Äîęóěĺíň âç˙ň čç ęýřŕ ďîčńęîâîé ěŕřčíű. Ŕäđĺń îđčăčíŕëüíîăî äîęóěĺíňŕ : http://www.astro.spbu.ru/staff/ilin2/netscape/INTAS/TEAMS/3-SPB1/PAPERS/FA/fi00te5.ps Äŕňŕ čçěĺíĺíč˙: Fri Nov 19 16:19:13 2010 Äŕňŕ číäĺęńčđîâŕíč˙: Tue Oct 2 06:31:46 2012 Ęîäčđîâęŕ: ISO8859-5 Ďîčńęîâűĺ ńëîâŕ: ď ď ď ď ď ď ď ď ď ď ď ď ď ď ď ď ď ď ď

RASSE?NIE SVETA DI\LambdaLEKTRIQESKIMI
QASTICAMI S AKSIAL?NO $
I SIMMETRIE $
I. II
c
fl 2000 g. V. G. Farafonov \Lambda i V. B. Il~in \Lambda\Lambda
\Lambda Gosudarstvenny$i universitet affrokosmiqeskogo priborostroenič,
Sankt-Peterburg, Rossič
\Lambda\Lambda Sankt-Peterburgski$i gosudarstvenny$i universitet, Sankt-Peterburg, Rossič
Postupila v redakciČ 00.00.2000 g.
Razvivaetsč novy$i metod rasqeta optiqeskih harakteristik osesimmetriqnyh
qastic. \Lambdalektromagnitnye polč razdelčČtsč na dve qasti (osesimmetriqnuČ
i neosesimmetriqnuČ). Problema rassečnič sveta formuliruetsč v integral~-
nom vide i rexaetsč nezavisimo dlč kaďdo$i iz qaste$i, ispol~zuč special~no
vybrannye skalčrnye potencialy. Potencialy razlagaČtsč v rčdy po sferi-
qeskim volnovym funkcičm, i kofffficienty razloďenič vyqislčČtsč iz rexe-
nič beskoneqnyh sistem line$inyh algebraiqeskih uravneni$i. Kratko obsuďda-
etsč primenimost~ predloďennogo metoda k rexeniČ zadaqi rassečnič sveta
qebyxevskimi qasticami, sferoidami i koneqnymi krugovymi cilindrami i
privodčtsč nekotorye rezul~taty rasqetov, vypolnennyh dlč fftih qastic.
1. VVEDENIE
V nastočwee vremč suwestvuet mnogo metodov rasqeta rassečnič sveta nes-
feriqeskimi qasticami (sm., naprimer, [1]). Nekotorye metody čvlčČtsč uni-
versal~nymi i mogut byt~ primeneny k rasseivatelčm lČbo$i formy. Odnako v
priloďeničh obyqno ispol~zuČt osesimmetriqnye modeli qastic -- sferoidy, ko-
neqnye krugovye cilindry i t.d. -- poskol~ku v inom sluqae vyqislenič trebuČt
slixkom bol~xih komp~Čternym resursov.
Rassečnie sveta sferoidami (proste$ixač posle xarov osesimmetriqnač mo-
del~ qastic) predstavlčet osoby$i interes. V fftom sluqae granica rasseivatelč
sovpadaet s odno$i iz koordinatnyh poverhnoste$i, i moďno razdelit~ peremen-
nye v skalčrnom uravnenii Gel~mgol~ca. Rexenič, ispol~zuČwie fftot podhod,
razliqaČtsč v osnovnom vyborom potencialov (sm., naprimer, [2,3]).
My razvivaem novy$i metod rasqeta optiqeskih harakteristik osesimmetriq-
nyh qastic, kotory$i dolďen sovmestit~ dostoinstva podhoda, predloďennogo v [3]
(sm. takďe [4,5]), i metoda T-matricy. S odno$i storony, problema svetorassečnič
razdelčetsč na dve qasti (osesimmetriqnuČ i neosesimmetriqnuČ) i skalčrnye
potencialy dlč kaďdo$i iz qaste$i vybiraČtsč primerno tak ďe, kak ranee dlč
sferoidov. S drugo$i storony, potencialy razlagaČtsč v rčdy po sferiqeskim
volnovym funkcičm i problema formuliruetsč v integral~nom vide.
1

V predyduwih rabotah [6,7] my opisali osnovnuČ ideČ metoda, priveli neko-
torye formuly dlč TM mody i vypolnili testovye rasqety dlč sluqač aksial~-
nogo padenič izluqenič na sferoidy. V danno$i stat~e my rassmatrivaem bolee
sloďny$i sluqa$i TE mody i predstavlčem nekotorye rezul~taty rasqetov pri nak-
lonnom padenii izluqenič (TE i TM mody) dlč sferoidov i koneqnyh cilindrov.
Dlč qebyxevskih qastic, sferoidov i koneqnyh cilindrov kratko rassmotrena
obosnovannost~ predlagaemogo rexenič.
2. OSNOVNYE SOOTNOXENI?
Rassmotrim rassečnie fflektromagnitnogo izluqenič otdel~no$i difflektriqes-
ko$i qastice$i. Vvedem sleduČwie oboznaqenič: ~
E (j) , ~
H (j) -- naprčďennosti fflek-
triqeskogo i magnitnogo pole$i padaČwego, rassečnnogo i izluqenič vnutri qas-
ticy (sootvetstvenno j = 0; 1 i 2); '' j i ? j -- difflektriqeskač i magnitnač pronica-
emosti sredy vne i vnutri rasseivatelč (j =1 i 2); k j = p '' j ? j k 0 -- volnovoe qislo
v srede; k 0 = !=c -- volnovoe qislo v svobodnom prostranstve, gde ! -- qastota
izluqenič, a c -- skorost~ sveta v vakuume.
Zadaqa rassečnič sveta moďet byt~ sformulirovana sleduČwim obrazom: na$i-
ti polč ~
E (j) i ~
H (j) , udovletvorčwie uravneničm Maksvella vne i vnutri rasse-
ivatelč, a takďe graniqnym uslovičm na poverhnosti qasticy (nepreryvnost~
tangencial~nyh sostavlčČwih fflektromagnitnyh pole$i) i uslovičm izluqenič
na beskoneqnosti dlč rassečnnogo izluqenič (podrobnee sm. [6,7]).
My predpolagaem, qto rasseivaČwač qastica imeet aksial~nuČ simmetriČ.
Esli vvesti dekartovuČ sistemu koordinat (x; y; z) takim obrazom, qtoby os~ ~z
sovpadala s os~Č vrawenič qasticy, to uravnenie poverhnosti S v sferiqesko$i
sisteme koordinat (r; `; ') zapisyvaetsč v vide
r = r(`): (1)
Proizvol~no polčrizovannač ploskač volna, padaČwač pod uglom ff k osi vra-
wenič qasticy, moďet byt~ predstavlena v vide superpozicii voln dvuh tipov
(TE i TM mody). Dlč voln TE tipa
~
E (0) = \Gamma ~ i y exp [ik 1 (x sin ff + z cos ff)] ; (2)
dlč voln TM tipa
~
E (0) =
i
~ i x cos ff \Gamma ~ i z sin ff
j
exp [ik 1 (x sin ff + z cos ff)] ; (3)
gde ( ~ i x ; ~ i y ; ~ i z ) -- orty dekartovo$i sistemy koordinat.
Predstavim fflektromagnitnye polč kak summy
~
E (j) = ~
E (j)
1 + ~
E (j)
2 ; ~
H (j) = ~
H (j)
1 + ~
H (j)
2 ; j = 0; 1; 2; (4)
gde ~
E (j)
1 , ~
H (j)
1 ne zavisčt ot azimutal~nogo ugla ', a usrednenie ~
E (j)
2 , ~
H (j)
2 po fftomu
uglu ravno nulČ. Podobnoe predstavlenie pole$i vozmoďno iz-za kommutativnos-
ti operatora, sootvetstvuČwego probleme difrakcii, i operatora L z = @=@' (sm.
podrobnee [7]).
2

Osesimmetriqnač zadaqa dlč pole$i ~
E (j)
1 , ~
H (j)
1 i neosesimmetriqnač zadaqa dlč
pole$i ~
E (j)
2 , ~
H (j)
2 rexaČtsč nezavisimo drug ot druga.
2.1. Osesimmetriqnač zadaqa
Vvedem skalčrnye potencialy
p (j) = E (j)
1' cos '; q (j) = H (j)
1' cos '; (5)
gde E (j)
1' , H (j)
1' -- '-komponenty vektorov ~
E (j)
1 , ~
H (j)
1 . Ostal~nye sostavlčČwie fflek-
tromagnitnyh pole$i vyraďaČtsč qerez azimutal~nye komponenty iz uravneni$i
Maksvella.
Potencialy čvlčČtsč rexeničmi skalčrnyh uravneni$i Gel~mgol~ca
\Deltap (j) + k 2
j p (j) = 0; \Deltaq (j) + k 2
j q (j) = 0 (6)
i mogut byt~ predstavleny v vide razloďeni$i po volnovym sferiqeskim funkci-
čm s indeksom m = 1, poskol~ku ih zavisimost~ ot azimutal~nogo ugla ' zadana
mnoďitelem cos ' (sm. sootnoxenie (5)):
p (j)
q (j) =
1
X
l=1
a (j)
l
b (j)
l
/ (j)
l (k j r) P 1
l (cos `) cos '; (7)
gde / (j)
l (k j r) -- radial~nye sferiqeskie funkcii (sferiqeskie funkcii Besselč
j l (k 1 r) i j l (k 2 r) dlč potencialov padaČwego i vnutrennego izluqenič i funkcii
Gankelč pervogo roda h (1)
l (k 1 r) dlč potenciala rassečnnogo izluqenič), P m
l (cos `) --
prisoedinennye funkcii Leďandra.
Neizvestnye kofffficienty razloďeni$i potenciala rassečnogo izluqenič p (1)
opredelčČtsč iz rexenič beskoneqnyh sistem line$inyh algebraiqeskih uravne-
ni$i 1
X
n=1
ff (2)
ln a (2)
n = \Gammaa (0)
l ; l = 1; 2; ::: ; (8)
a (1)
l =
1
X
n=1
ff (1)
ln a (2)
n ; l = 1; 2; ::: ; (9)
gde matriqnye fflementy ff (1)
ln , ff (2)
ln -- poverhnostnye integraly ot proizvedeni$i
sferiqeskih volnovyh funkci$i i ih proizvodnyh. Bolee podrobno dannač zadaqa
rassmotrena v rabotah [6,7]. Tam ďe moďno na$iti vyraďenič i dlč kofffficientov
razloďenič potenciala padaČwego izluqenič v sluqae plosko$i volny.
Zametim, qto dlč TM mody otliqny ot nulč potenciala q (j) , i sootvetstvuČ-
wie uravnenič dlč nih poluqaČtsč posle zameny p (j) ! q (j) , ? j ! '' j i a (j)
n ! b (j)
n
[7].
2.2. Neosesimmetriqnač zadaqa
Dlč opredelenič neosesimmetriqnyh qaste$i fflektromagnitnyh pole$i ( ~
E (j)
2 , ~
H (j)
2 ,
j = 0; 1 i 2) budem ispol~zovat~ skalčrnye potenciala U (j) i V (j) . Pervy$i iz nih
3

čvlčetsč z-komponentom magnitnogo ili fflektriqeskogo vektora Gerca, a vtoro$i
-- sootvetstvuČwim potencialom Debač. Dlč TE mody poloďim
~
E (j)
2 = ~
r \Theta
i
U (j) ~ i z + V (j) ~r
j
;
~
H (j)
2 = 1
i? j k 0
~
r \Theta ~
r \Theta
i
U (j) ~ i z + V (j) ~r
j
:
(10)
Zametim, qto potencialy Debač ispol~zuČtsč pri rexenii zadaqi rassečnič dlč
xarov (teorič Mi), a z-komponenty vektora Gerca -- dlč beskoneqnyh krugovyh
cilindrov.
Potencialy U (j) i V (j) udovletvorčČt skalčrnomu uravneniČ Gel~mgol~ca, i
posle nekotoryh preobrazovani$i moďno poluqit~ dlč nih graniqnye uslovič. \Lambdati
uslovič suwestvenno uprowaČtsč v standartnom sluqae nemagnitno$i sredy (? 1 =
? 2 = 1). Dlč TE mody imeem
U = U (2) \Gamma
i '' 2
'' 1
\Gamma 1
j r
sin `(r 2 +r 0 2
`
)
h
(r 0
` cos ` \Gamma r sin `) U (2) + rr 0
` V (2)
i
;
V = V (2) \Gamma
i '' 2
'' 1
\Gamma 1
j r 0
`
sin `+r cos `
r sin `(r 2 +r 0 2
`
)
h
(r 0
` cos ` \Gamma r sin `) U (2) + rr 0
` V (2)
i
;
@U
@n = @U (2)
@n +
i '' 2
'' 1
\Gamma 1
j
1
r sin `
p
r 2 +r 0 2
`
ae
(r 0
`
cos `\Gammar sin `) 2
r 2 +r 0 2
`
i
r 0
`
@U (2)
@r + @U (2)
@`
j
+ rr 0
`
(r 0
`
cos `\Gammar sin `)
r 2 +r 0 2
`
i
r 0
`
@V (2)
@r + @V (2)
@`
j
\Gamma F 3 (`)U (2) \Gamma rF 4 (`)V (2)
oe
;
@V
@n
= @V (2)
@n
+
i '' 2
'' 1
\Gamma 1
j 1
sin `
p
r 2 +r 0 2
`
ae
r 0
`
(r 0
`
cos `\Gammar sin `)
r 2 +r 0 2
`
i
r 0
`
@U (2)
@r
+ @U (2)
@`
j
+ rr 0 2
`
r 2 +r 0 2
`
i
r 0
`
@V (2)
@r
+ @V (2)
@`
j
\Gamma F 1 (`)U (2) \Gamma r 0
` F 2 (`)V (2)
oe
;
9 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? =
? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ;
~r2S
(11)
gde U = U (0) + U (1) i V = V (0) + V (1) , a
F 1 (`) = (r 2 + r 0
`
2 ) + (r 0
`
2 \Gamma rr 0 0
` )
(r 2 + r 0
`
2 ) 2
[r(r 0
` cos ` \Gamma r sin `) + r 0
` (r 0
` sin ` + r cos `)] ; (12)
F 2 (`) = (r 2 + r 0
`
2 )(r 2 \Gamma r 0
`
2 ) + 2r 2 (r 0
`
2 \Gamma rr 0 0
` )
(r 2 + r 0
`
2 ) 2
; (13)
F 3 (`) =
2(r 0
` cos ` \Gamma r sin `)(r 0
` sin ` + r cos `)
h
(r 2 + r 0
`
2 )(r 0
`
2 \Gamma rr 0 0
` )
i
(r 2 + r 0
`
2 ) 2
; (14)
F 4 (`) =
(r 3 r 0 0
` + r 2 r 0
`
2 \Gamma rr 0
`
2 r 0 0
` + 3r 0
`
4 ) sin ` + r 0
`
r
(r 4 \Gamma 2r 3 r 0 0
` + 2r 2 r 0
`
2 \Gamma r 0
`
4 ) cos `
(r 2 + r 0
`
2 ) 2
: (15)
Dlč TM mody graniqnye uslovič suwestvenno prowe (sm. [7]).
Integral~nye uravnenič dlč potencialov U (j) i V (j) mogut byt~ poluqeny tak
ďe, kak ranee sootvetstvuČwie uravneničm v osesimmetriqnom sluqae (sm. [6,7]).
4

Skalčrnye potencialy predstavlčČtsč v vide razloďeni$i po volnovym sfe-
riqeskim funkcičm
U (0)
V (0) =
1
X
m=1
1
X
l=m
a (0)
ml
b (0)
ml
j l (k 1 r) P m
l (cos `) cos m'; (16)
U (1)
V (1) =
1
X
m=1
1
X
l=m
a (1)
ml
b (1)
ml
h (1)
l (k 1 r) P m
l (cos `) cos m'; (17)
U (2)
V (2) =
1
X
m=1
1
X
l=m
a (2)
ml
b (2)
ml
j l (k 2 r) P m
l (cos `) cos m'; (18)
gde summy naqinaČtsč s m = 1, poskol~ku usrednenie potencialov po azimutal~-
nomu uglu ' dolďno davat~ nol~.
Kofffficienty dlč padaČwego plosko$i volny v sluqae TE mody ravny
a (0)
ml = 2i l\Gamma1 (2l+1)
k 0 ? 1 sin ff
(l\Gammam)!
(l+m)! P m
l (cos ff);
b (0)
ml = 0:
(19)
Takim ďe obrazom, kak my poluqili beskoneqnye sistemy line$inyh algebra-
iqeskih uravneni$i dlč neizvestnyh kofffficientov v sluqae TM mody (sm. [7]),
moďno na$iti sistemy uravneni$i i dlč kofffficientov razloďenič a (1)
mn ; b (1)
mn ; a (2)
mn i
b (2)
mn v sluqae TE mody
1
X
n=m
i
ff (2)
1;mln k 1 a (2)
mn + fi (2)
1;mln b (2)
mn
j
= \Gammak 1 a (0)
ml ;
1
X
n=m
i
ff (2)
2;mln k 1 a (2)
mn + fi (2)
2;mln b (2)
mn
j
= \Gammab (0)
ml ; (20)
i
k 1 a (1)
ml =
1
X
n=m
i
ff (1)
1;mln k 1 a (2)
mn + fi (1)
1;mln b (2)
mn
j
;
b (1)
ml =
1
X
n=m
i
ff (1)
2;mln k 1 a (2)
mn + fi (1)
2;mln b (2)
mn
j
; (21)
gde m = 1; 2; :::; l = m;m + 1; :::.
Matriqnye fflementy ff (1)
1;mln ; ff (1)
2;mln ; ff (2)
1;mln i ff (2)
2;mln čvlčČtsč poverhnostnymi in-
tegralami ot proizvedeni$i sferiqeskih volnovyh funkci$i i ih proizvodnyh. Dlč
TE mody, fflementy vyqislčČtsč po formulam (niďe sqitaem, qto ? 1 = ? 2 = 1)
ff (2)
1;mln = i(2l + 1)(l \Gamma m)!
2(l +m)!
Z ď
0
(
k 2
1 r 2
''
j n (k 2 r)h (1)
l
0
(k 1 r) \Gamma
s
'' 2
'' 1
j 0
n (k 2 r)h (1)
l (k 1 r)
#
P m
n (cos `)
\ThetaP m
l (cos `) sin ` + k 1 r 0
` j n (k 2 r)h (1)
l (k 1 r)
h
P m
n (cos `)P m
l
0 (cos `) \Gamma P m
n
0 (cos `)
\ThetaP m
l (cos `)] sin 2 ` \Gamma
` '' 2
'' 1
\Gamma 1
' (
k 1 r 2 (r 0
` cos ` \Gamma r sin `)
r 2 + r 0
`
2 j n (k 2 r)P m
n (cos `) (22)
5

\Theta
''
k 1 rh (1)
l
0
(k 1 r)P m
l (cos `) + r 0
`
r
h (1)
l (k 1 r)P m
l
0 (cos `) sin `
#
\Gamma k 1 rr 0
` (r 0
` cos ` \Gamma r sin `)
r 2 + r 0
`
2
\Theta
''s
'' 2
'' 1
k 1 r 0
` j 0
n (k 2 r)P m
n (cos `) \Gamma j n (k 2 r)P m
n
0 (cos `) sin `
#
h (1)
l (k 1 r)P m
l (cos `)
+k 1 rF 1 (`)j n (k 2 r)P m
n (cos `)h (1)
l (k 1 r)P m
l (cos `)
oo
d`;
fi (2)
1;mln = \Gamma i(2l + 1)(l \Gamma m)!
2(l +m)!
` '' 2
'' 1
\Gamma 1
' Z ď
0
(
k 2
1 r 3 r 0
`
r 2 + r 0
`
2 j n (k 2 r)P m
n (cos `)
?
k 1 rh (1)
l
0
(k 1 r)P m
l (cos `)
+ r 0
`
r
h (1)
l (k 1 r)P m
l
0 (cos `) sin `
#
\Gamma k 2
1 r 2 r 0
`
r 2 + r 0
`
2
''s
'' 2
'' 1
k 1 r 0
` j 0
n (k 2 r)P m
n (cos `) \Gamma j n (k 2 r) (23)
\ThetaP m
l
0 (cos `)
i
h (1)
l (k 1 r)P m
l (cos `) + k 2
1 rr 0
` F 2 (`)j n (k 2 r)P m
n (cos `)h (1)
l (k 1 r)P m
l (cos `)
o
d`;
ff (2)
2;mln = i(2l + 1)(l \Gamma m)!
2(l +m)!
` '' 2
'' 1
\Gamma 1
' Z ď
0
(
(r 0
` cos ` \Gamma r sin `)(r 0
` sin ` + r cos `)
r 2 + r 0
`
2 j n (k 2 r)P m
n (cos `)
\Theta
''
k 1 rh (1)
l
0
(k 1 r)P m
l (cos `) + r 0
`
r
h (1)
l (k 1 r)P m
l
0 (cos `) sin `
#
\Gamma (r 0
` cos ` \Gamma r sin `) 2
r 2 + r 0
`
2
\Theta
''s
'' 2
'' 1
k 1 r 0
` j 0
n (k 2 r)P m
n (cos `) + j n (k 2 r)P m
l
0 (cos `)
#
h (1)
l (k 1 r)P m
l (cos `) (24)
+F 3 (`)j n (k 2 r)P m
n (cos `)h (1)
l (k 1 r)P m
l (cos `)
o
d`;
fi (2)
2;mln = i(2l + 1)(l \Gamma m)!
2(l +m)!
Z ď
0
(
k 2
1 r 2
''
j n (k 2 r)h (1)
l
0
(k 1 r) \Gamma
s
'' 2
'' 1
j 0
n (k 2 r)h (1)
l (k 1 r)
#
P m
n (cos `)
\ThetaP m
l (cos `) sin ` + k 1 r 0
` j n (k 2 r)h (1)
l (k 1 r)
h
P m
n (cos `)P m
l
0 (cos `) \Gamma P m
n
0 (cos `)
\ThetaP m
l (cos `)] sin 2 ` +
` '' 2
'' 1
\Gamma 1
' (
k 1 rr 0
` (r 0
` sin ` + r cos `)
r 2 + r 0
`
2 j n (k 2 r)P m
n (cos `) (25)
\Theta
''
k 1 rh (1)
l
0
(k 1 r)P m
l (cos `) + r 0
`
r
h (1)
l (k 1 r)P m
l
0 (cos `) sin `
#
\Gamma k 1 rr 0
` (r 0
` cos ` \Gamma r sin `)
r 2 + r 0
`
2
\Theta
''s
'' 2
'' 1
k 1 r 0
` j 0
n (k 2 r)P m
n (cos `) + j n (k 2 r)P m
l
0 (cos `)
#
h (1)
l (k 1 r)P m
l (cos `)
+k 1 rF 4 (`)j n (k 2 r)P m
n (cos `)h (1)
l (k 1 r)P m
l (cos `)
oo
d`:
Matriqnye fflementy vtoro$i sistemy (21) poluqaČtsč iz vyxeprivedennyh
(22)--(25) posle zameny h (1)
l (k 1 r) ! j l (k 1 r). Vyraďenič dlč sluqač TM mody dany
v [7].
2.3. Harakteristiki rassečnnogo izluqenič
Svčz~ padaČwego i rassečnnogo izluqeni$i v dal~ne$i zone (r ! 1) opredelč-
etsč amplitudno$i matrice$i rassečnič
0
@ E (1)
k
E (1)
?
1
A =
1
\Gammaik 1 r
e i(k 1 r\Gamma ~
k 1 ~r)
/
A 2 A 3
A 4 A 1
! 0
@ E (0)
k
E (0)
?
1
A : (26)
6

Niďe my sqitaem, qto ploskost~Č otsqeta dlč padaČwe$i volny čvlčetsč plos-
kost~ xz, dlč rassečnno$i volny -- ploskost~, prohodčwač qerez os~ z (os~ vrawenič
qasticy) i napravlenie rassečnnogo izluqenič. V rassmatrivaemom sluqae my
imeem
A 1 =
1
X
l=1
i \Gammal a (1)
l P 1
l (cos `) \Gamma
1
X
m=1
1
X
l=m
i \Gamma(l\Gamma1)
i
k 1 a (1)
ml P m
l (cos `) + ib (1)
ml P m 0
l (cos `)
j
sin ` cos m';
(27)
A 2 = \Gamma
1
X
l=1
i \Gammal b (1)
l P 1
l (cos `) +
1
X
m=1
1
X
l=m
i \Gamma(l\Gamma1)
i
k 1 a (1)
ml P m
l (cos `) + ib (1)
ml P m 0
l (cos `)
j
sin ` cos m';
(28)
A 3 =
1
X
m=1
1
X
l=m
i \Gammal b (1)
ml
mP m
l (cos `)
sin `
sin m'; (29)
A 4 =
1
X
m=1
1
X
l=m
i \Gammal b (1)
ml
mP m
l (cos `)
sin `
sin m': (30)
Otmetim, qto v vyraďenič dlč A 1 i A 3 vhodčt kofffficienty, poluqaČwiesč pri
rexenii zadaqi rassečnič dlč TE mody, a v vyraďenič dlč A 2 i A 4 -- dlč TM
mody.
Po amplitudno$i matrice rassečnič moďno opredelit~ vse harakteristiki ras-
sečnnogo izluqenič -- bezrazmernye indikatrisy rassečnič, matricu rassečnič,
stepen~ line$ino$i polčrizacii i t.d. Niďe my privodim vyraďenič dlč integ-
ral~nyh seqeni$i oslablenič i rassečnič v sluqae TE mody
C ext = 4ď
k 2
1
Re
h ~
A (1) ; ~ i (0)
i fi fi fi fi fi \Theta=0
= 4ď
k 2
1
Re
? 1
X
l=1
i \Gammal a (1)
l P 1
l (cos ff) \Gamma
1
X
m=1
1
X
l=m
i \Gamma(l\Gamma1)
`
k 1 a (1)
ml P m
l (cos ff)
+ i b (1)
ml
dP m
l (cos ff)
d cos ff
'
sin ff
?
(31)
C sca = 1
k 2
1
Z
4ď
Z
j ~
A (1) j
2d\Omega = ď
k 2
1
ae 1
X
l=1
4l(l + 1)
2l + 1 ja (1)
l j 2 + Re
1
X
m=1
1
X
l=m
1
X
n=m
i (n\Gammal)
?
k 2
1 a (1)
ml a (1) \Lambda
mn ! m
ln
+ i k 1
i
b (1)
ml a (1) \Lambda
mn ? m
ln \Gamma a (1)
ml b (1) \Lambda
mn ? m
nl
j
+ b (1)
ml b (1) \Lambda
mn ? m
ln
?oe
(32)
Zdes~ ~
A (1) -- amplituda fflektriqeskogo polč rassečnnogo izluqenič, ~ i (0) -- edi-
niqny$i vektor, opredelčČwi$i polčrizaciČ padaČwego
izluqenič,\Omega -- telesny$i
ugol, \Theta -- ugol meďdu napravleničmi padaČwego i rassečnnogo izluqenič. Integ-
raly ot funkci$i Leďandra i ee proizvodnyh ? m
ln , ! m
ln i ? m
ln byli privedeny ranee
(sm. [6,7]). Dlč TM mody vyraďenič dlč seqenič analogiqny posle zameny a (1)
l
na b (1)
l [7].
7

3. QISLENNYE REZUL?TATY
Opisanny$i podhod k rexeniČ problemy rassečnič sveta byl realizovan v vi-
de komp~Čterno$i programmy na Fortrane. Testirovanie programmy vklČqalo
sravnenie rezul~tatov, poluqennyh dlč sferoidal~nyh qastic, imeČwih razny$i
razmer, pokazatel~ prelomlenič i otnoxenie poluose$i, s rezul~tatami analogiq-
nyh rasqetov, vypolnennyh s ispol~zovaniem programm, osnovannyh na drugih
podhodah: na metode razdelenič peremennyh [4] i metode T-matricy [10]. Byli
takďe vypolneny testovye rasqety i dlč nekotorogo nabora qebyxevskih qastic
i koneqnyh cilindrov i proizvedeno sopostavlenie s imeČwimisč v literature
dannymi. Osnovyvačs~ na rezul~tatah fftih rasqetov i teoretiqeskih soobra-
ďeničh, rassmotrim obosnovannost~ predlagaemogo rexenič dlč pereqislennyh
vyxe tipov osesimmetriqnyh qastic.
3.1. Qebyxevskie qasticy
Uravnenie poverhnosti fftih qastic zapisyvaetsč v vide
r(`) = r 0 [1 + ffl cos(n`)]; (33)
gde r 0 -- radius nevozmuwennogo xara, ffl -- amplituda vozmuwenič, n -- koliqestvo
garmonik (maksimumov). Qasticy čvlčČtsč vypuklymi, esli
j''j !
1
n 2 + 1 : (34)
Optiqeskie svo$istva qebyxevskih qastic byli sravnitel~no podrobno rassmot-
reny v literature (sm., naprimer, [11]).
Dlč obsuďdenič primenimosti predlagaemogo metoda neobhodimo rassmotret~
raspoloďennye vnutri rasseivatelč osobennosti analitiqeskogo prodolďenič po-
lč rassečnnogo izluqenič. V sluqae qebyxevskih qastic oni obrazuČt pravil~-
ny$i n-ugol~nik v ploskosti xz, pri fftom rasstočnie ot naqala koordinat do oso-
byh toqek ravno [12]
oe 1 = r 0
n
h
n + (1 + ffl 2 (n 2 \Gamma 1)) 1=2
i
n 2 \Gamma 1
2
4 \Gamma1 + (1 + ffl 2 (n 2 \Gamma 1)) 1=2
jfflj(n + 1)
3
5
1=n
; (35)
a polčrnye ugly (pri ffl ? 0) --
' 1;j = 2j
n
ď; j = 0; 1; :::; (n \Gamma 1): (36)
Osobennosti analitiqeskogo prodolďenič polč vnutrennego izluqenič, raspo-
loďennye vne rasseivatelč, takďe obrazuČt pravil~ny$i n-ugol~nik v ploskosti
xz, i rasstočnie ot naqala koordinat do osobyh toqek ravno [12]
oe 2 = r 0
n
h
n \Gamma (1 + ffl 2 (n 2 \Gamma 1)) 1=2
i
n 2 \Gamma 1
2
4 1 + (1 + ffl 2 (n 2 \Gamma 1)) 1=2
jfflj(n + 1)
3
5
1=n
; (37)
8

a polčrnye ugly (pri ffl ? 0) --
' 2;j = 2j + 1
n
ď; j = 0; 1; :::; (n \Gamma 1): (38)
Nakonec, gipoteza Releč, predpolagaČwač, qto razloďenič pole$i po volnovym
sferiqeskim funkcičm shodčtsč vplot~ do granicy rasseivatelč, spravedliva
pri sleduČwih uslovičh [12,13]:
a) vnexnčč zadaqa
oe 1 ! minjr(`)j = r min = (1 \Gamma ffl)r 0 ; (39)
b) vnutrennčč zadaqa
oe 2 ? maxjr(`)j = r max = (1 + ffl)r 0 : (40)
Predlagaemoe rexenie, po-vidimomu, moďno strogo obosnovat~, kogda analiti-
qeskie prodolďenič rassečnnyh i vnutrennih pole$i imeČt nepustoe pereseqenie
v vide kol~ca s centrom v naqale koordinat, t.e. pri uslovii
oe 1 ! oe 2 : (41)
Sravnitel~no podrobnoe issledovanie fftogo voprosa v skalčrnom sluqae moďno
na$iti v stat~e [14], gde qasticy, udovletvorčČwie usloviČ (41), nazyvany ``slabo
nevypuklymi''.
Na ris. 1 my priveli zavisimost~ otnositel~no$i oxibki, s kotoro$i vypolnč-
etsč optiqeskač teorema, ot qisla uqityvaemyh slagaemyh v razloďeničh poten-
cialov po sferiqeskim funkcičm (7) i (16)--(18) dlč qebyxevskih qastic s n =10
i raznymi znaqeničmi ffl (m = 1:5, ff = 0 ffi ). Otmetim, qto pri ffl = 0 my imeem
xar; pri ffl =0.01 -- poqti vypukluČ qasticu (sm. (34)); pri ffl =0.03 -- releevskuČ
(t.k. uslovič (39)--(40) vypolnčČtsč pri ffl !0.046, esli n =10); pri ffl =0.05 --
nereleevskuČ, no slabo nevypukluČ, i pri ffl =0.07 naruxaetsč uslovie slabo$i
nevypuklosti (41), t.k. dlč n =10 ravenstvo oe 1 = oe 2 spravedlivo pri ffl ď0.0663.
Legko videt~, qto uveliqenie difrakcionnogo parametra xV s 1 do 7 pročvlčet-
sč v osnovnom v uveliqenii razbrosa oxibok i ne menčet harakter risunkov. Pri
ffl ? 0.07 shodimosti faktiqeski net kak i predskazyvalos~ vyxe. Analogiqnač
situacič nablČdaetsč i pri drugih znaqeničh parametrov n, m i ff.
3.2. SplČsnutye i vytčnutye sferoidy
Kak i vse gladkie vypuklye qasticy, sferoidy vhodčt v klass slabo nevypuk-
lyh, po kra$ine$i mere v skalčrnom sluqae [14]. Gipoteza Releč spravedliva pri
otnoxenii poluose$i a=b !
p
2 [12,13]. Na ris. 2 privedena otnositel~nač oxibka,
s kotoro$i vypolnčetsč optiqeskač teorema, v zavisimosti ot qisla uqityvaemyh
slagaemyh v razloďeničh potencialov po sferiqeskim funkcičm dlč vytčnutyh
i splČsnutyh sferoidov raznymi znaqeničmi a=b (m = 1:5, ff = 0 ffi ). Iz risunka
vidno, qto shodimost~ imeet mesto dlč nereleevskih qastic, kak i v vyxeras-
smotrennom sluqae qebyxevskih qastic.
9

3.3. Koneqnye cilindry
\Lambdati qasticy v otliqie ot sferoidov ne vhodčt v klass slabo nevypuklyh qas-
tic, poskol~ku ih poverhnosti ne čvlčČtsč analitiqeskimi. Pri naliqii reber,
gde ne opredelena normal~, voobwe govorč, nuďno provesti special~noe issledo-
vanie analitiqeskih svo$istv fflektromagnitnyh pole$i v ih okrestnostčh. Tem ne
menee o dostovernosti qislennyh rasqetov moďno sudit~ na osnovanii sleduČwih
soobraďeni$i, kotorye imeČt mesto i dlč qastic drugih form.
Vo-pervyh, dlč nepoglowaČwih qastic vypolnčetsč optiqeskač teorema. V
sluqae koneqnyh cilindrov ffto ravenstvo spravedlivo s toqnost~Č do 3--4 zna-
qawih cifr. Vo-vtoryh, nablČdaetsč shodimost~ rezul~tatov rasqetov s uve-
liqeniem qisla uqityvaemyh slagaemyh (do razumnyh predelov) v formulah dlč
seqeni$i (31) i (32). V-tret~ih, poluqennye nami znaqenič seqeni$i dostatoqno ho-
roxo soglasuČtsč s rezul~tatami analogiqnyh rasqetov, vypolnennyh metodom
T-matricy (v rassmotrenno$i nami oblasti znaqeni$i parametrov).
V vide illČstracii my rassqitali i predstavili na ris. 3--4 normirovannye
seqenič rassečnič dlč koneqnyh cilindrov i sferoidov odnogo ob?ema i odnogo
otnoxenič naibol~xego razmera k naimen~xemu (otnoxenie poluose$i a=b dlč sfe-
roidov i otnoxenie dliny k diametru L=D dlč cilindrov) pri naklonnom padenii
izluqenič (ff = 45 ffi ). Otmetim, s odno$i storony, primernoe sovpadenie poloďe-
nič maksimumov i minimumov krivyh, v s drugo$i -- razliqič v sile maksimumov,
svčzannye s geometrie$i rasseivatele$i.
ZAKLiQENIE
Predloďennoe nedavno rexenie zadaqi rassečnič sveta nesferiqeskimi qasti-
cami s aksial~no$i simmetrie$i [6,7] rasprostraneno na sluqa$i padenič plosko$i
volny TE tipa (dlč TM mody sootvetstvuČwie formuly privedeny v [6,7]). Sos-
tavlena programma, realizuČwač novy$i metod, i vypolneny testovye rasqety dlč
xirokogo nabora osesimmetriqnyh qastic: vytčnutyh i splČsnutyh sferoidov,
koneqnyh cilindrov i qebyxevskih qastic.
Kratko rassmotrena obosnovannost~ predlagaemogo rexenič dlč kaďdogo vi-
da qastic. Pokazano, qto v sluqae nevypuklyh qastic pri vypolnenii uslovič
``slabo$i nevypuklosti'' (41) nablČdaetsč shodimost~ metoda.
Proizvedeno takďe sopostavlenie razrabotanno$i programmy s xirokoizves-
tno$i, standartno$i programmo$i Barbera i Hilla [10], ispol~zuČwe$i metod T-mat-
ricy, i na$ideno, qto obe programmy imeČt sravnimoe bystrode$istvie. Otmetim,
qto predlagaemy$i nami podhod k rexeniČ zadaqi rassečnič sveta osesimmetriq-
nymi qasticami, po vse$i vidimosti, bolee ffffektiven v primenenii k mnogoslo$i-
nym qasticam (sm. opisanie i obsuďdenie sootvetstvuČwego algoritma v [15]),
qem podobnač modifikacič obyqnogo metoda T-matricy [16] ili nedavno predlo-
ďenny$i variant metoda razdelenič peremennyh [17].
Dannač rabota vypolnena pri finansovo$i podderďke po programme INTAS (grant
99/652), a takďe Goskomvuza Rossii (grant N 97-0-13.3-30).
10

SPISOK LITERATURY
1. Mishchenko M.I., Hovenier J.W., Travis L.D. Light Scattering by Nonspherical particles.
San Diego: Academic Press, 2000.
2. Asano S., Yamamoto G. // Appl. Opt. 1975. V.14. P.29.
3. Farafonov V.G. // Dif. uravn. 1983. T.19. S.1765.
4. Voshchinnikov N.V., Farafonov V.G. // Astrophys. Space Sci. 1993. V.204. P.19.
5. Voshchinnikov N.V. // J. Quant. Spectrosc. Radiat. Transfer. 1996. V.55. P.627.
6. Farafonov V.G., Il'in V.B., Henning Th. // J. Quant. Spectrosc. Radiat. Transfer. 1999.
V.63. P.205.
7. Farafonov V.G. // Opt. i spektrosk. 2000. T.88. S.70.
8. Kolton D., Kress R. Metody integral~nyh uravneni$i v teorii rassečnič. M.:
Mir, 1987.
9. Mors F.M., Fexbah G. Metody teoretiqesko$i fiziki. T.2. M.: IL, 1960.
10. Barber P.W., Hill S.C. Light Scattering by Particles: Computational Methods. World
Scientific, 1990.
11. Wiscombe W.J., Mugnai A. Single Scattering From Nonspherical Chebyshev Particles: A
Compendium of Calculations. NASA Ref. Publ. 1986. V.1157, P.1.
12. KČrkqan A.G. // Radiotehn. i fflektron. 1986. T.31. S.1294.
13. KČrkqan A.G. // Radiotehn. i fflektron. 1984. T.29. S.2129.
14. KČrkqan A.G. // Dokl. Ross. Akad. Nauk. 1994. T.337. S.728.
15. Farafonov V.G. // Opt. i spektrosk. 2000, v peqati.
16. Wang D., Barber P.W. // Appl. Opt. 1979. V.18. P.1190.
17. Gurwich I., Shiloah N., Cohen A. // Appl. Opt. 2000. V.39. P.470.
11

Podpisi pod risunkami
k stat~e V.G.Farafonova i V.B.Il~ina
''Rassečnie sveta difflektriqeskimi qasticami s aksial~no$i simmetrie$i. II''
Ris. 1. Otnositel~nač oxibka ffi = jC ext \Gamma C sca j=[(C ext + C sca )=2] v zavisimosti
ot qisla uqityvaemyh slagaemyh N v razloďeničh potencialov po sferiqeskim
funkcičm dlč qebyxevskih qastic s n =10 i raznymi znaqeničmi ffl, pokazannymi
qislami okolo krivyh. Prčmye pokazyvaČt usrednennoe povedenie oxibok. Po-
kazatel~ prelomlenič m = 1:5, izluqenie padaet pod uglom ff = 0 ffi k osi simmetrii
qastic. a -- xV =1; b -- xV =7.
Ris. 2. To ďe, qto i na ris. 1, no dlč vytčnutyh (sploxnye linii) i splČsnu-
tyh (punktir) sferoidov s raznymi znaqeničmi a=b, pokazannymi qislami okolo
krivyh (dlč splČsnutyh sferoidov dano otnoxenie b=a).
Ris. 3. Seqenič rassečnič, normirovannye na geometriqeskoe seqenie ffkviob?-
emnogo xara, dlč vytčnutyh sferoidov (sploxnač linič) i cilindrov (punktir),
imeČwih otnoxenie naibol~xego razmera k naimen~xemu, ravnoe 2. Pokazatel~
prelomlenič m = 1:7, izluqenie (TM i TM mody) padaet pod uglom ff = 45 ffi k osi
simmetrii qastic.
Ris. 4. To ďe, qto i na ris. 3, no dlč splČsnutyh sferoidov i cilindrov.
12