Решения

5. Всемирное тяготение

5.1 Солнечная система разрушится. Планеты улетят от Солнца по параболам, поскольку скорость их движения по первоначальным (круговым) орбитам в точности равна параболической скорости при уменьшенной вдвое массе центрального тела. Возможно, Солнце сохранит Меркурий, Марс и Плутон. Однако если бы эта катастрофа случилась с Солнцем в течение нескольких ближайших лет (чего определенно не произойдет), то Плутон тоже наверняка был бы потерян -- он сейчас находится близ перигелия своей заметно некруговой орбиты. А про Марс и про Меркурий заранее сказать что-то трудно. Все будет зависеть от их положения на орбитах в тот момент, когда Солнце "похудеет". Если они окажутся близ афелиев, то сохранятся около Солнца, если же будут близ перигелиев, то улетят от него навсегда.

5.2 В момент внезапного увеличения массы Солнца Земля начинает испытывать вдвое большую, чем прежде, силу притяжения со стороны Солнца. Следовательно, она перейдет с круговой орбиты на эллиптическую, целиком лежащую внутри прежней орбиты (см. рис. на следующей странице). Таким образом, в момент схода с круговой орбиты Земля будет находиться в афелии своей новой эллиптической орбиты.

Интегралы энергии, описывающие движение Земли в поле центрального тела с массами, равными M и 2M, имеют соответственно следующий вид:

где a -- первоначальное и  -- новое значение большой полуоси орбиты Земли (после того как масса Солнца внезапно увеличилась вдвое). Сравнивая эти два выражения между собой, находим, что .

Найдем период обращения Земли по новой орбите. По третьему закону Кеплера имеем

откуда

Эксцентриситет новой орбиты найдем из соотношения a = a'(1+e'), откуда e'=0.5.

5.3 Из приравнивания центробежной силы к силе тяготения следует, что (значение постоянной подсчитайте сами). Средние же плотности всех тел Солнечной системы отличаются меньше, чем на порядок. Они заключены между 0.7 г/см³ (Сатурн; соответствующее время облета -- 4.2 часа) и 5.5 г/см³ (Земля; облетев Землю за полтора часа, Гагарин установил тем самым первый в истории и по сей день единственный межпланетный рекорд).

Время облета Солнца, а потому одновременно и верхняя оценка возможного минимального периода осевого вращения звезд типа Солнца, в раза больше минимального времени облета Земли и составляет, таким образом, всего около 3 часов! Не правда ли, удивительно? За это время проходится путь  млн км, скорость полета близка к 400 км/с -- в  раза меньше скорости убегания с "поверхности" Солнца.

У типичного белого карлика средняя плотность   г/см³, и потому время облета порядка 10 секунд, скорость же движения при этом всего  км/с ("всего" -- это значит, что хотя по повседневным меркам она и велика, но все же .

Облет нейтронной звезды  г/см³) занял бы всего несколько миллисекунд и (при радиусе звезды  км) происходил бы со скоростью во многие десятки тысяч км/с. Ясно, что, изучая нейтронные звезды, мы находимся у самой границы применимости классической механики. Релятивистские поправки для нейтронных звезд должны быть уже очень заметными.

Примечание (для "эрудитов"). То, что , следует и из обобщенного третьего закона Кеплера . Однако не-эрудиты знают лишь, что , помнить же выражение для постоянной -- это и есть "эрудиция".

5.4 Из интеграла энергии

и выражений для расстояний в перигелии и в афелии

следует, что отношение соответствующих скоростей есть

Если оно равно 3, то e=0.5.

5.5 Пусть P -- период обращения в годах, r -- радиус орбиты в а.е. и v -- скорость движения по орбите в км/с. Поскольку орбитальная скорость Земли равна 30 км/с, то мы имеем, очевидно,

С другой стороны, по третьему закону Кеплера , и поэтому

так что, например, Юпитер (r=5) движется по орбите со скоростью  км/с.

5.6 Запишем интеграл энергии для кометы, находящейся на гелиоцентрическом расстоянии Земли:

где  -- большая полуось орбиты Земли, 1 а.е. Круговая скорость на орбите Земли есть

Так как по условию , большая полуось оказывается равной

Период обращения находится отсюда по третьему закону Кеплера:

Он тот же, что и при падении на притягивающий центр по прямой, см. задачу . Из условия задачи следует, что комета на расстоянии 1 а.е. находится в афелии своей орбиты, так что афелийное расстояние есть  а.е. Но , отсюда эксцентриситет

Следовательно, перигелийное расстояние будет чрезвычайно малым:

Это, кстати, около 750000 км, а значит, комета в перигелии почти "зацепит" Солнце. Такие кометы, "царапающие Солнце", неоднократно наблюдались.

5.7 Расстояния в перигее и в апогее

дают большую полуось орбиты спутника

и ее эксцентриситет

Период обращения по третьему закону Кеплера равен

В эту формулу можно подставить числа, но вычисления можно существенно сократить следующим образом. Мы знаем, что низколетящий спутник совершает виток вокруг Земли за 1.5 часа ("гагаринское время"). Это значит, что при полуоси период . Записав третий закон Кеплера в относительной форме

получаем

Действительно, "Молния" -- полусуточный спутник.

5.8 Большая полуось орбиты Земли -- 1 а.е., Марса -- 1.5 а.е. Период обращения Земли равен 1 году. Большая полуось гомановского эллипса равна, очевидно, полусумме радиусов орбит Земли и Марса: a=1.25 а.е. По третьему закону Кеплера период обращения для гомановской орбиты в годах равен

Искомое время перелета составляет половину периода обращения, т.е. около 8 месяцев.

5.9 Сидерический период вращения Солнца на экваторе , таков же период обращения космического аппарата на гелиостационарной орбите. Для Земли период обращения  год, большая полуось орбиты  а.е. По третьему закону Кеплера, выражая P и a в годах и в а.е., соответственно, имеем , откуда находим радиус гелиостационарной орбиты:

Без всяких вычислений можно было сразу утверждать, что гелиостационарная орбита лежит внутри орбиты Меркурия, период обращения которого вокруг Солнца равен 88 суткам, что существенно больше периода осевого вращения Солнца.

5.10 Как следует из закона сохранения энергии, какую бы скорость ни имело тело на границе сферы действия Луны, при касании лунной поверхности она не может быть меньше скорости убегания с поверхности Луны, 2.4 км/с.

5.11 Величины, относящиеся к Юпитеру, будем отмечать индексом J. Тогда отношение светимостей равно доле поверхности сферы радиуса 5 а.е., которую занимает диск Юпитера:

где  -- радиус Юпитера в км. Учитывая, что радиус Юпитера , мы получаем

Искомый темп аккреции оценим по очевидной формуле (ср. решение задачи )

где  км/с -- вторая космическая скорость для Юпитера.

Таким образом, если бы такая аккреция имела место, за время жизни Солнечной системы  лет) масса Юпитера заметно не изменилась бы. Здесь уместно напомнить, что действительная светимость Юпитера примерно вдвое выше той, которая обеспечивается приходящим от Солнца излучением. Однако источник этой энергии следует искать в самом Юпитере, а не в аккреции.

5.12 Энергия, необходимая для доставки пылесоса на Луну, примерно равна , где  и  -- первая и вторая космические скорости, m -- масса пылесоса. Энергия, выделяющаяся при работе пылесоса, равна PT, где P -- мощность его мотора, T -- время работы. Если принять P = 500 Вт эрг/с, m = 5 кг, то получим:  с суток. Всего нужно, таким образом, около 80 кВтчас, а это стоит (в ценах конца 1996 г.) всего каких-то  руб. См. также задачу .

5.13 Ответ таков: предельный радиус составляет около  км, если прыгать вверх, не разбегаясь, и несколько больше, если сначала разбежаться. Вот соответствующий расчет.

Ясно, что в момент отрыва от поверхности астероида прыгун должен развить вторую космическую скорость

Второе выражение для v, безусловно, больше подходит для наших целей, так как среднюю плотность астероида оценить не составляет труда: заключено между 1 г/см³ (лед) и 8 г/см³ (железо). Мы в дальнейшем будем брать  г/см³. Итак,

Вертикальную составляющую скорости прыгуна при прыжке на Земле можно оценить по формуле

где g -- земное ускорение силы тяжести и h -- высота, на которую центр тяжести поднимается в прыжке. В качестве разумной оценки возьмем h=1 м (тогда прыгун преодолеет планку на высоте  см -- космонавт, оказавшийся на астероиде, надо думать, хорошо тренирован).

В итоге радиус астероида, с которого можно, подскочив вверх, улететь в открытый космос, оказывается равен

Если, однако, перед прыжком космонавт разбежится, то он сумеет спрыгнуть и с тела большего размера. На астероиде разбег дает неожиданный эффект, с которым земные спортсмены не знакомы. На астероиде размером в несколько километров, имея хорошие шиповки, легко разбежаться до первой космической скорости (проверьте!). А тогда за счет прыжка вверх нужно будет преодолевать меньший потенциальный барьер.

5.14 У спутника, движущегося по круговой орбите, центробежная сила уравновешивает силу притяжения, что дает

Обозначим через и , соответственно, кинетическую и потенциальную энергию в расчете на единицу массы спутника. Тогда последнее равенство можно записать также так:

Пусть, далее, E -- полная энергия спутника:

Эти соотношения дают

откуда . Это равенство означает, что, действительно, темп потерь энергии на трение о воздух (отрицательная величина -- энергия расходуется) равен темпу прироста кинетической энергии спутника (положительному!). Откуда же эта энергия черпается? Очевидно, что из потенциальной энергии -- другого источника нет. Действительно, так как (см. выше), то , так что спутник получает лишь половину выделяющейся гравитационной энергии, вторая же половина переходит в тепло.

Таким образом, в ньютоновском поле тяготения действует своеобразная "мораль", близкая к христианской: отдавая энергию в окружающую среду, -- так сказать, делая ей "добро", -- движущееся тело само от этого становится "добрее", т.е. приобретает кинетическую энергию. Вся эта энергия, как отдаваемая, так и в результате этого приобретаемая, черпается из потенциальной энергии, выступающей, если угодно, в роли "веры," рождающей "добро".

Хотя приведенное выше доказательство совершенно верно, оно тем не менее может оставить у читателя какое-то чувство неудовлетворенности. Попробуем пояснить удивительный результат, который мы обсуждаем, -- его иногда называют вириальным парадоксом -- совсем "на пальцах". Луна движется по своей орбите со скоростью  км/с. Если бы она двигалась в сопротивляющейся среде, то стала бы медленно "падать вниз" -- это кажется очевидным. Со временем она превратилась бы в низколетящий спутник, а скорость его движения, как все знают, близка к 8 км/с. Таким образом, кинетическая энергия многократно возросла бы -- и это почему-то никого не удивляет! По сути же дела это в точности то же самое, что мы обсуждали выше.

5.15 Поскольку в условии задачи употреблено сослагательное наклонение, это означает, что на самом деле путь Луны относительно Солнца, т.е. ее орбита в Солнечной системе, точек перегиба не имеет и везде обращена выпуклостью от Солнца. Этот факт мало кто знает, и он кажется неожиданным.

Понятно, что кривизна траектории Луны в Солнечной системе меняется с синодическим периодом, являясь наибольшей в полнолунии и наименьшей в новолунии. Чтобы выпуклость даже в новолунии была обращена от Солнца, надо, чтобы равнодействующая сил притяжения Луны к Солнцу и к Земле была бы направлена к Солнцу. Иначе говоря, сила притяжения Луны к Солнцу должна быть больше, чем сила ее притяжения к Земле . Мы имеем:

Отсюда

так что Луна притягивается к Солнцу примерно вдвое сильнее, чем к Земле. Не правда ли, любопытный факт?

Чтобы на лунной орбите в Солнечной системе были бы точки перегиба, в новолунии должно быть , так что расстояние до Луны должно было бы быть  тыс. км (множитель здесь не точный, он взят из полученной выше оценки значения в "реальной" Солнечной системе).

См. также задачу .

5.16 В курсе общей астрономии обсуждают океанские приливы, вызываемые притяжением Луны (и Солнца). Однако если сила тяжести существенно меняется на расстояниях  м, вполне ощутимые приливы будут возникать и в теле человека. Действительно, приливное ускорение равно

где M -- масса звезды, l -- характерный размер тела космонавта, r -- расстояние от космического аппарата до центра звезды. Если вы не помните этого выражения, получите его самостоятельно, записав ускорения, сообщаемые звездой наиболее и наименее удаленной от нее точкам тела и вычислив разность этих ускорений в пренебрежении малыми величинами, начиная с квадрата l/r. Предельной будем считать перегрузку a = 2 g, где g -- ускорение силы тяжести на поверхности Земли. Тогда

откуда

Типичная масса нейтронной звезды ; характерный размер тела человека l = 100; (система СГС). Отсюда  см  км.

Поскольку радиус Солнца на два порядка больше этой величины, ясно, что при подлете к Солнцу космонавту угрожали бы совсем не приливные силы. Опасными факторами будут высокая температура, жесткое излучение и т.п.

5.17 На первый взгляд, должно выполняться следующее условие: сила притяжения спутника к астероиду должна превосходить силу притяжения его к Солнцу. Условие равенства двух сил записывается в виде

где M -- масса астероида, r -- гелиоцентрическое расстояние астероида, d -- искомое расстояние между астероидом и его спутником. Масса 100-километрового астероида (при плотности 2 г/см³) составляет  г. Поэтому . Полагая r = 3 а.е. км, находим  км.

Однако если те же рассуждения применить не к спутнику астероида, а к спутнику Земли, максимальное расстояние окажется равным 260000 км (см. задачу ). Луна находится на значительно большем расстоянии! Парадокс легко разрешается: на самом деле надо рассматривать не ускорение, сообщаемое спутнику Солнцем, а разность ускорений, сообщаемых спутнику и телу, вокруг которого он движется. Эта разность, как легко показать, не превосходит величины (ср. решение предыдущей задачи), и потому уравнение для определения d имеет вид

откуда

С теми же числовыми значениями получаем для нашего двойного астероида  км.

Вам, может быть, интересно будет знать, каков же на самом деле минимальный радиус круговой орбиты спутника, при котором он может покинуть астероид и начать двигаться по гелиоцентрической орбите. Его определение -- это непростая задача даже для профессионалов - небесных механиков. Соответствующий радиус , где

называется радиусом Хилла. Как видно, наша оценка совсем неплоха.

Ида и ее спутник Дактил

А теперь -- от сухой теории к живой сегодняшней астрономии. Космический зонд "Галилей" на своем пути к Юпитеру испытал сближение с астероидом Ида и передал его изображение. Неожиданно обнаружилось, что у Иды есть миниатюрный спутник. Изображение Иды с ее спутником см. также в Интернете по адресу http://galileo.ivv.nasa.gov/idamoon.html

5.18 Обозначим через и массы Земли и Солнца, через a -- расстояние между ними. Введем систему координат, как показано на рисунке внизу.

Ясно, что искомая поверхность обладает осевой симметрией относительно оси абсцисс. Поэтому достаточно найти сечение поверхности плоскостью XY, т.е. уравнение плоской кривой вида f(x,y)=0.

Численно,  км. Орбита Луны лежит на существенно большем расстоянии, так что Солнце притягивает Луну сильнее, чем Земля -- известный парадокс,
см. задачи  и . Далее,  км, так что центр сферы лежит внутри Земли.

Плоскостью (проходящей точно посередине между Землей и Солнцем и перпендикулярной к линии Земля -- Солнце) сфера тяготения была бы, если бы масса Земли равнялась солнечной.

5.19 В задаче имеются две очевидные размерные величины, R и M. Третьей, фигурирующей в задаче неявно, размерной величиной, которая также должна входить в решение, является постоянная тяготения G -- ведь движение происходит в ньютоновском гравитационном поле. Из этих трех величин "сконструировать" величину с размерностью времени проще всего так.

Условимся через [Q] обозначать размерность величины Q. Размерность постоянной тяготения G найдем, воспользовавшись законом всемирного тяготения , откуда [сила]=[G]г²/см², или, так как [сила]=[масса][ускорение], то

Теперь ясно, что . Поэтому, обозначив через искомое время свободного падения до поверхности тела (индекс s -- от surface), мы найдем, что величина

является безразмерной. Природа устроена так, что безразмерные комбинации определяющих параметров обычно являются числами порядка единицы. Неопределенное слово "обычно" означает здесь, что мы не находимся "рядом" с сингулярностью того или иного рода. Вероятно, эти слова покажутся читателю не вполне вразумительными -- но их полезно запомнить. Со временем вы научитесь чувствовать, что они значат.

Итак, первая (более легкая) часть задачи решена. Переходим ко второй части -- получению оценки . По закону сохранения энергии, у падающей материальной точки единичной массы ("камня") сумма ее кинетической и (отрицательной) потенциальной энергии -GM/r должна оставаться постоянной. Значение этой постоянной найдем, заметив, что в начальный момент камень покоится, а потому его кинетическая энергия равна нулю, потенциальная же равна -GM/(2R). Поэтому

В момент падения на поверхность, т.е. при r=R, скорость камня оказывается равной

Такую же скорость имеет спутник, летящий по круговой орбите непосредственно над поверхностью планеты (первая космическая, или круговая скорость).

Чтобы оценить время свободного падения, поступим следующим образом. Представим себе, что наш "камень" падает с расстояния 2R не на планету массы M и радиуса R, а на притягивающий центр, в котором сосредоточена точечная масса M. Тогда падение камня на этот центр можно рассматривать как вырожденный случай движения по эллипсу (с эксцентриситетом e=1 и полуосью a=R). Удвоенное время падения есть период полного оборота по такой прямолинейной орбите. По третьему закону Кеплера, он равен периоду оборота спутника, движущегося по круговой орбите на расстоянии r=R от притягивающего центра -- полуоси у двух орбит одинаковы. Отсюда находим, что время падения на центр (индекс c -- от center) с расстояния 2R равно

Ясно, что больше искомого времени падения до поверхности планеты, но ненамного, так как вторую половину пути камень пролетает, принимая "промежуточный старт" при r=R с большой начальной скоростью , а не с нулевой, как в начале движения с r=2R. Поэтому, оценивая время прохождения второй половины пути, мы ищем малую поправку, которую надо вычесть из для получения . Даже найдя эту поправку не очень точно, мы получим неплохую оценку величины .

Допустим на время, что с расстояния R падение на притягивающий центр происходит с постоянным ускорением

и начальной скоростью . На самом деле при падении на притягивающий центр ускорение растет со временем, и поэтому истинная скорость будет выше, чем при равноускоренном движении, а значит, время падения меньше. Отсюда и будет следовать оценка . Путь R в равноускоренном движении с ускорением и начальной скоростью проходится за время такое, что

Из этого квадратного уравнения можем найти . Будем действовать не в лоб, а попробуем на нашем очень простом примере показать, что значит вести расчеты грамотно.

Вспомним те соображения о размерностях, с которых мы начинали решение задачи. Они подсказывают целесообразность введения вместо размерного времени t безразмерной переменной такой, что

Верхнему пределу изменения , т.е. , соответствует . Введем также безразмерное расстояние

В этих естественных для рассматриваемой задачи безразмерных переменных квадратное уравнение для нахождения принимает вид

где  -- безразмерное время , соответствующее . Из этого уравнения находим, что

Второй корень не подходит -- он отрицателен, а время у нас отсчитывается от начала движения и потому отрицательным быть не может. Обозначим истинное безразмерное время прохождения второй половины пути камнем, падающим с r=2R, через (индекс t -- от true). Ясно, что , а потому для безразмерного времени падения камня с r=2R до r=R, которое в условии задачи было обозначено через , находим

Это даже несколько более сильная оценка, чем нам требовалось получить .

Точное значение есть

См. об этом следующую задачу.

5.20 Ответ: По баллистике получается .

Решение: Найдем сначала наибольшую высоту, на которую поднимется ракета. Начальная скорость, по условию, равна первой космической:

где M и R -- масса и радиус Земли. Расстояние верхней точки траектории от центра Земли можно найти из того условия, что кинетическая энергия ракеты на старте оказывается к моменту ее остановки израсходованной на увеличение потенциальной энергии:

Из двух написанных формул следует, что , так что ракета, вертикально запущенная с первой космической скоростью, поднимается над поверхностью на высоту, равную радиусу тела, с которого ее запускали, в нашей "батальной" истории -- Земли.

Если бы вся масса Земли была сосредоточена в ее центре, то падающая ракета достигла бы этого притягивающего центра, облетела его и мгновенно полетела бы назад. Она стала бы совершать периодическое движение по отрезку длины 2R, который можно рассматривать как вырожденный эллипс с эксцентриситетом e=1. Верхняя точка, которой достигает ракета, -- это афелий, или точнее апогей этой орбиты. Здесь происходит остановка, после чего начинается падение на притягивающий центр. Скорость монотонно возрастает от нуля при r=2R до  км/с при r=R и, продолжая расти, становится (формально) бесконечной, когда достигается притягивающий центр. Ясно, что для решения задачи надо найти время свободного падения с высоты до r=R. Удвоив его, получим полное время полета ракеты от ее запуска до поражения цели.

Если вы немного знаете небесную механику, нахождение этого времени труда не составит. Достаточно вспомнить геометрический смысл эксцентрической аномалии E и сообразить, что в момент, когда ракета поражает цель, . Применив уравнение Кеплера с e=1, найдем среднюю аномалию:

Поэтому время полета от апогея до поверхности Земли равно

а время полета от запуска до цели составит

Дадим теперь другое решение, не требующее знания уравнения Кеплера и понятий "эксцентрическая" и "средняя аномалии". Впрочем, фактически они появятся и в этом решении. Прежде всего заметим, что полный период движения по прямолинейному отрезку длины 2R (рассматриваемому как эллипс с полуосью a=R и эксцентриситетом e=1) равен времени облета Земли на низколетящем спутнике (та же полуось, но e=0), т.е. составляет гагаринские полтора часа. Более точное значение таково:

Ясно, что, падая на центр и медленно разгоняясь, тело будет находиться на расстоянии r>R большую часть этого времени. Вторая половина пути (r<R) должна преодолеваться гораздо быстрее первой, так как скорость тут уже велика. Если бы весь путь проходился с постоянной скоростью, то запуск надо было бы произвести за минуты до момента падения. Пока наши рассуждения дали очень грубую оценку времени запуска ракеты: где-то между и (вероятно, все же ближе к первому числу, чем ко второму). Если бы было известно, что вражеская подлодка проведет на полюсе хотя бы час, больше ничего считать было бы не нужно.

[Фактически в предыдущей задаче мы уже довольно подробно разбирали вопрос об оценке интересующего нас времени полета ракеты. Если воспользоваться полученным там результатом, то можно заключить, что пуск ракеты надо произвести между и . Увы, временная вилка все еще слишком велика для нас. Придется решать задачу точно.]

Будем исходить из интеграла энергии

Введем безразмерное расстояние

и безразмерное время

Тогда

Это естественные для разбираемой задачи переменные (см. предыдущую задачу). В этих переменных интеграл энергии принимает вид

Будем отсчитывать время от момента прохождения "перигея" (т.е. от момента пролета мимо точечной массы), так что x=0 при . Тогда из последнего соотношения находим

Этой формулой определяется закон движения по прямолинейной орбите: по заданному в принципе можно (хотя и не в явном виде) найти соответствующее ему x, т.е. расстояние движущегося тела от притягивающего центра. Фактически полученное только что уравнение, связывающее x и , есть записанное в хорошо "зашифрованном" виде уравнение Кеплера при e=1. Точнее говоря, как мы сейчас увидим, оно эквивалентно ему.

Чтобы убедиться в этом, вычислим стоящий слева интеграл. Полагая

легко находим, что

Так как время отсчитывается от момента сближения точки с притягивающим центром, то мы заключаем, что

Формулы (1) и (2) задают закон движения, т.е. зависимость x от в параметрической форме.

Непосредственно для решения задачи закон движения нам не нужен -- достаточно найти, за какое время точка проходит ту половину отрезка, где она движется быстро. Полагая в (1) и (2) , находим, что при x=1/2 значение равно

Безразмерное время, которое займет полет ракеты, есть время полного оборота, равное , уменьшенное на , что равно . Это составляет полного времени движения по орбите.

Итак, полет ракеты займет время, равное

Поэтому ракету можно запускать в . Однако опытный командир нашей подлодки поступит не так. Он отдаст команду "Пуск!" в , чтобы поразить вражескую субмарину примерно посередине времени ее предполагаемого пребывания на поверхности. В самом деле, "они" ведь могут либо чуть запоздать, либо почему-то чуть раньше уйти под лед. Вот он, тот самый здравый смысл, о котором мы говорили в самом начале в наших методических заметках.

Казалось бы, все сделано, задача решена, ответ найден. Несколько комментариев будут, однако, далеко не лишними. Первое замечание совсем простое. Кривая, изображающая полученную выше зависимость x от  -- это обычная циклоида. Второе замечание мелкое, но методически полезное. Почему мы положили , а не сделали более "естественную" рационализирующую подстановку , в которой всегда фигурируют половинные углы? Причин две. Во-первых, такова историческая традиция. Во-вторых, поскольку полученные формулы используются для вычислений по схеме: "Задаем E. По нему вычисляем x и ", то при использовании нашей подстановки требуется на одно умножение меньше -- хоть небольшая, но все же экономия. Когда компьютеров еще не было, с этим нельзя было не считаться. Однако и сегодня вычисления следует организовывать так, чтобы по возможности минимизировать число умножений.