Решения

1.1 Приравниваем объемы земного шара и проволоки:

где d -- диаметр проволоки, r -- расстояние до одного из указанных в условии объектов. Отсюда

Подставляя числа, находим диаметры "проволок", протянутых до Солнца и до Cen: 100 км и 200 м, соответственно. А в туманность Андромеды можно было бы ткнуть прутом толщиной 25 см! Согласитесь, вы ожидали, что "проволоки" окажутся значительно тоньше.

Обращаем внимание на то, что  . Проволоку толщиной в несколько миллиметров можно было бы дотянуть до самых далеких квазаров. Как видите, Вселенная совсем невелика!

А вот другая, в определенном смысле более правильная оценка того, велика ли на самом деле толщина нашей "проволоки", дотянутой до Солнца. Естественный масштаб в Солнечной системе задается ее собственным размером ( см), а вовсе не размером человеческого тела ( см). Диаметр нашей "проволоки" (100 км= см) составляет всего от размера Солнечной системы. Поэтому она, если угодно, тоньше тончайшей паутины. Действительно, возьмем для сравнения человеческий волос. Его толщина  мм= см. Это от характерного размера тела человека. Поэтому в относительных единицах волос на четыре порядка толще нашего воображаемого космического шнура длиной 1 а.е. Интуиция, подсказывающая нам, что проволока, дотянутая до Солнца, должна быть очень и очень тонкой, все же нас не подводит.

1.2 На Земле живет человек. Число звезд в Галактике . Число галактик в наблюдаемой части Вселенной того же порядка: (как получить эту оценку, пользуясь данными "Вселенной в числах"?). Поэтому в нашей Галактике на одного человека приходится всего несколько десятков звезд, а во всей Вселенной -- не более чем по сотне галактик.

1.3 На каждого землянина в Галактике приходится несколько десятков звезд (см. предыдущую задачу ). Не нужно быть энтомологом, чтобы сказать: комаров на каждого жителя Земли приходится гораздо больше. Если вы в этом сомневаетесь, съездите летом в тайгу.

Да что там комары! Легко прикинуть, что деревьев в сибирской тайге -- и то больше, чем звезд в Галактике. Площадь сибирской тайги  км². Очевидно, что на одно дерево в тайге приходится меньше 100 м², а значит, деревьев больше, чем . Кстати, это позволяет убедиться, что комаров на Земле гораздо больше, чем звезд в Галактике -- ведь под каждым деревом в тайге их ой-ой-ой сколько. Зимой в Сибири морозы, и комаров нет -- но их хватает во влажных тропических лесах.

1.4 В трехатомной молекуле H₂O на каждый атом приходится в среднем по 6 нуклонов, или по  г. Поэтому 1 см³ воды содержит атомов. Если принять, что во Вселенной звезд (см. задачу ), то диаметр капли воды с тем же числом атомов оказывается равен  мм.

1.5 Ньютонова сила все же больше кулоновой, но всего в несколько раз. Убедитесь в этом, приняв, что массы космонавтов -- по 100 кг (они ведь в скафандрах!), а расстояние между ними 1 м. Подсчет никакого труда не составляет, но результат впечатляет. Вы, конечно, знали, что гравитационное взаимодействие -- самое слабое из имеющихся в природе четырех фундаментальных взаимодействий. Но представляли ли вы себе, что оно настолько слабее электромагнитного?

1.6 Мы живем в нескольких вложенных друг в друга как матрешки потенциальных ямах.

Любой человек образует с Землей гравитационно-связанную систему с отрицательной энергией, в расчете на единицу массы равной . Глубина этой потенциальной ямы есть  эрг/г. Здесь и  -- соответственно первая и вторая космические скорости.

Имея в виду, что в космосе гравитационная энергия часто (например, при аккреции) переходит в энергию ионизации и возбуждения атомов, поучительно оценить глубину земной гравитационной потенциальной ямы в других единицах -- в эВ/нуклон:  эВ/нуклон (проверьте!).

А вот взгляд на те же вещи с совсем другой стороны. Чтобы отправить человека на Луну, необходимо преодолеть гравитационную энергию его связи с Землей. При массе тела в 70 кг (как у "среднего" космонавта) эта энергия составляет  эрг, или 4 ГДж. Это около 1000 киловатт-часов. Стоимость киловатт-часа  руб. (цены конца 1996 г. для организаций -- вряд ли вы полетите на Луну как частное лицо). Поэтому оказывается, что энергия, которую надо затратить, чтобы вывести человека на просторы Солнечной системы, стоит всего  рублей, или около 35 долларов. Выводы: 1) "накладные расходы" в космонавтике колоссальны; 2) экономическая яма, в которой мы сейчас оказались, гораздо глубже, чем гравитационная.

Далее, Земля со всеми своими обитателями образует гравитационно-связанную систему с Солнцем, а Солнце -- с Галактикой. Глубины соответствующих потенциальных ям найдите самостоятельно. Вот ответы: "солнечная" яма в 14, а "галактическая" -- в 1000 раз глубже "земной".

При оценке энергии, которую необходимо сообщить частице для выхода из этих потенциальных ям, не забудьте учесть, что Земля движется вокруг Солнца, а Солнечная система -- по своей близкой к круговой орбите в Галактике. Из-за этого требуемые энергии вдвое меньше глубин соответствующих потенциальных ям (докажите!). Так, выход с земной орбиты на галактические просторы требует примерно в 7 раз большей энергии, чем нужно для полета к Луне. Для вылета в метагалактику с нашей галактической орбиты потребуется дополнительно затратить еще "лунных" единиц энергии.

1.7 По определению, модулем расстояния m - M до объекта, находящегося на расстоянии r (в парсеках), называется величина

С учетом того, что  см, а расстояние от Санкт-Петербурга до Москвы  см, что в парсеках составляет , находим, что соответствующий ему модуль расстояния равен .

Проверьте самостоятельно, что модуль расстояния в 1 см равен .

Главное, что нужно уяснить: модуль расстояния, хотя и выражается в звездных величинах, никакого отношения к излучению не имеет. Это просто одна из возможных, и притом удобных для астрономии внесистемных единиц измерения расстояний. (Ср. со световым годом, где расстояние измеряется в единицах времени.) Удобство использования логарифмической шкалы звездных величин для измерения расстояний во Вселенной объясняется колоссальным разбросом расстояний до различных астрономических объектов.

1.8

Самые яркие звезды Плеяд горячие -- ведь звезды ковшика Плеяд явно белые, даже голубоватые. Поскольку Плеяды -- это рассеянное звездное скопление, эти горячие звезды лежат на главной последовательности.

Звезды поздних подклассов B имеют абсолютную звездную величину, равную нулю, и они "белые". Голубые звезды имеют еще большую светимость -- а потому отрицательную абсолютную звездную величину, которая, таким образом, меньше солнечной по крайней мере на 5 единиц. Но звезды Плеяд при наблюдении из окрестностей Солнца имеют 4-ю видимую звездную величину. Значит, Солнце при наблюдении с Плеяд будет иметь, как минимум, 9-ю. Невооруженным глазом его видно не будет.

Хотя ответ и получен, стоит сделать еще один шаг и уточнить найденную оценку. Согласно Аллену [1], расстояние до Плеяд составляет 127 пк, а по новейшим данным ( HIPPARCOS) оно равно 117 пк. Поэтому видимая звездная величина Солнца при наблюдении его оттуда будет

m = M - 5 + 5 lg r = 4.8 - 5 + 5 lg 117 10.1^m,

1.9 Первый ответ, который приходит в голову, -- "Конечно, угловой размер диска Луны больше". Ясно, что он должен быть неверен, иначе задачу не включили бы в сборник. Итак, оценим угловой размер туманности Андромеды. Расстояние до этой галактики 700 кпк. В качестве значения ее диаметра возьмем диаметр нашей Галактики, 30 кпк. Тогда искомая величина будет равна радиана, или .

Таким образом, угловой размер туманности Андромеды почти в пять раз больше углового диаметра Луны! Мы не видим спирали в Андромеде простым глазом только из-за ее низкой поверхностной яркости, углового же разрешения глаза для этого вполне хватает.

1.10 Если бы звезды заполняли бесконечное евклидово пространство в среднем равномерно, то все небо имело бы такую же яркость, как и у диска Солнца. Действительно, телесный угол, под которым видны диски звезд, находящихся между r и r+dr, равен объему шарового слоя , умноженному на число звезд в единице объема и на телесный угол, под которым видна каждая из звезд (мы молчаливо предполагаем, что все они одинаковы; отказ от этого предположения не меняет конечного заключения). Последний равен, очевидно,

где  -- радиус звезды. Итак, звезды из шарового слоя занимают на небе телесный угол . При интегрировании по r получается бесконечный телесный угол, так что диски звезд должны перекрываться, полностью покрывая собой небо. Если бы мир был так устроен, то день не отличался бы от ночи, а диск Солнца разглядеть на сверкающем небе было бы невозможно.

Это знаменитый фотометрический парадокс Ольберса (в действительности он был впервые сформулирован за век до Ольберса современником Ньютона Эдмундом Галлеем). Итак, из того, что по ночам темно, можно сделать весьма важное заключение о строении Вселенной, именно, что сделанные выше предположения не выполняются.

Разрешение фотометрического парадокса Галлея--Ольберса в том, что Вселенная расширяется, а потому нужно учитывать красное смещение. Подробнее объяснять здесь не место.