Решения

8.1 Функция Планка в шкале длин волн имеет вид
 
а приближение Вина дается формулой

Поэтому

Значит, относительная погрешность приближения Вина = . С другой стороны, исследуя функцию Вина на максимум, легко найти, что

Этот очень полезный результат есть закон смещения Вина. Обычно ограничиваются тем, что отмечают постоянство произведения . Однако очень важно и численное значение , точнее, то, что это число заметно превосходит 1. Действительно, мы имеем , так что мало при . Интенсивность в максимуме, которую мы (теперь обоснованно) вычисляем в приближении Вина, есть

Если не пользоваться приближением Вина, а работать с точной планковской функцией, то оказывается, что равно не точно 5, а 4.965 (проверьте!). Все остальное, включая заключение, что , остается в силе.

Длинноволновое приближение Рэлея-Джинса, противоположное приближению Вина, обеспечивает относительную погрешность лишь при (проверьте). Скажем, точность в 10% приближение Рэлея-Джинса дает лишь при , превосходящих в 25 раз!

В итоге оказывается, что вся планковская кривая , как ее видит глаз на обычном графике, неотличима от виновской кривой. Большинство же студентов (да, пожалуй, и экс-студентов тоже) ошибочно полагает, что приближение Вина для применимо только слева от максимума, приближение Рэлея-Джинса начинает работать слегка правее него, а сам максимум хорошо описывается лишь точной формулой Планка. На самом деле, как мы убедились, все совсем не так.

8.2 Планковские кривые, соответствующие разным T, не пересекаются, поскольку . Отсюда следует, что при любом (фиксированном) значения монотонно возрастают с T. Далее, высота максимума планковской кривой, т.е. максимальное значение интенсивности, пропорциональна для и для . Это легко показать, исследуя на максимум соответствующие функции Планка (см. задачу ). Площадь же под обеими кривыми, и и , растет (закон Стефана-Больцмана). Поэтому с ростом температуры кривая Планка в шкале длин волн "заостряется", а в шкале частот -- "притупляется".

8.3 Пусть f(x) дифференцируема в точке . Для простоты считаем, что и . Для получения степенной аппроксимации f(x) в окрестности , т.е. представления f(x) вида

поступим следующим образом. Будем рассматривать как функцию . Тогда имеем обычную линеаризацию в окрестности :

Отсюда, потенцируя, получаем вышеприведенную степенную аппроксимацию f(x), причем обнаруживается, что

Подобные степенные аппроксимации используются в физике (и, в частности, в астрофизике) буквально на каждом шагу. К сожалению, ни в одном известном авторам курсе математического анализа об этом нет ни слова -- хотя учить этому следовало бы всех, даже изучающих анализ не слишком глубоко. Видимо, считается, что студент сам все это сообразит, когда немного "подрастет". Мы решили нарушить традицию и не ждать, когда это случится.

Приведенная в условии задачи степенная аппроксимация зависимости чернотельной интенсивности от T в окрестности получается только что описанным стандартным способом. Выкладку предоставляем читателю.

Степенная аппроксимация функции Планка, которую почему-то не отыщешь ни в одном учебнике, позволяет понять многие качественные особенности солнечного и звездных спектров. См., в частности, задачу .

8.4 А почему, собственно, она должна равняться (3/2)kT? Ведь фотон -- не классическая частица, движущаяся с нерелятивистской скоростью. А только к таким частицам и применима классическая формула (3/2)kT.

Чтобы найти среднюю энергию одного чернотельного фотона , надо объемную плотность энергии поля излучения

поделить на число фотонов в единице объема

Сделав в обоих интегралах одну и ту же замену , обнаруживаем, что

где

Для оценки A можно воспользоваться приближением Вина, т.е. пренебречь 1 по сравнению с в двух последних интегралах (ср. с обсуждением в задаче ). Тогда немедленно получим, что , поскольку (советуем это запомнить)

Последнее легко доказывается интегрированием по частям. Итак, ; вычислив интегралы точно, мы нашли бы, что A=2.70, так что окончательно

Таким образом, средняя энергия одного чернотельного фотона без малого вдвое больше средней энергии теплового движения нерелятивистской частицы. Однако вклад каждого фотона в давление почти в точности такой же, как и каждой частицы: давление излучения , газовое же давление P = n k T, где и n -- концентрации фотонов и частиц, соответственно. (Как вы думаете, почему так получается? Впрочем, это уже скорее физика, чем астрономия. Но ведь решаемся же мы нет-нет да и приучить вас к "физической математике", так почему же не поучить чуть-чуть и "астрономической физике"?) Из только что сказанного следует, что отношение концентраций фотонов и частиц есть одновременно (с точностью ) и отношение давления излучения к газовому (см. задачу ).

8.5 Выражение для уже появлялось в решении предыдущей задачи:

Подстановка приводит его к виду

где

Таким образом, . Чтобы найти точное значение коэффициента пропорциональности, надо получить C. Как мы знаем (см. решение предыдущей задачи), приближенно можно считать, что C=2. Точное же значение C получается так:

где  -- дзета-функция Римана:

Число не выражается через какие-либо "стандартные" постоянные (, e, постоянную Эйлера и т.п.). Оно равно .

После подстановки всех постоянных в полученное выше выражение для находим, что

Мы несколько отступили здесь от нашего обычного стиля -- получать скорее оценки, чем точные результаты, и стараться избегать громоздких расчетов. Сделать это хотя бы один раз, однако, полезно.

А вот как формулу можно получить совсем просто, комбинируя другие известные результаты. Плотность лучистой энергии равновесного излучения равна

где a -- постоянная плотности излучения:

а средняя энергия одного фотона (см. предыдущую задачу). Поэтому

что сразу же и дает коэффициент 20 при . На самом деле, конечно, ничего принципиально нового в таком способе расчета нет -- просто мы использовали готовое численное значение постоянной плотности излучения a (оно есть, например, у Аллена [1]).

8.6 Частота фотона, испускаемого при переходе атома водорода с уровня m на уровень n, дается известной формулой

где  -- частота предела ионизации с первого уровня,  Гц.

Перейдем от частот к длинам волн:

где  .

Искомый переход найдем перебором. Вначале положим n=1. Тогда для m=2 получаем . Это знаменитая линия лайман-альфа, или . Ясно, что для m>2 будем иметь , т.е. переходы на первый уровень нам не подходят. Возьмем n=2. Тогда для m=3 получим . Это и есть искомый переход (линия H). Различие в длине волны в четвертом знаке (6 вместо 3) нас смущать не должно, так как при расчете мы использовали значение лишь с тремя значащими цифрами.

8.7 По формуле из решения предыдущей задачи находим

Таким образом, линия межзвездного водорода H  лежит в субмиллиметровом диапазоне. Излучение в нем поглощается земной атмосферой. Наземные наблюдения линии невозможны.

8.8 Линия H  возникает при переходе в атоме водорода. Из общей сериальной формулы для водорода (см. задачу )

полагая m=n+1 и считая, что , находим

Согласно этой формуле, линия H , например, имеет длину волны около 5 см.

Подобные радиолинии, возникающие при переходах между близкими высокорасположенными уровнями, давно уже наблюдаются в туманностях. Как вы думаете, есть ли надежда обнаружить их также в радиоизлучении Солнца? (Ср. задачу .)

8.9 Исходим из сериальной формулы для водорода в шкале частот:

Полагая в ней и считая, что и , получим

Отсюда видно, что, действительно, при увеличении на единицу частота соответствующего перехода возрастает на одну и ту же величину которая есть не что иное как частота линии H .

8.10 Ионизация атомов водорода с n-го уровня может производиться фотонами с длиной волны короче, чем та, которую имеет излучение, образующееся при переходе атома водорода с уровня на уровень n. По формуле из решения задачи  находим, что эта длина волны равна  . При n = 2 имеем 3648  (на самом деле 3646 ). Таким образом, излучение видимого диапазона не способно ионизовать атомы водорода со второго уровня. Это очень важное заключение.

8.11 Причина этого -- различие плотности. В атмосферах белых карликов она значительно выше, чем в солнечной хромосфере (почему?). Поэтому средние расстояния между атомами в хромосфере гораздо больше, чем в атмосферах белых карликов. Но радиус n-й боровской орбиты быстро растет с n, именно, . Понятно, что он не может быть больше среднего расстояния между атомами -- иначе станет непонятно, какому именно атому принадлежит электрон, находящийся на этом уровне, т.е. произойдет его "обобществление". Поэтому, чем выше плотность, тем меньшее число уровней реализуется, а потому и тем меньшее число бальмеровских линий может возникать.

Удивительно, но факт: просто подсчитывая число бальмеровских линий, которые видны в спектре той или иной звезды, можно оценить плотность ее атмосферы!