Äîêóìåíò âçÿò èç êýøà ïîèñêîâîé ìàøèíû. Àäðåñ îðèãèíàëüíîãî äîêóìåíòà : http://www.astro.spbu.ru/staff/ilin2/INTAS/P3-SPB1/PUBL/TEXT/fip-os.ps Äàòà èçìåíåíèÿ: Fri Nov 19 16:17:36 2010 Äàòà èíäåêñèðîâàíèÿ: Tue Oct 2 06:00:03 2012 Êîäèðîâêà: IBM-866 Ïîèñêîâûå ñëîâà: ï ï ï ï ï ï ï ï ï

rasseqnie sweta odnorodnymi i
mnogoslojnymi
---llipsoidami w kwazistati~eskom
priblivenii
c
fl 2001 G. w. g. fARAFONOW \Lambda , w. b. iLXIN \Lambda\Lambda I m. s. pROKOPXEWA \Lambda\Lambda
\Lambda gOSUDARSTWENNYJ UNIWERSITET A``ROKOSMIÓESKOGO PRIBOROSTROENIQ,
sANKTípETERBURG, rOSSIQ
\Lambda\Lambda sANKTípETERBURGSKIJ GOSUDARSTWENNYJ UNIWERSITET, sANKTípETERBURG, rOSSIQ
pOSTUPILA W REDAKCI@ 28.06.2001 G.
pODROBNO RASSMOTRENO KWAZISTATIÓESKOE PRIBLIVENIE DLQ ODNORODNYH I MNOGOSLOJí
NYH ``LLIPSOIDALXNYH ÓASTIC. dANY WYRAVENIQ DLQ ``LEMENTOW AMPLITUDNOJ MATRIí
CY RASSEQNIQ, A TAKVE SEÓENIJ RASSEQNIQ I POGLO]ENIQ PRI PROIZWOLXNOJ ORIENTAí
CII ÓASTIC OTNOSITELXNO PADA@]EGO IZLUÓENIQ. tOÓNOSTX I OBLASTX PRIMENIMOSTI
PRIBLIVENIQ ISSLEDOWANY DLQ ``LEMENTOW MATRICY RASSEQNIQ POGLO]A@]IH ÓASTIC.
sRAWNENIE NESKOLXKIH PRIBLIVENNYH I TOÓNYH METODOW POKAZALO, ÓTO KWAZISTATIí
ÓESKOE PRIBLIVENIE DAET HORO[IE REZULXTATY (SU]ESTWENNO PREDPOÓTITELXNEE PRIí
BLIVENIJ r``LEQ I r``LEQígANSA), ESLI OTNO[ENIE NAIBOLX[EGO RAZMERA ÓASTICY (ILI
GRANIC OSNOWNOGO SLOQ) K NAIMENX[EMU PREWY[AET ¦3. pREDLOVENO NOWOE PRAWILO
TEORII ``FFEKTIWNOJ SREDY DLQ MNOGOSLOJNYH ``LLIPSOIDALXNYH ÓASTIC, ADEKWATNO
UÓITYWA@]EE IH STRUKTURU.
wwedenie
rASSEQNIE SWETA KONEÓNYMI NESFERIÓESKIMI ÓASTICAMI QWLQETSQ WAVNOJ PROBLEMOJ, S
KOTOROJ STALKIWA@TSQ PRI RASSMOTRENII MNOGIH PRIKLADNYH ZADAÓ W RAZLIÓNYH OBLASí
TQH NAUKI I TEHNIKI. ---LLIPSOIDALXNAQ MODELX PODOBNYH ÓASTIC PREDSTAWLQETSQ ODNOJ IZ
NAIBOLEE OB]IH, POSKOLXKU W ``TOM SLUÓAE, KROME DIFRAKCIONNOGO PARAMETRA xV = 2‹rV =Ö
(r V -- RADIUS ``KWIOB×EMNOGO [ARA, Ö -- DLINA WOLNY IZLUÓENIQ), SU]ESTWUET E]E DWA NEí
ZAWISIMYH PARAMETRA: OTNO[ENIQ POLUOSEJ a=c I b=c, KOTORYE HARAKTERIZU@T OTKLONENIE
FORMY ÓASTICY OT SFERIÓESKOJ W TREH WZAIMNO PERPENDIKULQRNYH NAPRAWLENIQH.
w NASTOQ]EE WREMQ WYÓISLENIE HARAKTERISTIK RASSEQNNOGO IZLUÓENIQ DLQ ``LLIPSOIDOW
NA OSNOWE STROGIH METODOW RE[ENIQ WESXMA TRUDOEMKO. w SILU ``TOGO PREDSTAWLQ@T BOLXí
[OJ INTERES PRIBLIVENNYE RE[ENIQ ``TOJ ZADAÓI: R``LEEWSKOE PRIBLIVENIE, PRIBLIVENIQ
r``LEQígANSA I WAN DE h@LSTA I DR. [1--4]. nIVE RASSMATRIWAETSQ KWAZISTATIÓESKOE PRIBLIí
VENIE DLQ ODNORODNYH I MNOGOSLOJNYH ``LLIPSOIDALXNYH ÓASTIC. oNO QWLQETSQ OBOB]ENIí
EM PRIBLIVENIJ r``LEQ I r``LEQígANSA, ÓTO WYRAVAETSQ W PREDSTAWLENII WNUTRENNEGO POLQ
W WIDE PADA@]EJ PLOSKOJ WOLNY (PRIBLIVENIE r``LEQígANSA) S UÓETOM POLQRIZUEMOSTI
1

ÓASTICY (PRIBLIVENIE r``LEQ). wPERWYE, WIDIMO, PODOBNYJ PODHOD BYL ISPOLXZOWAN DLQ
TONKIH CILINDROW [5] I SFEROIDOW (``LLIPSOIDOW WRA]ENIQ) [6]. k SOVALENI@, KWAZISTATIí
ÓESKOE PRIBLIVENIE PRIMENQETSQ WESXMA REDKO I, W OSNOWNOM, DLQ SFEROIDALXNYH ÓASTIC
I IH ANSAMBLEJ [7--9]. dLQ MNOGOSLOJNYH ÓASTIC PRIBLIVENIE RANEE NE RASSMATRIWALOSX.
lI[X NEDAWNO BYLO PROWEDENO PERWOE SISTEMATIÓESKOE ISSLEDOWANIE OBLASTI PRIMEí
NIMOSTI KWAZISTATIÓESKOGO PRIBLIVENIQ DLQ SFEROIDALXNYH ÓASTIC [10]. oKAZALOSX, ÓTO
ISKL@ÓITELXNO HORO[IE REZULXTATY ONO DAET DLQ ÓASTIC, FORMA KOTORYH ZNAÓITELXNO
OTKLONQETSQ OT SFERIÓESKOJ. ---TO PODTWERVDAETSQ TEM, ÓTO DANNOE PRIBLIVENIE DLQ SILXí
NO WYTQNUTYH ILI SPL@SNUTYH ODNORODNYH SFEROIDOW DAET GLAWNYJ ÓLEN ASIMPTOTIKI
RASSEQNNOGO POLQ OTNOSITELXNO OTNO[ENIQ IH POLUOSEJ [8].
w DANNOJ STATXE MY RASPROSTRANQEM KWAZISTATIÓESKOE PRIBLIVENIE NA MNOGOSLOJNYE
``LLIPSOIDALXNYE ÓASTICY I PRIWODIM WYRAVENIQ DLQ ``LEMENTOW AMPLITUDNOJ MATRICY
RASSEQNIQ I SEÓENIJ RASSEQNIQ I POGLO]ENIQ KAK W OB]EM SLUÓAE, TAK I PRI RASPROSTRAí
NENII PLOSKOJ WOLNY WDOLX ODNOJ IZ OSEJ ÓASTICY. rEZULXTATY RABOTY [10] DOPOLNQ@TSQ
RASSMOTRENIEM OBLASTI PRIMENIMOSTI PRIBLIVENIQ DLQ ``LEMENTOW MATRICY RASSEQNIQ
DLQ ODNORODNYH ÓASTIC S POGLO]ENIEM. sOPOSTAWLQ@TSQ REZULXTATY ÓISLENNYH RASÓETOW,
PROWEDENNYH DLQ MNOGOSLOJNYH ÓASTIC KAK NA OSNOWE KWAZISTATIÓESKOGO I DRUGIH PRIBLIí
VENIJ [11--12], TAK I STROGIH METODOW [13--15], I OBSUVDAETSQ NOWOE PRAWILO TEORII ``FFEKí
TIWNOJ SREDY DLQ MALYH PO SRAWNENI@ S DLINOJ WOLNY MNOGOSLOJNYH ``LLIPSOIDALXNYH
ÓASTIC.
osnownye sootno--eniq
wWEDEM DWE DEKARTOWYE SISTEMY KOORDINAT S NAÓALOM OTSÓETA W CENTRE ``LLIPSOIDALXí
NOJ ÓASTICY. w ODNOJ IZ NIH (X; Y; Z) GLAWNYE OSI ``LLIPSOIDA SOWPADA@T S KOORDINATNYí
MI OSQMI. w DRUGOJ (x; y; z) OSX z PARALLELXNA NAPRAWLENI@ RASPROSTRANENIQ PADA@]EGO
IZLUÓENIQ. mATRICA PREOBRAZOWANIQ WEKTOROW PRI PEREHODE OT SISTEMY (x; y; z) K SISTEME
(X; Y; Z) IMEET WID
A =
0
B B @
( ~ l X ; ~ l x ) ( ~ l X ; ~ l y ) ( ~ l X ; ~ l z )
( ~ l Y ; ~ l x ) ( ~ l Y ; ~ l y ) ( ~ l Y ; ~ l z )
( ~ l Z ; ~ l x ) ( ~ l Z ; ~ l y ) ( ~ l Z ; ~ l z )
1
C C A
=
0
B @
cos fi cos ¼ cos fl \Gamma sin ¼ sin fl cos fi sin ¼ cos fl + cos ¼ sin fl \Gamma sin fi cos fl
\Gamma cos fi cos ¼ sin fl \Gamma sin ¼ cos fl \Gamma cos fi sin ¼ sin fl + cos ¼ cos fl sin fi sin fl
sin fi cos ¼ sin fi sin ¼ cos fi
1
C A ;(1)
GDE ¼; fi; fl -- UGLY ---JLERA [16], KOTORYE OPREDELQ@T ORIENTACI@ SISTEMY (X; Y; Z) OTNOí
SITELXNO SISTEMY (x; y; z). oTMETIM, ÓTO fi; ¼ -- OBYÓNYE POLQRNYE KOORDINATY OSI ``Lí
LIPSOIDA OTNOSITELXNO LABORATORNOJ SISTEMY KOORDINAT (x; y; z). aNALOGIÓNO fi; ‹ \Gamma fl --
NAPRAWLENIQ PADENIQ PLOSKOJ WOLNY W SISTEME (X; Y; Z), VESTKO SWQZANNOJ S ÓASTICEJ.
zDESX NUVNO UÓESTX, ÓTO MATRICA A QWLQETSQ ORTOGONALXNOJ, PO``TOMU OBRATNAQ MATRICA
SOWPADAET S TRANSPONIROWANNOJ MATRICEJ A \Gamma1 = A T .
2

tENZOR POLQRIZUEMOSTI ``LLIPSOIDALXNOJ ÓASTICY W LABORATORNOJ SISTEME KOORDINAT
(x; y; z) WYÓISLQETSQ PO FORMULAM [2]
ff = A T ~
ffA; (2)
GDE ~
ff -- TENZOR POLQRIZUEMOSTI W SISTEME (X; Y; Z), SWQZANNOJ S OSQMI ``LLIPSOIDA,
~
ff =
0
B @
~
ff 1 0 0
0 ~
ff 2 0
0 0 ~
ff 3
1
C A : (3)
wELIÓINY ~
ff j DLQ ODNORODNYH ÓASTIC OPREDELQ@TSQ SLEDU@]IM OBRAZOM [1,2]:
~
ff j = ('' \Gamma 1)V K j ; K j =
1
1 + L j ('' \Gamma 1) ; j = 1; 2; 3; (4)
GDE '' -- DI``LEKTRIÓESKAQ PRONICAEMOSTX WE]ESTWA ÓASTICY (MAGNITNAQ PRONICAEMOSTX ï =
1; SÓITAEM, ÓTO ÓASTICA NAHODITSQ W WAKUUME, T.E. '' 0 = 1; ï 0 = 1), V = 4
3
‹abc -- OB×EM
``LLIPSOIDA S POLUOSQMI a; b I c. gEOMETRIÓESKIE FAKTORY ``LLIPSOIDA WYÓISLQ@TSQ PO
FORMULE
L 1 =
abc
2
Z 1
0
dq
(a 2 + q)f(q)
; (5)
GDE f(q) = [(a 2 +q)(b 2 +q)(c 2 +q)] 1
2 . dLQ OPREDELENIQ L 2 I L 3 W WYRAVENII (5) NADO ZAMENITX
(a 2 +q) NA (b 2 +q) I (c 2 +q) SOOTWETSTWENNO [1,2]. oTMETIM, ÓTO L 1 +L 2 +L 3 = 1. wYRAVENIQ
DLQ ~
ff j W SLUÓAE MNOGOSLOJNYH ÓASTIC PRIWEDENY W pRILOVENII.
w KWAZISTATIÓESKOM PRIBLIVENII POLE WNUTRI ÓASTICY APPROKSIMIRUETSQ PADA@]IM
POLEM ~
E (0) (KAK W PRIBLIVENII r``LEQígANSA) S UÓETOM POLQRIZUEMOSTI ÓASTICY (KAK W
PRIBLIVENII r``LEQ)
~
E (2) = K 1
i
~
E (0) ; ~ i X
j
~ i X +K 2
i
~
E (0) ; ~ i Y
j
~ i Y +K 3
i
~
E (0) ; ~ i Z
j
~ i Z ; (6)
GDE ( ~ i X ; ~ i Y ; ~ i Z ) -- ORTY DEKARTOWOJ SISTEMY (X; Y; Z).
w MONOGRAFII [2] PRIWEDENY FORMULY DLQ ``LEMENTOW AMPLITUDNOJ MATRICY RASSEQNIQ
W RAMKAH PRIBLIVENIQ r``LEQ. pOSKOLXKU KWAZISTATIÓESKOE PRIBLIVENIE QWLQETSQ OBOB]Eí
NIEM PRIBLIVENIJ r``LEQ I r``LEQígANSA, OTLIÓAQSX OT PERWOGO NALIÓIEM FORMíFAKTORA,
SOOTWETSTWU@]EGO PRIBLIVENI@ r``LEQígANSA [3--4], TO ``LEMENTY AMPLITUDNOJ MATRICY
RASSEQNIQ MOVNO ZAPISATX W WIDE (`; ' -- SFERIÓESKIE UGLY W SISTEME (x; y; z))
S 1 =
\Gammaik 3
0
4‹
i
ff 11 sin 2 ' \Gamma 2ff 12 sin ' cos ' + ff 22 cos 2 '
j
G(u);
S 2 =
\Gammaik 3
0
4‹
h
cos `
i
ff 11 cos 2 ' + 2ff 12 sin ' cos ' + ff 22 sin 2 '
j
\Gamma sin ` (ff 13 cos ' + ff 23 sin ')] G(u); (7)
S 3 =
\Gammaik 3
0
4‹
h
cos `
i
ff 11 sin ' cos ' + ff 12 (sin 2 ' \Gamma cos 2 ') \Gamma ff 22 sin ' cos '
j
\Gamma sin ` (ff 13 sin ' \Gamma ff 23 cos ')] G(u);
S 4 = \Gammaik 3
0
4‹
h
ff 11 sin ' cos ' + ff 12 (sin 2 ' \Gamma cos 2 ') \Gamma ff 22 sin ' cos '
i
G(u);
3

GDE k 0 = 2‹=Ö 0 -- WOLNOWOE ÓISLO W WAKUUME, Ö 0 -- DLINA WOLNY PADA@]EGO IZLUÓENIQ,
ff ij = ff ji =
3
X
k=1
~
ff k a ki a kj (8)
-- KOMPONENTY TENZORA POLQRIZUEMOSTI ff W SISTEME KOORDINAT (x; y; z), SWQZANNOJ S NAPRAWí
LENIEM RASPROSTRANENIQ PADA@]EGO IZLUÓENIQ, PRI ``TOM a ki -- ``LEMENTY MATRICY A (SM.
WYRAVENIE (1)). fORMíFAKTOR G(u) IMEET WID [3,4]
G(u) =
3
u 3
(sin u \Gamma u cos u); (9)
GDE
u = 2k 0 sin
`
2
q
a 2 ( ~ i X ; ~ i b ) 2 + b 2 ( ~ i Y ; ~ i b ) 2 + c 2 ( ~ i Z ; ~ i b ) 2 ; (10)
A ( ~ i X ; ~ i b ); ( ~ i Y ; ~ i b ); ( ~ i Z ; ~ i b ) -- KOSINUSY UGLOW MEVDU SOOTWETSTWU@]IMI OSQMI ``LLIPSOIDA I
BISSEKTRISOJ DOPOLNITELXNOGO UGLA RASSEQNIQ (T.E. UGLA MEVDU NAPRAWLENIEM RASSEQNNOGO
IZLUÓENIQ I NAPRAWLENIEM, PROTIWOPOLOVENNYM NAPRAWLENI@ RASPROSTRANENIQ PADA@]Eí
GO IZLUÓENIQ). oTMETIM, ÓTO ``TI KOSINUSY UDOWLETWORQ@T SOOTNO[ENI@
( ~ i X ; ~ i b ) 2 + ( ~ i Y ; ~ i b ) 2 + ( ~ i Z ; ~ i b ) 2 = 1: (11)
nAPRAWLENIE BISSEKTRISY DOPOLNITELXNOGO UGLA RASSEQNIQ (ORT ~ i b ) OPREDELQETSQ POí
LQRNYMI KOORDINATAMI ( ‹+`
2 ; ') W LABORATORNOJ SISTEME (x; y; z). uÓITYWAQ SOOTNO[ENIE
(1), NAHODIM KOSINUSY UGLOW MEVDU OSQMI ``LLIPSOIDA I BISSEKTRISOJ
( ~ i X ; ~ i b ) = sin
`
2
sin fi cos fl + cos
`
2
[cos fi cos fl cos(' \Gamma ¼) + sin fl sin(' \Gamma ¼)] ;
( ~ i Y ; ~ i b ) = \Gamma sin `
2
sin fi sin fl \Gamma cos `
2
[cos fi sin fl cos(' \Gamma ¼) \Gamma cos fl sin(' \Gamma ¼)] ; (12)
( ~ i Z ; ~ i b ) = cos
`
2
sin fi cos(' \Gamma ¼) \Gamma sin
`
2
cos fi:
eSLI ``LLIPSOID QWLQETSQ SFEROIDOM (T.E. a = b), TO fl = ‹ I WYRAVENIQ (12) PREOBRAí
ZU@TSQ W FORMULY, PRIWEDENNYE W MONOGRAFII [4].
w ÓASTNOM SLUÓAE, KOGDA PLOSKAQ WOLNA PADAET WDOLX OSI Z ``LLIPSOIDA (fi = 0), POLUÓIM
( ~ i X ; ~ i b ) = cos `
2
cos(' \Gamma ¼ \Gamma fl);
( ~ i Y ; ~ i b ) = cos
`
2
sin(' \Gamma ¼ \Gamma fl); (13)
( ~ i Z ; ~ i b ) = \Gamma sin `
2
:
bUDEM SÓITATX, ÓTO fl = ¼ = 0. w ``TOM SLUÓAE MATRICA PEREHODA A (SM. FíLU (1))
STANOWITSQ EDINIÓNOJ, A TENZOR POLQRIZUEMOSTI ff PREDSTAWLQETSQ W DIAGONALXNOM WIDE,
4

T.E. SOWPADAET S ~
ff. aMPLITUDNAQ MATRICA RASSEQNIQ ZAPISYWAETSQ SLEDU@]IM OBRAZOM:
S 1 = \Gammaik 3
0
4‹
i
~
ff 1 sin 2 ' + ~
ff 2 cos 2 '
j
G(u);
S 2 =
\Gammaik 3
0
4‹
i
~
ff 1 cos 2 ' + ~
ff 2 sin 2 '
j
cos ` G(u);
S 3 =
\Gammaik 3
0
4‹
(~ff 1 \Gamma ~
ff 2 ) cos ` sin ' cos 'G(u); (14)
S 4 =
\Gammaik 3
0
4‹
(~ff 1 \Gamma ~
ff 2 ) sin ' cos 'G(u);
GDE ARGUMENT FUNKCII G(u) IMEET WID
u = 2k 0 sin
`
2
s i
a 2 cos 2 ' + b 2 sin 2 '
j
cos 2
`
2
+ c 2 sin 2 `
2
: (15)
aMPLITUDNAQ MATRICA RASSEQNIQ SWQZYWAET RASSEQNNOE POLE S PADA@]IM [2]
/
E k s
E? s
!
= e ik0 (r\Gammaz)
\Gammaik 0 r
/
S 2 S 3
S 4 S 1
!/
E k i
E? i
!
; (16)
GDE E k i ; E? i I E k s ; E? s -- PARALLELXNYE I PERPENDIKULQRNYE SOSTAWLQ@]IE PADA@]EGO
I RASSEQNNOGO POLEJ OTNOSITELXNO PLOSKOSTI RASSEQNIQ, KOTORU@ OBRAZU@T ORTY WDOLX
NAPRAWLENIJ PADA@]EGO I RASSEQNNOGO IZLUÓENIJ. oBOZNAÓIM ÓEREZ E x i I E y i DEKARTOWYE
KOMPONENTY NAPRQVENNOSTI ``LEKTRIÓESKOGO PADA@]EGO POLQ ~
E (0) .
tOGDA IMEEM
E k i = cos 'E x i + sin 'E y i ;
E? i = sin 'E x i \Gamma cos 'E y i : (17)
sEÓENIE RASSEQNIQ OPREDELQETSQ INTEGRIROWANIEM INTENSIWNOSTI RASSEQNNOGO IZLUÓEí
NIQ PO BESKONEÓNO UDALENNOJ SFERE [2]
C sca =
Z
\Omega
Z i
jE k s j 2 + jE ? s j 2
j
d!
=
1
k 2
0
Z 2‹
0
Z ‹
0
i
jS 2 E k i + S 3 E? i j 2 + jS 4 E k i + S 1 E? i j 2
j
sin `d`d': (18)
dLQ xíPOLQRIZOWANNOJ PLOSKOJ WOLNY IZ SOOTNO[ENIJ (7) I (17)--(18) POLUÓIM
C sca;x =
k 4
0
16‹ 2
Z 2‹
0
Z ‹
0
h
jff 11 sin ' \Gamma ff 12 cos 'j 2 + j (ff 11 cos ' + ff 12 sin ') cos `
\Gamma ff 13 sin `j 2
i
G 2 (u) sin ` d` d': (19)
aNALOGIÓNO DLQ yíPOLQRIZOWANNOJ PLOSKOJ WOLNY IMEEM
C sca;y =
k 4
0
16‹ 2
Z 2‹
0
Z ‹
0
h
jff 22 cos ' \Gamma ff 12 sin 'j 2 + j (ff 22 sin ' + ff 12 cos ') cos `
\Gamma ff 23 sin `j 2
i
G 2 (u) sin ` d` d': (20)
5

w FORMULAH (19) I (20) ARGUMENT FUNKCII G(u) OPREDELQETSQ WYRAVENIQMI (10), (12).
w ÓASTNOM SLUÓAE fi = 0 POLUÓIM
C sca;x =
k 4
0
16‹ 2
j ~
ff 1 j 2
Z 2‹
0
Z ‹
0
i
sin 2 ' + cos 2 ` cos 2 '
j
G 2 (u) sin ` d` d';
C sca;y =
k 4
0
16‹ 2
j ~
ff 2 j 2
Z 2‹
0
Z ‹
0
i
cos 2 ' + cos 2 ` sin 2 '
j
G 2 (u) sin ` d` d'; (21)
GDE ARGUMENT FUNKCII G(u) OPREDELQETSQ PO FORMULE (15).
w PRIBLIVENII r``LEQ FORMíFAKTOR G(0) = 1. w REZULXTATE WYRAVENIQ (19)--(20) PRIí
NIMA@T WID
C sca;x =
k 4
0
6‹
i
jff 11 j 2 + jff 12 j 2 + jff 13 j 2
j
;
C sca;y =
k 4
0
6‹
i
jff 12 j 2 + jff 22 j 2 + jff 23 j 2
j
; (22)
A WYRAVENIQ (21) UPRO]A@TSQ W E]E BOLX[EJ STEPENI
C sca;x = k 4
0
6‹ j ~
ff 1 j 2 ;
C sca;y =
k 4
0
6‹
j ~
ff 2 j 2 : (23)
oTMETIM, ÓTO W SILU ORTOGONALXNOSTI MATRICY A (SM. (1)) WYRAVENIQ (22) PREOBRAZUí
@TSQ K IZWESTNOMU WIDU [2]
C sca;x =
k 4
0
6‹
i
j ~
ff 1 j 2 a 2
11 + j ~
ff 2 j 2 a 2
21 + j ~
ff 3 j 2 a 2
31
j
;
C sca;y =
k 4
0
6‹
i
j ~
ff 1 j 2 a 2
12 + j ~
ff 2 j 2 a 2
22 + j ~
ff 3 j 2 a 2
32
j
; (24)
GDE a ik -- ``LEMENTY MATRICY A (SM. (1)).
sEÓENIQ POGLO]ENIQ OPREDELQ@TSQ INTEGRIROWANIEM WNUTRENNEGO POLQ (6) PO OB×EMU
ÓASTICY
C abs = k 0
Z
V
Im('' \Gamma 1)j ~
E (2) (~r)j 2 dV: (25)
pOSKOLXKU MODULX NAPRQVENNOSTI ``LEKTRIÓESKOGO POLQ W R``LEEWSKOM I KWAZISTATIÓESKOM
PRIBLIVENIQH SOWPADA@T, TO W OBOIH SLUÓAQH POLUÓIM ODINAKOWYJ REZULXTAT [1,2]
C abs;x = k 0 Im
i
~
ff 1 a 2
11 + ~
ff 2 a 2
21 + ~
ff 3 a 2
31
j
;
C abs;y = k 0 Im
i
~
ff 1 a 2
12 + ~
ff 2 a 2
22 + ~
ff 3 a 2
32
j
: (26)
w ÓASTNOM SLUÓAE fi = 0 IMEEM
C abs;x = k 0 Im~ff 1 ;
C abs;y = k 0 Im~ff 2 : (27)
6

rezulxtaty ~islennyh ras~etow
nA OSNOWANII OPISANNOGO PODHODA MY SOSTAWILI PROGRAMMU RASÓETA OPTIÓESKIH SWOJSTW
``LLIPSOIDALXNYH ÓASTIC, IME@]IH RAZLIÓNU@ FORMU I WNUTRENN@@ STRUKTURU. kAK POí
KAZALO TESTIROWANIE, W SLUÓAE MNOGOSLOJNYH NEKONFOKALXNYH ÓASTIC DLQ DOSTIVENIQ TOÓí
NOSTI ffi DOSTATOÓNO ISPOLXZOWATX MENEE 1=ffi PODSLOEW, ÓTO UKAZYWAET NA ``FFEKTIWNOSTX
PREDLAGAEMOGO PODHODA. pROGRAMMA BYLA ISPOLXZOWANA KAK DLQ OPREDELENIQ OBLASTI PRIí
MENIMOSTI DANNOGO PRIBLIVENIQ, TAK I DLQ SRAWNENIQ EGO S DRUGIMI METODAMI.
kAK OTMEÓALOSX, PRIMENIMOSTX KWAZISTATIÓESKOGO PRIBLIVENIQ NEDAWNO BYLA IZUÓENA
W SLUÓAE SEÓENIJ RASSEQNIQ DLQ ODNORODNYH DI``LEKTRIÓESKIH SFEROIDOW [10]. mY RAS[Ií
RILI ``TO ISSLEDOWANIE RASSMOTRENIEM ``LEMENTOW MATRICY RASSEQNIQ DLQ SFEROIDALXNYH
ÓASTIC S POGLO]ENIEM. rASÓETY WYPOLNQLISX DLQ SPL@SNUTYH I WYTQNUTYH SFEROIDOW S
OTNO[ENIEM POLUOSEJ OT 2 DO 100 I POKAZATELEM PRELOMLENIQ W DIAPAZONE OT 1.7+0.01i DO
3+4i. nEKOTORYE REZULXTATY PRIWEDENY NA RIS.1--5.
nA RIS.1 POKAZANA OTNOSITELXNAQ O[IBKA KWAZISTATIÓESKOGO PRIBLIVENIQ W SLUÓAE ``LEí
MENTA F 11 DLQ WYTQNUTYH DI``LEKTRIÓESKIH SFEROIDOW S RAZNYM OTNO[ENIE POLUOSEJ PRI
RAZLIÓNOJ GEOMETRII RASSEQNIQ (UGOL ff OPREDELQET ORIENTACI@ ÓASTICY OTNOSITELXNO
PADA@]EGO IZLUÓENIQ; UGLY ` I ' -- NAPRAWLENIE RASSEQNNOGO IZLUÓENIQ). tOÓNYMI SÓITAí
LISX ZNAÓENIQ ``LEMENTOW, POLUÓENNYE PRI POMO]I PROGRAMMY [17]. rISUNOK ILL@STRIRUET
TOT FAKT, ÓTO KAK I DLQ SEÓENIJ (SM. [10]) PRAKTIÓESKI PRI L@BOJ GEOMETRII RASSEQNIQ
OTNOSITELXNAQ O[IBKA PRIBLIVENIQ UBYWAET S ROSTOM a=b. iSKL@ÓENIE SOSTAWLQET LI[X
RASSEQNIE NAZAD (` ? 130 ffi ), OSOBENNO PRI ff ¦ 45 ffi I BOLX[IH a=b (¦100).
dLQ SILXNO POGLO]A@]IH WYTQNUTYH ÓASTIC MONOTONNOE UWELIÓENIE TOÓNOSTI PRIí
BLIVENIQ S OTNO[ENIEM a=b NABL@DAETSQ W OSNOWNOM PRI PADENII IZLUÓENIQ WDOLX OSI
SIMMETRII ÓASTICY (ff = 0 ffi ), W OSTALXNYH SLUÓAQH ``TA ZAWISIMOSTX MOVET BYTX BOLEE
SLOVNOJ (SM. RIS.2).
dLQ SPL@SNUTYH DI``LEKTRIÓESKIH SFEROIDOW SITUACIQ SU]ESTWENNO INAQ. rASSEQNIE
NAZAD NE QWLQETSQ WYDELENNYM SLUÓAEM, I TRUDNO OPREDELITX OB]IJ HARAKTER ZAWISIMOSTI
POGRE[NOSTI PRIBLIVENIQ OT a=b (RIS.3). oDNAKO DLQ SPL@SNUTYH ÓASTIC S POGLO]ENIEM
(RIS.4) NABL@DAETSQ KARTINA, OBRATNAQ KAK PO SRAWNENI@ S WYTQNUTYMI ÓASTICAMI, TAK I
S WYWODAMI RABOTY [10]: S ROSTOM a=b O[IBKA NE UMENX[AETSQ, A UWELIÓIWAETSQ (ISKL@ÓAQ
RASSEQNIE POD UGLOM ` ‹ 90 ffi ).
zAMETIM, ÓTO DLQ WYTQNUTYH DI``LEKTRIÓESKIH ÓASTIC W SREDNEM POGRE[NOSTX KWAZIí
STATIÓESKOGO PRIBLIVENIQ DLQ F 11 UBYWAET S `, A DLQ POGLO]A@]IH -- NAOBOROT RASTET;
PRI ``TOM WLIQNIE ' WSEGDA MALOZAMETNO. o[IBKA MAKSIMALXNA PRI ff ? 30 ffi . dLQ SPL@SNUí
TYH SFEROIDOW TOÓNOSTX PRIBLIVENIQ SLABO ZAWISIT OT `; '; ff (ISKL@ÓAQ OBLASTX ` ‹ 90 ffi ).
pOGRE[NOSTX PRIBLIVENIQ DLQ ``LEMENTOW MATRICY RASSEQNIQ ZAWISIT OT POKAZATELQ PREí
LOMLENIQ m W SREDNEM SILXNEE, ÓEM DLQ SEÓENIJ [10]: PRIMERNO PROPORCIONALXNO jm \Gamma 1j.
pOWEDENIE POGRE[NOSTI DLQ DRUGIH ``LEMENTOW MATRICY RASSEQNIQ W CELOM SHODNO S RASí
SMOTRENNYM WY[E DLQ F 11 . pRI ``TOM W PODAWLQ@]EM BOLX[INSTWE SLUÓAEW KWAZISTATIí
ÓESKOE PRIBLIVENIE DAET NAIMENX[U@ TOÓNOSTX DLQ ``LEMENTA F 34 .
nESMOTRQ NA WYQWLENNYE OTLIÓIQ W POWEDENII POGRE[NOSTI ``LEMENTOW MATRICY RASSEí
QNIQ PO SRAWNENI@ S SEÓENIQMI, OB]IE WYWODY OB OBLASTI PRIMENIMOSTI KWAZISTATIÓESKOí
7

GO PRIBLIVENIQ, SDELANNYE W [10], DOSTATOÓNO WERNY. w ÓASTNOSTI, GRANICY ``TOJ OBLASTI,
T.E. ZNAÓENIQ PARAMETRA xV , PRI KOTORYH ``LEMENTY MATRICY RASSEQNIQ RASSÓITYWA@TSQ
W DANNOM PRIBLIVENII S OPREDELENNOJ POGRE[NOSTX@, PREDSTAWLQ@TSQ PRAKTIÓESKI LIí
NEJNYMI FUNKCIQMI lg a=b (SM., NAPRIMER, RIS.6). pRI ``TOM ZAWISIMOSTX OT lg a=b (NAKLON
PRQMYH) QWLQETSQ WESXMA SLABOJ. tAK VE, KAK I DLQ SEÓENIJ, OBLASTX SUVAETSQ S ROSTOM
m (PRIMERNO OBRATNO PROPORCIONALXNO jm \Gamma 1j) I RAS[IRQETSQ PRI UWELIÓENII p -- DOPUSí
TIMOJ POGRE[NOSTI KAK p 1=2 (NAPRIMER, NA RIS.6 DLQ POGRE[NOSTI W 10% PREDELXNOE xV
UWELIÓIWAETSQ SU]ESTWENNO: S 0.1--0.2 DO ¦0.4--0.7).
tAKIM OBRAZOM, SRAWNENIE POLUÓENNYH REZULXTATOW S WYWODAMI RABOTY [10] POKAZYWAí
ET, ÓTO POSLEDNIE NE MOGUT BYTX AWTOMATIÓESKI RASPROSTRANENY I NA ``LEMENTY MATRICY
RASSEQNIQ. aNALOGIÓNO OBSTOIT DELO I S ODNORODNYMI ``LLIPSOIDAMI (TOÓNYMI SÓITALISX
REZULXTATY, POLUÓENNYE PRI POMO]I PROGRAMMY [18]). zDESX DAVE DLQ SEÓENIJ RASSEQNIQ
ZAWISIMOSTX POGRE[NOSTI PRIBLIVENIQ OT POKAZATELQ PRELOMLENIQ, ORIENTACII ÓASTICY
I T.D. BOLEE SLOVNA, ÓEM SFORMULIROWANNAQ DLQ SFEROIDOW W [10]. s DRUGOJ STORONY, NA[I
RASÓETY PODTWERVDA@T GLAWNYJ WYWOD RABOTY [10] O TOM, ÓTO TOÓNOSTX KWAZISTATIÓESKOGO
PRIBLIVENIQ, W OTLIÓIE OT DRUGIH PRIBLIVENIJ, PRAKTIÓESKI NE UMENX[AETSQ S ROSTOM
a=b.
pRI RASSMOTRENII PRIMENIMOSTI KWAZISTATIÓESKOGO PRIBLIVENIQ DLQ MNOGOSLOJNYH
ÓASTIC MY SRAWNIWALI EGO S NESKOLXKIMI TOÓNYMI RE[ENIQMI. w KAÓESTWE TAKOWYH BYLI
ISPOLXZOWANY MODIFICIROWANNAQ NAMI PROGRAMMA DLQ MNOGOSLOJNYH ``LLIPSOIDOW NA BAZE
METODA DISKRETNYH DIPOLEJ (Discrete Dipole Approximation, DDA) [18], A TAKVE RAZRABOí
TANNYE NAMI PROGRAMMY NA OSNOWE MODIFICIROWANNOGO METODA tíMATRIC DLQ MNOGOSLOJí
NYH NEKONFOKALXNYH OSESIMMETRIÓNYH ÓASTIC [14] I METODA RAZDELENIQ PEREMENNYH DLQ
DWUHSLOJNYH KONFOKALXNYH SFEROIDOW [15].
oB]EE ZAKL@ÓENIE PREDYDU]IH ISSLEDOWANIJ KWAZISTATIÓESKOGO PRIBLIVENIQ SOSTOí
IT W TOM, ÓTO DANNYJ PODHOD DAET UDOWLETWORITELXNYE REZULXTATY W [IROKOJ OBLASTI
IZMENENIQ PARAMETROW, ODNAKO LUÓ[E WSEGO ON GODITSQ DLQ SILXNO WYTQNUTYH ILI SPL@Sí
NUTYH ÓASTIC [8,10]. nA[I RASÓETY PODTWERVDA@T DANNYJ WYWOD I DLQ MNOGOSLOJNYH
``LLIPSOIDOW. rIS.6--7 ILL@STRIRU@T TOT FAKT, ÓTO KWAZISTATIÓESKOE PRIBLIVENIE POÓTI
WSEGDA DAET LUÓ[IE REZULXTATY PO SRAWNENI@ S PRIBLIVENIEM r``LEQ. dAVE W PROTIWOPOí
LOVNYH SITUACIQH (WOZMOVNYH PRI OTNO[ENIQH POLUOSEJ ß 2) KWAZISTATIKA DAET WPOLNE
PRIEMLEMYE REZULXTATY. o[IBKI W KWAZISTATIÓESKOM PRIBLIVENII OTLIÓA@TSQ OÓENX
PLAWNYM HODOM PO MERE UWELIÓENIQ RAZMERA ÓASTIC PO SRAWNENI@ S DLINOJ WOLNY. r``LEí
EWSKOE PRIBLIVENIE MOVET OKAZATXSQ NESKOLXKO LUÓ[E W OBLASTI, GDE PRIBLIVENNYE ZNAí
ÓENIQ NAÓINA@T UWELIÓIWATXSQ, PRIBLIVAQSX K TOÓNYM ZNAÓENIQM. pOSKOLXKU NARASTANIE
PROISHODIT DOSTATOÓNO BYSTRO (KAK PARABOLA ÓETWERTOGO PORQDKA), TO PODOBNAQ OBLASTX
NEWELIKA PO RAZMERAM. tOÓNOSTX KWAZISTATIÓESKOGO PRIBLIVENIQ W SREDNEM UWELIÓIWAí
ETSQ S ROSTOM OTNO[ENIQ POLUOSEJ ``LLIPSOIDOW I UMENX[ENIEM POKAZATELQ PRELOMLENIQ
DO EDINICY (T.E. DLQ MQGKIH ÓASTIC). oTMETIM, ÓTO W PRIBLIVENII r``LEQígANSA W NA[IH
RASÓETAH WSEGDA POLUÓALISX HUD[IE REZULXTATY.
iZ SRAWNENIQ SOOTNO[ENIJ (4) I (30) DLQ DIAGONALXNYH ``LEMENTOW TENZORA POLQRIZUEí
MOSTI W SLUÓAQH ODNORODNOGO I MNOGOSLOJNOGO ``LLIPSOIDOW LEGKO UWIDETX NOWOE PRAWILO W
8

TEORII ``FFEKTIWNOJ SREDY
'' eff = A 2 =A 1 : (28)
oTMETIM, ÓTO ODNORODNAQ ÓASTICA S ``FFEKTIWNOJ DI``LEKTRIÓESKOJ PRONICAEMOSTX@ STAí
NOWITSQ ANIZOTROPNOJ. pRI ``TOM WLIQNIE SOBSTWENNO ANIZOTROPII (ESLI TAKOWAQ SU]ESTí
WUET) I ANIZOTROPII FORMY ODINAKOWYM OBRAZOM SKAZYWAETSQ NA OPTIÓESKIH SWOJSTWAH
``LLIPSOIDALXNYH ÓASTIC. eSLI NAPRAWLENIE NAPRQVENNOSTI PADA@]EGO ``LEKTRIÓESKOGO
POLQ SOWPADAET S ODNOJ IZ OSEJ ``LLIPSOIDA, TO PRIMENENIE FORMULY (28) DOSTATOÓNO OÓEí
WIDNO. w PROTIWNOM SLUÓAE TREBUETSQ SOBL@DATX OPREDELENNU@ OSTOROVNOSTX I WYBIRATX
USREDNENNOE ZNAÓENIE ``FFEKTIWNOJ DI``LEKTRIÓESKOJ PRONICAEMOSTI (NAPRIMER, PROPORí
CIONALXNO KWADRATAM KOSINUSOW NAPRAWLQ@]IH UGLOW, SM. FORMULU (24)).
kAK WIDNO IZ RIS.7, DLQ MALYH ÓASTIC (x V ß 0:1) [IROKO ISPOLXZUEMOE PRIWILO bRUGí
GEMANA [2] IMEET WSEGDA SU]ESTWENNU@ O[IBKU (¦ 3%) W OTLIÓIE OT PRAWILA (28) (SRAW.
KRIWYE, POMEÓENNYE SVM I SVM+). pRIÓINA ``TOGO SOSTOIT W TOM, ÓTO PRAWILO bRUGGEMAí
NA I DRUGIE IZWESTNYE PRAWILA TEORII ``FFEKTIWNOJ SREDY USREDNQ@T DI``LEKTRIÓESKU@
PRONICAEMOSTX BEZ UÓETA WNUTRENNEJ STRUKTURY ÓASTICY, TOGDA KAK PRAWILO (28) UÓITYí
WAET STRUKTURU DOSTATOÓNO POLNO.
zakl`~enie
kWAZISTATIÓESKOE PRIBLIVENIE RASPROSTRANENO NA SLUÓAJ MNOGOSLOJNYH ``LLIPSOIí
DALXNYH ÓASTIC. wYRAVENIQ DLQ ``LEMENTOW AMPLITUDNOJ MATRICY RASSEQNIQ I SEÓENIJ
DANY KAK W OB]EM SLUÓAE, TAK I PRI RASPROSTRANENII PLOSKOJ WOLNY WDOLX ODNOJ IZ OSEJ
ÓASTICY.
iSSLEDOWANIE TOÓNOSTI I OBLASTI PRIMENIMOSTI KWAZISTATIÓESKOGO PRIBLIVENIQ IZ
RABOTY [10] DOPOLNENO OBSUVDENIEM POWEDENIQ ``LEMENTOW MATRICY RASSEQNIQ DLQ POGLOí
]A@]IH ÓASTIC.
rASÓETY, PROWEDENNYE DLQ ``LLIPSOIDOW POKAZALI, ÓTO KWAZISTATIÓESKOE PRIBLIVENIE
SU]ESTWENNO PREDPOÓTITELXNEE PRIBLIVENIJ r``LEQ I r``LEQígANSA, ESLI NAIBOLX[IJ RAZí
MER ODNORODNOJ ÓASTICY PREWY[AET NAIMENX[EJ BOLEE, ÓEM W ¦3 RAZA; dLQ MNOGOSLOJNOJ
ÓASTICY ANALOGIÓNOE USLOWIE NAKLADYWAETSQ NA GRANICY SLOQ, DA@]EGO OSNOWNOJ WKLAD
W OSLABLENIE IZUÓENIQ.
pREDLOVENO NOWOE PRAWILO TEORII ``FFEKTIWNOJ SREDY, KOTOROE QWLQETSQ SU]ESTWENNO
BOLEE TOÓNYM DLQ MNOGOSLOJNYH ``LLIPSOIDALXNYH ÓASTIC, MALYH PO SRAWNENI@ S DLINOJ
WOLNY PADA@]EGO IZLUÓENIQ, ÓEM IZWESTNYE PRAWILA.
dANNAQ RABOTA WYPOLNENA PRI FINANSOWOJ PODDERVKE PO PROGRAMME INTAS (GRANT
99/652).
spisok literatury
1. WAN DE h@LST g. rASSEQNIE SWETA MALYMI ÓASTICAMI. m., il, 1961.
2. bOREN k., hAFMEN d. rASSEQNIE I POGLO]ENIE SWETA MALYMI ÓASTICAMI. m., mIR, 1986.
3. wOLKOWICKIJ o.a., pAWLOWA l.n., pETRU[IN a.g. oPTIÓESKIE SWOJSTWA KRISTALLIÓESí
KIH OBLAKOW. lENINGRAD, gIDROMETEOIZDAT, 1984.
9

4. lOPATIN w.n., sIDXKO f.q. wWEDENIE W OPTIKU WZWESEJ KLETOK. nOWOSIBIRSK, nAUKA,
1988.
5. Burberg R. // Z. Naturforschg. 1956. V. 11a. N 10. P. 807.
6. --ATILOW a.w. // oPT. I SPEKTR. 1960. t. 9. N 1. s. 86.
7. hLEBCOW n.g. // oPT. I SPEKTR. 1979. t. 46. w. 2. s. 341.
8. fARAFONOW w.g. // oPT. I SPEKTR. 1990. t. 69. w. 4. s. 866.
9. fARAFONOW w.g. // oPT. I SPEKTR. 1994. t. 77. N 3. s. 455.
10. wO]INNIKOW n.w., fARAFONOW w.g. // oPT. I SPEKTR. 2000. t. 88. N 1. s. 78.
11. fARAFONOW w.g. // oPT. I SPEKTR. 2000. t. 88. N 3. s. 492.
12. fARAFONOW w.g. // oPT. I SPEKTR. 2001. t. 90. N 4. s. 646.
13. Draine B.T. // Astrophys.J. 1988. V. 333. P. 848.
14. fARAFONOW w.g. // oPT. I SPEKTR. 2001. t. 91. N 1. s. .
15. Farafonov V.G., Voshchinnikov N.V., Somsikov V.V. // Appl. Opt. 1996. V.35. N 27.
P.5412.
16. m``TX@Z dV., uOKER r.// mATEMATIÓESKIE METODY FIZIKI. m., aTOMIZDAT, 1972.
17. Voshchinnikov N.V., Farafonov V.G. // Astrophys. Space Sci. 1993. V.204. N 1. P.19.
18. Draine B.T., Flatau P.J. // Preprint Princeton Univ. Obs. 1999. N 785.
prilovenie. polqrizuemostx mnogoslojnyh ~astic
rASSMOTRIM N \GammaSLOJNU@ SOOSNU@ ``LLIPSOIDALXNU@ ÓASTICU, U KOTOROJ a l\Gamma1 ; b l\Gamma1 ; c l\Gamma1 I
a l ; b l ; c l -- POLUOSI ``LLIPSOIDOW, OBRAZU@]IH líJ SLOJ. uSLOWIE KONFOKALXNOSTI MOVNO ZAPISATX
SLEDU@]IM OBRAZOM:
a 2
l \Gamma a 2
l\Gamma1 = b 2
l \Gamma b 2
l\Gamma1 = c 2
l \Gamma c 2
l\Gamma1 ; l = 2; :::; N; (29)
PRI ``TOM OB]IJ CENTR SOWPADAET S NAÓALOM SISTEMY KOORDINAT (X; Y; Z). w ``TOM SLUÓAE TENZOR
POLQRIZUEMOSTI MNOGOSLOJNOJ ÓASTICY OSTAETSQ DIAGONALXNYM, I EGO KOMPONENTY WYÓISLQ@TSQ
PO FORMULAM R``LEEWSKOGO PRIBLIVENIQ [11]
~
ff j = V
A 2;j \Gamma A 1;j
(A 2;j \Gamma A 1;j )L (N)
j +A 1;j
; (30)
GDE V = 4‹ aN b N c N =3 -- OB×EM WSEJ ÓASTICY, L (N)
j -- EE GEOMETRIÓESKIE FAKTORY (SM. FíLU (5)).
wELIÓINY A 1;j I A 2;j OPREDELQ@TSQ MATRIÓNYM URAWNENIEM [11]
/
A 1;j
A 2;j
!
=
/ 1 L (N)
j
ffl N ffl N (L (N)
j \Gamma 1)
!
\Delta \Psi \Delta
/
(ffl 1 \Gamma 1)L (1)
j + 1
\Gamma(ffl 1 \Gamma 1)ffi 1
!
; (31)
GDE L (1)
j -- FAKTOR DLQ QDRA ÓASTICY, A MATRICA \Psi PREDSTAWLQETSQ W WIDE PROIZWEDENIQ KWADRATNYH
MATRIC 2\Theta2
\Psi = \Pi N \Gamma1
l=2 \Gamma l ; (32)
10

\Gamma l =
/ (ffl l \Gamma 1)L (l)
j + 1 ffl l \Gamma1
ffi l
L (l)
j (L (l)
j \Gamma 1)
\Gamma(ffl l \Gamma 1)ffi l \Gamma (ffl l \Gamma 1)(L (l)
j \Gamma 1) + 1
!
: (33)
wY[E ffl l = '' l ='' l+1 -- OTNOSITELXNYE DI``LEKTRIÓESKIE PRONICAEMOSTI, ffi l = (a l b l c l )=(a N b N c N ) --
OTNO[ENIE OB×EMA jíGO ``LLIPSOIDA K OB×EMU ÓASTICY (j = 1; :::; N ).
pRI NEWYPOLNENII USLOWIQ (29) KAVDU@ NEKONFOKALXNU@ OBOLOÓKU RAZBIWAEM NA SOWOKUPí
NOSTX 2n TONKIH PODSLOEW [12]. pUSTX WEKTOR NAPRQVENNOSTI ``LEKTRIÓESKOGO POLQ NAPRAWLEN
WDOLX OSI Z (T.E. j = 3). wWEDEM DOPOLNITELXNYE OBOZNAÓENIQ (RADI PROSTOTY ZAPISI WPLOTX DO
FORMULY (39) SÓITAEM, ÓTO INDEKSOM 1 OBOZNAÓAETSQ WNUTRENNQQ, A INDEKSOM 2 WNE[NQQ OBOLOÓKA
SLOQ)
~ a 2
1;i+1 = a 2
1;i + \Deltac 2 =2n; ~ a 2
2;i+1 = a 2
2;i \Gamma \Deltac 2 =2n;
~ b 2
1;i+1 = b 2
1;i + \Deltac 2 =2n; ~ b 2
2;i+1 = b 2
2;i \Gamma \Deltac 2 =2n;
~ c 2
1;i+1 = c 2
1;i + \Deltac 2 =2n; ~ c 2
2;i+1 = c 2
2;i \Gamma \Deltac 2 =2n;
(34)
PRI ``TOM GEOMETRIÓESKIE FAKTORY WYÓISLQ@TSQ PO FORMULAM (i = 1; 2; :::; n)
L (1;i)
z = a 1;i b 1;i c 1;i
2 G(a 1;i ; b 1;i ; c 1;i ; 0);
~
L (1;i)
z = ~ a 1;i
~ b 1;i ~ c 1;i
2 G(~a 1;i ; ~ b 1;i ; ~ c 1;i ; 0):
(35)
wSPOMOGATELXNYE MATRICY IMEET WID
\Omega =
\Theta
(a 2
1 \Gamma c 2
1 )(b 2
1 \Gamma c 2
1 )
\Lambda 1=2
\Theta
(a 2
2 \Gamma c 2
2 )(b 2
2 \Gamma c 2
2 )
\Lambda 1=2 \Delta \Lambda 2;n \Delta
/
1 ~
ffi \Gamma1
1;n+1 ( ~
L (1;n+1)
z \Gamma ~
L (2;n+1)
z )
0 ~
ffi \Gamma1
1;n+1
~ ffi 2;n+1
!
\Delta \Lambda 1;n ; (36)
\Lambda 1;n =
/ 1
P n
i=2
i
\Pi i\Gamma1
j=2
~
ffi \Gamma1
1;j ffi 1;j
j
~
ffi \Gamma1
1;i ( ~
L (1;i)
z \Gamma L (1;i)
z )
0 \Pi n
i=2
~ ffi \Gamma1
1;i ffi 1;i
!
; (37)
\Lambda 2;n =
/ 1
P n
i=2
i
\Pi n
j=i+1
~ ffi 2;j ffi \Gamma1
2;j
j
ffi \Gamma1
2;i (L (2;i)
z \Gamma ~
L (2;i)
z )
0 \Pi n
i=2
~
ffi 2;i ffi \Gamma1
2;i
!
: (38)
w PRIWEDENNYH WY[E FORMULAH WWEDENY OTNO[ENIQ OB×EMOW RAZLIÓNYH ``LLIPSOIDOW
~
ffi 1;j = ~ a 1;j
~ b 1;j ~ c 1;j
a 2 b 2 c 2
; ~ ffi 2;j = ~ a 2;j
~ b 2;j ~ c 2;j
a 2 b 2 c 2
;
ffi 1;j = a 1;j b 1;j c 1;j
a2 b2 c2 ; ffi 2;j = a 2;j b 2;j c 2;j
a2 b2 c2 :
(39)
oKONÓATELXNO, DLQ NEKONFOKALXNYH SOOSNYH ``LLIPSOIDOW MATRICA \Psi PREDSTAWLQETSQ W WIDE
PROIZWEDENIQ MATRIC 2\Theta2 (SM. PODROBNEE [12])
\Psi = \Pi N \Gamma1
l=2(\Omega l \Gamma l )
\Delta\Omega 1 : (40)
oÓEWIDNO, ÓTO DLQ KONFOKALXNYH
``LLIPSOIDOW\Omega l = I FORMULA (40) PEREHODIT W FORMULU (32).
zAMETIM, ÓTO PRIWEDENNYE WY[E SOOTNO[ENIQ MOVNO ZAPISATX W REKURSIWNOJ FORME
\Psi (N+1)
=(\Omega N \Gamma N ) \Delta \Psi (N) ; (41)
/
A N+1
1;j
A N+1
2;j
!
=
/
1 L (N+1)
j
~ ffl N+1 ~ ffl N+1 (L (N+1)
j \Gamma 1)
!
\Delta(\Omega N \Gamma N ) \Delta
/
1 \Gamma L (N)
j
L (N)
j
~ ffl N
1 1
~ ffl N
!
\Delta
/
A N
1;j
A N
2;j
!
; (42)
GDE ~ ffl N+1 = '' N+1 , ~ ffl N = '' N (POKAZATELX PRELOMLENIQ OKRUVA@]EJ SREDY SÓITALSQ RAWNYM 1).
11

pODPISI POD RISUNKAMI K STATXE fARAFONOWA I DR.
''rASSEQNIE SWETA ODNORODNYMI I MNOGOSLOJNYMI ``LLIPSOIDAMI ...''
rIS.1 oTNOSITELXNAQ O[IBKA ``LEMENTA F 11 , WYÓISLQEMOGO W RAMKAH KWAZISTATIÓESKOGO PRIí
BLIVENIQ DLQ WYTQNUTYH SFEROIDOW S POKAZATELEM PRELOMLENIQ m = 1:7 + 0:01i I
RAZLIÓNYM OTNO[ENIEM POLUOSEJ: 1 -- a=b = 2; 2 -- a=b = 4; 3 -- a=b = 10; 4 -- a=b = 25;
5 -- a=b = 100. dIFFRAKCIONNYJ PARAMETR V =0.1, SMYSL OSTALXNYH PARAMETROW
POQSNEN W TEKSTE.
rIS.2 tO VE, ÓTO NA RIS.1, NO DLQ POKAZATELQ PRELOMLENIQ m = 3 + 4i.
rIS.3 tO VE, ÓTO NA RIS.1, NO DLQ SPL@SNUTYH SFEROIDOW.
rIS.4 tO VE, ÓTO NA RIS.3, NO DLQ POKAZATELQ PRELOMLENIQ m = 3 + 4i.
rIS.5 zNAÓENIQ PARAMETRA xV , PRI KOTORYH ``LEMENTY F 11 I POLQRIZACIQ P = F 21 =F 11 DLQ
WYTQNUTYH SFEROIDOW RASSÓITYWA@TSQ W KWAZISTATIÓESKOM PRIBLIVENII S POGRE[í
NOSTX@ 1%. zNAÓKAMI OBOZNAÓENY NAJDENNYE WELIÓINY xV P