|
Документ взят из кэша поисковой машины. Адрес
оригинального документа
: http://www.astro.spbu.ru/staff/viva/Book/ch4L/node9.html
Дата изменения: Fri Nov 19 19:22:03 2010 Дата индексирования: Tue Oct 2 02:24:29 2012 Кодировка: koi8-r Поисковые слова: mare |
8.1
Функция Планка в шкале длин волн имеет вид
а приближение Вина дается формулой
Поэтому
Значит, относительная погрешность приближения Вина 
=
.
С другой стороны, исследуя функцию Вина на максимум, легко найти, что
Этот очень полезный результат есть закон смещения Вина.
Обычно ограничиваются тем, что отмечают постоянство произведения
. Однако очень важно и численное значение
, точнее, то, что это число заметно
превосходит 1. Действительно, мы имеем
,
так что мало при 
.
Интенсивность в максимуме, которую мы (теперь обоснованно)
вычисляем в приближении Вина, есть
Если не пользоваться приближением Вина, а работать с точной планковской
функцией, то оказывается, что
равно не точно 5, а 4.965 (проверьте!).
Все остальное, включая заключение, что
, остается в силе.
Длинноволновое приближение Рэлея-Джинса,
противоположное приближению Вина, обеспечивает относительную
погрешность 
лишь при 
(проверьте).
Скажем, точность в 10% приближение Рэлея-Джинса дает лишь при 
,
превосходящих 
в 25 раз!
В итоге оказывается, что вся планковская кривая
, как ее видит глаз на обычном графике, неотличима от
виновской кривой.
Большинство же студентов (да, пожалуй, и экс-студентов тоже) ошибочно полагает, что
приближение Вина для применимо только слева от максимума,
приближение Рэлея-Джинса начинает работать слегка правее него, а сам
максимум хорошо описывается лишь точной формулой Планка. На самом
деле, как мы убедились, все совсем не так.
8.2
Планковские кривые, соответствующие разным T, не пересекаются,
поскольку 
.
Отсюда следует, что при любом (фиксированном)
значения монотонно возрастают с T.
Далее, высота максимума планковской кривой,
т.е. максимальное значение интенсивности,
пропорциональна 
для и
для 
.
Это легко показать, исследуя на максимум соответствующие функции Планка
(см. задачу ).
Площадь же под обеими кривыми, и и , растет
(закон Стефана-Больцмана).
Поэтому с ростом температуры кривая Планка в шкале длин волн
"заостряется", а в шкале частот -- "притупляется".
8.3
Пусть f(x) дифференцируема в точке 
. Для простоты считаем,
что 
и
. Для получения степенной аппроксимации f(x) в
окрестности , т.е. представления f(x) вида
поступим следующим образом. Будем рассматривать 
как функцию
. Тогда имеем обычную линеаризацию в окрестности :
Отсюда, потенцируя, получаем вышеприведенную степенную
аппроксимацию f(x), причем обнаруживается, что
Подобные степенные аппроксимации используются в физике (и, в
частности, в астрофизике) буквально на каждом шагу. К сожалению, ни в
одном известном авторам курсе математического анализа об этом нет ни
слова -- хотя учить этому следовало бы всех, даже изучающих анализ не
слишком глубоко. Видимо, считается, что студент сам все это
сообразит, когда немного "подрастет". Мы решили нарушить традицию
и не ждать, когда это случится.
Приведенная в условии задачи степенная аппроксимация
зависимости чернотельной интенсивности от T в
окрестности 
получается только что описанным стандартным способом.
Выкладку предоставляем читателю.
Степенная аппроксимация функции Планка, которую
почему-то не отыщешь ни в одном учебнике, позволяет понять многие
качественные особенности солнечного и звездных спектров. См., в
частности, задачу .
8.4
А почему, собственно, она должна равняться (3/2)kT? Ведь фотон --
не классическая частица, движущаяся с нерелятивистской скоростью. А
только к таким частицам и применима классическая формула (3/2)kT.
Чтобы найти среднюю энергию одного чернотельного фотона
, надо объемную плотность энергии поля излучения
поделить на число фотонов в единице объема
Сделав в обоих интегралах одну и ту же замену
, обнаруживаем, что
где
Для оценки A можно воспользоваться приближением Вина, т.е.
пренебречь 1 по сравнению с 
в двух последних интегралах
(ср. с обсуждением в задаче ). Тогда немедленно получим,
что
, поскольку (советуем это запомнить)
Последнее легко доказывается интегрированием по частям. Итак,
; вычислив интегралы точно, мы нашли бы, что A=2.70, так
что окончательно
Таким образом, средняя энергия одного чернотельного фотона без малого
вдвое больше средней энергии теплового движения нерелятивистской частицы.
Однако вклад
каждого фотона в давление почти в точности такой же, как и каждой
частицы: давление излучения 
,
газовое же давление P = n k T,
где 
и n -- концентрации фотонов и частиц, соответственно.
(Как вы думаете, почему так получается? Впрочем, это уже скорее
физика, чем астрономия. Но ведь решаемся же мы нет-нет да
и приучить вас к "физической математике", так почему же не поучить
чуть-чуть и "астрономической физике"?)
Из только что сказанного следует, что отношение концентраций фотонов
и частиц есть одновременно (с точностью 
) и отношение
давления излучения к газовому (см. задачу ).
8.5
Выражение для уже появлялось в решении предыдущей задачи:
Подстановка приводит его к виду
где
Таким образом, 
.
Чтобы найти точное значение коэффициента пропорциональности,
надо получить C.
Как мы знаем (см. решение предыдущей задачи),
приближенно можно считать, что C=2.
Точное же значение C получается так:
где 
-- дзета-функция Римана:
Число 
не выражается через какие-либо "стандартные"
постоянные (
, e, постоянную Эйлера и т.п.).
Оно равно 
.
После подстановки всех постоянных в полученное выше выражение для
находим, что
Мы несколько отступили здесь от нашего обычного стиля -- получать скорее оценки, чем точные результаты, и стараться избегать громоздких расчетов. Сделать это хотя бы один раз, однако, полезно.
А вот как формулу 
можно получить совсем просто,
комбинируя другие известные результаты.
Плотность лучистой энергии равновесного излучения равна
где a -- постоянная плотности излучения:
а средняя энергия одного фотона
(см. предыдущую задачу).
Поэтому
что сразу же и дает коэффициент 20 при 
.
На самом деле, конечно, ничего принципиально нового в таком
способе расчета нет -- просто мы
использовали готовое численное значение постоянной плотности излучения a
(оно есть, например, у Аллена [1]).
8.6
Частота фотона, испускаемого при переходе атома водорода с уровня m на
уровень n, дается известной формулой
где 
-- частота предела ионизации с первого уровня,
Гц.
Перейдем от частот к длинам волн:
где 
.
Искомый переход найдем перебором. Вначале положим n=1.
Тогда для m=2 получаем 
.
Это знаменитая линия лайман-альфа, или 
.
Ясно, что для m>2 будем иметь 
, т.е.
переходы на первый уровень нам не подходят.
Возьмем n=2.
Тогда для m=3 получим 
.
Это и есть искомый переход (линия H
).
Различие в длине волны в четвертом знаке (6 вместо 3) нас смущать не должно,
так как при расчете мы использовали значение 
лишь
с тремя значащими цифрами.
8.7
По формуле из решения предыдущей задачи находим
Таким образом, линия межзвездного водорода H 
лежит в
субмиллиметровом диапазоне.
Излучение в нем поглощается земной атмосферой.
Наземные наблюдения линии невозможны.
8.8
Линия H 
возникает при переходе 
в атоме водорода.
Из общей сериальной формулы для водорода (см. задачу )
полагая m=n+1 и считая, что 
, находим
Согласно этой формуле, линия H 
, например, имеет
длину волны около 5 см.
Подобные радиолинии, возникающие при переходах между близкими
высокорасположенными уровнями, давно уже наблюдаются в туманностях.
Как вы думаете, есть ли надежда обнаружить их также в
радиоизлучении Солнца? (Ср. задачу .)
8.9
Исходим из сериальной формулы для водорода в шкале частот:
Полагая в ней 
и считая, что и 
,
получим
Отсюда видно, что, действительно, при увеличении 
на единицу частота соответствующего перехода
возрастает на одну и ту же величину
которая есть не что иное как частота линии H .
8.10
Ионизация атомов водорода с n-го уровня может производиться
фотонами с длиной волны короче, чем та, которую имеет излучение, образующееся
при переходе атома водорода с уровня 
на уровень n.
По формуле из решения задачи находим, что эта длина волны равна
.
При n = 2 имеем 3648 (на самом деле 3646 ).
Таким образом, излучение видимого диапазона не способно ионизовать
атомы водорода со второго уровня. Это очень важное заключение.
8.11
Причина этого -- различие плотности. В
атмосферах белых карликов она значительно выше, чем в солнечной
хромосфере (почему?). Поэтому средние расстояния между атомами
в хромосфере гораздо больше, чем в атмосферах белых карликов.
Но радиус n-й боровской орбиты 
быстро растет с n, именно,
. Понятно, что он не может быть больше среднего
расстояния между атомами -- иначе станет непонятно, какому именно
атому принадлежит электрон, находящийся на этом уровне, т.е.
произойдет его "обобществление". Поэтому, чем выше плотность, тем
меньшее число уровней реализуется, а потому и тем меньшее число
бальмеровских линий может возникать.
Удивительно, но факт: просто подсчитывая число бальмеровских линий, которые видны в спектре той или иной звезды, можно оценить плотность ее атмосферы!