Äîęóěĺíň âç˙ň čç ęýřŕ ďîčńęîâîé ěŕřčíű. Ŕäđĺń îđčăčíŕëüíîăî äîęóěĺíňŕ : http://www.astro.spbu.ru/staff/ilin2/INTAS/P3-SPB1/PUBL/TEXT/f-os3.ps Äŕňŕ čçěĺíĺíč˙: Fri Nov 19 16:17:33 2010 Äŕňŕ číäĺęńčđîâŕíč˙: Tue Oct 2 05:55:30 2012 Ęîäčđîâęŕ: ISO8859-5 Ďîčńęîâűĺ ńëîâŕ: ď ď ď ď ď ď ď ď ď ď ď ď ď ď ď ď ď

NOVOE REKURSIVNOE REXENIE ZADAQI RASSE?NI?
\LambdaLEKTROMAGNITNOGO IZLUQENI? MNOGOSLO $
INYMI
SFEROIDAL?NYMI QASTICAMI
c
fl 2000 g. V. G. Farafonov \Lambda
\Lambda Gosudarstvenny$i universitet affrokosmiqeskogo priborostroenič,
Sankt-Peterburg, Rossič
Postupila v redakciČ 31.08.2000 g.
V rabote postroen novy$i rekursivny$i algoritm rexenič zadaqi rassečnič proizvol~-
no polčrizovanno$i plosko$i fflektromagnitno$i volny mnogoslo$inymi konfokal~nymi
sferoidal~nymi qasticami. Danny$i podhod sohrančet preimuwestva dvuh metodov,
predloďennyh ranee avtorom dlč odnorodnyh i dvuhslo$inyh sferoidov (special~ny$i
vybor skalčrnyh potencialov, ispol~zovanie v kaqestve bazisnyh volnovyh sferoi-
dal~nyh funkci$i), a takďe dlč odnorodnyh osesimmetriqnyh qastic (formulirovka
zadaqi v vide poverhnostnyh integral~nyh uravneni$i, opredelenie potencialov iz-
luqenič vnutri qasticy po potencialom padaČwego izluqenič, a zatem opredelenie
potencialov rassečnnogo izluqenič po potencialam izluqenič vnutri qasticy). V
sluqae mnogoslo$inyh qastic v kaďdo$i oboloqke sootvetstvuČwie potencialy pred-
stavlčČsč v vide summy dvuh slagaemyh. Pervoe iz nih obladaet svo$istvami pada-
Čwego izluqenič (otsutstvuČt osobennosti vnutri oblasti, ograniqenno$i vnexne$i
granice$i oboloqki), vtoroe -- rassečnnogo izluqenič (vypolnčČtsč uslovič izluqenič
na beskoneqnosti). V rezul~tate pri perehode ot odnogo sloč qasticy k sleduČwemu
(v napravlenii ot čdra k vnexne$i oboloqke) ne proishodit uveliqenič razmernosti
reducirovannyh line$inyh matriqnyh uravneni$i otnositel~no neizvestnyh koffffi-
cientov razloďeni$i potencialov rassečnnogo izluqenič po sravneniČ so sluqaem
odnorodnogo sferoida. Otmetim čsnost~ i prostotu (naskol~ko ffto vozmoďno pri
rassmotrenii tako$i sloďno$i zadaqi) predloďennogo algoritma. V sluqae sferiqes-
kih mnogoslo$inyh qastic rexenie predstavlčetsč v čvnom vide.
VVEDENIE
Iz vseh koneqnyh nesferiqeskih qastic vytčnutye i splČsnutye sferoidy (ffllip-
soidy vrawenič) predstavlčČt naibol~xi$i interes. S odno$i storony, oni imeČt ka-
noniqeskuČ formu, i skalčrnoe volnovoe uravnenie dopuskaet razdelenie peremennyh v
sferoidal~nyh koordinatah. S drugo$i storony, imi moďno dostatoqno horoxo approk-
simirovat~ real~nye qasticy [1-3]. V nastočwee vremč zadaqa rassečnič sveta dvuh-
slo$inymi sferoidami rexaetsč libo metodom razdelenič peremennyh (t.e. ispol~zuč v
kaqestve bazisnyh volnovye sferoidal~nye funkcii) [4-7], libo metodom T-matric [8-9]
1

(sm takďe monografiČ [10]). Pri pervom podhode vaďnuČ rol~ igraet vybor skalčr-
nyh potencialov ili, qto ffkvivalentno, vektornyh volnovyh sferoidal~nyh funkci$i.
V de$istvitel~nosti, imenno fftim otliqaČtsč drug ot druga razliqnye shemy metoda
razdelenič peremennyh. Naibolee polno analitiqeski issledovannym [11] i naibolee
ffffektivnym s vyqislitel~no$i toqki zrenič [7,12] čvlčetsč rexenie, predloďennoe na-
mi [7]. Nedavno [13] byla predprinčta popytka, na nax vzglčd neudaqnač, postroit~
rekursivnoe rexenie rassmatrivaemo$i zadaqi, baziruČweesč na fftom rexenii. Pri
fftom ispol~zovalas~ metodika postroenič rekursivnogo rexenič dlč mnogoslo$inyh xa-
rov [14]. V rezul~tate avtorami ffto$i stat~i bylo poluqeno ves~ma sloďnoe neline$inoe
matriqnoe uravnenie dlč neizvestnyh kofffficientov razloďeni$i potencialov rassečn-
nogo izluqenič.
V danno$i rabote rassmatrivaetsč rassečnie proizvol~no polčrizovanno$i plosko$i
volny mnogoslo$inymi sferoidal~nymi qasticami. Obwač zadaqa rassečnič rexaetsč
posledovatel~no: snaqala osesimmetriqnač zadaqa dlč pervyh qaste$i fflektromagnitnyh
pole$i, ne zavisčwih ot azimutal~nogo ugla (nulevyh slagaemyh rčdov Fur~e), zatem --
neosesimmetriqnač zadaqa dlč vtoryh qaste$i, usrednenie kotoryh po fftomu uglu ravno
nulČ (summ ostal~nyh slagaemyh rčdov Fur~e). Kak v pervom, tak i vo vtorom sluqae
zadaqi formuliruČtsč v vide poverhnostnyh integral~nyh uravneni$i otnositel~no spe-
cial~no vybrannyh skalčrnyh potencialov [15,16]. V osesimmetriqno$i zadaqe takimi
potencialami sluďat, po suwestvu, azimutal~nye komponenty fflektromagnitnyh pole$i.
V neosesimmetriqno$i zadaqe v kaqestve skalčrnyh potencialov vybiraČtsč superpo-
zicii vertikal~nogo (vdol~ osi vrawenič qasticy) komponenta magnitnogo ili fflek-
triqeskogo vektora Gerca i sootvetstvuČwego potenciala Debač (r-komponenta vektora
Gerca, umnoďennogo na modul~ radius-vektora). Pri tako$i postanovke zadaq rassečnič
potencialy posleduČwego sloč vyraďaČtsč qerez potencialy predyduwego, naqinač s
čdra qasticy. Vybrannye potencialy predstavlčČtsč v vide razloďeni$i po skalčrnym
volnovym sferoidal~nym funkcičm. V rezul~tate algebraizacii integral~nyh uravne-
ni$i poluqaem line$inye matriqnye uravnenič otnositel~no neizvestnyh kofffficientov
razloďeni$i potencialov rassečnnogo izluqenič. Vaďno, qto razmernost~ fftih useqen-
nyh sistem dlč mnogoslo$inyh sferoidov ne uveliqivaetsč po sravneniČ s useqennymi
sistemami uravneni$i dlč odnorodnyh qastic. Pri perehode k mnogoslo$inym koncentri-
qeskim xaram matriqnye uravnenič rexaČtsč v čvnom vide.
Takim obrazom, predlagaemy$i rekursivny$i algoritm rexenič zadaqi rassečnič fflek-
tromagnitnogo izluqenič mnogoslo$inymi sferoidami baziruetsč na metode razdelenič
peremennyh [11, 6,7] i nedavno predloďennom integral~nom metode dlč aksial~no sim-
metriqnyh qastic [15,16]. Ispol~zovanie volnovyh sferoidal~nyh funki$i v kaqestve
bazisnyh obuslovleno tem, qto v fftom sluqae naibolee polno uqityvaetsč geometrič
rassmatrivaemo$i zadaqi. Ishodč iz obxirno$i praktiki rasqetov optiqeskih svo$istv
odnorodnyh i dvuhslo$inyh sferoidal~nyh qastic [7,12,17-20], moďno predpoloďit~, qto
oblast~ primenimosti dannogo rekursivnogo rexenič dostatoqno xiroka. \Lambdato kasaetsč
kak pokazatele$i prelomlenič i poglowenič vewestv čdra i oboloqek, tak i geometriqes-
kih parametrov, opredelčČwih razmer i formu qastic. Otmetim, qto v danno$i rabote
rassmatrivaetsč tol~ko konfokal~nye (sofokusnye) mnogoslo$inye sferoidal~nye qas-
ticy.
2

1. ISHODNA? POSTANOVKA ZADAQI
Vvedem dekartovuČ sistemu koordinat (x; y; z) takim obrazom, qtoby os~ z sovpadala
s os~Č vrawenič qasticy. Narčdu s dekartovo$i vvedem sferoidal~nuČ sistemu (Č; j; '),
koordinaty kotoro$i svčzany s dekartovymi sleduČwim obrazom [21]:
x = d
2 (Č 2 \Upsilon f) 1=2 (1 \Gamma j 2 ) 1=2 cos ';
y = d
2 (Č 2 \Upsilon f) 1=2 (1 \Gamma j 2 ) 1=2 sin '; (1)
z = d
2 Čj;
gde f = 1, Č 2 [1, 1), j 2 [--1, 1], ' 2 [0, 2ď) dlč vytčnutyh i f = \Gamma1, Č 2 [0, 1), j 2
[--1, 1], ' 2 [0, 2ď) dlč splČsnutyh koordinat; d -- fokusnoe rasstočnie. Predpolagaet-
sč, qto qastica čvlčetsč konfokal~no$i (sofokusno$i), t.e. poverhnosti sloev čvlčČtsč
koordinatnymi, a ih uravnenič moďno zapisat~ v vide
Č = Č j ; (2)
gde j = 1; 2; :::; J, pri fftom znaqenie indeksa j = 1 sootvetstvuet vnexne$i granice qas-
ticy, a j = J -- granice ee čdra. Dlč takih qastic bol~xie a j i men~xie b j poluosi
sferoidov, obrazuČwih oboloqki, udovletvorčČt sleduČwim uslovičm:
a 2
1 \Gamma b 2
1 = a 2
2 \Gamma b 2
2 = ::: = a 2
J \Gamma b 2
J =
` d
2
' 2
: (3)
Oboznaqim qerez ~
E (j) , ~
H (j) naprčďennosti fflektriqeskogo i magnitnogo pole$i v j-m
sloe s difflektriqesko$i i magnitno$i pronicaemostčmi '' j i ? j , k j = p '' j \Delta ? j \Delta k 0 -- vol-
novoe qislo v j-sloe ( k 0 = !=c -- volnovoe qislo v svobodnom prostranstve, ! -- qastota
izluqenič, c -- skorost~ sveta v vakuume). Znaqenie indeksa j = 1 sootvetstvuet srede
vne qasticy (otmetim, qto ~
E (0) , ~
H (0) i ~
E (1) , ~
H (1) -- fflektromagnitnye polč padaČwego
i rassečnnogo izluqeni$i), j = 2 -- vnexne$i oboloqke i t.d., j = (J + 1) -- čdru J-slo$ino$i
qasticy.
Proizvol~no polčrizovannač ploskač fflektromagnitnač volna, padaČwač pod uglom
ff k osi vrawenič qasticy, moďet byt~ predstavlena v vide superpozicii voln dvuh
tipov:
a) volna TE tipa
~
E (0) = \Gamma ~
i y exp [ik 1 (x sin ff + z cos ff)] ;
~
H (0) =
q '' 1
? 1
i
~
i x cos ff \Gamma ~
i z sin ff
j
exp [ik 1 (x sin ff + z cos ff)] ;
(4)
b) volna TM tipa
~
E (0) =
i
~
i x cos ff \Gamma ~
i z sin ff
j
exp [ik 1 (x sin ff + z cos ff)] ;
~
H (0) =
q '' 1
? 1
~ i y exp [ik 1 (x sin ff + z cos ff)] ;
(5)
3

gde ( ~
i x ; ~ i y ; ~
i z ) - orty dekartovo$i sistemy koordinat. Predpolagaetsč, qto zavisimost~
fflektromagnitnyh pole$i ot vremeni zadaetsč mnoďitelem exp(\Gammai!t).
Ranee [15] bylo pokazano, qto dlč osesimmetriqnyh qastic zadaqa rassečnič rexaet-
sč nezavisimo dlč kaďdogo slagaemogo rčda Fur~e vektorov ~
E (j) ; ~
H (j) po azimutal~nomu
uglu '. Predstavim vse fflektromagnitnye polč v vide
~
E (j) = ~
E (j)
1 + ~
E (j)
2 ; ~
H (j) = ~
H (j)
1 + ~
H (j)
2 ; j = 0; :::; J; (6)
gde ~
E (j)
1 ; ~
H (j)
1 ne zavisčt ot azimutal~nogo ugla ', a usrednenie ~
E (j)
2 ; ~
H (j)
2 po fftomu uglu
ravno nulČ. Niďe osesimmetriqnač zadaqa dlč pole$i ~
E (j)
1 ; ~
H (j)
1
i neosesimmetriqnač
zadaqa dlč pole$i ~
E (j)
2 ; ~
H (j)
2 rexaČtsč nezavisimo drug ot druga.
2. REXENIE OSESIMMETRIQNO $
I ZADAQI
Vvedem skalčrnye potencialy
p (j) = E (j)
1' cos '; q (j) = H (j)
1' cos '; (7)
gde E (j)
1' ; H (j)
1' - '-komponenty vektorov ~
E (j)
1 ; ~
H (j)
1 (j = 0; :::; J). Esli isklČqit~ mnoďitel~
cos ', ffti potencialy s toqnost~Č do mnoďitelč h ' = d
2
p
(Č 2 \Gamma f)(1 \Gamma j 2 ) sovpadaČt s po-
tencialami Abragama [6-7]. Iz uravneni$i Maksvella sleduet, qto skalčrnye potencialy
udovletvorčČt volnovomu uravneniČ
\Deltap (j) + k 2
j p (j) = 0; \Deltaq (j) + k 2
j q (j) = 0; (8)
a ostal~nye sostavlčČwie fflektromagnitnyh pole$i vyraďaČtsč qerez ih azimutal~nye
komponenty sleduČwim obrazom:
H (j)
r = 1
i? j k 0 h j h '
@(h ' E (j)
' )
@j
; H (j)
` = \Gamma1
i? j k 0 h Č h '
@(h ' E (j)
' )
@Č
;
E (j)
r = \Gamma1
i'' j k 0 h j h '
@(h ' H (j)
' )
@j
; E (j)
` = 1
i'' j k 0 h Č h '
@(h ' H (j)
' )
@Č
: (9)
gde
h Č = d
2
s
Č 2 \Gamma fj 2
Č 2 \Gamma f ; h j = d
2
s
Č 2 \Gamma fj 2
1 \Gamma j 2 ; h ' = d
2
q
(Č 2 \Gamma f)(1 \Gamma j 2 ) (10)
-- metriqeskie kofffficienty v sferoidal~no$i sisteme koordinat [21].
Graniqnye uslovič (ravenstvo tangencial~nyh komponentov fflektromagnitnyh pole$i
na granicah razdelov sred) v sluqae TE mody (4) imeČt vid (sm. vyraďenič (7),(9))
p (j) = p (j+1) ;
@
h p
Č 2 \Gammaf p (j)
i
@Č = ? j
? j+1
@
h p
Č 2 \Gammaf p (j+1)
i
@Č ;
q (j) = q (j+1) ;
@
h p
Č 2 \Gammaf q (j)
i
@Č = '' j
'' j+1
@
h p
Č 2 \Gammaf q (j+1)
i
@Č ;
9 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? =
? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ;
Č=Č j
(11)
4

gde j = 1; 2; :::; J. V pervo$i pare uravneni$i pod p (1) i q (1) sleduet ponimat~ ( p (0) + p (1) )
i ( q (0) + q (1) ) -- summu potencialov padaČwego i rassečnnogo izluqeni$i.
Uravnenič (11) nuďno perepisat~ takim obrazom, qtoby v levo$i qasti nahodilis~
tol~ko sami potencialy i ih normal~nye proizvodnye:
p (j) = p (j+1) ;
@p (j)
@n = ? j
? j+1
@p (j+1)
@n + ( ? j
? j+1
\Gamma 1) Č
d=2
p
(Č 2 \Gammaf )(Č 2 \Gammaf j 2 )
p (j+1) ;
q (j) = q (j+1) ;
@q (j)
@n = '' j
'' j +1
@q (j+1)
@n + ( '' j
'' j+1
\Gamma 1) Č
d=2
p
(Č 2 \Gammaf )(Č 2 \Gammaf j 2 )
p (j+1) ;
9 ? ? ? ? ? ? ? ? =
? ? ? ? ? ? ? ? ;
Č=Č j
(12)
gde bylo uqteno pervoe iz sootnoxeni$i
@
@n
= 2
d
s
Č 2 \Gamma f
Č 2 \Gamma fj 2
@
@Č
; dS =
` d
2
' 2 q
(Č 2 \Gamma f)(Č 2 \Gamma fj 2 ) djd': (13)
Otmetim,qto osesimmetriqnač zadaqa rexaetsč nezavisimo dlč potencialov p i q (t.e.
dlč voln TE i TM tipov).
Dalee sformuliruem zadaqu v vide poverhnostnyh integral~nyh uravneni$i. Ska-
lčrny$i potencial p (0) dlč padaČwego izluqenič udovletvorčet volnovomu uravneniČ
(8) vnutri qasticy, t.e. v oblasti D 1 , ograniqenno$i poverhnost~Č S 1 , i ne imeet tam
osobennoste$i, pofftomu dlč nego spravedlivy sleduČwie sootnoxenič [22]:
Z
S 1
/
p (0) (~r 0 ) @G 1
@n 0 \Gamma @p (0) (~r 0 )
@n 0 G 1
!
dS 0 =
8 ? !
? :
\Gammap (0) (~r); ~r 2 D 1 ;
0; ~r 2 R 3 n ?
D 1 ;
(14)
gde
G j = G(k j ; ~r; ~r 0 ) = exp ik j j~r \Gamma ~r 0 j
4ďj~r \Gamma ~r 0 j (15)
- funkcič Grina volnovogo uravnenič s volnovym qislom k j .
Skalčrny$i potencial p (1) dlč rassečnnogo izluqenič udovletvorčet uravneniČ Gel~-
mgol~ca vne qasticy, t.e. v oblasti (R 3 n ?
D 1 ), i usloviČ izluqenič na beskoneqnosti
(r !1)
lim r
/
@p (1) (~r)
@r
\Gamma ik 1 p (1) (~r)
!
= 0; (16)
pofftomu dlč nego spravedlivy sootnoxenič [22]
Z
S 1
/
p (1) (~r 0 ) @G 1
@n 0 \Gamma @p (1) (~r 0 )
@n 0 G 1
!
dS 0 =
8 ? !
? :
0; ~r 2 D 1 ;
p (1) (~r); ~r 2 R 3 n ?
D 1 :
(17)
Skalčrny$i potencial p (j) izluqenič v (j \Gamma 1)-$i oboloqke qasticy moďno predstavit~ v
vide
p (j) = p (j)
1 + p (j)
2 ; (18)
5

gde p (j)
1 - ne imeet osobennoste$i v oblasti D j \Gamma1 (sledovatel~no, i v oblasti D j , ogra-
niqenno$i poverhnost~Č S j ) i dlč nego spravedlivo sootnoxenie (14) pri zamene S 1 !
S j ; D 1 ! D j ; G(k 1 ; ~r; ~r 0 ) ! G(k j ; ~r; ~r 0 ). Potencial p (j)
2 udovletvorčet usloviČ izlu-
qenič (16) (pri zamene k 1 ! k j ) i dlč nego spravedlivo sootnoxenie (17) pri zamene
S 1 ! S j ; D 1 ! D j ; G(k 1 ; ~r; ~r 0 ) ! G(k j ; ~r; ~r 0 ). Otmetim, qto v čdre potencial izluqenič
p (J+1) = p (J+1) 1 t.e.p (J+1)
2 = 0.
Skladyvač sootnoxenič (14) i (17), a takďe sootvetstvuČwie sootnoxenič dlč po-
tencialov p (j)
1 i p (j)
2 , s uqetom graniqnyh uslovi$i (12) i sootnoxeni$i (13) poluqim
d
2 (Č 2
j \Gamma f)
Z 2ď
0
Z ď
0
(
p (j+1)
\Gamma
~r 0 \Delta @G j
@Č 0 \Gamma
''
? j
? j+1
@p (j+1) (~r 0 )
@Č 0 +
/
? j
? j+1
\Gamma 1
!
\Delta Č j
(Č 2
j \Gamma f)
p (j+1)
\Gamma
~r 0 \Delta #
G j
)
dj 0 d' 0 =
8 ? !
? :
\Gammap (j)
1 (~r); ~r 2 D j ;
p (j)
2 (~r); ~r 2 R 3 n ?
D j ;
(19)
gde Č 0 = Č j , j = 1; 2; :::; J i, radi prostoty zapisi, vvedeny novye oboznaqenič dlč
potencialov padaČwego i rassečnnogo izluqeni$i: p (1)
1 = p (0) i p (1)
2 = p (1) .
Itak, my poluqili 2J integral~nyh uravnenič dlč opredelenič 2J neizvestnyh po-
tencialov p (1) ; p (2)
1 ; p (2)
2 ; :::; p (J)
1 ; p (J)
2 ; p (J+1) .
Dlč potencialov q (j) analogiqnye uravnenič poluqaČtsč posle zameny ? j ! '' j .
Skalčrnye potencialy predstavlčČtsč v vide razloďeni$i po volnovym sferoidal~-
nym funkcičm [6-7]
p (j)
1
q (j)
1
=
1
X
l=1
a (j)
l;1
b (j)
l;1
R (1)
1l (c j ; Č) S 1l (c j ; j) cos '; (20)
p (j)
2
q (j)
2
=
1
X
l=1
a (j)
l;2
b (j)
l;2
R (3)
1l (c j ; Č) S 1l (c j ; j) cos '; (21)
gde dlč volny TE tipa kofffficienty razloďeni$i predstavlčČtsč v vide
a (1)
l;1 = \Gamma2i l N \Gamma2
1l (c 1 ) S 1l (c 1 ; cos ff) cos ';
b (1)
l;1 = 0;
(22)
a dlč volny TM tipa (sm. vyraďenič (4) i (5))
a (1)
l;1 = 0;
b (1)
l;1 = 2
q '' 1
? 1
ae l N \Gamma2
1l (c 1 ) S 1l (c 1 ; cos ff) cos ':
(23)
Zdes~ R (1);(3)
ml (c; Č) -- vytčnutye radial~nye sferoidal~nye funkcii pervogo i tret~ego
roda, S ml (c; j) -- vytčnutye uglovye sferoidal~nye funkcii s normirovoqnym mnoďite-
lem N ml (c) [21], parametr c = k d
2
.
6

Dlč funkcii Grina imeet mesto sleduČwee razloďenie po volnovym sferoidal~nym
funkcičm [21]:
G(k j ; ~r; ~r 0 ) = ik j
2ď
1
X
m=0
1
X
l=m
(2 \Gamma ffi 0m ) N \Gamma2
ml (c j ) R (1)
ml (c j ; Č ! ) R (3)
ml (c j ; Č ? ) \Delta
\DeltaS ml (c j ; j) S ml (c j ; j) cos m(' \Gamma ' 0 ); (24)
gde
ffi 0m =
(
1; m = 0;
0; m 6= 0; (25)
Č ! = min(Č; Č 0 ); Č ? = max(Č; Č 0 ):
Podstavim razloďenič (20) -(21) i (24) v integral~nye uravnenič (19). Uqityvač
svo$istva ortogonal~nosti uglovyh sferoidal~nyh funkci$i S ml (c; j) cos m' na poverhnos-
ti lČbogo sferoida, poluqim uravnenič dlč opredelenič neizvestnyh kofffficientov
razloďeni$i iskomyh potencialov. V matriqno$i forme oni mogut byt~ zapisany sledu-
Čwim obrazom:
~z (j)
1 = \Gamma
i
A (j)
31 ~z (j+1)
1 +A (j)
33 ~z (j+1)
2
j
;
~z (j)
2 = A (j)
11 ~z (j+1)
1 + A (j)
13 ~z (j+1)
2 ;
9 ? ? =
? ? ;
(26)
gde
A (j)
31 = W j
(
R 3;j \Delta (1)
j;j+1 \Gamma ? j
? j+1
\Delta (1)
j;j+1 R 1;j+1 \Gamma
/
? j
? j+1
\Gamma 1
!
Č j
Č 2
j \Gamma f
\Delta (1)
j;j+1
)
P (j)
1 ; (27)
A (j)
33 = W j
(
R 3;j \Delta (1)
j;j+1 \Gamma ? j
? j+1
\Delta (1)
j;j+1 R 3;j+1 \Gamma
/
? j
? j+1
\Gamma 1
!
Č j
Č 2
j \Gamma f
\Delta (1)
j;j+1
)
P (j)
3 ; (28)
A (j)
11 = W j
(
R 1;j \Delta (1)
j;j+1 \Gamma ? j
? j+1
\Delta (1)
j;j+1 R 1;j+1 \Gamma
/
? j
? j+1
\Gamma 1
!
Č j
Č 2
j \Gamma f
\Delta (1)
j;j+1
)
P (j)
1 ; (29)
A (j)
13 = W j
(
R 1;j \Delta (1)
j;j+1 \Gamma ? j
? j+1
\Delta (1)
j;j+1 R 3;j+1 \Gamma
/
? j
? j+1
\Gamma 1
!
Č j
Č 2
j \Gamma f
\Delta (1)
j;j+1
)
P (j)
3 : (30)
Vyxe vvedeny vektory ~z (j)
1 =
n
z (j)
l;1
o 1
1
; ~z (j)
2 =
n
z (j)
l;2
o 1
1
;
z (j)
l;1 = a (j)
l;1 R (1)
1l (c j ; Č j )N 1l (c j ); z (j)
l;2 = a (j)
l;2 R (3)
1l (c j ; Č j )N 1l (c j ) (31)
i diagonal~nye matricy
R i;j =
ae
R (i)
ml
0
(c j ; Č j )=R (i)
ml (c j ; Č j )ffi nl
oe 1
m
;
R i;j+1 =
ae
R (i)
ml
0
(c j+1 ; Č j )=R (i)
ml (c j+1 ; Č j )ffi nl
oe 1
m
;
W j = \Gamma [R 3;j \Gamma R 1;j ] \Gamma1 =
n
ic j (Č 2
j \Gamma f) R (1)
ml (c j ; Č j ) R (3)
ml (c j ; Č j ) ffi nl
o 1
m
;
P j
i =
n
R (i)
ml (c j+1 ; Č j )=R (i)
ml (c j+1 ; Č j+1 )ffi nl
o 1
m
:
(32)
7

\Lambdalementy matric \Delta (m)
i;j =
n
ffi (m)
nl (c i ; c j )
o 1
m
predstavlčČt sobo$i integraly ot proizvede-
nič uglovyh sferoidal~nyh funkci$i, kotorye privedeny v Priloďenii. Pri vyvode
tret~e$i formuly (32) bylo uqteno vyraďenie dlč vronskiana radial~nyh sferoidal~-
nyh funkci$i [21]. Niďnie indeksy matric pokazyvaČt, kakogo roda radial~nye funkcii
vhodčt v ih vyraďenič (sm. (27)-(30)).
Sistema uravneni$i (26) legko rexaetsč otnositel~no kofffficientov razloďeni$i po-
tenciala rassečnnogo izluqenič
~z (1) = A 2 \Delta (A 1 ) (\Gamma1) ~z (0) ; (33)
gde matricy A 1 i A 2 udovletvorčČt sootnoxeniČ
/
A 1
A 2
!
=
/ \GammaA (1)
31 \Gamma A (1)
33
A (1)
11 A (1)
13
!
\Delta : : : \Delta
/ \GammaA (J \Gamma1)
31 \Gamma A (J \Gamma1)
33
A (J \Gamma1)
11 A (J \Gamma1)
13
!
\Delta
/ \GammaA (J)
31
A (J)
11
!
: (34)
Pri vypolnenii uslovi$i ? k = ? k+1 ; c k = c k+1 matricy vyqislčČtsč v čvnom vide, a
imenno A (k)
11 = A (k)
33 = 0; \GammaA (k)
13 = A (k)
31 = I (ediniqnač matrica). Takim obrazom, v fftom
sluqae ~z k
1 = ~z k+1
1 ; ~z k
2 = ~z k+1
2 i k-$i slo$i qasticy ne okazyvaet vličnič na ee rasseivaČwie
svo$istva. Esli qastica odnorodna (J = 1), to A 1 = A (1)
31 ; A 2 = A (1)
11 .
V sluqae TM mody otliqny ot nulč potencialy q (j) . SootvetstvuČwie uravnenič
poluqaČtsč iz vyxe privedennyh posle zameny ? j ! '' j i a (j)
n ! b (j)
n .
3. REXENIE NEOSESIMMETRIQNO $
I ZADAQI
Dlč opredelenič neosesimmetriqno$i qasti fflektromagnitnogo polč budem ispol~zo-
vat~ skalčrnye potencialy U i V . Pervy$i iz nih čvlčetsč z-komponentom magnitnogo
ili fflektriqeskogo vektora Gerca, a vtoro$i - sootvetstvuČwim potencialom Debač:
a) volna TE tipa
~
E (j)
2 = ~
r \Theta
i
U (j) ~ i z + V (j) ~r
j
;
~
H (j)
2 = 1
i? j k 0
~
r \Theta ~
r \Theta
i
U (j) ~ i z + V (j) ~r
j
;
(35)
b) volna TM tipa
~
E (j)
2 = \Gamma 1
i'' j k 0
~
r \Theta ~
r \Theta
i
U (j) ~ i z + V (j) ~r
j
;
~
H (j)
2 = ~
r \Theta
i
U (j) ~ i z + V (j) ~r
j
;
(36)
pri fftom potencialy U (j) i V (j) udovletvorčČt uravneničm Gel~mgol~ca (8).
8

Graniqnye uslovič dlč skalčrnyh potencialov v sluqae TE mody (4) zapisyvaČtsč
sleduČwim obrazom:
jU (j) + d
2 ČV (j) = jU(j + 1) + d
2 ČV (j+1) ;
@
@Č
i
ČU (j) + f d
2 jV (j)
j
= @
@Č
i
ČU (j+1) + f d
2 jV (j+1)
j
;
'' j
i
ČU (j) + f d
2 jV (j)
j
= '' j+1
i
ČU (j+1) + f d
2 jV (j+1)
j
;
1
? 1
@
@Č
i
jU (j) + d
2 ČV (j)
j
= 1
? j+1
h @
@Č
i
jU (j+1) + d
2 ČV (j+1)
j
+
`
1 \Gamma c 2
j+1
c 2
j
'
1\Gammaj 2
Č 2 \Gammaf
@
@j
i
ČU (j+1) + f d
2 jV (j+1)
j ?
:
9 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? =
? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ;
Č=Č j
(37)
\Lambdati uslovič sluduet perepisat~, vyraďač iz pervo$i pary uravneni$i potencialy U (j)
i V (j) , a iz vtoro$i -- ih normal~nye proizvodnye. Prinimač vo vnimanie sootnoxenič
(13), imeem
U (j) = U (j+1) +
i '' j+1
'' j
\Gamma 1
j h Č 2
Č 2 \Gammaf j 2 U j+1 + fČj
Č 2 \Gammaf j 2
d
2 V (j+1)
i
;
V (j) = '' j+1
'' j
V (j+1) \Gamma
i '' j+1
'' j
\Gamma 1
j h Čj
Č 2 \Gammaf j 2 U j+1 + Č 2
Č 2 \Gammaf j 2
d
2 V (j+1)
i
;
@
@Č U (j) = ? j
? j+1
@
@Č U (j+1) \Gamma
i ? j
? j+1
\Gamma 1
j h Č 2
Č 2 \Gammaf j 2
@
@Č U j+1 + fČj
Č 2 \Gammaf j 2
@
@Č
d
2 V (j+1)
i
\Gamma
i '' j+1
'' j
\Gamma 1
j Č
Č 2 \Gammaf j 2
h
\GammaU (j+1) + 2Č 2
Č 2 \Gammaf j 2 U j+1 + 2fČj
Č 2 \Gammaf j 2
d
2 V (j+1)
i
+
i '' j+1
'' j
\Gamma ? j
? j+1
j fj
Č 2 \Gammaf j 2
h 1\Gammaj 2
Č 2 \Gammaf
@
@j
i
ČU (j+1) + fj d
2 V (j+1)
j
+ d
2 V (j+1)
i
:
d
2
@
@Č V (j) = d
2
@
@Č V (j+1) +
i ? j
? j+1
\Gamma 1
j h Čj
Č 2 \Gammaf j 2
@
@Č U j+1 + Č 2
Č 2 \Gammaf j 2
@
@Č
d
2 V (j+1)
i
+
i '' j+1
'' j
\Gamma 1
j Č
Č 2 \Gammaf j 2
h
\Gamma d
2 V (j+1) + 2Čj
Č 2 \Gammaf j 2 U j+1 + 2Č 2
Č 2 \Gammaf j 2
d
2 V (j+1)
i
\Gamma
i '' j+1
'' j
\Gamma ? j
? j+1
j Č
Č 2 \Gammaf j 2
h 1\Gammaj 2
Č 2 \Gammaf
@
@j
i
ČU (j+1) + fj d
2
V (j+1)
j
+ d
2
V (j+1)
i
:
9 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? =
? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ;
Č=Č j
(38)
Toqno takďe, kak v predyduwem paragrafe, moďno vyvesti integral~nye uravnenič
dlč skalčrnyh potencialov U (j) i V (j) . Uqityvač graniqnye uslovič (38), poluqim
d
2 (Č 2
j \Gamma f)
Z 2ď
0
Z ď
0
(
U (j+1) @G j
@Č 0 \Gamma ? j
? j+1
@U (j+1)
@Č 0 G j +
/
'' j+1
'' j
\Gamma 1
! ''
Č 2
j
Č 2
j \Gamma fj 0 2 U (j+1) +
+ fČ j j 0
Č 2
j \Gamma fj 0 2
d
2 V (j+1)
#
@G j
@Č 0 +
/
? j
? j+1
\Gamma 1
! ''
Č 2
j
Č 2
j \Gamma fj 0 2
@U (j+1)
@Č 0 + fČ j j 0
Č 2
j \Gamma fj 0 2
d
2
@V (j+1)
@Č 0
#
G j +
9

+
/
'' j+1
'' j
\Gamma 1
!
Č j
Č 2
j \Gamma fj 0 2
''
\GammaU (j+1) +
2Č 2
j
Č 2
j \Gamma fj 0 2 U (j+1) + 2fČ j j 0
Č 2
j \Gamma fj 0 2
d
2 V (j+1)
#
G j \Gamma
\Gamma
/
'' j+1
'' j
\Gamma ? j
? j+1
!
fj 0
Č 2
j \Gamma fj 0 2
''
1 \Gamma j 0 2
Č 2
j \Gamma f
@
@j 0
`
Č j U (j+1) + fj 0 d
2 V (j+1)
'
+ d
2 V (j+1)
#
G j
)
dj 0 d' 0 =
8 ? !
? :
\GammaU (j)
1 (~r); ~r 2 D j ;
U (j)
2 (~r); ~r 2 R 3 n ?
D j ;
(39)
d
2 (Č 2
j \Gamma f)
Z 2ď
0
Z ď
0
(
'' j+1
'' j
d
2 V (j+1) @G j
@Č 0 \Gamma d
2
@V (j+1)
@Č 0 G j \Gamma
/
'' j+1
'' j
\Gamma 1
! ''
Č j j 0
Č 2
j \Gamma fj 0 2 U (j+1) +
+
Č 2
j
Č 2
j \Gamma fj 0 2
d
2 V (j+1)
#
@G j
@Č 0 \Gamma
/
? j
? j+1
\Gamma 1
! ''
Č j j 0
Č 2
j \Gamma fj 0 2
@U (j+1)
@Č 0 +
Č 2
j
Č 2
j \Gamma fj 0 2
d
2
@V (j+1)
@Č 0
#
G j \Gamma
\Gamma
/
'' j+1
'' j
\Gamma 1
!
Č j
Č 2
j \Gamma fj 0 2
''
\Gamma d
2 V (j+1) + 2Č j j 0
Č 2
j \Gamma fj 0 2 U (j+1) +
2Č 2
j
Č 2
j \Gamma fj 0 2
d
2 V (j+1)
#
G j +
+
/
'' j+1
'' j
\Gamma
? j
? j+1
!
Č
Č 2
j \Gamma fj 0 2
''
1 \Gamma j 0 2
Č 2
j \Gamma f
@
@j 0
`
Č j U (j+1) + fj 0 d
2 V (j+1)
'
+ d
2 V (j+1)
#
G j
)
dj 0 d' 0 =
8 ? !
? :
\GammaV (j)
1 (~r); ~r 2 D j ;
V (j)
2 (~r); ~r 2 R 3 n ?
D j :
(40)
Skalčrnye potencialy predstavlčČtsč v vide razloďeni$i po volnovym sferoidal~-
nym funkcičm [6,7]
U (j)
1
V (j)
1
=
1
X
m=1
1
X
l=m
a (j)
ml;1
b (j)
ml;1
R (1)
ml (c j ; Č) Sm1l (c j ; j) cos m'; (41)
U (j)
2
V (j)
2
=
1
X
m=1
1
X
l=m
a (j)
ml;2
b (j)
ml;2
R (3)
ml (c j ; Č) S ml (c j ; j) cos m'; (42)
gde dlč volny TE tipa kofffficienty razloďeni$i predstavlčČtsč v vide
a (1)
l;1 = 4i l
k 1
N \Gamma2
ml (c 1 ) S ml (c 1 ;cos ff)
sin ff cos m';
b (1)
l;1 = 0:
(43)
Dlč TM mody (5) kofffficienty otliqaČtsč znakom i mnoďitelem
q '' 1
? 1
(sm. vyraďenič
(35)-(36)).
10

Posle podstanovki v integral~nye uravnenič (39)-(40) razloďeni$i (41)-(42) i (24)
poluqim beskoneqnye sistemy dlč neizvestnyh kofffficientov razloďeni$i. V matriqno$i
forme ffti sistemy moďno zapisat~ sleduČwim obrazom:
~
Z (j)
1 = \Gamma
i
A (j)
31
~
Z (j+1)
1 + A (j)
33
~
Z (j+1)
2
j
;
~
Z (j)
2 = A (j)
11
~
Z (j+1)
1 +A (j)
13
~
Z (j+1)
2 ;
9 ? ? =
? ? ;
(44)
gde vektory i matricy imeČt bloqnuČ strukturu: ~
Z (j)
1 = (~x (j)
1 ; ~y (j)
1 ) T ; ~
Z (j)
2 = (~x (j)
2 ; ~y (j)
2 ) T ;
x (j)
l;1 = k 1 a (j)
ml;1 R (1)
ml (c j ; Č j )N ml (c j ); x (j)
l;2 = k 1 a (j)
ml;2 R (3)
ml (c j ; Č j )N ml (c j );
y (j)
l;1 = c 1 b (j)
ml;1 R (1)
ml (c j ; Č j )N ml (c j ); y (j)
l;2 = c 1 b (j)
ml;2 R (3)
ml (c j ; Č j )N ml (c j );
(45)
A (j)
ik =
/ ff (j)
ik;1 fi (j)
ik;1
ff (j)
ik;2 fi (j)
ik;2
!
; (46)
ff (j)
31;1 = W j
(
R 3;j \Delta (m)
j;j+1 \Gamma ? j
? j+1
\Delta (m)
j;j+1 R 1;j+1 +
/
'' j+1
'' j
\Gamma 1
!
Č j
h
Č j R 3;j Q (m)
j;j+1 \Gamma
\GammaQ (m)
j;j+1
i
I \Gamma 2Č 2
j Q (m)
j+1;j+1
ji
+
/
? j
? j+1
\Gamma 1
!
Č 2
j Q (m)
j;j+1 R 1;j+1 \Gamma
\Gamma
/
'' j+1
'' j
\Gamma ? j
? j+1
!
fČ j
Č 2
j \Gamma f Q (m)
j;j+1 \Upsilon (m)
j+1;j+1
)
P (j)
1 ; (47)
fi (j)
31;1 = W j
(/
'' j+1
'' j
\Gamma 1
!
fČ j
h
R 3;j Q (m)
j;j+1 + 2Č j Q (m)
j;j+1 Q (m)
j+1;j+1
i
\Gamma (m)
j+1;j+1 +
+
/
? j
? j+1
\Gamma 1
!
fČ j Q (m)
j;j+1 \Gamma (m)
j+1;j+1 R 1;j+1 \Gamma
/
'' j+1
'' j
\Gamma ? j
? j+1
!
f
Č 2
j \Gamma f
h
(Č 2
j Q (m)
j;j+1 \Gamma I)K (m)
j+1;j+1 + \Gamma (m)
j+1;j+1
i )
P (j)
1 ; (48)
ff (j)
31;2 = W j
(
\Gamma
/
'' j+1
'' j
\Gamma 1
!
Č j
h
R 3;j Q (m)
j;j+1 + 2Č j Q (m)
j;j+1 Q (m)
j+1;j+1
i
\Gamma (m)
j+1;j+1 \Gamma
\Gamma
/
? j
? j+1
\Gamma 1
!
Č j Q (m)
j;j+1 \Gamma (m)
j+1;j+1 R 1;j+1 +
/
'' j+1
'' j
\Gamma ? j
? j+1
!
Č 2
Č 2
j \Gamma f
Q (m)
j;j+1 K j+1;j+1
)
P (j)
1 ; (49)
11

fi (j)
31;2 = W j
(
'' j+1
'' j
R 3;j \Delta (m)
j;j+1 \Gamma \Delta (m)
j;j+1 R 1;j+1 \Gamma
/
'' j+1
'' j
\Gamma 1
!
Č j
h
Č j R 3;j Q (m)
j;j+1 \Gamma
\GammaQ (m)
j;j+1 (I \Gamma 2Č 2
j Q (m)
j+1;j+1 )
i
\Gamma
/
? j
? j+1
\Gamma 1
!
Č 2
j Q (m)
j;j+1 R 1;j+1 +
+
/
'' j+1
'' j
\Gamma ? j
? j+1