È È



n 2 l 2 m2 Ê

È ÍÊ È É

É

Ê

ÍÏ


È È
100 (r)Ê ?

Ê Ê ÍÈ Ê Ê n l m (r)Ê

É É

È

Ê

É É

En (He) = E1 + En = -

22 2 22 - 2 = -2 - 2 . 2 2n n

Ê

È n = 1È
100 (r1 )100 (r2 )Ê

Ä ÅÊ

É ÄÍÌÅÈ Ê

ÄÍÌÅÈ È Ê

Ê?

É

ÎÊ
ÍÅ

È



Ê

Ê

É È É É
-Z r

Ê
Z 3/2 e Z3 e

ÊÊ Z = 2Ê
-Z r
1 2

Z 3/2 Z (r1 , r2 ) = 100 (r1 )100 (r2 ) = e Z = 2Ê ?  Ê

=

-Z r 1 -Z r

2

E1 (He) = -4Ê

ÄÍÎÅ É Ê É

È
Z = 2Ê r2 Ê r2

È Ê
r1

ÍÏ


È

È r1 Ê

r1

r2

È È
a1 = 8 Z =8
0

È Z È



2 r1

r1 , r2 2 Ê ? Å = co s 2 Ê r1 = Z r1 È Ê È 1/Z Ê ? Ê?
1

|r1 - r2 | = ÄÍÎÅÈ 1 Ê È

2 2 r1 + r2 - 2r1 r2 cos 2 Ê

r1

2 Ç 2 Ç 2 = 8 2 Ê 2 È É r2 = Z r2 Ê r1 r2 È É

É

2

dr1
0

2 r2

dr2
-1

0

1 dÅ e 2 2 r1 + r2 - 2r1 r2 Å 2
2 r2 dr2

-2r1 -2r

2

=

e

-2r

1

2 r1 dr1



e
0

-2r

2

2 2 r1 + r2 - 2r1 r2 Å -r1 r2

1

=
-1



=8
0

e

-2r


1

r1 dr1
0

e
1

-2r

2

r2 dr2 [r1 + r2 - |r1 - r2 |] =


=8
0

e

-2r

1

r1 dr1 dr1



r

e
0

-2r

2

r2 dr2 2r2 +
r
1

e

-2r

2

= 16
0

r1 e


-2r

1

1 -e 4

-2r

1

2 r1 r1 1 +e ++ 2 24

r2 dr2 2r1 =
1



-2r

2 r1 r1 + 2 4

=

= 16
0

r1 e

-2r

1

dr1

1 r1 + 1 - e 4 4

-2r

1

=4

5 1 1 2 =. - - 4 16 64 8

Z=2 ËÈ -2.75 Ê Ê Ä

Å

É E1 (He) = -4 + 5/4 = -11/4 = -74.8 ?Ê  È -78.9 ?Ê ÍÏ


E È

Ê Ê?

È ÊÊ È
-2Ê

É É É

Z=2 ÎÌÊ ?Ê  ÌÊ Ì Ê Ê= 24.5 ?Ê

È È Ê Ê
1/r1 È

È E = 0.75 Ê Ê É É ÄÍÎÅÈ
Z É É È 1/r

ÎÅ ?


ÄÍÍÅÊ ?

Ê



Ê

ÎÌÁÊ

r2 È 100 (r)Ê

ÍÊ

1/r Ê

ÊÊÈ


ÊÊ É

Z=1 (Z , Z /r1 ) = Z (100 , 100 4 /r ) = Z


e
0

-2r

rdr = Z,

-4Z Ê

É È È È È Ê?
Z -Z /r

Ê -Z 2 /2È -Z 2 Ê

È

É

Ê

Z 2 /2Ê

É

f (Z ) = (Z , H Z ) = 2


E1 (He) 27 16
2

Z2 5 27 - 4Z + Z = Z 2 - Z . 2 8 8 Z = 27/16 = 1.69È 27 16
2

-

27 27 =- 8 16

= -2.85

ÍÏ


E = 0.85 Ê Ê = 23.1 ?È ÁÊ È Ê È Z = 2È f (2) = -11/4 Ä Z = 27/16 = 1.69Ê ÅÈ Ê Ê Z = 1.69 Î È Ê

È

É É É

ÏÊ ?

Ä

Å

Ê
ÊÊ

Ä
Z =2

Å

É

Á (r1 , r2 ) =

100 (r1 )nlm (r2 ) Á 100 (r2 )nlm (r1 ) , 2

n > 1.

È È Ê Ê Ê
m

É É É É È

Ê
-2 - 2/n

2

ÊÊ

È


n l

Ê

aÁ = 1

d3 r1 d3 r2 (r1 , r2 )Á (r1 , r2 ) = C Á A. |r1 - r2 | Á

È
(r1 )nlm (r2 ) C=

ÊÊ
d3 r1 d3 r2 |100 (r1 )|2 |nlm (r2 )|2 . |r1 - r2 |

Ê? ÍÌ


ÊÊ
A = A = d3 r1 d3 r2 (r1 )nlm (r2 )100 (r2 )nlm (r1 ). |r1 - r2 | 100

? Ê È ÅÊ

Ê

Ê? Ä

A

É C

Ê
Ê

Ê

É

41S

7.37

6.86

6.86

6.86

1
12.10 13.45 12.20

8.01

7.09

6.87

6.86

4 3F

31S

3 1D

12.20 15.07

12.74

12.21

3 3D

2

3S

3

3
27.17

2 1P

27.12 29.22

2 3P

21S 11S

32.03

4

198.30

38.45

Ê ÍÌÊ
Ê ÍÌ Ê Ä1 0

5

23 S

Ê

ÈÊÊ
3 -1

É
1.986 Ç 10
-13

=

ÍÍ


0.1240 ?ÅÊ n3 " l

È

Ä ?Ê È Ê È

n1 " l

É É

ÞÅÊ

Ê ÍÌÈ

É É

Ê Ê Ê È Ä È ÌÅÈ ÍÊ Ê È Ê È È ÌÈ Ê Ê Ï -1, 0, +1Ê Ê È

É É É É É ÈÊÊ É

ÍÎ




Ñ

Ê

Ê

ÎÍÈÏ È

É É Î ÈÏ Ê ? È Ê É ÈÊÊ ÊÉ É É

È Ê Ê Ê

ÿ ÍÊ
ÍÊ
ÍÅ ÎÅ Ê Ê


Ê?
Ê ÈÊÊ È Ê
m2 Ê ?

Í Ê

É É

ÏÅ ?

È ÊÊ

Ê È É

Å
r2 Ê m



Ê
t

Ê È Ê? Å

1

É r1

Ê ?
m1 r1 + m2 r2 R= , m1 + m2 r = r2 - r1 .

É É

R

ÍÏ


Ê
r1 = R - m

Èr

É

È

É Ê

m m1 m m2 r=R- r, r2 = R + r=R+ r, m1 + m2 m1 m1 + m2 m2 m1 m2 . m1 + m2

m=

É
r m1 ?1 = -F(r), F(r) r m2 ?2 = F(r),

ÄÍÅ

È
r r m1 ?1 + m2 ?2 = 0,

Ê

ÄÍÅ ÄÎÅ

m1 r1 + m2 r2 = (m1 + m2 )V0 ,

V0

È È

Ê
R(t) = V0 t + R0 .

?

Ê

É ÄÍÅÈ È
m1 È

m2 È

È

É ÄÏÅ É

m? = F(r). r

Ê

ÎÊ
F

Ê
-V (r)È È

Å ÄÎÅÈ

Ê?
Å ÎÅ Ê

È

È

V (r) |r|

Ê Í

F(r) = É V (r) 0È Ê Ê É


ÄÏÅ

r

m? r = F(r) r = -r V (r). r r2 + V (r) = E . 2

m

Ê Ê
m1 m1 2 m2 2 r+ r + V (r) = 21 22 2 V0 -

È È

È

E

È
2

m m2 r+ m1 2 m1 + m2 2 + V (r) = V0 + E . 2

V0 +

m r m2

2

+

È

Ê

ÏÊ
? ?

Ê

È

Ê È

È





?
t = ÁÊ

É É É É

m1 r1 (-) = p1 m2 r2 (-) = p2

È t = - |r(-)| = + V (r(-)) = 0

m1 r1 (+) = p m2 r2 (+) = p

1 2

È
p1 + p2 = p + p , 1 2

È

È t = + |r(+)| = + V (r(+)) = 0

É

2 p1 p2 p 2 p 2 + 2= 1 + 2. 2 m1 2 m2 2 m1 2 m2

È Ê Í

É


?
p1 p p p2 - , v = v n = r() = 2 - 1 . m2 m1 m2 m1 n 2 E, v m 2 E, m

v = v n0 = r(-) =

Ê

n0

É È
2

v 2 = |r(-)|2 =

= |r(+)|2 =

ÊÊ Ê

Ê Ê

É

p1 = m1 V0 - mv n0 p2 = m2 V0 + mv n0

p = m1 V0 - mv n p = p1 + mv n0 - mv n 1 1 p = m2 V0 + mv n p 2 = p2 - mv n0 + mv n 2

Å Ê v = vÈ È È Ê Ê

Ê

Ä

É É É É É È È


Ê

È

É É É

n = (sin cos , sin sin , cos ). Å = co s Ê n0 Ê É

Ê

Í


Ê

Ê?

Ê

ÊÊ Ê

Ê

Ê

Ê

Ê É È É



ÎÍ

V0 = 0 p1 = -mv p2 = mv p = -mv n 1 p = mv n 2 v = v n0 v = vn p1 = 0 p2 = m2 v

V0 =

m v m1 p 1 = mv (n0 - n) m2 p 2 = mv n + n0 m1

? Ê

È
p p2 p p1 1 = 2 2 = nn0 = cos = Å. m2 v 2 m2 v

É É

?

Ä

Å

É É

1-Å 1-Å p2 p 1 = sin , = | = |p2 ||p1 2 2 2 - 2Å p2 p Å + m2 / m1 2 c o s 2 = = . |p2 ||p | 1 + m2 x2 /m2 + 2(m2 /m1 )Å 2 1 c o s 1 =

Ê
È É
n0 Ê 

Ê
Ê

È



È

É É

Ê

Í


È

Ê? Ê Ê

È Ê

É
n0 b È b

È É

É É È

Ê

b = lim

t-

r - (r r)

r . |r|2

b = lim r - (r r)
t

?

r . |r|2

È
È

Ê
vÊ b Ê ÄÏÅÊ

É É É





È

Ê

È


Ê Ê
b = b()È É v

Ê
È

É É É É È É

È Ê È

È È ÊÊ b = b()Ê È Í
= 0Ê

È

É


Ê

È
2 b()

É

0 =
0

d
0

bdb.



È = (b, ), = (, )Ê 1 D(, ) . = D(b, ) D(b, ) D(, )

È

È É

?

, 0 = b D(b, ) dd. D(, )



É


0 = (n) (n) = 1 D(b, ) b b = , sin D(, ) sin D(, ) D(b, ) (n)d2 n = (, ) sin dd.

ÄÅ

Ê È Ê ÈÊÊ

È

È

È

Ê

È Ê Í È

É


Ê
V = V (r)

r F = -V (r) Ê r

Ê?
Ê
L = mr ç r

È

É É

È
dL = L = mr ç r + mr ç ? = 0 . r dt

Ê
m1 r1 ç r1 + m2 r2 ç r2 = m + R+
1

È
m m r ç V0 - r+ m1 m1

R-

m m r ç V0 + r m2 m2

= (m1 + m2 )R0 ç V0 + L.

È


r

r

Ê Ê

È ÄÅ

È = È

É È É É



() =

1 db b b = . sin d sin d db


ÄÅ

0 = 2
0

() sin d.

?
L = m|r ç r| = m r - (rr) r ç r = mb v . |r|2

ÄÅ

È ÍÌ

È


Ê
t -Ê È L = mb v = mb v È b = bÊ

L ÄÅ

È
t È

É È É

Ê? Ê
?



È

É

É
V (r)

É É



É

Ê?

È

r = r(cos , sin ), r = r (cos , sin ) + r(- sin , cos ).

Ê
E=

É

È

È

É

m2 m r + V (r) = (r2 + r2 2 ) + V (r), 2 2 L = mr2 ||.

r=Á r

2 m

E - V (r) - Ê m 2

L2 L , = Á 2. 2 2 mr mr

É
1 . E - V (r) - L2 /(2mr2 )

L d =Á dr mr

2

ÄÅ ÈÊÊ É É É É

Ê È
b

Ê

ÍÍ


x=b

x = -È È

Ê
b

É É



È
t = - r + rÈ r t = +Ê 0 Ê ?

Ê

Ê È r0 Ê É ÄÅ É ÄÅ È

+

È

È
r

È Ê
> 0

ÍÅ

?+?È

È

È

<

0

?-?Ê È È

Ê V (r) > 0Ê
0 > / 2 Ê

Ê ÍÍÈ Ê
10 8 6 4 2 0 -6 4

È

= =

0

=

0

r ()

2 0 -2

b

r () = -
-6 -4 -2 0 2 4 6

= b =
-4 -2 0 2 4

-4 -6

Ê ÍÍÊ
È

È

Ê

È
r

> > 0 È d dr. dr

=+


d dr = - dr



r

ÍÎ


?

È



È




0 = -

d dr. dr

ÄÅ
0 > > È

r

0

r

= 0 -

r

d dr. dr

0



= 0 -

r

d dr. dr

ÄÅ
0 È

0

ÄÅ


ÄÅ
d dr. dr

=-2 r0 ÄÅ V (r) < 0È 0 < / 2 È È

ÄÍÌÅ É Ê É

r

0

Ê

È

ÎÅ

Ê ÍÍÈ Ê

È
r

Ê É


È

Ä ÅÊ
= - Ê

Ê È È


È

=2
r
0

d dr - . dr

ÄÍÍÅ

ÍÏ


ÄÍÌÅ

ÄÍÍÅ È L = mb v È vÊ

Ê

È
b

È É Ê É É



Ä ÅÊ



ÍÅ

Ê

Ê
R
1

R2 Ê

Ê
Ê b < R1 + R2 Ê V (r) = 0Ê r0 = R1 + R2 Ê
1 1 - L /(2mE r2 )
2

È V (r0 ) = V (R1 + R2 ) = Ê ÄÍÌÅ dr L = - 2 r2 2 mE
r
0

È

.

L / 2 mE = mb v / m2 v 2 = b È y = b/ r
b/r
0

=-2

dy
0

1-y

2

= - 2 arcsin b =. 2 r0

b b = 2 a r cco s r0 r0

co s

ÄÍÎÅ Ê Ê


È


b < r0

É Ê Ê È É



È ÄÍÎÅ È

db r0 = - sin È d 2 2 br0 r2 b r0 sin = =0 () = sin 2 2 4 4 co s 2

È

È

r0



ÄÍÎÅ

Í


Ê
2 0 = 4 () = r0 = (R1 + R2 )2 .

È

È ÎÅ È





Ê
V (r) =

Ê ÈÊÊ
Z1 Z2 e2 , r

Z

1

Z

2

È


Ê

Ê

É

L = 2 2 mE

r

dr r2

0

1 - . 1 - Z1 Z2 e /(E r) - L2 /(2mE r2 )
2

ÄÍÏÅ

È
r = b/ y

È

L / 2 mE = b È Z1 Z2 e2 , mv 2 b

y =

ÄÍÏÅ
y
0

= 2
0

dy 1 + y - (y - y
2

)2

- = 2 arcsin

1 1 + 1/y
2

.

ÄÍ Å É É

?

y /2Ê

0

È

È
y=y È |Z1 Z2 |e2 ctg . mv 2 2
0

È



ÄÍÏÅÊ

ÄÍ Å

b=

Í



() =

Ä ÅÈ
2

Z1 Z2 e2 2mv 2 sin(/2)

.

ÄÍ Å Ê É É

ÄÉ Ê

È

Ê Å È 1/ 4 Ê Ê

ÍÌ

Ê

É Ä 1/v 4 Å È É Ê É É É Ê

0



Ê

Ê È

È Å

sin È

Ä Ê

ÿ ÎÊ
ÍÊ
È




Ê
É Ê È È É É

Ê È È Ê È

È Ê



È Í


ÍÅ È ÎÅ È ÏÅ

Ê
j

Ê È È È È d2 nÈ
|j |=j d2 n, (n)

É Ê É É É É É

É Ê


n NÈ

Ê

d2 N

Ê

d2 N

= (n)N j

ÄÍ Å È É

È



Ê d2 nÈ
d2 N =j

r2 d2 n,

Ê È
N =1 (n) = j j r
2

È

É ÎÅ É ÄÍ Å

.

È



ÄÍ ÅÈ

É

0 =

(n)d2 n,

ÊÊ Ê È Í

Ê É É


Ê Ä Ê È È È È È

Å

É Ê É É É É

Ê

É Ê È É É

ÎÊ
È
V (r)Ê

Ê

- m

h ?2 + V (r) (r) = E (r), 2m

ÄÍ Å

Ê È
E= ?2 2 h k. 2m

ÈÊÊ ÄÍ Å È È É

ÈÊÊ


(r) ç (r) = +

Ê
ik0 r

=A e

+

f (n) e r

ikr

,

ÄÎÌÅ É

k0 = k n0 Èr

ÊÊ

Ê

É Ê

È f (n) È

Èk

ÏÊ

È


Í

ÄÍ ÅÈ

Ê




Ê È Ê
j = h ? 2 mi


Ê?



É É É



-





=|A|2 |A|2

h ?k n0 m

ÄÎÍÅ
h ?k n0 È m É È È Ê

A

Ê |A|2 = 1È



Ê?
j =

È Ä Ê

È Å
r r

È

È Ê É É

h ? ff AA 2 e 2 mi r

-ikr ikr

e

2ik

r h ?k n = |A|2 |f |2 2 . r m r

ÄÎÎÅ

ÄÎÍÅ

ÄÎÎÅ

ÄÍ ÅÈ

(n) = |f (n)|2 .

È È Ê

Ê



È

È

É É

ÿ ÏÊ
ÍÊ
ÄÍ ÅÈ Í È

Ê

É


ÊÊ k0 r = k z Ê



ÄÎÌÅÊ È
(r) = e
ikz

n0 = (0, 0, 1)È Ê

+ w(r). A

ÄÎÏÅ È É É

A = 1Ê

È ÄÎÏÅ

ÄÍ ÅÊ

ÄÍ ÅÈ È

(- - k 2 )w(r) = -

2m V (r) (r). h ?2 Ê

ÄÎ Å É É É Ê É É É É Ê



ÄÎÏÅÈ


w(r)Ê ?

Ê

ÄÎ Å È

È





Ê



ÄÎ Å



ÎÊ




(- - k 2 )u(r) = g (r).

Ê
ÄÎ Å È ÄÎ Å Ê É

É



Ê

(- - k 2 )G(r, r1 ) = (r - r1 ).

ÄÎ Å ÄÎ Å É

ÄÎ ÅÊ

È ÍÌ




È

g (r)

È







Ê

É

u(r) =

G(r, r1 )g (r1 )d3 r1

È



ÄÎ ÅÊ

ÄÎ Å ÄÎ Å É É
1 1 . 4 |r - r1 |

-G1 (r, r1 ) = (r - r1 )

Ê Ê

G1 (r, r1 ) =

ÄÎ Å É

ÄÎ ÅÈ

ÄÎ ÅÈ ÄÎ ÅÈ

È



ÄÎ Å È



G(r, r1 ) = G(|r - r1 |), G(r) = 1 eikr . 4 r

ÄÎ ÅÊ

ÏÊ

ÄÎ Å
2m 1 h ? 2 4 w(r)Ê

Ê


Ê

È
eik|r-r1 | 3 d r1 . |r - r1 |

É

w(r) = -

V (r1 ) (r1 )

ÄÎ Å É É



ÄÎ Å

È

È

È

È

ÍÍ


ÄÎ Å È r È
|r-r1 | =

ÄÎ ÅÊ ?

È È
1+

È Ê
r1 rÈ

È

2 r2 + r1 - 2rr1 = r

2 rr1 rr1 r1 - 2 2 r 1 - 2 = r-r1 n. ÄÏÌÅ r2 r r

Å

ÄÏÌÅ È
2m 1 h ? 2 4 e r

Ä È
e
ikr

É r1 rÊ
,

Ê

É

w(r) -

V (r1 ) (r1 )

ikr -iknr1

r

d3 r1 = f (n)

r

ÄÏÍÅ

Ä
f (n) = - 2m 1 h ? 2 4 V (r1 ) (r1 )e
-iknr1 3

Å
d r1 .

ÄÏÎÅ

È ÄÎ ÅÊ

ÈÊÊ ÄÏÎÅ w(r)Ê È (r) rÈ

È

ÄÏÍÅÊ È

(r)È V (r)



Ê Ê

È

É É É È ÊÊ É

ÿ Ê
ÍÊ
|w(r)| |e
ikz

Ê
| = 1.

ÈÊÊ

È

ÍÎ


?



È
w(r) = -

ÄÎ Å
(r) 2m 1 h ? 2 4 2m 1 h ? 2 4 w(r) È V (r1 ) e
ikz1 +ik|r-r1 |

É É
d3 r1 .

|r - r1 |

ÄÏÏÅ

f (n) = -

V (r1 )e

ikz1 -iknr1 3

d r1 ,

ÄÏ Å

? ÊÊ ? Ê ÄÎ ÅÊ

È

Ê ÄÏÏÅ

È È

Ê

È

Ê
V (r)

Ê

È

ÎÊ



Ê?

Ê ÄÏ ÅÈ n0 = (0, 0, 1)È n = (sin cos , sin sin , cos )Ê k r1 (n0 - n) = r1 KÊ ÄÏ Å È KÊ r1 K = K r1 cos 1 = K r1
2m 1 f (, ) = - 2 h ? 4 m e = - 2 V (r)r2 dr h ?
0 iK r 1

V (r) = V (r)

Ê

É

K = k (n0 -n)È k (z1 - nr1 ) =



É

V
0

2 (r1 )r1

2 dr1
-1

d e

iK r1

=

- e- iK r

iK r

2m =- 2 V (r)r sin K rdr = f ().ÄÏ Å h ?K
0

?

K |K| = k |n0 - n| = k 2 - 2 cos = 2k sin . 2

ÍÏ


È Ê



Ê

Ê

É É



ÏÊ
V (r) =

Ê
-V0 0 r a, r > a.

É ÄÏ Å É

ÄÏ Å
2mV0 f () = 2 h ?K
a



ÄÏ ÅÈ
2mV0 (sin K a - K a cos K a). h ? 2K 3

r sin K rdr =
0

?

È
f (0) = 2mV0 3 3 2m V0 a3 . 2 3K a = h ?K h ?2

È Ê Ê

È È

É

É É É É É

Ê
Ê È
|w(0)| 1È 2m 1 |w(0)| = 2 V0 2 h ? 4 mV0 =2 h ?k
a

Ê
È

Ê

È

a

1

rdr
0 -1

e

ikr +ikr

d =

dre
0

ikr

e

2ikr

-1

mV0 = 22 2h k ?

2ak

e
0

ix

- 1 dx .

Í


? ÍÅ 2k a 1Ê ? È

Ê È

Ê

É É

|w(0)| =

m mV0 1 (2ak )2 = 2 V0 a2 1. 2 h2 k 2 2 ? h ? ak È Ê Ê V0 a2 ? 2 /mÊ h

?

È ÎÅ 2ak 1Ê

ÍÈ
|w(0)| = mV0 m 2ak = 2 V0 a 1, 2h2 k 2 ? h ?k

È

É

É
2 ak m V0 a2 . h ?2 V0 a2 Ê

È Ë

È

h ? 2 / mÈ Ê Ê Ê V0 a2 (h2 /m)2ak È ? È Ê

È

É É Ê É

Ê
È
V (r) = Z1 Z2 e2 0 e r
-r /a

Ê

Ê

É É É

. eÊ ? È a É É a

?Ì? È È Ê Í

Ê

Ê


?


2 0

ÄÏ Å


É

2m f () = - 2 Z1 Z2 e h ?K

e
0

-r /a

sin K rdr = -

2 m Z 1 Z 2 e 2 a2 0 . h ? 2 1 + a2 K 2

ÄÏ Å

?

È
f (0) = - 2m 2 m Z 1 Z 2 e 2 a2 0 = - 2 eV (a)a3 , h ?2 h ?

Ê É
2 0 2

0 = 2
0

mZ 1 Z 2 e h ?2
2k

sin d

a4 = (1 + a2 K 2 )2 mZ 1 Z 2 e h ?2
2 0 2

=

mZ 1 Z 2 e h ?2

2 0

2

1 k2

a4 dK 2 = (1 + a2 K 2 )2

4 a4 . 1 + 4 a2 K 2

0

a Ê 

É

Ê

Ê

Ê
f () = -

Ê
2 mZ 1 Z 2 e 2 0 . h ? 2K 2

a È

ÄÏ Å

É ÄÏ Å



ÄÍ Å
() = 2 mZ 1 Z 2 e h ? 2K 2
2 0 2


Z1 Z2 e2 0 2mv 2 sin2 (/2)
2

É

=

,

ÄÏ Å

Ê È Ê

È

É È

Í


È È ÄÏ Å
2 nk e K2

È

ÈÊ È È Ê

Ê É É

Ê Ê È
(1 + in) , (1 - in)

ÎÍ Ä ÌÅ

f () = -

-2in ln sin( /2)

n= v = h k / mÊ ?

Z1 Z2 e2 0 , h ?v 2 mZ 1 Z 2 e 2 0 Ê h ?2K 2  È Ê

È ÄÏ ÅÈ ÊÊ È ÅÈ È

ÄÏ Å -



Ä

Å

È

Ê

Z1 = - Z2 = 1 Ä È e2 e2 c c |n| = 0 = 0 = Ê h ?v h ?c v 137v È v c/ 1 3 7 È Ê Ê Ê? È

|n| 1È È Ê É |n| 1

É

É É

Ê È

Ê Ê Ê Ê È È È

É É É É

È



Í


ÿÊ
ÍÊ
Ê

Ê?
È

È È Ê

É É

È

Ê Ê

È

É É É È

r1 R

r2 r

Ä
e


s a (r) e
ikz

Å

É É È r -rÊ ? É - È Á rÊ

Áe

-ikz

ikr

+

r

[f (, ) Á f ( - , + )].

Ê É

È È Ê É

s a = |f (, ) Á f ( - , + )|2 .

s a = |f (, )|2 + |f ( - , + )|2 Á Á [f (, )f ( - , + ) + f (, )f ( - , + )].

È

ÈÊÊ

È

Ä È Ê

Å

É É

Í


È
s

Ê
a

É É É Ê

ÎÊ
È ÊÊ È Ê 0
2 sÊ s

Ê

È ÎÍÊ

Ê ÍÅ
0

É É Ê

É É Ê È 1 + 5 + . . . + 4s + 1 = (s + 1)(2s + 1)È 3 + 7 + . . . + 4s - 1 = s(2s + 1)Ê (2s + 1)2 Ê È È È È Ê

È

=

s(2s + 1) (s + 1)(2s + 1) s + a =|f (, )|2 + |f ( - , + )|2+ 2 (2s + 1) (2s + 1)2 1 + [f (, )f ( - , + ) + f (, )f ( - , + )]. 2s + 1

ÎÅ

È

Ê È
1

È
0

É

(s + 1)(2s + 1)È

È
=

s

Ê

Ê É 3 + 7 + . . . + 4s + 1 = 1 + 3 + . . . + 4s - 1 = s(2s + 1)Ê È

(s + 1)(2s + 1) s(2s + 1) a + s =|f (, )|2 + |f ( - , + )|2- (2s + 1)2 (2s + 1)2 1 - [f (, )f ( - , + ) + f (, )f ( - , + )]. Ä ÍÅ 2s + 1





Ê

É

Í


ÏÊ

Ê



ÍËÎ ÎÍÊ
(1 + in) , K = 2k sin (1 - in) 2 2) (1 + in) , K 1 = 2 k co (1 - in)

É Ä ÌÅ

2 nk - e K2 2 nk f ( - ) = - 2 e K1 f () = -

2in ln sin( /2)

, s. 2

-2in ln cos( /


2 nk (2k )2
2

Ä ÍÅÈ
cos 2n ln tg 1 1 2 - + in4 (/2) cos4 (/2) sin2 (/2) cos4 (/2

() =

È

s

È

Ê

. )

É

Z 2 e2 ? h Z 2 e2 2 nk = , = 2 (2k ) h ? v 2(m/2)v mv 2

?
() = Z 2 e2 mv 2
2

m/ 2 Ê n1 1 - (3/4) sin2 = (1/16) sin4 2 Z 2 e2 mv 2
2

4 - 3 sin2 . sin4

È È Ê Ê

Ê n 1È

É

ÍÌ



ÑÊ

ÿ ÍÊ
ÍÊ
Ñ ÈÊ ÄÊ È

Ê?
Ê È ÊÊ È ?Ê Ñ Ê? È Ê È Ê

Ê? È ?Ê É È Ê

É È É É Ê É É É É

ÄÊ È

Ä Ê ?Ê Ê

ÊÊ

È

È

Ê

È ÅÊ

Ê

Å

ÅÊ

É É É

Ê

Ê ?Ê ÏÊ Î Ê Ê



Ê Ê É É

ÎÊ
È È Ê È È

Ê
È Ê Ê Ê
dA = -P dV ,

É É É È

Ê

ÍÍ


P

Ê È
P =-

Ê
E V

É É É ÄÍÅ Ê È

Ê

ÏÊ ?
Ê È Ê?

È

Å

Ê
É È
aj Ê

Ä È

É É É É







Ê

É É E = E (t, V )Ê Ê É É É

È

Ê?
È Ê È È

Ê

Ê È

È

È

Ê
dE = -P dV .

É


dE = -

Å
Xj daj ,

ÄÎÅ

ÍÎ


a

j

È
P dV

Ê? È

È È È

X

j

É É

ÄÎÅÊ È È Ä Å È

Ê É Ê È

Ê
È EÊ
P dV Ê

Ê
Ê ?
E

?

É

È
dQ = P dV + dE ,

dW Ê É È Ê Ê dW = -d(E + E )Ê dW = È É Ê dQ dE = dQ - P dV .

ÄÏÅ É É É É É É Ê É É È É È

? Ê È Ê? È

È

Ê ÈÊÊ É È Ê? Ê ÍÏ



È



dQ = 0Ê ÄÏÅ



Ê


È

Ä

Ä Å Í

È

ÊÍ

Ä

ÅÊ

Å ÊÍ
Ç10
7

Ê

ÿ ÎÊ
ÍÊ
È È Ê È Å È

Ê
Ä Å Ê? Ê Ä Ê È Ê È È Ê Ê Ä

É É É É É É Ê

È È

È

Ê È ÊÊ È ÅÊ È Ê ÊÈ È

É É É É É É



ÑÑÑÊ ? Ê

ÎÊ

Ê Ê Ê

Ê
É Ê Í Ê ÅÊ È

É È É

Ä È

È

È

È

É


È
Ej È E=
j =1

Ê

È È
Vj

É È É Ê

j = 1, . . ., j0 Ê ?
j0 j0

Ej , V =
j =1

Vj Ê ?

Ej = Ej (Vj , E )Ê

È

E = Gj (Ej , Vj )Ê ?

G1 (E1 , V1 ) = . . . = Gj0 (Ej0 , Vj0 ),


(Gj (Ej , Vj )) t1 = . . . = tj0 .



tj =

? Ê

Ê

È

É É É Ä ÅÊ

ÏÊ
Ê È Ê

Ê
È Ê ? È Ê Ê Ê È

É É É Ê Ä É É É É

Å

Ê



Ê?
Ê Í

Ê

Ê

É


È
ÍÅ ÎÅ ÏÅ È È È Ê Å È È

Ê
È Ê Ê Ê

É

È

Ê

É É É É É ÅÈ

ÄÊ Ê

Ê Ê

É È É

Å Ê É Ê


Ê È

Ê

A1 È

È 0 = A2 - E Ê Ê

A2 Ê

É Q = A1 + E A = A1 + A2 = Q > 0Ê É Ä QÅÈ Ê È

E Ê

É É É É

ÿ ÏÊ
ÍÊ Ê?
Ê

Í


ÈÊÊ
P dV = 0.

Ê Ê



É

È



P dV

Ê



Ê? Ê



È
F

-P dV È

É É Ê É



dF = -P dV +

F dt. t

ÄÅ Ä ÅÈ Ä É

Å
dE = dQ + dF -

ÄÏÅ
F dt. t

?
dQ = d(E - F ) + F dt t

Å
G = E - F, g=- F . t

ÄÅ ÄÅ

ÎÊ ?

dQ = dG - g dt.

Ê

dQ = dG - g dt = 0.

Í


È
(G, g , t)



Ê

È g = G (t)Ê ?

Ê

É G = G (t)È È Ê É É É È É É È É

È
(G, t)

(G1 , g1 , t1 ) (G2 , g2 , t2 )Ê t Gl = G (tl ), gl = G (tl ), l = 1, 2Ê G (t)

È È


È
G G = H (g , t),

Ê Ê È



g

ÄÅ


H (g , t) H (g , t) g (t) + = g (t) g t gÊ

ÄÅ È È È

(g , t) = C = ãâçèÊ È Ê Ä ÅÊ È
G

É È É É É È É

ÏÊ
Ê? È È Ê Ê



È



È

Ê
G F = F1 + F2 , G = G1 + G2 .

Ê

E = E1 + E2 ,

ÄÅ É



Í


Ê
g

È
F F1 F2 = + , t t t g = g1 + g2 .

Ä Å

É ÄÅ

ÄÅ
G = H (g , t), G1 = H1 (g1 , t), G2 = H2 (g2 , t).

ÄÍÌÅ

ÄÍÌÅÈ Ä Å

ÄÅ

È

H (g1 + g2 , t) = H1 (g1 , t) + H2 (g2 , t).



È
H

È È




g

g

É

H1 (g1 , t) = (t)g1 + 1 (t),

H2 (g2 , t) = (t)g2 + 2 (t),

H (g , t) = (t)g + (t), (t) = 1 (t) + 2 (t).

ÄÍÍÅ É (t) É Ê

È
tÊ (t)

Ê

È

Ê?
g=

Ê
G- ,

ÄÅ

ÄÅ

ÄÍÍÅÈ
G - (t) dt. (t) t

dQ = dG - g dt = dG -









È 1/T (t)Ê

G

È






É É

Í


dS =

dG - [G - (t)]dt/(t) . T (t) S S S = G t t G
2 2

ÄÍÎÅ


(t) - T (t) 1 =- 2 (t) T (t)T (t) dt dT = . T (t)




T (t)





T (t)Ê È

T = T (t) = T0 exp (t) > 0



t

t0

dt . (t )

È

È È È


Ê Ê Ê Ê



É É

È

É É

Ê

Ê


Ê È T dG - dT dT dS = + (t) 2 . 2 T T
S= G + T (t) dT . T2

ÄÍÎÅÈ Ê

ÄÍÎÅ

È È Ê Ê

È



É

ÍÌ


Ê

Ê

ÄÍÎÅ
dS = dQ , T dS = 0Ê

É

?

È

dQ = 0

É

È
dS =

dQ = 0, T

ÄÍÏÅ È

Ê
dQ = T dS,

dE = T dS - P dV .

ÄÍ Å Ê

Ê
S= E-F + T (t) dT . T2 dT . T2

Ê

F = E - TS + T

(t)

ÄÍ Å Ê É



F (t)È ÄÍ Å F = E - T S. TS ÄÍ Å

ÄÍ Å Ê
S

Ê

È

È E
F

É

Ê?

Ê



ÍÍ


ÿÊ
ÍÊ
ÈÊÊ
C=

Ê

Ê
dQ . dT

È

É È É ÄÍ Å



Ê?É È È Ê

È
dQ

ÄÍ Å dQ

T dS Ê ? É

È

É É Ê

Cv = T

S T

,
V

Cp = T

S T

.
P

ÄÍ Å



ÄÍ Å
Cv = E T .
V

È

Ê ÄÍ ÅÊ
T dS = dE + P dV .

É ÄÍ Å


dE = dT Ê ? E T dT +
V

É

E V

dV .
T

È



È
E V V T

Cp = Cv +

+P
T

.
P

ÄÍ Å É

ÎÊ

Ê?

È

ÍÎ


Ê È Ê
T T
2

É



T

1

V

1

V1 V

2

V

2

V (V , T )Ê

Ê ÍÎÊ
Ê ÍÎ È È È (V , T )Ê È

È Ê

(V1 , T2 )Ê  È T
2

É É É

T = T1 V1 < V < V2 Ê ? (V2 , T2 ) (V1 , T1 ) È T < 0Ê V S Ê È T2 Ê

T1 < T2 Ê T=T

2

V1 < V < V2 È T1 T Ê

2



Ä

Å Ê

È

É É

ÍÏ


Q2 Ê

È
= A . Q2

Q1 Ê

ÄÍÏÅ É
Q
2



È Ê

Ê

É É É É É

Q

1

1 dQ = T T2

dQ +
V1
1 T1
V2 >V >V1

dQ =

Q2 Q1 - = 0. T2 T1 A = Q2 - Q1 È

=

Q2 - Q1 Q1 T1 T2 - T1 =1- =1- = . Q2 Q2 T2 T2

ÄÎÌÅ


T

ÄÎÌÅ


2

1

ÏÊ
Ä


dQ > 0ÅÈ T

ÄÎÌÅÊ

T

É È
È Ê É É
T
m in

Ê
È È ÄdQ < 0ÅÈ
-T
áì áâ

È

áì

Ê

dQ = T

T

áì

T

.

dQ - T
dQ>0 dQ<0

|dQ| =0 T

dQ>0

1 dQ T Tá

dQ =
ì

dQ>0

Q+ , Tmax

dQ<0

1 |dQ| T Tá

â

|dQ| =
dQ>0

Q- . Tá â

Í


È
Q- Tá â
dQ<0

È
Q+ Q dQ , T Tá ì Q
- +

É
Tá â . Tá ì

|dQ| = T
dQ>0



A = Q+ - Q- È = Q+ - Q A = Q+ Q+
-

1-

Tá Tá

â ì

=

T

áì

T

-T
áì

áâ

.

Ê

È

ÿÊ
ÍÊ Ê
È ÊÊ È È ÅÈ
PV = ãâçè. T

Ê Ê

Ê

È È Ä É ÄÎÍÅ

ÊÊ È Ä Ê
N
A

Ê É Ä ? ÍÊÌÌ Ê
-24



È ÄÎÍÅ ÅÊ

È È Í Ä Ê? È È

È É É È Å É

É Ê ?

Å

1.6734 Ç 10

NA mH = 1.008 È mH = Ê NA = 6.023 Ç 1023 Ê

Í


Í

vÊ P v = RT ,

Í

R = 8.314 Ç 10 È

7

Ë

= 8.314

Ë Ë
-23

Ê
= 1.3804 Ç 10

É

k = R/NA = 1.3804 Ç 10

-16

Ë É



Ê
P V = Nk T,

V=

N vÊ NA

È

Ê Ê? Ê

È È

È È

É É È

R(T100 - T0 ) 100 (P V )100 - (P V )0 = = = 0.36608. (P V )0 R T0 T0

ÍÌÌ

Ì
T0 = 273.16

Ê


-273.16

È


È

Ê

T = t + 273.16.

ÎÊ
Ê Ê È È
E= 3 Nk T 2

Ê
È Ä ÅÊ

É É É É



ÄÎÎÅ

Í


È

É
E V

È

ÑÑÑÊ

È

É

= 0.
T

ÄÎÏÅ
V= Nk T P

?
V T =
P

Nk . P



ÄÍ ÅÈ ÄÎ Å
Cv Cp

Cp = Cv + N k .

È
Cv =

È

È

È
Cp = N cp . NA

Í

Ê

É É Ê

N cv , NA

ÄÎ Å
cp = cv + R .

ÏÊ
Ê
Cv =

ÄÎÎÅ
3 Nk , 2 3 R, 2

È

Ê
È
5 Nk . 2 È 5 R. 2

ÄÎ Å

É

Cp =

È
cv =

Í
cp =

É

Ê

È

Ê

ÄÎÏÅÈ

É È

dE = Cv dT .

È
dV =

È
Nk T Nk dP. dT - P P2



Í



dS =

ÄÍ ÅÈ
dP 5 dT dP dE + P dV dT = (Cv+N k ) -N k = Nk -N k . ÄÎ Å T T P 2 T P 5 ln T - ln P 2

S = Nk

+ S0 .



È
S = N k ln V T N
3/2 + S0 .

Ê



Ê
Cv dT + P dV = 0.

ÄÎ Å dS = 0È

ÄÍ ÅÈ
Cv Cv = Cp . Cv = ãâçè. dT dV + (Cp - Cv ) = 0. T V

ÄÎ Å

ÄÎ Å
TV
-1

ÄÎ Å È

È
PV


= ãâçè .

ÄÎ Å È

ÄÎ Å
= 5/3Ê

ÄÎ Å Ê

Ê

ÑÑÑ

ÑÞÊ Í


ÿÊ
ÍÊ
È ÊÊ È È È ÊÊ Ä È Ê
E0 Ê a0 Ä j a1 Ê j a1 È j dS = 0

Ê

É Ê É Å

È Ê È Ê È

È

É É É É É É É Ä

È

Ä
E1

È

Å S0 = S (a0 , E0 )Ê j Å
S1 = S (a1 , E1 ) = S0 Ê j

É

ÅÊ ?

È A = E0 - E2 Ê È ÊÊ Ê È

a0 È j

È

Ê

É E2 = E0 È É È

A 0È Ê Ê E2 E0 È È S1 - S0 = S (a0 , E2 )-S (a0 , E0 ) 0È j j S 1 È = > 0Ê E T È È È

ÄÎ Å È Ê É

ÎÊ

Ê

Ê

Ê

É É

Í


Ê
VÊ P dV

È Ê?
Xj daj Ê

É

É È É Ê É
aj È

È Ê Ê È È xÈ
x

É ÄÍ ÅÊ É É É É É

È

È

Ê

È
Ê 

Ê ? ? Ê

Ê È Ê
x xi i Ê Ê E


Ê E È
T dS = dE + P dV + dx E = E + x . x Ä

Ê

È

É É É

ÄÎ Å ÄÏÌÅ Å É É xÈ

È

Ì

ÍÌ




Ê

ÄÎ Å

È

Ê ÄÏÌÅ È
V

É

T dS = dE + P dV - xd .

È Ê Ê ÈÊÊ

Ê Ê È È

È

Ä Å È

Å É É É È Ê È Ê

ÏÊ

Ê



1

È

V

È

E1 È S1 = S (E1 , V1 , 1 )Ê

É È

E2 , V2 , 2

Ê
-x2 2 È

È
x1 E2 , V2 , 2

É É S2 = S (E2 , V2 , 2 )Ê x2 È 2 É V2 2 É E2 = E2 - x2 2 Ê È É
S2 Ê

E3 , V1 , 1 Ê È

È È

É

E3 , V1 , 1 Ê

S2 = S (E3 , V1 , 1 )Ê

È ÍÍ

È

É


Ê

ÈÊÊ È E3 E1
1

S2 = S (E3 , V1 , 1 ) S (E1 , V1 , 1 ) = S dE + P dV = 0È dS = S d 0.

Ê

E ,V



Ê

È

Ê

Ê

Ê
È
E, a
j

È
= 0 E a

S = S (E , aj , )Ê È È Ê



É É É É É É

È

j

È

ÈÊÊ Ê

Ê





Ê

É É

ÍÎ




Ñ ÑÊ



ÿ ÍÊ
ÍÊ
Ê È Ä È È
N 1Ê È N


È È Ê Ê Ê È Ê Ê È
2.7 Ç 10

Ê

É É É È É

? Å

È É
19

Í Ä

3

ÅÊ Ê
6N È N

È

È È



É É É È É

Ä Ê Ê? È Ê È

ÅÈ
6N

È Ê

Ê

È É É

ÎÊ

Ê
N É ri

Ê É pi , i =

ÍÏ


1, . . ., N Ê ? Ê

È Ê
6N É 6N

È Ê
(p, q )È È p dpdq È

È

Ê Ê È

É É È È É É

È
q





Ê Ê È

È

Å p = (p1 , p2 , ..., pN )È Ê dp = d3 p1 d3 p2 ...d3 pN È dq = d3 r1 d3 r2 ...d3 rN Ê Ê È È Ê? Ê

É Ä É q = (r1 , r2 , ..., rN )È É

É É É É É É

ÅÈ Ê

Ê È Ê

È

Ä Ê È

É

ÏÊ
È

Ê?
Ê

É É È Ê É È É È

Ê È È Ê
t

È

È

È

Í


NÉ dpdq dw = f (p, q , t) dpdq . f (p, q , t)



É

È ?

Ê



È

ÍÊ

Ê



É É Ê

d h

N

=

dpdq . N !h3N h
3N

È

Ê

È

Ê È


N!

È Ê Ä Å

Ê

É É h3 Ê ? É É É È É ÄÍÅ È
dN Ê

fN (p, q , t) d

N

= 1.


d
N

dpdq Ê

É

Ê
Ê? È È


Ê È
f
N 1 +N

Ê

Ê È

É É



f

Ê
N
1

f

N

2



È

É

2

=f

N

1

f

N

2

.

Í




Ê Ä

f

N

É Ê È È È
A(p, q , t)

Å Ê

É É É É



È
A=

È Ê Ê Ê

A(p, q , t) fN (p, q , t) dN .

Å



È È Ê Ê? Ä

Ä

Å

É É É

ÿ ÎÊ
È Í Ê Ê? È
fN + div t

Ê È È Ê

È



È È É É É É É È



N

6N

(fN V6N ) = 0.

ÄÎÅ

Í


6N fN + t

È

Ê
(fN pi ) + (fN qi ) = 0. pi qi

ÄÎÅ

É

3N i=1


fN + t
3N i=1

fN fN pi + qi + f pi qi

N

pi qi + pi qi

= 0.

ÄÏÅ É ÄÅ

È


dqi H dpi H , . = =- dt pi dt qi

ÄÅ

È
qi pi 2H =- = . qi pi pi qi

ÄÅ É



ÄÏÅ
fN (p, q , t) + t
3N i=1

ÄÅ

fN (p, q , t) fN (p, q , t) pi + qi = 0. pi qi





È

dfN (p, q , t) = 0. dt

ÍÅ ÎÅ ÏÅ





Ê
Í



Ê

È

Ê

Ê


ÿ ÏÊ
ÍÊ
È


Ê
È È É



j0
1/r È

fN = 0Ê t

È
r

É N1 , N2 , . . ., Nj0 Ê Ê È È È Ê È É Ê É É É Ê È É É ÄÉ É É É É Ê É È
P

ÎÊ

È Ê È È

È È

È

Í ÈÎÎÊ

Ê È ÅÊ Ê Ä

È

Å

Ê

Ê

Ê Ê Ê

ÎÊ
Ê È

Ê

È



È

Ê



Ê È Í



Ê?

É É LÊ


È

È Ê È

Ê

Ê Ê

Ê É É É É É

Ê È

Ê?

È Ê È Ê È
N
j

È

É
= j + EN
j0
j

ln f

ÄÅ
j0

ln f

N

= + EN , =
j =1

j , EN =
j =1

ENj .

ÄÅ

? j






È Ê È È

Ê Ê?

Ê ÄÅ

Ê

ln fN (p, q ) = + EN (p, q ), EN (p, q )

ÄÅ Ê È Ê ÈÅ É É È

ÄÅ

È Ê Ê? È Ê È Ê È

Ê

ÍÅ È ÎÅ

È

È

Í


Ê ÏÅ ÄÅ

Ê

È Ê Ê ÄÅ Ê

ÏÊ 
È

Ê

ln fN (p, q ) = + EN (p, q ) + N .

ln f

N

j

(p, q ) = j + ENj (p, q ) + Nj .

È



j
N =0

È

É

fN (p, q )d

N

= 1.

ÄÍÌÅ É É

 Ê È

Ê Ê ÄÅ Ä ÅÈ



È

É É

Ê

ÿÊ
ÍÊ Ê
ÈÊÊ
N =0


È Ê Ê
ln fN (p, q ) fN (p, q )dN .

É É

S = -k

ÎÌÌ


È ÈÊÊ Ä
N

ÄÍÌÅÈ
6N Ê È ÄÍÅÅ N

É É

È

È



È

S = -k

ln fN (p, q ) fN (p, q )dN .



È



ÎÊ





È ?Ê

Ê
È
X x1 p1 x2 p2 ... ... xn pn

È ? Ê

É È É É É

n

S



=
j =1

pj ln pj .

ÍÈ Ä
S


Å È = -(1/n) ln nÊ

ÌÊ

È È Ê

É É É É É

Ê?
(X, Y )

Ê È

Ê

È

ÎÌÍ


y1 y2 ... ym

x1 p1 q1 p1 q2 ... p1 qm

x2 p2 q1 p2 q2 ... p2 qm

. . . . .

. . . . .

. . . . .

xn pn q1 pn q2 ... pn qm

n

m

n

m

n

m

S



=
j = 1 l= 1 n

pj ql ln(pj ql ) =
j = 1 l= 1 m

pj ql ln pj +
j = 1 l= 1

pj ql ln ql = (Y ).

=
j =1

pj ln pj +
l= 1

ql ln ql = S



(X ) + S



f (x)È

Ê
S


X = f (x) ln f (x)dx.

É É

È È È Ê

Ê Ê Ê Ê

É É

É

ÏÊ

È

Ê
1 dS = . T dE

ÄÍÍÅ Ê È
T1 , T
2

È
S1 , S
2

E1 , E2 È

Ê

É É

ÎÌÎ


È
S = S1 (E1 ) + S2 (E2 ), dE2 = -dE1 Ê E1 + E2 = E = ãâçè.

Ê

É É

ÈÊÊ

E1 Ê

E2 = E - E1 È

dS1 (E1 ) dS2 (E - E1 ) dS1 dS2 dS = + = - =0 dE1 dE1 dE1 dE1 dE2 1 1 dS = - = 0. dE1 T1 T2

È
dS = T1 < T2 È

T1 = T2 Ê 1 1 - T1 T2 dE1 > 0.

dE1 > 0È

Ê

Ê

È

È

Ê?



Ê
È
SÈ NÊ

Ê Ê? È

É EÈ É Ê É È É Ê

Ê? Ê Ê

È

Ê
Ê
Å



Ê

É

Å=

E N

.
V ,S

ÄÍÎÅ

ÎÌÏ


È Ê

È Ê

È È

dE = -P dV + T dS + ÅdN .

ÄÍÏÅ É É

?

Ä

ÄÍÎÅÊ

ÄÍÅ
E V

ÑÅÈ
E S

ÄÍÍÅ
E N

P =-

,T=
S,N

, Å=
V ,N

.
V ,S



Ä È



ÄÍÏÅ Ê?

È È

ÅÊ È È Ê È

É É É

Ê?

È

Ê
È Ê Ê

Ê
Ê

É É È É

Ê ÍÅ

È ÎÎÊ

È

È

F = E - T S,

dF = -P dV - S dT + ÅdN .

ÎÅ

Ä

Å
d = -S dT + v dP + ÅdN .

= F + P V = E - T S + P V,

ÎÌ


ÏÅ

 Ä Å

È
d = -P dV - S dT - N dÅ.

= F - ÅN = E - T S - ÅN ,

ÄÍ Å

Å

W = E + P V,

dW = V dP + T dS + ÅdN .

È

È

È Ê
V , S=- T

È Ê

Ê

Ê

É É É É



È Å

P =-

T ,Å

V ,Å

, N =-

.
V ,T

ÄÍ Å

Ê
Ê

Ê


É
Ê NÈ = (V , T , Å)

È
VÊ È

É

= (T , P, N )

Ê È Ê È È ÈN


É É É É ÄÍ Å É ÄÍ Å

È
= ÅN , = -P V .

ÄÍ Å



E = T S - P V + ÅN .

ÎÌ


È

È

È

Ê?

ÄÍ ÅÈ ÄÍ Å È

É É ÄÍ Å

E = T S + + ÅN

È

ÄÍ Å

Ê

Ê
S=

È
E - ÅN - . T

È ÄÍ Å

Ê
Ê ÏÊ Ê È Ê È
N = N1 + N2 = ãâçè. E1 N1 Ê S = S1 + S2 ,Ê

Ê
È Ê Ê É É É

È

E = E1 + E2 = ãâçè,

? ÄÍÏÅ È
S = 0, E1 S = 0. N1


dS =

È

dE + P dV - ÅdN . T

ÄÎÌÅ Ê ÄÎÍÅ ÄÎÌÅ È

ÄÎÍÅ



S 1 1 = - = 0, E1 T1 T2

S Å1 Å2 =- + = 0. N1 T1 T2

ÎÌ


T1 = T

2

È Å1 = Å2 È È

Ê

É É É

Ê Ê

È

ÿÊ
? 
~ fN Ê


È È
f

È

Í Ê

É É É É É

È

N

Ê

Ê

Ê

Ê
~ S = -k
N =0

È
~ ~ fN ln fN d
N

ÄÎÎÅ

N =0

~ fN dN = 1,

N =0

~ EN (p, q )fN dN = E ,



~ N fN dN = N . ÄÎÏÅ

N =0


N =0

fN dN = 1,

N =0

EN (p, q )fN dN = E ,



N fN dN = N . ÄÎ Å

N =0


~ = S +Ç1+ ÇE + ÇN =


É É

~ fN d

N

N =0

~ -k ln fN + + EN (p, q ) + N .

ÎÌ


È Ê

È



Ê? É ~ fN ~ Ê? É fN


N =0

=

~ fN d

N

~ -k ln fN - k + + EN (p, q ) + N .

Ê
~ fN = 0 È Ê Ê





È

Ê È
+ EN (p, q ) + N ~0 ln fN = -1 + . k

È È É



Ä ÅÊ
- 1, = , = . k k k

É

=

È Ê
S = -k

È

Ê

È

É

N =0

fN ln fN d

N


N =0

Ê

~ fN


ÄÎÎÅÈ É
~ fN ~ dN = fN ln fN

~ S = -k

~ fN ln fN dN - k

N =0

ÎÌ


= -k -k
N =0

N =0

~ fN [ + EN (p, q ) + N ]dN -
N

f

N

~ ~ fN fN ln d fN fN

S -k

N =0

f

N

~ fN fN = S. 1- ~ fN fN

1 ln x 1 - x È

É
x > 0È

É È É

È ÄÎÏÅÊ



Ê

1 ln x 1- x 1 g (x) = ln x - 1 + Ê x 1 x-1 1 - 2= xx x2 x=1 ?

Ê
f (1) = 0È x>1



É

f (x) = x < 1È

Ê



Ê
, ,

É

ÿ Ê?
ÍÊ
Í Ê ÿ ÍÈ ?
S = -k
N =0

Ê
È È

È È ÿÏ Ê Ê

É É



È

Ê

fN [ + EN (p, q ) + N ]dN = -k [ + E + N ],

ÎÌ


ÄÎ ÅÊ ÄÍ ÅÈ
= 1 Å ,=- ,= . kT kT kT

ÄÍ ÅÈ



É

ÄÎ Å

ÎÊ ?

ÄÎ Å




- EN (p, q ) + ÅN , kT - EN (p, q ) + ÅN kT



Ê

É É ÄÎ Å

ln fN (p, q ) =

fN (p, q ) = exp

.

ÄÎ Å

e

/(k T )

N =0

e

ÅN/(k T )

e

-EN (p,q)/(k T )

d

N

= 1.

ÄÎ Å É

= -k T ln

N =0

e

ÅN/(k T )

e

-EN (p,q)/(k T )

dN .

ÄÎ Å

È

ÄÎ ÅÊ

ÄÍ Å

ÄÍ ÅÊ

ÏÊ
Å

Ê


ÅÊ ÄÎ Å



Ê

1 k T Å +e

e
V ,T

/(k T )

N =0

e

ÅN/(k T )

e e

-EN (p,q)/(k T )

dN +

/(k T )

N =0

e

ÅN/(k T )

N kT

-EN (p,q)/(k T )

= 0.

ÎÍÌ


k TÈ Å

È
= -N .

É

ÄÏÌÅ

V ,T

Ê
È
T çe

È

Ê

Ê

É

=
V ,Å

kT e + T k T2

/(k T )

N =0

e

ÅN/(k T )

ç

-EN (p,q)/(k T )

[ÅN - EN (p, q )]dN =

+ ÅN - E = -S. ÄÏÍÅ T

Ê

È Í Ê ? È

Ê?




È ÄÏÌÅ

É É È É É

ÄÏÍÅÈ ÄÍ ÅÊ ? È ÄÍ ÅÊ


= -P V

Ê

ÿÊ
ÍÊ

NÊ ?


Ê È
V

Ê

È

Ê
ÈÊÊ Ê È

É É

ÈÊÊ

Ê

É E

ÎÍÍ


È

E E Ê ? E = 0È È È

É Ê
E

ÈÊÊ



f

(p, q ) =

1/G(E , N , V ) 0

E EN (p, q ) E + E , .

G(E , N , V )


dN .
E EN (p,q)E +E

É ÄÏÎÅ

G(E , N , V ) =

S (E , N , V ) = -k f

(p, q ) ln f

(p, q )dN = k ln G(E , N , V ). ÄÏÏÅ

È Ê



Ê È Ê Ê Ê?

Ê È

È É

ÎÊ ?
E0 E + E = E0 Ê ? È

Ê
V0

É V + V = V0 Ê N + N = N0 È É

N

0

EN (p, q ) + EN (p , q ) = EN0 (p0 , q0 ).



Ê ÎÍÎ

É




È

È

È

É

È É

V V V0 , N N N0 , E E E0 .

Ê



È

G(E0 , N0 , V0 ) = G(E , N , V )G(E , N , V ),



Ê

É È É

fN (p, q ) =
E 0 E
N0

f
(p0 ,q0 )E0 +E

(p0 , q0 )d

N



=

=
E 0 -E E
N 0 -N

f
(p0 ,q0 )E0 -E +E

(p0 , q0 )d

N 0 -N

.

ÄÏÎÅ
fN (p, q ) =

È

È



f

(p0 , q0 )Ê È



1 G(E0 - EN (p, q ), N0 - N , V ) = . ÄÏ Å G(EN (p, q ), N , V ) G(E0 , N0 , V0 )

ÄÏÏÅÈ
fN (p, q ) = exp

ÄÏ Å



S (E0 - EN (p, q ), N0 - N , V ) - S (E0 , N0 , V0 ) k
0

. ÄÏ Å

N N

EN (p, q ) E0 È È



È

É

S (E0 - EN (p, q ), N0 - N , V ) = S (E0 , N0 , V )- - S (E0 , N0 , V ) S (E0 , N0 , V ) EN (p, q ) - N. E0 N0

ÄÏ Å

ÎÍÏ


ÄÏ Å
=

ÄÏ Å





S (E0 , N0 , V ) - S (E0 , N0 , V0 ) 1 S (E0 , N0 , V ) , , =- k k E0 1 S (E0 , N0 , V ) =- , k N0

É È

Ê

Ê

Ä ÅÊ Í È

É É Ê

ÿÊ
ÍÊ
? Ê



Ê?
È É È É É É É É É Ê É É
N EN (p, q ) Å

Ê ÏÊ Ê?Í Ì Ê Ê? È È È Ê È È ? Ê

È Ê ÍÍÊ È ?

È

Ä

È Ê Ê
(V , T , Å)

É É È

ÎÍ


È Ê Ä È È Ê




ÄÎ Å

É Ê É

Å

Ê

È Ê È

ÎÊ



N = NÈ

Ê

ÄÎ Å

= -k T ln e

ÅN/(k T )

e

-EN (p,q)/(k T )

d

N

= ÅN + F

F (V , T , N ) = -k T ln

e

-EN (p,q)/(k T )

dN .

Ê

ÏÊ
Ê
n

Ê
È
EN = EN (n).

È

È È

É Ê

È ÈÊÊ
g

É È É ? Ê ? É É

Ê
EN (n)È

Nn

È ÎÍ


(V , T , Å) = -k T

N =0

e

ÅN/(k T ) n

e

-EN (n)/(k T )

g

Nn

.

?

Ê

Ê
S = -k



Ê




fN ln fN d
N

N =0

= -k ln fN .

?


ln fN (EN ) =


- EN + ÅN . kT

ÄÎ ÅÈ

ÄÎ Å



Ê



È



È



S = -k ln fN (EN ) = -k

- E + ÅN = -k ln fN (E ). kT

ÄÏ Å È É

N =0

fN (EN )d

N

= 1,

fN (E ) = 1.

ÄÏ Å É É



ÄÏ Å

Ê

È

ÄÏ Å
S = k ln .

ÄÏ Å

È



È

Ê

È  ÄÏ Å Ê ÄÏÏÅÊ É

ÎÍ


È
j0

Ê

É

=
j =1

j .



ÄÏ Å
j0 j0

S = k ln
j =1

j =
j =1

Sj , Sj = k ln j .

?

È

È

ÄÍ Å
- EN (p, q ) + ÅN T

?

É

SN (p, q ) = -

Ä ÌÅ

fN (p, q ) = e

-SN (p,q)/k

.

Ä ÍÅ Ê? Ê Ê É È É

Ä ÌÅ ? È

Ä ÍÅ ? È ?

ÎÍ




Ñ Ñ ÑÊ

ÿ ÍÊ
ÍÊ
ÊÊ È ÈÊÊ Ê É Ê
N

È È È È Ä
G N = = G1 N1 + G2 + N2 M

Ê
Ê È È È È Ê

É È É É É É
G

Ê?

È

Ê

É

Å
+ + ... ... + GM , + GM .

È È Ê?

Ê

É É É

Ê È È È È ÅÊ

ÎÊ 
Ê? É Ê?É

Ê
È Ä Å

È È

É É É É

È

Ê Å

G

Ê

N

È

Ä

É É É É ÈÊÊ

Ä

ÎÍ


Ê
N GN Ê Gj j , j = 1, . . ., M Ê È
N


N

Ê
G

É É È É É

G

È

È Nj !Ê È
GN =

Ê

È È
N! N GN1 . . .GMM . N1 !. . .NM ! 1



É

N 1 +. . . +N

M

=N


GN = N! GN1 GNM 1 ... M . N1 ! NM ! NÊ

N 1 +. . . +N

M

=N

N1 , . . ., NM È

É É

Ê

ÏÊ
È È



Ê

ÿÏ È

ÞÑÑÑ

Ê
N G

È

È

É É È É É

Ê? Nj Gj Ê
N CG Ê

È

j

N
N CG =

G
N1 NM CG1 . . .CGM . N 1 +. . . +N
M

=N

ÎÍ


È

Ä

Nj È Gj

É È
Gj 1ÅÈ
N

j CGj =

N

Gj j Gj ! Gj (Gj - 1). . .(Gj - Nj + 1) = Nj !(Gj - Nj )! Nj ! Nj !

Ä È

ÅÈ

È

Ê È Ê Ê
G G

Ê

Ê
N

Ê

É É É
G-1 É

È Ê
G+N -1 N
N CG+

Ê

Ê Ê ÅÊ ? G -1 = CG+N
=
N 1 +. . . +N
M

É
G-1 Ä

Ê

N -1

-1

Ê
N1 CG1 + =N NM . . .CGM

È É È

N CG+

N -1

N 1 -1

+N

M

-1

.

?

È

Nj Gj


N

Nj CGj +Nj -1

Gj j (Gj + Nj - 1)! (Gj + Nj - 1). . .Gj = = , (Gj - 1)!N1 ! Nj ! Nj !



Ä

ÅÈ Ê

È

Ê

É É É È

ÎÎÌ


Ê È È  Ê ÎÊ ? È Ä È Ê

È Nj Ê

É É É É È É É É

È Ê ?

Ê

È

Ê
È

Ê
Ê

ÅÈ 

?

È Ê

É É Ê É
Î

G1 = 1 Ï Î Î Í Í Í Ì Ì Ì Ì

G2 = 2 Ì Í Ì Î Í Ì Ï Î Í Ì

G3 = 3 Ì Ì Í Ì Í Î Ì Í Î Ï

 ÎÍ

 Í Í Î Î Ï

ÍÎ Ï Î Ï Î

ÎÌ Ì Ì Ì Í Ï Ì Ï Í

ÍÎ ÍÌ

ÿ ÎÊ
ÍÊ Ê
ÎÎÍ É


Ê

È Ê

È Ê

É É É É


(p, r)Ê ?

p


(p, r) = (p) + U (r),

Ê





È ÄÍÅ Äp = |p|È

(p) = c m N d3 pd3 rÊ

2

Ê

m 2 c2 + p 2 - m c ÅÈ U (r)

2

(p, r)Ê EN (p, r) = N (p, r)Ê

È

?

?



È È

È ÊÊ

É

(p, r) = -k T ln

e
N

[Å-(p,r)]N/(k T )

.



È

Ê Ê È

È

É

ÎÊ
Ê

Ê

É É

N (p, r) = - f (p, r) =

(p, r) . Å

ÄÎÅ

1 N (p, r) h3

ÎÎÎ


Ê


h

3

Ê È
d3 pd3 r , h3 d3 pd3 r . h3

É É È É

Ê
(V , T , Å) = (p, r)

N =-

(V , T , Å) = Å

N (p, r)

È
h3 / g Ê

h3 È sÈ

È
h
3



Ê

É É

g = 2s + 1

f (p, r)d3 pd3 r = N .

ÄÏÅ Ê È É É ÍÊ
.

È Ê

ÏÊ

È
(p, r) = -k T ln 1 + e

Ê
Ì



[Å-(p,r)]/(k T )

ÄÅ

(V , T , Å) = -k T

ln 1 + e

[Å-(p,r)]/(k T )

d3 pd3 r . h3

ÄÅ

Ê
È



Ê?

Ê

É

ÎÎÏ


Å 0Ê

È
(p, r) = k T ln 1 - e
[Å-(p,r)]/(k T )

Ê É ÄÅ

.

(V , T , Å) = k T

ln 1 - e

[Å-(p,r)]/(k T )

d3 pd3 r . h3

ÄÅ É

Ê

Ê



Ê

Ä ÅÈ Ä Å
[Å-(p,r)]/(k T )

É

(p, r) = k T ln 1 Á e

,

È È



Ä ÅÈ Ä Å
ln 1 Á e



Ê
d3 pd3 r . h3

(V , T , Å) = k T

[Å-(p,r)]/(k T )

ÄÅ


N (p, r) = 1 e
[(p,r)-Å]/(k T )

ÄÎÅ
,


f (p, r) = 1 h3 e 1

Á1

ÄÅ

[(p,r)-Å]/(k T )

Á1

.

ÄÍÌÅ ÄÅ

ÄÅ
N =- (V , T , Å) = Å d3 pd3 r h3 e 1
[(p,r)-Å]/(k T )

Á1

.

ÄÍÍÅ

ÎÎ


ÄÍ Å
S=- - T

Ê



d3 pd3 r [Å - (p, r)]/T - - ÅN + E . = h3 e[(p,r)-Å]/(k T ) Á 1 T

ÑÑÈ
E= d3 pd3 r h3 e (p, r)
[(p,r)-Å]/(k T )



ÄÍ Å

Ê ÄÍÍÅ

È

Á1

=

d3 pd3 r(p, r)f (p, r).

É

Ê?

Ê

Ê?

É É

0 1 1/(q + 1) q /(q + 1). q e
[Å-(p,r)]/(k T )

Ê

È 
0 1-q

È ÄÍÍÅ

Ê ?+?

1 ... N ... q (1 - q ) . . . q N (1 - q ) . . .

q<1

Ê
N =0

N (p, r) =

N q N (1 - q ) = (1 - q )q

d1 q = , dq 1 - q 1-q

ÄÅ

Ê
Ê

?-?Ê È Ê ÎÎ

Ê

É É É


È ?

È ÄÅ È ln(1 + x) x
e

-Å/(k T )

É 1Ê ÍÈ 0 < x 1Ê ÄÍÎÅ É É Ê

ÄÍÍÅÈ

(V , T , Å) = -k T

e

[Å-(p,r)]/(k T )

d3 pd3 r . h3

? È Ê

Ê

È

ÿ ÏÊ
ÍÊ
ÄÍÎÅÈ
(V , T , Å) = - kT e h3
Å/(k T )

Ê?

É

d3 rd3 pe

-(p,r)/(k T )

.

ÄÍÏÅ Å



ÄÍÏÅ



Ä

È
d3 pd3 r e h3

ÄÍÍÅ N
[Å-(p,r)]/(k T )

É

N =-

(V , T , Å) = Å

.

= -N k T .

ÄÍ Å Ê ÈÊÊ É 1È ÄÍ Å

ÎÊ

ÄÍÅ
f (p, r) = 1 e h3



e

ÄÍÌÅ
,

Ê

e

-Å/(k T )

[Å-(p)]/(k T ) -U (r)/(k T )

ÎÎ




È

Ê

È

É ÿÊ

ÏÊ
È

U (r) = 0Ê

Ê
e
[Å-(p)]/(k T )

(V , T , Å) = -k T V

d3 p . h3

Ê



= -P V È P = k TV

Ê?
e
[Å-(p)]/(k T )

É
d3 p . h3

ÊÊ

= -P V

ÄÍ Å È

P V = Nk T,

ÅÊ

Ä

È É

Ê

p2 È Ê Ê (p) = È 2m kT e h3
Å/(k T )

Ê

(V , T , Å) = - kT =- 3 e h

e

-p2 /(2mk T )

3

dp

I (T ) =
-U (r)/(k T )

Å/(k T )

(2 mk T )3/2 I (T ), I (T ) = d3 re

.

?

È
k TV (V , T , Å) = - e h3
Å/(k T )

È
(2 mk T )3/2 .

ÄÍ Å

Ê
N =-

Ê
(V , T , Å) V = 3e Å h
Å/(k T )

(2 mk T )3/2 .

ÎÎ


e

Å/(k T )

=

h3 N , Å = k T ln V (2 mk T )3/2

h3 N V (2 mk T )3/2

. ÄÍ Å



Ê

ÄÍ ÅÈ 1 N e f (p) = V (2 mk T )3/2 É

Ê

ÄÍ Å
-p2 /(2mk T )

É

.

ÄÍ Å Ê

ÄÍ Å
S=-

Ê

Ê

È



ÄÍ ÅÈ



É

5 k V Å/(k T ) (V , T , Å) e = (2 mk T )3/2 - T 2 h3 Å kV - 3 eÅ/(k T ) (2 mk T )3/2 . h (k T )

ÄÍ Å ÄÍ ÅÈ É

S=k N

5 - ln 2

N h3 V (2 mk T )3/2

.

?

È È È Ê

Ê È Ê

È É É É

Ê

p2 pv = È = 2m 23 3 E = P V = Nk T. 2 2

Ê

È ÄÎÌÅ É



Ê ÎÎ


ÿÊ
? Ê Ê
2

È

É

ÍÊ

ÄÍ

Å È

É
p

Ê?
È

È

Ä


Å

d3 pÈ

È Ê

É Ê vÊ É 2pÊ É p É f (p)d3 pÊ É É É É È É È

v

Ê É
P = 2
p 0

È

f (p)d3 p(p )(v ).

È Ê Ê

f (p)


È
/2 2

È

É

P = 2
0

f (p)2 p pv dp
0

4 cos sin d = 3
2



f (p)p3 v dp = P. ÄÎÍÅ

0

È

È Ê Ä ÅÊ

È

É È É É È É

ÎÊ

ÄÅ

Ê

È

ÎÎ


P =-

(V , T , Å) 4 k T =Á V h3


p3 ln 1 Á e 3

[Å-(p)]/(k T )

0

Á

Á

0

(p)/(k T ) p3 ]dp . e[Å-(p)]/(k T ) Á 1 3


ÄÎÎÅ

4 P= 3

f (p) (p)p3 dp.

ÄÎÏÅ
(p) = v È

0

ÄÎÍÅ È

ÄÎÏÅ Ê

È

Ê

É

ÿÊ
È Ê Ê Ê É

ÍÊ
ÄÍ ÅÊ


fM (p) =

Ê




È

É
.

É

4 p2 e (2 mk T )3/2


-p2 /(2mk T )


fM (p)dp = 1.
0

È p = 2mk T z È dp = 2mk T dz /(2 z )
4 p= (2 mk T )3/2
l

e
0

-p2 /(2mk T ) l+2

p

dp =

ÎÏÌ


4 (2mk T )( = (2 mk T )3/2

l+3)/2



z
0

(l+1)/2 -z

e

dz .

ÄÎ Å É



È
2 pl = l+3 2 (2mk T )l/2 .

?

È Ê Ê (pl )1/l È
8 mk T ,

Ê

É
l = 0, 1, 2

1 = 1,

p=

p 2 = 3 mk T .

È
8

É

D p = mk T

3-

(p) =

12 3 p = k T. 2m 2

ÄÎ Å Ê
l = -2

ÄÎ Å
l l > -3Ê p
-2

ÄÎÌÅÊ

É

=

1 . mk T

È
2 vl = l+3 2 2k T m
l/ 2

É

.

?

È

Èv=

8k T /( m), v 2 = 3k T /mÊ È T = 300 È ÎÈ

É

ÎÏÍ


2 9 mH È
5

m

H

Ä
(v 2 )1/2 =

0.5 Ç 10

Ë = 0.5

ËÊ È

ÅÊ 3 Ç 1.38 Ç 10-16 Ç 300 29 Ç 1.67 Ç 10-24 È ÏÏÌ Ë Ê É Ê
= 2 mk T

Ä

È

ÅÊ

È

p

ÎÊ
Å



Ê


È

Ê
È
Ei < 0È


È

Ä



É É
É

Ê Ê i = 1, 2. . .

È

Ei È Ê Ê

Ê
ni Ê

É É È
e ,
-Ei /(k T )



Ei È
-Ei /(k T )

È

É

ni = C g i e g
i

ÄÎ Å

È

C



Ê

ÈÊÊ

ni gi =e n1 g1

-(Ei -E1 )/(k T )

.

ÄÎ Å É É ÄÎ Å

Ê Ä

? Ä È Å nÈ

Ä Å

Å
C

È

ÎÈ

Ê

ÎÏÎ


C Z (T ) = n,

Z (T ) =
i

gi e

-Ei /(k T )

.

ÄÎ Å É

?

ä æè è ãâ éâ è ãâÈ ãâ è ãâ ä æè è ãâÊ Ä éçè â çéáá ÅÊ
g (T ) =
i

Z (T )

Ê

É

É É ÄÎ Å

gi e

-(Ei -E1 )/(k T )

=e

E1 /(k T )

Z (T ).

Ê
n= n1 g (T ), n = C g (T )e g1
-E1 /(k T )

.


n g (T ) = , n1 g1 g (T )

ÄÏÌÅ È

?

Ê È
Ei = -

È È
1 , i2

È È
gi = 2i2 ,

È Ê

Ê

È

1 = 157200 , k

ÌÈ ÊÊ ? Ê

È

ÄÎ Å Ê È

i

È Ê? Ê É É

r i i2 È 1 0 -8 Ç 1 0 6 = 1 0

-2

Ê

i = 1000 ÈÊÊ

ÎÏÏ


È È

È Ê
i
0

È Ê

É

i0

Z (T ) =
i=1

gi e

-Ei /(k T )

.

i

0

? È
3 N ri0 1Ê i2 È 0

Ê
N

È

È É É É É

È i0 È Ê È

È È
N i
-7.5 0

Ê

È È

ri0

Ni

-6 0

Ê

i

0

É

Ê
N i

Ê?
0

È Ê È È ÏÌÉ N
i
0

Ê



È È Ê

È

È É i0 lg N = 23.26-7.5 lg i0 Ê Ê È É È É

È

ÏÊ

Ê


È

Ê





È È

Ê
È

É
É É É

Ê ÎÏ


Ê Ê

È

ÎÊ Ê È È ÄÎ ÅÈ È É É

Ê



È

È

È



ÄÎ ÅÈ
.

É ÄÏÍÅ É È


dg dne = e n1 g1

-[p2 /2m-E1 ]/(k T )

Ê È È
dg = V0 4 p2 dpV0 , h3 / 2

Ê? 1/2Ê

È

É
h3 / 2 È

ÄÏÎÅ È
dn È ÊÊ

Ê

Ê?

e





ÄÏÍÅ

dne = n

e

4 p2 dp e (2 mk T )3/2

-p2 /(2mk T )

.

È
V0

È ÈÊÊ
V0 =
+ g1 , n+ 1

Ê

É

n

+ 1

Ê ÎÏ

Èg

+ 1

É È



+

ÈÊÊ

ÄÏÌÅ

ÄÎ ÅÊ
n+ n+ 1 + = +. g g1 E1

n

+

? È
n
e

ÄÏÍÅ

ÄÏÎÅ

1 = -E1 Ê

É É

n+ g + (2 mk T )3/2 =2 e n1 g1 h3

-1 /(k T )

.

È n+ / n

1

1 / k È n+ / n È È È

È

È Ê

Ê Ê È

É È É É Ê È

Ê
g1 = 2, g + = 1È

È

È

n+ = ne Ê e

È

n2 e = 2.4 Ç 1015 T n1

3/2 -157200/T

.

ÄÏÏÅ

Í ÎÌÌ È 10000 ? 20000 Ê È È

ÄÏÏÅ È È

Ê



É

Ê

ÿ Ê
ÍÊ Ê?
È Ê

ÎÏ


N m H z mg z Ê p2 + mg z , 2m . gÊ S
0

ÄÍ ÅÈ
(p, r) = (p, z ) =

Ê Î ÿÏ

É É É

ÊÊ
f (p, z ) =

1 ex p h3

mg z p2 Å - - kT kT 2 mk T

ÄÏ Å

?
H

4 S

0 0

dz
0

p2 dpf (p, z ) = N .

e V = S0 H È f (p, z ) =

Å/(k T )

=

È

N h3 x V (2 mk T )3/2 1 - e

-x

,

ÄÏ Å

È x = mg H/(k T )Ê
x 1-e

N 1 e V (2 mk T )3/2

-p2 /(2mk T ) -mgz /(k T )

e

-x

.

?

È
Å/(k T )

ÿ ÏÊ ÄÍ Å
(2 mk T )3/2 x h3 1-e
-x

ÎÊ 

Ê

= -N k T = -k T V e

.



N=-

È Å ÄÍ Å

È

Ê

É

Å (2 mk T )3/2 x S = - = k V ex p T kT h3 1-e

-x

5 Å - + r(x) , ÄÏ Å 2 kT

ÎÏ


r(x) =

ÄÏ ÅÈ

1 - e-x (x + 1) . 1 - e -x h3 N x 5 - ln - ln 3/2 2 V (2 mk T ) 1-e

ÄÏ Å



S=k N

-x

+ r(x) .

È

Ê

ÏÊ 

È




Ê
N x V 1-e

Ê

n(z ) = 4
0

p2 dpf (p, z ) = z

-x

e

-mgz /(k T )

.

ÄÏ Å



ÄÎÍÅÊ


ÄÏ Å

É

È

4 P (z ) = 3

p
0

3

p N x dpf (p, z ) = (k T ) m V 1-e

-x

e

-mgz /(k T )

.

ÄÏ Å

P (z ) = n(z )k T

Ê
H

N mg N = mg P (0) - P (H ) = k T x = V S0

n(z )dz
0

Ê
1 P= H
H

kT P (z )dz = H

H

n(z )dz =
0

0

kT N V= kT H S0 V

Ê?

ÄÏ Å È

È ÄÏ ÅÈ Ê

ÄÏ ÅÈ

Ê

É É

ÎÏ




Ê
H

Ê?


E = 4 S

0 0

dz
0

p2 dp(p, z )f (p, z ) = N k T

3 + r(x) . 2

ÄÏ Å

Ê

E = T S + ÅN + È S0 Ê

ÄÏ Å


Ê

z

(z )n(z ) = 4 p2 dp(p, z )f (p, z ) =
0

N3 xe-mgz/( k T + mg z V2 1 - e-

k T) x

.

(z ) =

3 k T + mg z Ê 2

Ä ÌÅ É ÄÏ ÅÈ É

Ä ÌÅ

ÄÎ ÅÈ
1 - e-x (x + 1) 1 - e -x

mg z = (k T )r(x) = k T

kT mg H 2

x 1, x 1.

?



Ê

È

É

Ê
Ä ÑÑ
ÅÈ






Ê

ÄÍÏÅ

Ê?

É

dE = d + T dS + S dT + ÅdN + N dÅ.

Ä ÍÅ



Ê ? x = mg H/(k T )È = k T, u= Å . kT

ÎÏ


?


= - V e
u

É
(2 m)3/2 1 - e h3 x
-x

.



È

d 5 d dV dx = + + du - r(x) . 2 V x V, T , Å H È



É

Å dV dÅ mg 5 dT d = - + r(x) + + - r(x)dH. 2 kT T V kT k Tx

Ä ÍÅÈ

È


dH . H

É Ä ÎÅ É Ä ÎÅ Ê? É È É dH É k T r(x) Ê mg

dE = T dS - P dV + ÅdN + N k T r(x)

?
dH/H

H



É

È

È



dg /g Ê



Ê



È È

ÿÊ
Ä Ê ÎÎÅÊ Ê Ê É È È É É

ÍÊ
e
/(k T ) N =0

Ê
e





È

e

ÅN/(k T )

-EN (p,q)/(k T )

d

N

= 1.

Ä ÏÅ

ÎÌ



d
N

NÉ dpdq d3 p1 d3 r1 d3 pN d3 rN 1 ... = . h3N N ! h3 h3 N!

=

N

EN (p, q ) =
j =1

(pj , rj ),

N

e
j =1

Å/(k T )

e

-(pj ,rj )/(k T )

d3 pj d3 rj h3

.

? È

ÄÍ ÅÈ Ä ÏÅ
e
-N N =0

ÄÏÅ



NÊ ÄÍ ÅÈ

N = 1. N! NÈ DN = N Ê

N

Ä Ê

Å É É

N 2 = N (N + 1)È = N Ê N =


1 = . N N

N

È
(N + 1) = N !

È
2 N N e
N


,

Ê

Ä

Å

ÎÍ


N



Ä ÅÈ
N

Ê NÊ
N e N!

N

Ä
N

È Å

É

e

-N

-N

N . 2 N (N/e)N

Ä

Å É

x=

Ä ÅÊ
e
-N N =1 N =0

N =N +x N N +x N 1 N +x N N
N +x

N -N , N

Ä Ä ÅÈ
e
N

Å

N



2



1 ex p x 2 N
N =0

x N - (N + x N ) ln 1 + N N - (N + x
N =0

1 2 N

ex p x

N) .

x x2 - 2N N

1 2 N

e

-x2 /2

È
dN

ÍÈ
1 2


Ä

Å

È

dx = 1/ N Ê

e
-

-x2 /2

dx = 1,

Ä

Å Ê

Ê

ÎÊ
È

Ê
N
N

È

È

E=
j =1

p2 j . 2m

Ä

Å

ÎÎ


e

-E /(k T )

È


É È Ê Ê É É É È
p E
3N -1

ÄÅ È
p
3N -2

Ê?

dE E N

(3N -2)/2

dE Ê
-E /(k T )

È
E
3N/2-1

NÉ É dp È E + dE È

W (E ) dE = C e


dE .

W (E )dE = C
0 0 -3N/2

e

-E /(k T )

E

3N/2-1

dE = 1,

C = (k T )

/(3N/2)Ê

È
-E /(k T )

W (E ) =

E 3N/2-1 e (k T )3N/2 (3N/2) y E , (k T )

.

?
y=

s 3N . 2

s=

?
w(y )dy = y


y s-1 dy . (s)

yl =
0

y s+l-1 e (s)

-y

dy =

(s + l) . (s)

l = 0, 1, 2

1 = 1, y = s, y 2 = s(s + 1)È E= 3 Nk T. 2

ÎÏ


È

È


1 y = E = = s

È
1 . 3N /2

D y = sÈ È



É É

È



È

Ê Ê È
y = s + x s, N

y-s x= , s s1 w(y )dy = s y (s + 1) çe
s-1 -y

-s-x s

e s s-1 x s 1+ s dy s 2 s s 1 s(x/s-x2 /s)-xs sdx e dx, 2 e

s-1

ç

È ? Ê

È

1/ N Ê



Ä

ÅÊ

Î




ÑÞÊ

ÿ ÍÊ
ÍÊ
Ê È È È


Ê?
È Ê

É É É

Ê È Å È Ê È Ê Ê È ÊÊ È È Ê Ê

È Ê? Ä

É É É É É É È É

Ê? Ê



È É É

Ê? Ê

È

ÎÊ


È
E

È È
n = N /V

Ê
N É = E /V Ê

ÈÊÊ

Î


?


Ê
4 g (V , T , Å) = 3 k T V h ln 1 Á e
[Å-(p)]/(k T )

É É
p2 dp.

ÄÍÅ

0

Ê È

È


V

È

Ê

Å

ÄÍÅ

È
T

É É É



È
4 g n= 3 h


Ê?

p2 dp e
[(p)-Å]/(k T )

=

4 g h3

0

Á1

,

ÄÎÅ

(p)
0

p2 dp e
[(p)-Å]/(k T )

Á1

,

ÄÏÅ

P=

4 g 1 h3 3

p
0

d(p) dp e

p2 dp
[(p)-Å]/(k T )

Á1

.

ÄÅ

?
(p) = c


p2 2 c2 + p 2 - m c2 m 2m pc p m
2 c2

p m c, p m c, p m c, p m c.

ÄÅ

d(p) v= =c dp

+p

2



p m c

ÄÅ È É É É

È

ÄÅ

ÄÅ È

Ê

Ê Î



Å n

ÄÎÅ Ä Å Ê Ê Ê?
S=V n T TÊ

È

T

ÅÊ

n,

P


P

É ÄÎÅÈ É É É

Ê

È Ê
P T

È È Ê
V, Å

É ?



Ê Ê È

È Ê È Ê É É È

ÎÎÊ

ÏÊ
p2 /(2m)

pv = p2 / m ÎÊ

Ê?
P = 2 / 3

É É P V = 2E /3 É
1/2

È p = 2mk T z , dp = 2mk T dz /(2 z )Ê


È

Å/(k T )Ê

É

4 g 1 n = 3 (2mk T )3/2 h 2

z e


dz Á1

0

z -Å/(k T )

,

ÄÅ

4 g 1 1 P= 3 (2mk T )5/2 h 3m 2

z e

3/2

dz Á1

0

z -Å/(k T )

.

ÄÅ É

Ê
Î

Ê?


È Ê Ê

Ê

È

È

È
= p cÊ

É

É
p=

P = / 3 k T z / cÈ

P V = E /3Ê

4 g n= 3 h 4 g P= 3 h

kT c kT c

3



z 2 dz e
z -Å/(k T )

0 4

Á1

,

ÄÅ

c 3



z 3 dz e
z -Å/(k T )

0

Á1

.

ÄÍÌÅ

È

Ê

ÿ ÎÊ
ÍÊ
e
Å/(k T )

È 0Ê  Ê e

Ê
È
Å/(k T )

È Ê
=X1

È

È

É É

X




ÄÅ


Ä ÅÊ


È

0

z dz z dz e-z X = X z dz (1e ez / X Á 1 1 Á e -z X
0 0

-z

X )e

-z

= X (+1) 1

X 2
+1

.

È



ÄÅ

Ä ÅÊ

ÄÍÍÅ É

Î


É

(5/2) = (3/2)(3/2) = (3/4)(1/2) = (3/4) È X 4 g 3/2 1 X 1 3/2 , n = 3 (2mk T ) h 22 2 X 4 g 1 13 (2mk T )5/2 X 1 5/2 . P= 3 h 3m 24 2

É

ÄÍÎÅ



È
X 1 3/2 P X 2 1 Á 5/2 . = X nk T 2 1 5/2 2

ÄÍÏÅ È É É

?

ÄÍÎÅ
X D =X =n

X

È

Ê

È

h3 , g (2 mk T )3/2 D D 42 1Ê

ÄÍ Å É

?

ÄÍÏÅ
P = nk T 1Á .

È È È

È ÄÍÍÅ Ê Ê È

È


É Ê É È

Ê È



È Î

É É Ê? É


ÊÊ Ê È 

Ê É È ÈÊÊ Ê
D

Ê

È É É É È

È Ê

È È Ê È

È

É ÄÍ Å Ê É É

Ê

ÎÊ



ÄÎÅ Ä ÅÈ È

Ê

Ê

Ê
D

É É = eÅ/(k T ) Ê É p = mc s h

È

ÄÎÅÈ

È
mc2 /(k T ) = y

4 g n= 3 e h =

Å/(k T ) mc2 /(k T )



e

p2 dpe

-



m2 c4 +p2 /(k T )

=

4 g D h3

e y m3 c

3

0

e
0

-y ch

sh2 ch d .

È

É

4 g n= 3 D h

1 emc e y
y 33 0



-y ch

ch 2 d =

4 g D h3

e y m3 c

3

K2 (y ) , ÄÍ Å y

ÎÌ




K (y ) =
0

e

-y ch

?
3

È
=

-y e 2y ch d -1 ( ) 2 y y > 0Ê D =



y 1, y 1.

D

y nh 4 g m3 c3 K2 (y )ey D

nh3 , k T m c2 , g (2 mk T )3/2 3 hc n , k T m c2 . = 8 g k T

È

D

Ê
lg De /n
-27 -28
e

È D = 1È
n(, T )
1.0 0.8



Ê? ÄÍ ÅÊ

É É É

-29 -30 -31 -32 -33 8.0 0.6 0.4 0.2
0.3 0.2 0.5 1 2

T

8.5

9.0

Ê ÍÏÊ

0.0 0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 3.5 /k T 9.5 10.0 10.5 lg T

D Ä

/ne Å Ê

ÊÍ Ê


É Ê

Ê ÍÏ È È

Ê ÎÍ

É É É


D

È

Ê?

È




É É

ÿ ÏÊ

D D = Ê


Ê È
D

È

È

É ÄÍ ÅÈ É É É É Ê È


Ê?

Ê

Ê

Ê?


É É É È Å0 Ê

TÊ T 0

Ê

n(, T ) =

1 e
[-Å]/(k T )

È / k Å/k = 1Ê È È ÄÅ
T 0

È

0 1 - + 1 T 0 2 1

> Å0 , = Å0 , < Å0 . T

ÄÍ Å

ÊÍ Ê È
T 0

È

É

È

p0 Ê p2 Å0 = 0 Ê 2m

É ÄÅ

ÎÎ


4 g n= 3 h P= 4 g 1 h3 3 m

p0

p2 dp =
0 p0

4 g p3 0 , h3 3 4 g 1 p5 0 . h3 3 m 5 p
0

p4 dp =
0



È
1 P= 5m


3 h3 4 g T 0
2/3

É É

n

5/3

.

? Ê



È

É É

ÿÊ



È

ÍÊ ?
Ê

Ê?
ÄÅ
Å/(k T ) = Y z=Y Y - z = yÈ

É Ê É

z - Y = yÊ 1/(e

-y

È + 1) = 1 - 1/(ey + 1)Ê


I (Y ) =
0 Y

z dz = z -Y + 1 e
Y

Y

0

z dz + z -Y + 1 e



z dz = e +1
z -Y

Y

=
0

(Y - y ) dy +



(Y + y ) - (Y - y ) dy + ey + 1

(Y + y ) dy . ey + 1
+1

ÄÍ Å

0

Y

Y

/( + 1)Ê

ÎÏ


Y

ÄÍ ÅÈ y/ Y

Ê È
YÈ y YÈ 1/(ey + 1)

Ê Ê Ê


É

È yÈ

È
Y +1 I (Y ) = +Y +1


Ê? Ê?
2 . 12

É



1 + y / Y - (1 - y / Y ) Y +1 dy = + 2 Y ey + 1 +1

-1

0



y dy = y +1 e



0

n=1

(-1)n-

1

2 1 = . 2 n 12

? È Ê Ä Ê È È É

È

È

È

È 1/ Y ÅÈ È È Ê È Ê Ê? ÄÅ ÄÅ

É É Ê É É

ÎÊ
n=

Ê
3 4 g (2mk T )3/2 Y 3/2 1 + 3 3h 2 4 g 1 P= (2mk T )5/2 Y 5/2 1 + 3 h3 5 m


2 -2 , Y 12 1 5 2 -2 . Y 2 12

ÄÍ Å

Î


Y

?

È
5/3 5 1 + 2 Y 8 5 1 + 2 Y 24 n
-2

2 mk T Ê

È
3 h3 4 g
2/3

P 1 = n5/3 5m

=
-2

1 5m

3 h3 4 g

2/3

1+

52 Y 12

-2

.

? Y

Ê
T
0 -4/3

É É

1 P= 5m =

3 h3 4 g 1 5m

2/3

n 3 h3 4 g

5/3

5 1+ 12
5/3

2

3 D 4
1/3 4/3

=

2/3

n

1+5 D

4



3

7/3

T T0

2

.

È ÄÍ Å
k T Y = ÅÈ



1

T T0 Ê ?

É
S É

È Ê?
k Å
2

Ê È
4 g 3 h3
2/3

Ê Ê

É

S =V

4 g (2mÅ)5/2 5 3 h3 5m 8

2

2T = V k 2 n

1/3

mk T .

ÑÈ
T 0 T =0

Ê È È Ê Ê

É Ê É É É È

ÍÊ È

T =0

È

Î


È Ê

Ê

É É

ÿÊ
ÍÊ
m cÈ


ÄÍ ÅÊ È

Ê
p
0

É
mc

Ê ?

Ê? Å0 = (p0 ) È

Ê

É É

É È È p = mc sh , p0 = mc sh 0 Ê dp = mc ch d , = mc2 (ch - 1), v = c th Ê È p0
4 g n= 3 h
p0

p2 dp =
0

4 g p3 4 g m 3 c3 3 0 =3 sh 0 . h3 3 h 3

ÄÍ Å É


4 g m4 c P= 3 h 3
5 0

sh4 d =
0

4 g m4 c h3 3

5

1 1 3 sh(40 ) - sh(20 ) + 0 , 32 4 8

ÄÎÌÅ
0 5 0

4 g = 3 m4 c h 4 g = 3 m4 c h
5

sh2 ch (ch - 1)d =

1 1 1 sh(40 ) - sh3 0 - 0 . 32 3 8

ÄÎÍÅ É

Ê Î


ÎÊ
0 1

Ê
Ê? È Ê Ê ÄÎÌÅ

È ÄÎÍÅ
5 0 È

É É

0 1 sh 0 e0 /2Ê ? P 4 g m4 c5 e40 . h3 3 2 6 È

É

n

4 g m3 c3 e30 , h3 3 2 3

= 3P Ê

É É

0 È c 4 3 h3 4 g
1/3


n
4/3

P=

.


m cÊ

È È Ê
Ï
P /

É É Ê É É

ÏÍÈ È

lg ne ÎÍÊÌ ÎÎÊÌ ÎÏÊÌ Î ÊÌ Î ÊÌ Î ÊÌ Î ÊÌ Î ÊÌ Î ÊÌ ÏÌÊÌ ÏÍÊÌ

lg[p0 /(mc)] ÉÎÊ ÎÏ ÉÎÊ ÉÎÊÎ ÉÍÊ ÎÏ ÉÍÊ ÉÍÊÎ ÉÌÊ ÎÏ ÉÌÊ ÉÌÊÎ ÌÊÌ ÌÊ ÍÍ

P ÌÊ ÌÊ ÌÊ ÌÊ ÌÊ ÌÊ ÌÊ ÌÊ ÌÊ ÌÊ ÌÊ

/

Ï

Í Ì

lg ne ÏÎÊÌ ÏÏÊÌ Ï ÊÌ Ï ÊÌ Ï ÊÌ Ï ÊÌ Ï ÊÌ Ï ÊÌ ÌÊÌ ÍÊÌ ÎÊÌ

lg[p0 /(mc)] ÌÊ ÍÊÌ ÍÊ ÍÍ ÍÊ ÎÊÌ ÎÊ ÍÍ ÎÊ ÏÊÌ ÏÊ ÍÍ ÏÊ ÊÌ

P / ÌÊ Ì ÌÊÏ Ì ÌÊÏ Ì ÌÊÏ Í ÌÊÏÏ ÌÊÏÏ ÌÊÏÏ ÌÊÏÏ ÌÊÏÏ ÌÊÏÏÏ ÌÊÏÏÏ

Î


?
P /

ÊÏ Ê ÊÍ È Ê
Pe

È

p

0

È
Ê
e

È

n

e

lg Pe
26 25 24 23 22 21

lg
28 27 26 25 24 23 22

e

ÊÍ Ê
ÏÊ

28

29

30

31

32

29

30

31

32

33

lg ne

Pe Ä Å e Ä Å

É
ne Ê



È ÿ ÑÑÑÈ Ê È Ê?

Ê

É É É É É È É É É

P p v nÈ

?

Ê

p

v

Ê

È
pr hÊ

Î


p pÈ nr3 1È

p h/rÊ
-1/3

É

È
r n

p hn
5/3

1/3

Ê

v hn1/3 /mÊ v c P h cn

4/3

Ê P h2 n Ê?



/ mÊ

È

É v = p/ m È È É É É É É É È



È Ê Ï Ê È

È

È

Ê

È

Î Ê

Ï

Ê Í

Ê

Ê

Ä

Ê ÏÍÅÊ

ÿÊ
ÈÊÊ È È Ê
4 g 1 n = 3 (2mk T )3/2 h 2


Ê Ê

É É É

Ê


z
1/2

dz -1

e
0

z -Å/(k T )

,

ÄÎÎÅ É n

Î

È

È


È
ÅÈ Å

Ä Ê


È

É É ÅÊ ? É

Ê

É

4 g 1 n = 3 (2mk T0 )3/2 h 2

0

z 1/2 dz 4 g 3/2 = 3 (2mk T0 ) (3/2). ez - 1 h 4

?


È È
z dz = ( + 1) ( + 1), ez - 1 Ê T 0

È É



ÎÊÏÍ Ê ÍÏÈ

z dz = ez + 1

0

0

1-

1 2

( + 1) ( + 1).

ÄÎÏÅ È



È Ê È ÈÊÊ Ê
n=n n =

Ê È

È

Ê

È



ÄÎÎÅ

È Ê È

Ê

É É

p>

È 0+n

Ê
p=0

(p)È T 3/2 0

È
T T0 ,n
p=0

p>0

4 g (3/2) 3 (2mk T )3/2 = n 4 h

= n 1-

T T0

3/2

.

ÎÌ


È
4 g (2mk T )5/2 h3 6m


È
z 3/2 dz m = 7.040g ez - 1
3/2

P=

(k T )5/2 , h3

ÄÎ Å È É

0

ÄÎ ÅÈ

ÍÊ ÏÊ

È

ÍÊ ÍÌÊ
T T0

Ê
3/2

P = 0.5133nk T

,

= 0.7700nk T

T T0

3/2

.

È È
T
5/2

Ê Ê

È

É É
T =0

Ê

É

È

Ê
5P P =V T 3/2 Ê S=V T 2T 3 Cv = S Ê 2

É Ì

È
T 0È ?

È ÈÊÊ

È



Ê

È Ê?

É Ê É É

Ê

Ê È ÎÍ

È

È

É Ê


È

Å È È

Ä Ê? ?



Ê È

È

É

É

Ê

ÿÊ

4
1/3 4/3

Ê

ÊÊ

C1 = C3 = c 4

1 5m

3 h3 4 g
1/3

2/3

, C4 =

C2 = 5



3

7/3

,

3 h3 4 g

,

g (2 mk )3/2 k (5/2). h3

É
P = 2/3 P = nk T D=0 P = nk T ç D ç 1Á 42



É
P = /3

É

P = nk T

P = nk T

?

D1 D1

Ä ÅÈÄ Å
P = C1 n5/3 ç T2 ç 1 + C2 2 T0 P = C4 T 5/2 P = C1 n5/
3

ÄÎÅ Ä Å

Ä ÅÈÄÍÌÅ

D1 D=

ÄÍ Å ÄÎÍÅ

P = C3 n4/

3

ÎÎ


?
P =0

É Ê? Ê? Ê È È É É



È Ê

ÿÊ
È Ê ÍÈ È È
div A = 0

È È

ÍÊ Ê É ÏÈ É É É

ÎÊ

Ê? È Ê ?





È ÎÊ È

Ê

È

É É É É

Ê Ê Ê? N Ê Ä È ÅÈ È ÿ ÑÑ Ê

È

È

Ê È

N = ãâçèÈ É



È

ÎÏ


Å = 0Ê

Ê

È
P = / 3 È g Å cp3 dp e
cp/(k T )

È

g=2

Ê

È È
8 = 3 h


É É

0

-1

.

?

È

È

È


p = h / cÊ
3 d e
h /(k T )

É

8 h = 3 c

0

-1

.

z = h /(k T ) 8 5 h 1 5 c3 k h
4

É

= aT 4 , a =

= 7.564 Ç 10

-15

4

3

= 7.564 Ç 10

-16

4

3

.

È

4 /15Ê a

ÄÎ Å Ä Å



Ê

ÄÎÏÅ

ÄÎ Å = 3È  É É



=
0

d, =

8 h 3 c3 e

1
h /(k T )

-1

.

ÄÎ Å

È


Ê È


8 2 k T. c3

h 1È kT

ÄÎ Å

Î


? ?
=

h 1 kT 8 h 3 e c3
-h /(k T )


.

É ÄÎ Å

ÄÎ Å Ä?

 ÄÎ Å

? Ê

Ê -1 ÄÎ Å hÈ È



ÄÎ ÅÈ Ê ÄÎ Å ?È

È

É É È É

ÅÈ

48 = 150.7964Ê

ÄÎ Å 8 5 /15 = 163.2105



É È É É É

I Ê ?

Ä
= 4 I , c 2 h 3 c2 e

ÅÈ

I = B (T ), B (T ) = B (T )

1
h /(k T )


c/


c 2 h c2 =5 2 e

È

Ê
1

-1

.

B (T ) = B

(T )

hc/(k T )



Ê
B (T )

É
2c k T, 4

-1

.







É

Ê

Ê

É É

Î


T = T5 Ç 105 1015 Ä = Ç 10
B (T )
0.20
10

-15

ÅÈ

ÊÍÊ



É

B (T )

4
10

0.15
9

3
5

T

5

0.10 0.05
5 7 6

T
8

2 1 0

9 8 7 6 5

0.00

ÊÍ Ê

0

2

4

6

8

10 12 14





0
B

500

1000

1500

2000

B (T ) Ä Å

(T ) Ä ÅÊ

B (T ) á ì È
B (T ) há ì = 4.965114231744Ê ck T È È È

h á ì = 2.821439372122Ê kT È É
áì

á

ì

É É

Ê È

Ê

È

È
h1/2 hc = = 3.503018826Ê kT 1/2 k T
2

É

/2

H =
0

d
0

cos sin dI

ÅÊ Î

Ä

È

È

É


Ê



È
-5

È H = I = B (T )Ê H = ( c/4 )aT 4 Ê
/( Ç
2

É Ê /( Ç É )Ê É


4

È
-8

ca/4 = 5.669 Ç 10


Ê
8 h3

) = 5.669 Ç 10
3

2

4



n=

8 h3

p2 dp e
cp/(k T )

0

-1

=

kT c

0

z 2 dz . ez - 1 T
3

202.4

-3

-3

Ê È

(3) (3) = 2 Ç 1.20205690 Ê?

É É É È É

Ê? Ê È Ê 3.6016k Ê Ê È È

È

T 0 È



Ê

T =0 S= 43 aT V 3

T0

Cv = 3S Ê

É É

Î




ÞÊ

ÿ ÍÊ
ÍÊ
Ê? È Ê

Ê?

Ê Ê

É É



È Ê?

Ä ÅÈ Ê

È Ê È

É É É É Ê É È É È

Ê

È
r fa (p)Ê a É

Èt

a , a1 ÊÊ È ma , ma1 , . . . fa (p, r, t)È È Ê

Èp

ÈÊÊ È È h3 / g a È
g
a



fa (pa )Ê È

È

É


È È 

É È É È É

h3 fa (p, r, t)Ê ga

Ê

È

fa (p, r, t)d3 p = na (r, t),

Î


na (r, t)

È
na (r, t)d3 r =



È

fa (p, r, t)d3 pd3 r = Na (t).

? Î Ê Ê

È



ÈÊÊ



É É É

ÎÊ
É
a

È

Ê
Ê
t


va =

rÊ É va = pa /ma Ê Fa Ê ? É fa (pa , r, t)Ê ? fa (pa , r, t)d3 pa d3 rÊ È dtÊ pa Ê pa , ma dpa = Fa . dt

Ê

É É

?

t + dt r + va dt, pa + Fa dt.

È Ê


dtÊ

É

fa (pa , r, t)d3 pa d3 r = fa (pa + Fa dt, r + va dt, t + dt)d3 pa d3 r. dt 0È fa + va r fa + Fa pa fa = 0. t

É

ÄÍÅ

Î


?



Ê  Ê

É Ê É

ÏÊ ?

È
fa + r (fa va ) + t dpa dt

Ê

p

a

f

a

= 0.

ÅÈ Ê

Ä È

ÄÍÅÊ

É È É

ÿ ÎÊ
ÍÊ
pa Ê


È

Ê?
Ä È È È È ÅÈ Ê Ê
pa Ê 

É É É Ê É

?

È

fa (pa ,r,t) fa (pa ,r,t) . ÄÎÅ + var fa (pa ,r,t) + Fapa fa (pa ,r,t) = t t c

?c ?  Ê Í ÎÊ

ãàà ç ãâç È È È È Ê

Ê È

É É É Ê

Ê ÎÌ


È È Ê Ê Ê Ê Ä È È  Ê ÍÅ ÎÅ ÏÅ È Ê Ê Å ÊÈ È



Ê

É É ÈÈ É É É É É È É

 Ä

 È È Ê Î ÅÊ



È

È



Ê

È ÊÊ Å

É É É ÅÊ É È

È

ÅÊ

Ä

Ä

Ä Ê È Ê Ê

Å Å Å ÄÎÅ

È

Ê

É

fa t

=
c a1

Ia

a1

,

ÎÍ


Ia

a1

È È
a

È

Ê

È



a1 = aÅÊ È

a1 Ä Ñ É

ÎÊ
a

a1 Ê p , p a

Ê
a1

Ê?

pa , pa1 È

É É

Ê
pa = ma Va a1 - ma a1 va a1 pa1 = ma1 Va a1 + ma a1 va a1 Va = p = ma Va a1 - ma a1 va a1 n, a p 1 = ma1 Va a1 + ma a1 va a1 n. a pa + pa1 ma + ma1

ÄÏÅ

a1

È
va
a1

=

pa1 pa , va - ma1 ma

a1

= |va

a1

|,

È
m
a a1

=

ma ma1 ma + ma1

È

È

Ê È Ê

Ê

È

É

È Ê È Ê

ÈÊÊ È

È É É

È
n, |n| = 1Ê

ÎÎ


ÏÊ ?
È
pa

Ê

Ê?

r a1 È a t

É É É

Ia

a1


t a

= +a1 - -a1 . a a

Ê
t + dtÊ

É


a

È

1

È

va

a1

È

Ê pa1 b b + db È + dÊ a

É
dtÈ

fa1 (pa1 , r, t)va aÈ

a1

bdbddt.

È
fa (pa , r, t)d3 pa d3 r.

?

d3 pa d3 r

dt
a1

-a1 d3 pa d3 rdt = fa (pa , r, t)d3 pa d3 rdt d3 pa1 fa1 (pa1 , r, t)va a

bdbd

È ?
a

a

Ê È

Ê

ÄÅ É É È É É

+a1 d3 pa d3 rdt = d3 rdt fa (p a , r, t)d3 p d3 p 1 fa1 (p a a a

a1

, r, t)va

a1

b db d .

È

È

ÄÅ Ä ÅÈ ÎÏ ÄÅ Ê


È
d3 p d3 p 1 a a
3

ÄÏÅ
= d pa d pa1 .
3

ÍÈ

È Ê
+a1 d3 pa d3 rdt = d3 pa d3 rdt a

ÄÏÅÈ Ê È
b È va a1

È
a1

É É
bdbd.

Ê

fa (p , r, t)d3 pa1 fa1 (p a

, r, t)va

a1

È
Ia
a1


= d3 pa1 va bdbdç

a1

ç {fa (p , r, t)fa1 (p 1 , r, t) - fa (pa , r, t)fa1 (pa1 , r, t)}. a a

ÄÅ É

Ê È ÄÅ ÅÊ Ê



Ê
nÊ b,



, È

Ê
d2 n = sin ddÊ ? É

a

a1

(n) =

ÄÑ Å Ä ÅÊ
b

b D(b, ) b db = sin D(, ) sin d

ÄÅ È É É É È É É É

Ê?
È

È


Ia =

È
d3 pa1 va
a1 a a1

a1

(n)d2 nç

Î


ç {fa (p , r, t)fa1 (p a

a1

, r, t) - fa (pa , r, t)fa1 (pa1 , r, t)}.

ÄÅ É

Ê Ê ? fa (p a )fa1 (p Ê È

Ê? É

È ÄÏÅÊ ? É È È È È

É Ê É

Ê
a1

) - fa (pa )fa1 (pa1 )È È

f f1 - f f1 È

Ê

ÿ ÏÊ
È Ê È È  È
fa f a1

Ê

È ÄÅ È

É É É ÄÅ Ê É Ê

Ê

Ê = fa f

a1 a1

ln fa (p ) + ln fa1 (p a

) = ln fa (pa ) + ln fa1 (pa1 ),





ÄÅ

È





ln fa (pa ) = a +

p2 a + pa , 2 ma

ÄÍÌÅ

Ê Î

È


ÄÍÌÅ
fa (pa ) = na (pa - ma v0 )2 ex p - 2 ma k T (2 ma k T )3/2 .

ÄÍÍÅ É


a = ln
2 ma v0 na - , 3/2 2k T (2 ma k T )

È
=- 1 v0 , = . kT kT

? ÄÍÍÅÈ
n
a

ÄÍÌÅÈ Ê
fa (pa )d3 pa = na ,

aÈ v0

È

È

È ÄÍÍÅ

È

ÄÍÌÅ É

pa fa (pa )d3 pa = na ma v0 ,

T 3 p2 a fa (pa )d3 pa = na k T . 2 ma 2

È

È

È

Ê

É

ÿÊ
ÍÊ
Ê


f
a

Ê
É Ê Ê?

È È

a

a

1

É É

v

a a1

va
a1 a a1

a1 a a1 0 d3 pa1 a a1 fa1

d3 pa1 va

(n)d2 nfa1 (pa1 , r, t) = v

(pa1 , r, t).

f

a1

v

a a1

na1

a a1

.?

È

È



É

Î




Ê  È
d3 pa1 va

Ê

na1

a a1

ÎÊ



Ê

É É
a1

Ia

a1

(pa ) =

a1 a a1

(n)d2 n{fa (p )fa1 (p a

) - fa (pa )fa1 (pa1 }.

Ê Ê?
a (pa )


d3 pa a (pa )Ia
a1 a a1

È É È É

Ja a1 =

a1

(pa ) =

=

d3 pa d3 pa1 va

(n)d2 n{f f1 - f f1 }a (pa ).

ÄÍÎÅ É É È É

ÏÊ
È Ê
d3 p

Ê?
È
a Ê

Ê?

ÄÍÎÅ

È

Ê
Ja a1 = -

a

d3 pa1 va
a1 a a1

a1 a a1

(n)d2 n{f f1 - f f1 }a (p a ) =

=

1 2

d3 pa d3 pa1 va

(n)d2 n{f f1 - f f1 }[a (pa ) - a (p )]. a

Ja a1 = 0Ê

È

a = 1

a = ma È

Ê
a a
1

È

ÄÍÎÅÈ

Ê

É É

Ja1 a =

d3 pa d3 pa1 va

a1 a a1

(n)d2 n{f f1 - f f1 }a1 (pa1 ) =

Î


=- =

d3 p

a

d3 pa1 va
a1 a a1

a1 a a1

(n)d2 n{f f1 - f f1 }a1 (p

a1

)=
a1

13 d pa d3 pa1 va 2

(n)d2 n{f f1 - f f1 }[a1 (pa1 ) - a1 (p

)].

Ê
Ja a1 + Ja1 a =



Ê

1 d3 pa d3 pa1 va a1 a a1 (n)d2 nç 2 ç {f f1 - f f1 }[a (pa ) + a1 (pa1 ) - a1 (p ) - a1 (p a

a1

)]. ÄÍÏÅ 1/2

È Ê



Ê
a pax , pay , p


az

Ä p2 /(2ma )ÅÈ a Ê

Ê



É É ÄÍÏÅ

ÿ Ê HÉ
Ê
fa (pa , t) = t Ia,
a1 a1


É

(pa ) =
a1

d3 pa1 va

a1 a a1

d2 n{f f1 - f f1 }.


H (t) =

È

H É d3 pa fa (pa , t) ln fa (pa , t).

a

È
dH (t) = dt

Ê

S = -k V H (t)È H É fa (pa , t) . t

V

d3 pa [1 + ln fa (pa , t)]
a

Î


ÄÍÎÅ
dH (t) = dt




1 Ja,+ln a1 a,a1 fa

È

É

d3 pa [1 + ln fa (pa )]Ia
a,a1

a1

(pa ) =

.

ÄÍ Å È É

ÄÍ Å
dH (t) 1 = dt 4 d3 pa d3 pa1 va
a,a1 a1 a a1 (n)d2 n{f f1 - f f1 }ç

ç[1 + ln fa (pa , t) + 1 + ln fa1(pa1, t) - 1 - ln fa (p , t) - 1 - ln fa1(p 1, t)]. a a


1 dH (t) = dt 4

È




fa fa1 . fa fa1

É

d3 pa d3 pa1 va
a,a1

a1 a a1

(n)d2 n{f f1 - f f1 } ln

?
dH (t) 1 = dt 4 d3 pa d3 pa1 va
a,a1 a1 a a1





Ê

É

(n)d2 nf f1 {1 - X } ln X, X =

f f1 . f f1

Ê

X = 1Ê ?

È (1 - X ) ln X 0È Ê È È 
X 1È

X

ÄÍ Å É É É É

ÄÍ Å

H

É



Ê



Ê Ê
È ?  É É É

Ê

Î


È Ê



È

ÿÊ
a
1


Ê È
a



È

È




a1

pa , pa1 p , p a

Ê

Ê
p a

É

È

É

É fa (pa )fa1 (pa1 )Ê È É Ê É Í 0
h3 fa (p ) 1Ê a ga

Ì
1-

É É





Ê

h3 fa (p )È a ga È Ê

a

1

É É É É

È È
Ia
a1

Ê?

1+

h3 fa (p )Ê ga1 1 a1 Ê

É

=
a1

d3 pa1 va ) 1-

a1 a a1

(n)d2 nç 1+ 1+ h3 fa (pa1 ) - ga1 1
a1

ç fa (p )fa1 (p a

h3 fa (pa ) ga

-fa (pa )fa1 (pa1 ) 1 -

h3 fa (p ) a ga

h3 fa (p ga1 1

)

.

ÄÍ Å Ê É

ÎÌ

È




È ÅÊ ÄÍ ÅÈ  ? È È



É È Ê



Ä

È

É

Å

ÿ ÏÈ È È
a1 Ê

Ä
a

É É É É É

 Ê È Ê? È

Ê È

Ä ÅÈ





È

È

È

Ä

ÊÈ



È Î ÈÏ ÅÊ

ÎÍ




ÞÑÊ

È



È Ê?

Ê

È É É É

ÿ ÍÊ
ÍÊ
ÍÎ Ê

Ê
Ê? Ä É


É ÎÍÈÎ Ê È ÊÊ
(r)



ÍÅ ?
n(r)

Å

É È È ÊÊ É É É ÏÅÈ É É

ÎÅ ÏÅ Å

Ê
h3 / 2 Ê Z Z N 1Ê

È
N

ÎÊ
r

ÈÊÊ

Ê


È

E= p0 (r)È

p2 - e(r) < 0. 2m

Ê ÎÅ

Ê
p2 (r) 0 - e(r) = E0 -e0 , 2m 0 > 0.

ÎÎ


E0

È

rÈ Ê Ê

É Ê É

È 0 = ãâçè

È

p2 (r) = 2me[(r) - 0 ]. 0

?
r

Ê?
n(r)d3 r = 4 p3 d3 r 0 3 h3 / 2
3/2

d3 r

É

È
n(r) = 8 3 2 me [(r) - 0 ] h2 .

ÄÍÅ É

È

?

È
r = -4 (r), (r) = -en(r),

r ÄÍÅ È 1d r2 dr r
2

È
d dr

Ê

É

=

32 2 e 2 2(me)3/2 [(r) - 0 ]3/2 . 3 h3

ÄÎÅ É

ÄÎÅ

ÏÊ
Ê Ê È
r0 (r)

È

Ê
È

É É

ÍÅ

Ze . r

ÎÅ

n(R) = 0Ê ? e(Z - N ) (r) = Z -N e. r

Är > R Å

ÎÏ


ÏÅ

r=R Å (R) = 0 = R Z -N e, R

ÈÊÊ Z -N e. (R) = - R2 È È



É ÄÏÅ É

Ê

Ê
ÍÅ
h = 2 Ê

Ê

Ê
e = m = h = 1Ê ?

É É

ÎÅ ÏÅ ?


Z (x), r È (x) =

r = bZ 4/3 r n 32/3 2Z

-1/3



(r) - 0 =

2/3

(r).

ÄÅ Ê

?
1 b2 Z -

b

ÄÎÅ
2/3

1d x2 dx

d Z (x) x dx bZ -1/3 x
2

82 Z (x) = 3 bZ -1/3 x Z

3/2

.
2

Ê

É

b 1 821 , = b3 3 b3/2

b= R

1 2

3 4 x0

2/3

= 0.88534.

? ÄÏÅ
(x) =

È
r [(r) - 0 ] Z


=




R = bZ

-1/3

Ê

x0 Ê É

x

1 [(r) - 0 + r (r)] bZ Z
-1/3

-1/3

,

1 Z -N bZ (x0 ) = - R Z R2

=-

Z-N 1 . Z x0

Ê


x1/2 (x) =
3/2

Ê?
È
(x).

É ÄÅ

Î


ÏÍÈ È
(0) = 1, (x0 ) = 0,

È Ê ÏÅÈ
x0 (x0 ) = - N = ZÊ x0 = È Z -N . Z

Ê

É É

ÄÅ

? (x0 ) = (x0 ) = 0Ê È

Ê
N/Z Ê

Ê È
Z

È
-1/3

ÊÊ
Z È

È Ê 1/Z Ê È Ê Ê È

È

É

Ê
x (x) =
n=0

ÄÅ
an xn/2 ,

Ê
a0 = 1 .

ÄÅ

È
x1/2 (x) =


a

n

n=1

n(n - 2) ( x 4

n-4)/2

1 a1 1 =- + 4x 4
j =0

j =0

(j+1)(j+3)a xÈ

j +3

xj /2 .

x=y

2

y (y 2 ) = -

1 1 a1 + 4 y2 4

(j + 1)(j + 3)a

j +3

yj .

ÄÅ É

Ê

ÄÅ

Ê?

Î


(1 + z )3/2 =



m =0

(-1)m

3(2m - 5)!! m z. (2m)!

È

3/2

(y 2 ) =

m=

(-1)!! = 1, (-3)!! = -1, (-5)!! = 1/3Ê m m 3(2m - 5)!! j (-1) aj y . 2 m! 0 j =1



3/2

3 3 a1 y + a2y 2 + a3 y 3 + a4 y 4 + a2 y 2 + 2a1 a2 y 3+ 2 81 1 3 + a2 y 4 + 2 a1 a3 y 4 - a3 y 3 + 3 a2 a2 y 4 + a4 y 4 + . . . 2 1 16 1 32 1 (y 2 ) = 1 +





4 a1 = 0 , a3 = , a4 = 0 . 3 a2 (0) = a2 = a.



È

É



j =1


l=1 i1 +i2 +. . .+il =m

Ê

Ê

É

cj



m

=

m! ci1 ci2 . . .cil . l i1 !i2 !. . .il ! 1 2

i1 , i2 , . . ., il È Ê È a1 = 0 È
3/2



È

É É

(y ) =

2



m=

3(2m - 5)!! (-y ) 2m m!i +i 0
2m
1

2+

. . .+il

l m!ai1 ai2 . . .ai+1 23 l y i !i !. . .il ! =m 1 2

i2+2i3+. . .+(l-1)il

.

yÈ y

i1 + 2i2 + . . . + l il = k Ê È

Î


ymÈ


Ê?
3(2m - 5)!! 2m i +i +
1 2

É



3/2

(y 2 ) =
k =0

m =0

(-y )m
k

. . .+il

i il ai1 a33 . . .al+1 2 y i !i !. . .il ! =m 1 2

i1+2i2+3i3+. . .+lil

=

=

y

k

m =0

(-1)m

3(2m - 5)!! y 2 m m!

m
i1 +i2 +. . .+il =m i1 +2i2 +. . .+lil =k

l ai1 ai2 . . .ai+1 23 l .ÄÅ i1 !i2 !. . .il !

ÄÅ

3/2

n = m + kÊ
n=0 [n/2]

(y 2 ) =

y

n m =0

(-1)m

3(2m - 5)!! 2 m m! i

1 +i2 +. . .+il = i1 +2i2 +. . .+lil =n-m

l ai1 ai2 . . .ai+1 23 l , ÄÍÌÅ i !i !. . .il ! m12


a
n+3

Ê ÄÅ
[n/2]

m

É É

ÄÍÌÅÈ
i l a21 ai3 . . .ai+1 3 l . i1 !i2 !. . .il !

=

12 (n + 1)(n + 3)

m =0

(-1)m

(2m - 5)!! 2 m m!

i1 +i2 +. . .+il =m i1 +2i2 +. . .+lil =n-m





É

2 1 3 2 4 a 1 = 0 , a 2 = a , a3 = , a 4 = 0 , a 5 = a , a6 = , a 7 = a 2 , a 8 = a , 3 5 3 70 15 4 a3 a2 a3 4 a3 31 2 , a12 = , a10 = , a11 = + + , a9 = - 27 252 175 1485 1056 405 1575 557 4 3 a3 2 9 a3 a13 = a2 , a14 = a, - - 100100 9152 693 24255 101 6 2 3 a3 7 a6 68 46 a15 = - + , a16 = - - a3 a2 , 52650 351000 49920 45045 105105 191 2515237 3 3 a17 = - - a+ a6 a , 706860 1979208000 43520 1046 3 4 23 + a- a6 , a18 = 473850 675675 100395

Î


799399 - 698377680 1 510557 - a20 = 1033782750 0.3 ? 0.7 (y 0.5) ÄÅ Ä Z (r) r a19 =

1232951 3 99 a+ a6 278076800 2646016 16984529 3 256 a+ 1206079875 1044225 1 0 -3 Ê

a2 , a
6

a. x

ÄÅ ?

Å Z-N a + +Z R b Ê

4/3

.

ÄÍÍÅ È

Ê
x

Ê

Ê


Å
a

x

É Ê

È


a = -1.58807È ÄÍÍÅ È Û -0.163Z

ÄÅ ÊÍÊ
4/3

Ê

ÄÅ É

-1.794Z 4/3  ÎÍ

= -48.81Z

4/3

?Ê Ê



È

(x) 1.0
0.8 0.6 0.4 0.2 0.0 0

ÊÍ Ê

1

2

3

4

5

x

(x)

N/Z = 1Ê

Î


ÿ ÎÊ
ÍÊ Ê?
È È È ÍÅ ÏÅ ÈÊÊ Ê ÅÊ Å ÊÊ È Ê Ê È Ä É Î Ê É Ê Ê Ê È É

aÊ ÎÅ

?
ma Za e n a m -e n e

Ø mP e n P

i mi Zi e n i

e
a

Z a n = 0 , a

a

Ä Å

Å

È

È
fa (pa )Ê



Ê

É

ÎÊ
Ê

Ê

Ze

È

É

Î


Ê r fa (pa , r)Ê

ÅÊ
(r)Ê

È

Ä

É É É É

= -4 Z e (r) - 4 e


Za na (r),
a

ÄÍÎÅ ÄÍÏÅ ÄÍÎÅ

na (r) = 4
0

fa (pa , r)p2 dpa . a

?

È
Ze . r

(r) =

?
(r) (r)Ê a E = -(r)

È
(r) 0

È È
r0 r Ê Fa = Za eEÈ

É

È

É

?



r Fa = -Za e (r) . r

Ê

É

ÏÊ


a va r fa - Za epa fa = 0. r r fa pa pa fa r =0 - Za e ma r r r pa pa fa 1 fa = 0. - Za e ma r pa

Ê

pa È



ÎÌ


É
dr dpa =- 1 / ma Za e (r)/pa pa Za e (r)dr + dpa = 0. ma p2 a + Za e(r) = Ea = ãâçè, 2 ma


Ea Ê

Ê Ê? r f
fa (pa , r) = f
a

a

fa fa (pa )È
p2 + 2ma Za e(r) . a



É

È

ÄÍÏÅÈ




É Ê Ê

Ê

Ê

Ê

fa (pa , r) f
a

Ê
p2 a



Ê

p

a

1 + ma Z a e

fa (pa ) + fa (pa )ma Za e

(r) . pa

na n + ma Za e(r)4

a



fa (pa )pa dpa .

0

È
na n - ma Za e(r)4
a fa (pa )dpa = na - ma Za e(r)p -2 a na

. ÄÍ Å

0

ÎÍ


?



p
-2 a

È

É

= 4
0

fa (pa )dpa =

fa (pa )

d3 pa . p2 a

ma Za e(r)p

-2 a

1.

ÄÍ Å

Ê
È
Za na (r) Za n
a a

Ê

ÄÍÎÅ
-2 a

a

1 - maZa e(r)p

=-e(r)

2 Z a ma n p a a

-2 a

.

?
1 2 = 4 e 2 Z a ma n p a 2 rDa
-2 a

,

1 2= rD

a

1 2. rDa

?

rD

Ê

È ÄÍÎÅÊ

rD

a

Ê
(r) - 1 2 (r) = -4 Z e (r). rD

Ê

ÄÍÎÅ


(r) = (r)e
-r /r
D

È
= Ze e r
-r /r
D

.

È r rD È Ê

Ê È ÎÎ Ê

É É É


ÅÈ

ÄÍ Å È

È
Ze = - 1 È (r)

È

Ä Ê

Ê

É È É É

Ê

Ê
fa (pa ) =

É

p2 n a a ex p - 3/2 2 ma k T (2 ma k T )

.
a

È

Äÿ
p
-2 a

ÑÑÑÅÈ
= 1 . ma k T a k Ta . 2 4 Z a e 2 n a

?
rDa =

Ê
a =
2 4 Za e2 = ma

È
k Ta 1 ma rD

È

a

È Ê?
k T / ma = 1 /
- va 2 Ê

Ê
Z Za e e r
2 -r /r

Ê?
È
D

ÄÍ Å
-2 a

ma p

1.

?
1 Z rDa e 3 Za r
-r /r
D

É
4 3 r n. 3 Da a a

ÄÍ Å Ê

ÎÏ


Ê
1 Z rD e 3r

ÄÍ Å
-r /r
D

n n È a e 4 3 r n. 3De

É

ÿ ÏÊ
ÍÊ
È Ê Ê È Ê Ê? Ê Ê Ê Í Ê ÎÌ
I (t) = d d = e (Z1 r1 + Z2 r2 ),

Ê

È

È Ê È

É É É É É É É É É É É ÄÍ Å

È È Ä
2 1 ?2 d. 3 c3 Z1 e

È È Å

Ê Ê

Z2 e


R

È É
R

Í Ê
r

Î Z1 e È

Ê Z2 e m1 Ê r = r2 -r1 É

m

2

É

É

r1 = R -

m m r, r2 = R + r. m1 m2

Î


m

m=

m1 m2 . m1 + m2

d = e [(Z1 + Z2 ) R + m (Z2 /m2 - Z1 /m1 ) r].

Å

ÈÊÊ

ÄÍ Å

È

Ä

É

? d = m e (Z2 /m2 - Z1 /m1 ) w. w ÄÍ Å

ÄÍ Å Ê Ê? É É É É Ä É

È

È Ê Ê
Z eÈ Ê Ê

È

Z2 = - 1 , Z1 = Z Ê È mÅÊ

ÎÊ
v

Ê
Ê? bÊ È



É É É È É

t b/ v Ê

Å w Z e2 /(m b2 )Ê


Ä

E =
-

I (t) dt

E

2 e2 3 c3

Z e2 1 m b2 q

2

b 2 e2 Z 2 e4 1 . v 3 c3 m 2 b 3 v

È ÊÊ

É

Î


Ê
q=
0

Ê


dq /d Ê E 2 b db =
0

É

dq d . d

ÄÍ Å

ÏÊ
t 1Ê v / b v / bÊ

Ê
È

Ê
È bÈ

dq /d É tÈ É

ÄÍ Å Ä


b v / Ê É dbÅÈ

q

E 2 b3 d /v .

0

dq 4 Z 2 e6 1 . d 3 m 2 c3 v 2

ÄÎÌÅ ÄÎÌÅ É É

È
dq /d

Ê

È Ê

dq 1 6 Z 2 e6 1 gcc (v , ). = d 3 3 m 2 c3 v 2

ÄÎÍÅ Å ÄÎÍÅ Ä È É É É ÄÎÎÅ Ê ?Ê É



gcc (v , ) ÅÊ È

È



È Ê Ê

Ä Ê?

dq dq 3 2 2 Z 2 e6 1 gcc(v , ). = 2 = d d 3 3 m 2 c3 v 2

ÄÎÍÅ Í ÎÏ Ê



Î


?

È

ÄÎÎÅ


1 dq . h d
2

È ÄÎÏÅ É Ê

cc (v , ) =

È

Ä ÄÎÎÅ
cc (v , ) =

ÇÅ

Å

Ä

3 2 2 Z 2 e6 1 gcc(v , ). 3 3 m 2 c3 v 2 h

ÄÎ Å

?

È

ÄÎÎÅ



Ê

ÄÎ Å

È

Ê

Ê

Ê

ÄÎ Å

È

f (v ) =

4 v 2 m3 m v2 ex p - 2k T (2 m k T )3/2 + d È

.

ÄÎ Å



h cc (v , )d ne n+ f (v ) v dv Ê È Ê?

v

v +dv È

È Ê

È

É É É

cc( )Ê ?

È




4 cc ( ) = ne n h
vm
in

+

cc (v , ) f (v ) v dv .

ÄÎ Å É Ê





Ê

È

È

Î


v Ê m (v )2 m v2 = + h . 2 2 v vmin = ÄÎ Å v Ê
2

È

ÄÎ Å È É É Ä É

2 h /mÊ

È È

É

v dv = v dv f (v )/v = [f (v )/(v )2 ] exp(-h /(k T ))È ÅÈ
+

cc ( ) = ne n

kT h 3 2 2 Z 2 e6 g (, T ) exp - 3 3/2 cc kT (2 m k T ) 33 c

.

Ê
cc ( )/ne n
+

É

T

5

3

4

5

6

7

8

ÊÍ Ê

13

14

15

16

17

18

19

20

lg T = T5 Ç 105

Ê É

ÊÍ È
gcc (, T )

Ê ÈÊÊ

È



Î






cc

=
0

cc ( )d = ne n

+

(k T )2 3 2 2 Z 2 e6 gcc . 3 h (2 m k T )3/2 33 c

ÄÎ Å

ÄÎ Å
4
cc

È
-27

Ê

= 1.42 Ç 10

ZT

2

1/2

ne n

+

ËÄ

3

).

Ê

Ê ÄÎ ÅÊ Ä Ê È È

ÅÈ È È È

È Ê

È É É É É É





ne n+ f (v )dv v v v ÄÎ ÅÊ Ê È


c c B (T ) c2 B (T ) = ne n+ f (v )dv kcc d 1 + d. ÄÎ Å 4 2 h 3 h

È ÄÎ Å

É

kcc (v , ) =

c2 v 2 4 Z 2 e6 gc c Z2 (v , ) = = 1.80 Ç 1014 3 . 2 v cc 2 ch v 3 8 v 3 3m

È
ne n+ kcc ( )B (T ) = cc ( ) 1 +

È
c2 B (t) , 2 h 3

É

Ê



kcc (v , )f (v )dv =



É

kcc ( ) =
0

1 6 2 Z 2 e6 kT gcc (, T ) . ch (2 mk T )3/2 3 33

Î


Z2 1 kcc ( ) = 3.69 Ç 108 1/2 3 . T 5 kcc È -1 cc = ne n+ kcc Ê È È Ê È



É É

ÿÊ
ÍÊ
- Z 2 H / i 2 È 2 2 me 4 / h 2 i

Í Ê

Ê
È
iÊ h = mv 2 - Ei . 2 v
H



É

Ei = = me4 /(2h2 ) = ? Ê mv 2 / 2



È

ÄÏÌÅ È È É Ê


1 dEi 2 H d . =- = Z2 di h di h i3 È

Ê
+ d È i ci (v , ) = gci ( )

1 dq d Ê h d i + diÊ

É

ÄÎÏÅ

27 4 Z 4 e10 1 1 1 dq d = gci ( ), h d di 3 3 m c3 h 4 i 3 v 2

ÄÏÍÅ

Ê ÏÌÌ


ÎÊ
Ê È


Ê

È

É É É É È

È

ÄÏÌÅ


È

Ê È Ê
mv dv = hd Ê



i = -Ei /hÈ ci ( )d = ne n+ h

ÄÎ ÅÈ
ci ( ) = ne n
+

1 ci ( )v dv f (v ). 4 ÄÏÍÅ

ÄÏÌÅÈ

27 4 Z 4 e10 m 1 gci ( ) Z 2 H h . ÄÏÎÅ +2 ex p - 3 h2 i3 (2 mk T )3/2 k T 2i k T 33c

Ê ?Ê Ê

ÄÏÍÅ

ÄÏÎÅ Ä Ê È


È


Å

É É É É

4 Aci = ne n+

i

d ci ( ) = h

ci ( )f (v )v dv .
0

È


h i kT ex p

É

É É
.

g ci 29 5 Z 4 e10 m 1 Aci = E 3 3 c3 h3 i3 (2 mk T )3/2 E1 (x)

1

h i kT

È

Ê

ÏÊ




Ê
d c2 B (T ) . = ne n+ f (v )v dv ci ( ) 1 + h 2 h 3

4 ni kic ( )B (T )

ÏÌÍ


g + = 1Å kic ( ) =



 È

È

Ä

É

1 c2 m 2 v 2 e10 m 1 1 26 4 ci ( ) = Z 4 gci ( ). g i h2 2 ch 6 i 5 3 33

ÄÏÏÅ

È
= i È

Ê? ÄÏÏÅ
kic ( ) iÉ



È


i=i0 ( )

É ÄÏÌÅÈ i Ê É È ÊÊ É É


ni kic ( )È
i0 ( )

b f ( ) =

Ê

È

É È

È Ê
lg[bf ( )/n1 ] + 19
0 -10
1.0 0.7 0.5

È

lg[bf ( )/n1 ] + 19
4 2 0 -2
1 10 4 6

3

T
-20

5

0.3

T

2
5

0.2

-4 14.5 15.0 15.5 16.0 13.5 14.0 14.5 15.0 15.5 16.0 lg

-30 13.5

14.0

ÊÍ Ê
È

lg[bf ( )/n1 ] + 19 T = T5 Ç 105 È T5 = 0.2, 0.3, 0.5, 0.7, 1 Ä Å T5 = 1, 2, 3, 4, 6, 10 Ä ÅÊ

Ä

ÅÈ





È

É É

ÏÌÎ


c

c

~ ic = ne n+ kic È
10

È



É

2 6 4 Z 4 me ~ kic ( ) = 3 3 ch 3

gci ( ) 11 e 3/2 i3 3 (2 mk T )
2

-Ei /k T

.



kic



È

~ kic

5

Ê

bf ( ) cc ( ) + bf ( ) È



Ê lg[( )/(ne n+ )] + 41 Ä Ê ÎÌÅ T5 Ê É É

Ä ãéâ É æ Å ( ) = É É É lg[b f ( )/n1 ] + 19 Ä ÊÍ Å T = T5 Ç 105 Ê ? É Ê É

É



lg[( )/(ne n+ )] + 41
80
0.1

lg[( )/(ne n+ )] + 41
10 8
1

60 40 20 0 13.5

T

5

T
6 4 2

5

0.2 0.3 0.6 1.0

2 3 5 10

14.0 14.5

15.0

0 15.5 16.0 13.5

14.0

14.5

15.0

15.5

16.0 lg

Ê ÎÌÊ


lg[( )/(ne n+ )] + 41 T = T5 Ç 105 È T5 = 0.2, 0.3, 0.5, 0.7, 1 Ä Å T5 = 1, 2, 3, 4, 6, 10 Ä ÅÊ

Ê È ÏÌÏ

È

É ÍÎ ?Ê

É É


È

Ê Ê

É É

ÿÊ
È ÿ Ï Í Ê
b F Z 2 e2 / b
2

È



È

?



Ê

Ê

É Ê É

È

(v )2 Z 4 e4 /(m2 v 2 b2 )Ê ? v d(v )2 nv dt n

v v F t/m Z 2 e2 /(mv b)È (v )2

ZÉ t b/ v È Ê É

É

Z 4 e4 (v ) 2 bdb = nv 2 2 2 mv
2

bm

ax

db , b

bm

in

Ê
mv 2 / 2 22 Z e /bmin bmin = 2Z 2 e2 /(mv 2 )Ê ? v -2 m
-1/2

È

É É É

b

max

= rD =

4 Z 2 e2 n

.

?

1 bmax 1 d(v )2 Z 4 e4 . =2 = nv 2 4 ln v dt mv b m in

ÏÌ



Z 4 e4 1 = nv 2 ln , m2 (v 2 )2

É


= rD 1 = rmin 4 m3 1 n Z 3 e v
3 2 -2

v



Ê

1 = nv 0 , 0 = Z 4e
4

0 =

1 , nv

m2 (v 2 )2

2 ln .

ÿ
0 =

ÑÑÑÈ v

-2

ÈÈ = m/(k T ), v 2 = 3k T /m
= 31 4 n kT Ze
3

2 Z 4 e4 ln , 9 (k T )2

.

ÄÏ Å Ê

ÄÏ Å



Ê

ÏÌ


ÍÊ ? ÎÊ ? ÏÊ ? Ê? Ê Ê Ê Ê? Ê Í ÍÊ Ï ÍÌÊ Í ÊÈ ÊÈ

Ê? Ê?

Ê ÊÈ ÈÍ

Ê Ê

ÊÈ Ê

ÈÍ

ÌÊ

Ê Ê É

?Ê ?Ê È Í ÏÊ ÎÏ Ê Ê ÊÈ ?Ê ÊÈ Ê ÊÈ Ê ÊÊ Ê ?ÊÈ Ê 3j Ê Ê ÊÈ ?Ê ÊÈ ?Ê ÊÈ Ê È ÊÈ Ê Ê Ê ÊÈ Ê Ê ÈÍ ÊÈ ÊÎ ÌÊ Ê

Ê

Ê ÊÊ

ÈÍ

É

ÈÍ

ÎÊ Ê ÊÈ ÈÍ ÏÊ É É ÊÈ È É È È ÈÍ È Ê È Ê

Ê

Ê?

?Ê Ê ÈÍ

Ê ÊÏ Ê Ê

Ê

ÊÊ

ÊÎ Î Ê Ê ?Ê Ê Ê ? Ê ÊÈ Ê ÊÈ ÊÊ È Í ÍÊ ÍÍÌ Ê Ê È

Ê Ê ÊÈ

ÊÈ ÊÈ

ÍÍÊ Í ÎÊ ÍÎÊ ÎÌ Ê ÍÏÊ

Ê ? Ê ÊÈ Ê ÊÈ ÈÍ

ÍÊ Ê? ? Í ÌÊ ÏÎ Ê ÍÊ ÍÊ ÍÊ ÍÊ ?Ê Ê Ê ÊÈ ÊÊ ÍÊ Í ÊÊ

Ê ÏÊ ÈÍ

ÊÈ Ê Ê Ê Ê ÊÈ Ê

É ÊÈ É

ÈÍ ÈÍ

Ê

?Ê ?Ê Ê ÎÊ

ÏÌ


ÍÊ ÎÌÊ ÎÍÊ Ê ÎÎÊ ÎÏÊ ÎÊ ÎÊ ÎÊ ÎÊ ÎÊ ÎÊ ÏÌÊ ÏÍÊ ÏÎÊ É ÈÍ ÏÏÊ ÏÊ ÏÊ ÏÊ Ê ÊÈ

Ê ÊÈ Ê ÊÈ Ê ÊÈ Ê Ê ÊÈ ÊÈ



ÊÍ

Ê

ÊÊ Ê ÎÍ

Ê



Ê ? ÍÌ Ê Ê ? ÍÌ Ê

Ê ÑÊ Ê ÑÑÊ

ÊÊ ÈÍ Ê ÍÎ Ê Ê Ê Ê

Ê

Ê ? ÍÌ Ê Ê ÑÑÑÊ ÊÈ ÈÍ Ê Ê ? ÍÌ Ê Ê ÊÈ ÈÍ Ê ÞÊ Ê É

Ê ÊÈ ?Ê Ê



Ê

Ê

Ê Ê ÑÊ

ÊÈ

ÈÍ

ÊÌ

Ï

Ê

Ê ? Î Ê Ê ÍÊ

?Ê ÊÈ ? Ê ? Î Ê Ê ÎÊ Ê ÊÈ ÈÍ Ê ÊÈ Ê Ê ÊÏ

ÊÈ

Ê ?ÊÈ

ÈÍ Ê

?Ê ?ÊÊ ÍÊ ÍÎ Ê Ê Ê ÊÈ Ê ÈÍ Ê Ê Ê? ÊÊÊ Ê ÊÈ ÊÈ ÈÍ ÊÈ

Ê ?Ê ? È Í ÏÊ Í Ê Ê ? ÌÊ ÍÎ Ê Ê

É ÊÈ Ê ÊÈ È È Ê

ÈÍ Í Í Ì

Ê

?Ê Ê ? ÍÊ ÏÏÎ Ê Ê Ê ?Ê Ê Ê ?Ê ?Ê Ê ÊÈ Ê ?Ê

É ÌÊ ÎÌÌ Ê Ê Ê ÊÈ ÈÍ Ê ÌÊ ÍÌ Ê

Ê

È Ê ÊÈ Ê ÊÈ

É ÈÍ ÊÌ ÈÍ Ê Ê ÍÌ Ê É

Ê

Ê

ÊÈ

ÈÍ

Ê

Ê

ÏÌ




Ê

?Ê ?Ê ÊÊ ÊÊ

Ö Ì ÌÌ Ì É Ì ÊÌÏÊÎÌÌ Ê  Ê Ê Ê Í Ê ÌÊ ÊÍ ÊÉ ÌÏ È ÊÉ Ê Ê Ê Í Ê ÍÊ È

Í ÊÌ Ê



60 ç 84 ÍËÍ Ê

Ê

ÌÌÌ

Ê

ÌÌÌÊ ÊÈ Ë Ê

Í

ÌÏ È

ÊÉ

È

Ê

Ê ÈÊ