Документ взят из кэша поисковой машины. Адрес
оригинального документа
: http://www.astro.spbu.ru/staff/viva/Book/ch4L/node12.html
Дата изменения: Fri Nov 19 19:22:00 2010 Дата индексирования: Tue Oct 2 02:40:16 2012 Кодировка: koi8-r Поисковые слова: п п п п п п п п п п п п п п п |
12.1
Энерговыделение происходит в объеме, и потому растет
пропорционально кубу характерного размера объекта, теплоотвод
же происходит с поверхности, а ее площадь возрастает как
квадрат характерного размера. В итоге с увеличением размера тела
(при сохранении темпа энерговыделения) его поверхностная температура
должна расти. Дальше додумайте сами.
12.2
Молярная масса газа -- это среднее значение массы одной частицы газа,
выраженное в атомных единицах массы.
Своим низким значением молярная масса солнечного вещества обязана,
во-первых, тому, что основной его компонентой (70% по массе)
является водород, и,
во-вторых, практически полной его ионизации.
При ионизации атома водорода, масса которого
почти равна атомной единице массы, появляются две
частицы -- протон и электрон.
Масса электрона пренебрежимо мала по сравнению с массой протона. Поэтому
молярная масса чисто водородного полностью ионизованного газа близка к 0.5.
В недрах Солнца молярная масса немного больше этого значения (0.6).
Причина --
присутствие более тяжелых
элементов (молярная масса чисто гелиевого полностью ионизованного газа равна
4/3 [поймите, почему], для чистого кислорода она близка к 2 и т. д.).
Полное число
частиц, составляющих Солнце, можно оценить следующим образом:
где г -- атомная единица массы.
Вклад в массу наружных неионизованных слоев, где значение
больше,
пренебрежимо мал.
12.3
При плотности в 150 г/см3 и средней молярной массе 0.6
(см. задачу
) концентрация частиц равна
На самом деле средняя молярная масса в центре Солнца сейчас несколько
больше, чем 0.6, так как водород там уже сильно выгорел,
превратившись в гелий. Однако порядок величины
n остается тем же, а только он нам и нужен.
Концентрация фотонов чернотельного излучения при температуре
равна (см. задачу
)
Это на три с лишним порядка меньше концентрации частиц. Значит,
и роль давления излучения в недрах Солнца мала (см. решение
задачи ).
Любопытно, что, согласно расчетам моделей строения Солнца,
в большей части его массы плотность и температура T
связаны соотношением
.
Поэтому отношение
, найденное нами для центра Солнца,
характерно для его недр в целом.
Фотонов в недрах Солнца (и всех звезд, кроме самых массивных)
гораздо меньше, чем протонов.
12.4
Плотность воды 1 г/см3. При этом
известно, что в жидкостях молекулы почти соприкасаются друг с другом.
При плотностях, существенно больших плотности воды, имеющихся в недрах
Солнца, атомы водорода ионизуются давлением.
В результате доля объема, занятая частицами (соответственно атомами
и голыми ядрами), уменьшается
с
до
,
где
см -- размер ядра,
см -- размер атома. Таким образом, ядра
начнут соприкасаться и "мешать" друг другу лишь при плотностях
г/см3. Это -- ядерные плотности. Они характерны
для нейтронных звезд. В принципе вплоть до этих плотностей
ионизованное вещество может оставаться газом.
Наряду с плотностью, агрегатное состояние звездного вещества определяется температурой.
Так, известно,
что при понижении температуры белого карлика атомные ядра в его недрах
должны выстраиваться в кристаллическую решетку. Чтобы
ядра атомов двигались свободно, т.е. образовывали газ, требуется, чтобы
их кинетическая энергия kT существенно превосходила энергию кулоновского
взаимодействия, равную по порядку величины , где
-- среднее расстояние между ядрами. Условие
с использованием соотношений (для чисто водородной плазмы)
где n -- концентрация ядер, можно переписать в следующем виде:
или в числах
где . Для центра Солнца имеем
,
г/см3 (см. предыдущую задачу),
так что
.
Итак, даже при плотности в 150 г/см3 вещество в центре Солнца
из-за высокой температуры остается газом.
Дальнейшее придется принять на веру. Согласно расчетам моделей
строения Солнца, соотношение ,
справедливое для центра Солнца, приближенно выполняется и в большей
части его недр. Поэтому повсюду в недрах Солнца, а не только в его
центре, вещество является газом.
12.5
Вычислим энергию, выделяющуюся при синтезе ядра атома гелия из
четырех протонов. По формуле Эйнштейна
имеем
,
так как в ходе данной ядерной реакции
(точнее, цепочки реакций синтеза
-частицы из четырех протонов)
"исчезает"
(точнее, 0.7%) массы.
Полная энергия покоя Солнца равна
. Если бы Солнце целиком
состояло из водорода, то при полном его превращении в гелий
выделилась бы энергия
. Время, на которое этой
энергии хватило бы для поддержания светимости Солнца на ее нынешнем
уровне, составляет
лет.
Коэффициент 5/3
"несерьезен" -- Солнце не целиком состоит из водорода и т. д.
В действительности за время своей жизни на главной последовательности
Солнце успеет сжечь
лишь примерно 10% своих запасов водорода. Таким образом, Солнцу
отпущено примерно
лет "спокойной" жизни на главной
последовательности, что вовсе неплохо!
12.6
Будем считать, что Солнце испускает чернотельное излучение с
K. Средняя энергия, приходящаяся
на один чернотельный фотон, равная
(см. задачу
),
составляет тогда
эВ. Поэтому число фотонов,
излучаемых Солнцем за счет энергии, выделяющейся при синтезе
одной
-частицы, равно
шт. Так как при синтезе
-частицы из четырех
протонов два из них за счет
-распада превращаются в нейтроны,
то при этом рождаются два нейтрино. В итоге число ежесекундно
излучаемых Солнцем фотонов оказывается в
раз
больше числа испускаемых им нейтрино.
12.7
Вещество, аккрецируемое Солнцем, при падении достигает у его поверхности
второй космической скорости
км/с.
Искомый темп аккреции
определим из условия равенства кинетической
энергии выпадающего за 1 с вещества и светимости Солнца:
откуда
Как будет изменяться продолжительность года, т.е. период обращения Земли P
при изменении массы Солнца?
Из третьего закона Кеплера
находим
С другой стороны, должен сохраняться угловой момент , так что
Из этих двух соотношений находим, что
откуда при получаем, что
.
Это соответствует уменьшению продолжительности года на
c в год,
чего явно не происходит.
Можно поэтому с уверенностью утверждать,
что Солнце светит не за счет аккреции.
12.8
По значениям температур можно заключить, что речь идет о массивных
звездах, светимость которых обеспечивается CN-циклом.
Известно, что темп энерговыделения при реакциях CN-цикла
примерно пропорционален
.
Поэтому искомое отношение равно
.
Не хватайтесь за калькулятор -- все можно подсчитать в уме,
воспользовавшись замечательным пределом
Действительно,
При росте температуры всего на темп энерговыделения возрастает более чем в 7 раз!
12.9
Ответ очевиден: один год. При меньшем периоде центробежная сила
разорвет звезду.
12.10
Приравнивая центробежную силу на экваторе пульсара
к силе тяжести
, получаем предельную угловую скорость вращения:
. Быстрее вращаться пульсар не может, так как тогда
центробежная сила разорвет его.
Предельный период вращения есть
.
Плотность звезды с таким периодом вращения равна
Это -- нижняя оценка плотности, при которой пульсар
с периодом с не будет еще
разорван центробежной силой.
Мы получили разумную оценку плотности нейтронных звезд.
Она близка к ядерной:
г/см3.
12.11
Время схлопывания Солнца в точку -- это время свободного падения
к центру Солнца тела, которое в начальный момент
покоилось на его поверхности. Рассматривая движение
такого тела, можно принять, что вся масса Солнца
сосредоточена в центре (это допущение
справедливо, если тело в процессе движения не обгоняет опадающие на
центр слои, расположенные ниже;
детальный анализ показывает, что это действительно так).
Тогда время свободного падения равно половине периода P обращения
тела по выродившейся в отрезок эллиптической орбите с большой полуосью
(и эксцентриситетом e=1).
Этот период мы вычислим по третьему закону Кеплера
(см. также задачи
и
):
откуда для времени схлопывания Солнца
(индекс G -- от gravitation) находим
Это -- важное характерное время.
При нарушениях механического равновесия заметные
изменения должны происходить на временах .
Поскольку никаких существенных изменений в состоянии Солнца не происходит
на гораздо больших временных интервалах -- это прямой
наблюдательный факт, -- то можно с уверенностью утверждать,
что Солнце находится в механическом (гидростатическом) равновесии.
Использованные выше рассуждения дают следующее выражение
для времени схлопывания произвольного
сферически-симметричного самогравитирующего облака массы M,
первоначально имевшего радиус R:
где -- начальная средняя плотность облака.
Подставив сюда
г/см3, найдем, что
время схлопывания
межзвездного облака такой начальной плотности составляет
лет.
12.12
Проведем анализ размерностей фигурирующих в задаче величин (ср.
задачу
).
У нас имеются следующие размерные параметры: масса
"планеты" (или лучше сказать -- самогравитирующего тела)
M, ее радиус R, размерная постоянная K, входящая в уравнение
состояния
и, наконец, постоянная тяготения G.
Пусть
[Q] -- размерность величины Q. Тогда, с одной стороны,
, с другой же стороны ньютонова сила
тяготения
, отнесенная к площади поверхности сферы радиуса
R, также имеет размерность давления:
. Отношение
двух фигурирующих здесь комбинаций определяющих размерных величин
есть отвлеченное число. Обозначим его
, так что
откуда
Следует ожидать, что -- число порядка единицы: так "всегда"
бывает.
Из полученного сейчас выражения следует, что радиус самогравитирующей
равновесной конфигурации, построенной из вещества с уравнением
состояния , однозначно определяется значением K.
Замечательно, что масса M выпала. Отсюда можно заключить, что от
добавления массы или от удаления с тела части его вещества радиус
"планеты" меняться не будет. Оказывается поэтому, что если вещество
имеет уравнение состояния
, то в один и тот же объем можно
поместить любую массу. В действительности, конечно, масса все
же будет ограничена сверху, так как при добавлении вещества
гравитационная потенциальная яма будет становиться глубже. Скорость
убегания
будет расти . Когда она станет приближаться к
скорости света c, должны начать проявляться отклонения поля
тяготения от ньютонова за счет эффектов общей теории относительности.
Полученный результат -- независимость R от M -- кажется
настолько невероятным, что сначала верится в него с трудом.
Подтвердим его более детальным анализом (менее подготовленные
читатели могут его пропустить). Это позволит получить значение
. После этого поймем "на пальцах", в чем же суть дела, и
обсудим некоторые важные для физики компактных звезд заключения
общего характера, которые можно сделать на основе анализа нашей
простой задачи.
Переходим к более аккуратному рассмотрению, которое позволит нам
получить . Уравнение механического равновесия
самогравитирующей сферически-симметричной конфигурации (звезды,
планеты) имет вид
При это дает
Здесь -- масса в сфере радиуса r, так что
Поэтому из предыдущего уравнения следует, что
Если ввести
то это уравнение приводится к виду
где
Мы пришли к уравнению, по форме совпадающему с уравнением
гармонических колебаний. (Для этого достаточно
было догадаться ввести новую неизвестную y вместо .) Общее
его решение имеет вид
где A и B -- произвольные постоянные. При r=0 значение
равно, очевидно, нулю, и поэтому B=0. Итак,
На поверхности тела, при r=R, мы должны иметь , откуда
находим
так что
Таким образом, аккуратный расчет полностью подтвердил то, что дал
простой анализ размерностей. Безразмерный параметр
действительно оказался близок к единице:
Если вдуматься, то неизменность радиуса при добавлении или удалении
вещества не есть что-то невероятное. При добавлении массы, казалось
бы, радиус будет возрастать. В этом "казалось бы" все и заключено. На
самом деле добавляемое вещество имеет вес и потому сдавливает
нижележащие слои. Если вещество несжимаемо, радиус тела растет
.
На этом простейшем случае и основана "интуиция" тех, кто не
учитывает влияния сжимаемости на изменение радиуса при росте массы.
Если давление и плотность связаны степенной зависимостью
то говорят, что мы имеем дело с политропой индекса n.
Рассматривавшийся нами случай соответствует n=1; при n=0 имеем
несжимаемое вещество. Чем меньше n, тем труднее сжать вещество, тем
оно "жестче". Теперь ясно, что при всех n<1 добавление массы
сопровождается увеличением радиуса, в случае же n=1 нижние слои
"проседают" под действием веса добавляемого вещества ровно
на столько, что это компенсирует увеличение радиуса за счет добавления
вещества. Если n>1, то с увеличением массы радиус должен
убывать!
Бывает ли так? Да. Таковы, в частности, белые карлики. Чем больше
масса белого карлика, тем меньше его радиус. При массах эта зависимость имеет вид
(что
соответствует политропе индекса n=3/2), при больших массах,
а потому и больших плотностях, поскольку радиус убывает с M,
скорость убывания радиуса увеличивается. Объяснение того, почему это
происходит, завело бы нас слишком далеко. Ограничимся констатацией
этого факта. При приближении массы к так называемому пределу
Чандрасекара
достигаются столь большие
плотности, что вещество начинает радикально менять свои свойства:
электроны начинают захватываться ядрами, превращая имеющиеся в них
протоны в нейтроны. Идет процесс нейтронизации вещества. Белых
карликов с массой, большей чандрасекаровского предела, в природе нет
и быть не может -- зато могут быть и есть такие нейтронные звезды.