Äîęóěĺíň âç˙ň čç ęýřŕ ďîčńęîâîé ěŕřčíű. Ŕäđĺń îđčăčíŕëüíîăî äîęóěĺíňŕ : http://www.astro.spbu.ru/staff/ilin2/INTAS/P3-SPB1/PUBL/TEXT/f-os2.ps Äŕňŕ čçěĺíĺíč˙: Fri Nov 19 16:17:32 2010 Äŕňŕ číäĺęńčđîâŕíč˙: Tue Oct 2 05:55:05 2012 Ęîäčđîâęŕ: ISO8859-5 Ďîčńęîâűĺ ńëîâŕ: ď ď ď ď ď ď ď ď ď ď ď ď ď ď ď ď ď ď

RASSE?NIE SVETA MNOGOSLO $
INYMI QASTICAMI
S AKSIAL?NO $
I SIMMETRIE $
I
c
fl 2000 g. V. G. Farafonov \Lambda
\Lambda Gosudarstvenny$i universitet affrokosmiqeskogo priborostroenič,
Sankt-Peterburg, Rossič
Postupila v redakciČ 31.08.2000 g.
V rabote postroen novy$i rekursivny$i algoritm rexenič zadaqi rassečnič proiz-
vol~no polčrizovanno$i plosko$i fflektromagnitno$i volny mnogoslo$inymi difflektri-
qeskimi qasticami s aksial~no$i simmetrie$i. Pri fftom byl ispol~zovan podhod,
predloďenny$i i realizovanny$i ranee dlč odnorodnyh osesimmetriqnyh qastic. Ego
osnovnymi momentami čvlčČtsč: 1) predstavlenie pole$i v vide summy dvuh slagae-
myh, pervoe iz kotoryh ne zavisit ot azimutal~nogo ugla, a usrednenie vtorogo po
fftomu uglu daet nul~; 2) rexenie osesimmetriqno$i zadaqi s ispol~zovaniem skalčr-
nyh potencialov, svčzannyh s azimutal~nymi komponentami fflektromagnitnyh po-
le$i; 3) rexenie neosesimmetriqno$i zadaqi s ispol~zovaniem superpozicii potencia-
lov Debač i vertikal~nyh komponentov magnitnogo i fflektriqeskogo vektorov Gerca.
Principial~nym dlč predloďennogo rexenič čvlčetsč formulirovka zadaq rasse-
čnič v vide poverhnostnyh integral~nyh uravneni$i otnositel~no fftih skalčrnyh
potencialov, kotorye predstavlčČtsč v vide razloďeni$i po volnovym sferiqeskim
funkcičm. Dlč neizvestnyh kofffficientov razloďeni$i poluqeny ves~ma prostye po
svoe$i strukture beskoneqnye sistemy line$inyh algebraiqeskih uravneni$i. Razmer-
nost~ reducirovannyh sistem dlč mnogoslo$inyh qastic sovpadaet s razmernost~Č
sistem dlč analogiqnyh odnorodnyh qastic. V sluqae mnogoslo$inyh sferiqeskih
qastic danny$i algoritm daet rexenie rassmatrivaemo$i zadaqi v čvnom vide, pri
fftom zavisimost~ ot radial~nyh sferiqeskih funkci$i dlč sloev zadaetsč qerez pro-
izvodnuČ logarifma (t.e. otnoxenie proizvodno$i k samo$i funkcii).
VVEDENIE
Rassečnie sveta neodnorodnymi, v tom qisle dvuh- i mnogoslo$inymi qasti-
cami čvlčetsč aktual~no$i problemo$i, s kotoro$i vstreqaČtsč v optike atmosfe-
ry i okeana, biofizike, astrofizike [1-3] i t.d.. V nastočwee vremč naibolee
aktivno ispol~zuetsč model~ mnogoslo$inyh koncentriqeskih xarov, poskol~ku
v fftom sluqae imeČtsč sravnitel~no prostye i ffffektivnye algoritmy rasqe-
ta harakteristik rassečnnogo izluqenič [4]. Dlč neodnorodnyh nesferiqeskih
qastic obyqno ispol~zuetsč model~ dvuhslo$inyh konfokal~nyh (sofokusnyh)
sferoidov [5](sm. takďe stat~i [6-9]). V fftih rabotah zadaqa rexalas~ meto-
dom razdelenič peremennyh v sferoidal~nyh koordinatah. Popytka obobwenič
1

fftogo rexenič na sluqa$i n\Gammaslo$inyh sferoidov sdelana v stat~e [10]. Krome
togo, sleduet otmetit~ raboty [11-12], gde zadaqa rexalas~ metodom T-matric.
Rassečnie sveta mnogoslo$inymi konfokal~nymi ffllipsoidal~nymi qasticami
v rffleevskom i kvazistatiqeskom pribliďeničh rassmatrivalos~ v rabotah [13-
15].
V nastočwe$i stat~e predlagaetsč novoe rexenie zadaqi rassečnič plosko$i
fflektromagnitno$i volny mnogoslo$inymi osesimmetriqnymi qasticami. Dan-
ny$i algoritm predstavlčet sobo$i obobwenie rexenič zadaqi rassečnič sve-
ta odnorodnymi qasticami s aksial~no$i simmetrie$i [16]. Ispol~zuemy$i pod-
hod baziruetsč na opisanii zadaqi rassečnič poverhnostnymi integral~nymi
uravneničmi otnositel~no special~nym obrazom vybrannyh skalčrnyh poten-
cialov, kotorye predstavlčČtsč v vide razloďeni$i po volnovym sferiqeskim
funkcičm. Neizvestnye kofffficienty fftih razloďeni$i opredelčČtsč iz bes-
koneqnyh sistem line$inyh algebraiqeskih uravneni$i, struktura kotoryh do-
puskaet dostatoqno prostuČ algoritmizaciČ. Postroennoe rexenie čvlčetsč
rekursivnym, pri fftom okonqatel~nye sistemy uravneni$i soderďit tol~ko ne-
izvestnye kofffficienty razloďenič potenciala rassečnnogo izluqenič. Po-
dobnye sistemy rexaČtsč metodom redukcii (useqenič), pri fftom razmernost~
reducirovannyh sistem budet tako$i ďe, kak i dlč odnorodnyh qastic.
Dlč mnogoslo$inyh sferiqeskih qastic rexenie zadaqi moďno zapisat~, po
suwestvu, v čvnom vide. Vaďno otmetit~, qto v fftom sluqae final~nač sistema
dlč neizvestnyh kofffficientov legko svoditsč k sisteme, matriqnye fflementy
kotoro$i zavisčt tol~ko ot proizvodnyh logarifmov radial~nyh sferiqeskih
funkci$i dlč sloev qasticy. Takim obrazom, oblast~ primenimosti predla-
gaemogo algoritma dlč mnogoslo$inyh xarov praktiqeski takač ďe, kak i dlč
odnorodnyh sferiqeskih qastic.
1. DVUHSLO $
INA? QASTICA
Rassmotrim rassečnie fflektromagnitnogo izluqenič otdel~no$i dvuhslo$ino$i
qastice$i, čdro i oboloqka kotoro$i imeČt obwuČ os~ vrawenič. Vvedem dekar-
tovuČ sistemu koordinat (x; y; z) takim obrazom, qtoby os~ z sovpadala s os~Č
vrawenič qasticy. Togda uravnenič poverhnosti S 1 vse$i qasticy i poverhnos-
ti S 2 ee čdra moďno zapisat~ sleduČwim obrazom:
r 1 = r 1 (`); r 2 = r 2 (`); (1)
gde (r; `; ') -- sferiqeskač sistema koordinat.
Proizvol~no polčrizovannač ploskač fflektromagnitnač volna, padaČwač
pod uglom ff k osi vrawenič qasticy, moďet byt~ predstavlena v vide super-
pozicii voln dvuh tipov:
2

a) volna TE tipa
~
E (0) = \Gamma ~
i y exp [ik 1 (x sin ff + z cos ff)] ;
~
H (0) =
q '' 1
? 1
i
~
i x cos ff \Gamma ~
i z sin ff
j
exp [ik 1 (x sin ff + z cos ff)] ;
(2)
b) volna TM tipa
~
E (0) =
i
~
i x cos ff \Gamma ~ i z sin ff
j
exp [ik 1 (x sin ff + z cos ff)] ;
~
H (0) =
q '' 1
? 1
~ i y exp [ik 1 (x sin ff + z cos ff)] ;
(3)
gde ( ~
i x ; ~
i y ; ~
i z ) - orty dekartovo$i sistemy koordinat. '' 1 i ? 1 - difflektriqeskač
i magnitnač pronicaemosti sredy vne qasticy, k 1 = p '' 1 \Delta ? 1 \Delta k 0 - volnovoe qis-
lo v srede, k 0 = !/c - volnovoe qislo v svobodnom prostranstve (! -- qastota
izluqenič, s -- skorost~ sveta v vakuume). Predpolagaetsč, qto zavisimost~
fflektromagnitnyh pole$i ot vremeni zadaetsč mnoďitelem exp(\Gammai!t).
Vvedem sleduČwie oboznaqenič: ~
E (j) , ~
H (j) - naprčďennosti fflektriqeskogo i
magnitnogo pole$i rassečnnogo izluqenič (j = 1), a takďe izluqeni$i v oboloqke
(j = 2) i v čdre (j = 3) qasticy; '' j i ? j - difflektriqeskač i magnitnač proni-
caemosti sredy v oboloqke (j = 2) i v čdre (j = 3) qasticy, k j = p '' j \Delta ? j \Delta k 0 -
sootvetstvuČwie volnovye qisla.
Ranee [16] bylo pokazano, qto dlč osesimmetriqnyh qastic zadaqa rassečnič
rexaetsč nezavisimo dlč kaďdogo slagaemogo rčda Fur~e vektorov ~
E (j) ; ~
H (j) po
azimutal~nomu uglu '. Predstavim vse fflektromagnitnye polč v vide
~
E (j) = ~
E (j)
1 + ~
E (j)
2 ; ~
H (j) = ~
H (j)
1 + ~
H (j)
2 ; j = 0; :::; 3; (4)
gde ~
E (j)
1 ; ~
H (j)
1 ne zavisčt ot azimutal~nogo ugla ', a usrednenie ~
E (j)
2 ; ~
H (j)
2 po
fftomu uglu ravno nulČ. Niďe osesimmetriqnač zadaqa dlč pole$i ~
E (j)
1 ; ~
H (j)
1 i
neosesimmetriqnač zadaqa dlč pole$i ~
E (j)
2 ; ~
H (j)
2
rexaČtsč nezavisimo drug ot
druga.
1.1. REXENIE OSESIMMETRIQNO $
I ZADAQI
Sleduč rabote [16], vvedem skalčrnye potencialy
p (j) = E (j)
1' cos '; q (j) = H (j)
1' cos '; (5)
gde E (j)
1' ; H (j)
1' - '-komponenty vektorov ~
E (j)
1 ; ~
H (j)
1 (j = 0; :::; 3). Iz uravneni$i Mak-
svella sleduet, qto skalčrnye potencialy udovletvorčČt volnovomu uravne-
niČ
\Deltap (j) + k 2
j p (j) = 0; \Deltaq (j) + k 2
j q (j) = 0; (6)
3

a ostal~nye sostavlčČwie fflektromagnitnyh pole$i vyraďaČtsč qerez ih azi-
mutal~nye komponenty sleduČwim obrazom:
H (j)
r = 1
i? j k 0 r sin `
@(sin `E (j)
' )
@` ; H (j)
` = \Gamma1
i? j k 0 r
@(rE (j)
' )
@r ;
E (j)
r = \Gamma1
i'' j k 0 r sin `
@(sin `H (j)
' )
@` ; E (j)
` = 1
i'' j k 0 r
@(rH (j)
' )
@r :
(7)
Graniqnye uslovič (ravenstvo tangencial~nyh komponentov fflektromagnit-
nyh pole$i na granicah razdelov sred) v dannom sluqae imeČt vid (sm. vyra-
ďenič (7))
p (0) + p (1) = p (2) ;
@(p (0) +p (1) )
@n = ? 1
? 2
@p (2)
@n + ( ? 1
? 2
\Gamma 1) 1
q
r 2 +r 0 2
`
i
1 \Gamma r 0
`
r ctg`
j
p (2) ;
q (0) + q (1) = q (2) ;
@(q (0) +q (1) )
@n = '' 1
'' 2
@q (2)
@n + ( '' 1
'' 2
\Gamma 1) 1
q
r 2 +r 0 2
`
i
1 \Gamma r 0
`
r ctg`
j
q (2) ;
9 ? ? ? ? ? ? ? ? =
? ? ? ? ? ? ? ? ;
~r2S 1
(8)
p (2) = p (3) ;
@p (2)
@n = ? 2
? 3
@p (3)
@n + ( ? 2
? 3
\Gamma 1) 1
q
r 2 +r 0 2
`
i
1 \Gamma r 0
`
r ctg`
j
p (3) ;
q (2) = q (3) ;
@q (2)
@n = '' 2
'' 3
@q (3)
@n + ( '' 2
'' 3
\Gamma 1) 1
q
r 2 +r 0 2
`
i
1 \Gamma r 0
`
r ctg`
j
q (3) ;
9 ? ? ? ? ? ? ? ? =
? ? ? ? ? ? ? ? ;
~r2S 2
(9)
gde r 0
` - proizvodnač funkcii r(`) po sferiqeskomu uglu `. Otmetim,qto osesim-
metriqnač zadaqa rexaetsč nezavisimo dlč potencialov p i q (t.e. dlč voln
TE i TM tipov).
Dalee sformuliruem zadaqu v vide poverhnostnyh integral~nyh uravneni$i.
Skalčrny$i potencial p (0) dlč padaČwego izluqenič udovletvorčet volnovomu
uravneniČ (7) vnutri qasticy, t.e. v oblasti D 1 , ograniqenno$i poverhnost~Č
S 1 , i ne imeet tam osobennoste$i, pofftomu dlč nego spravedlivy sleduČwie so-
otnoxenič [17]:
Z
S 1
/
p (0) (~r 0 )
@G(k 1 ; ~r; ~r 0 )
@n
\Gamma
@p (0) (~r 0 )
@n
G(k 1 ; ~r; ~r 0 )
!
dS 0 =
8 ? !
? :
\Gammap (0) (~r); ~r 2 D 1 ;
0; ~r 2 R 3 n ?
D 1 ;
(10)
gde
G(k 1 ; ~r; ~r 0 ) = exp ik 1 j~r \Gamma ~r 0 j
4ďj~r \Gamma ~r 0 j (11)
- funkcič Grina volnovogo uravnenič s volnovym qislom k 1 .
4

Skalčrny$i potencial p (1) dlč rassečnnogo izluqenič udovletvorčet uravne-
niČ Gel~mgol~ca vne qasticy, t.e. v oblasti (R 3 n ?
D 1 ), i usloviČ izluqenič na
beskoneqnosti (r !1)
limr( @p (1) (~r)
@r
\Gamma ik 1 p (1) (~r)) = 0; (12)
pofftomu dlč nego spravedlivy sootnoxenič [17]
Z
S 1
/
p (1) (~r 0 ) @G(k 1 ; ~r; ~r 0 )
@n
\Gamma @p (1) (~r 0 )
@n
G(k 1 ; ~r; ~r 0 )
!
dS 0 =
8 ? !
? :
0; ~r 2 D 1 ;
p (1) (~r); ~r 2 R 3 n ?
D 1 :
(13)
Skalčrny$i potencial p (2) dlč izluqenič v oboloqke qasticy moďno predsta-
vit~ v vide
p (2) = p (2)
1 + p (2)
2 ; (14)
gde p (2)
1
- ne imeet osobennoste$i v oblasti D 1 (sledovatel~no, i v oblasti D 2 ,
ograniqenno$i poverhnost~Č S 2 ) i dlč nego spravedlivo sootnoxenie (10) pri
zamene S 1 ! S 2 ; D 1 ! D 2 ; G(k 1 ; ~r; ~r 0 ) ! G(k 2 ; ~r; ~r 0 ). Potencial p (2)
2
udovlet-
vorčet usloviČ izluqenič (12) (pri zamene k 1 ! k 2 ) i dlč nego spravedlivo
sootnoxenie (13) pri zamene S 1 ! S 2 ; D 1 ! D 2 ; G(k 1 ; ~r; ~r 0 ) ! G(k 2 ; ~r; ~r 0 ).
Skladyvač sootnoxenič (10) i (13), a takďe sootvetstvuČwie sootnoxenič
dlč potencialov p (2)
1 i p (2)
2 , i uqityvač graniqnye uslovič (8) i (9), poluqim
Z
S 1
8 ? ? !
? ? :
p (2) (~r 0 ) @G (k 1 ; ~r; ~r 0 )
@n
\Gamma
2
6 6 4
? 1
? 2
@p (2) (~r 0 )
@n
+
/
? 1
? 2
\Gamma 1
!
1
r
(r 0 ) 2 +
h
(r 0 ) 0
` 0
i 2
\Delta
\Delta
/
1 \Gamma (r 0 ) 0
` 0
r 0 ctg` 0
!
p (2) (~r 0 )
#
G (k 1 ; ~r; ~r 0 )
)
dS 0 = \Gammap (0) (~r); ~r 2 D 1 ;
(15)
Z
S 2
8 ? ? !
? ? :
p (3) (~r 0 )
@G (k 2 ; ~r; ~r 0 )
@n
\Gamma
2
6 6 4
? 2
? 3
@p (3) (~r 0 )
@n
+
/
? 2
? 3
\Gamma 1
!
1
r
(r 0 ) 2 +
h
(r 0 ) 0
` 0
i 2
\Delta
\Delta
/
1 \Gamma
(r 0 ) 0
` 0
r 0 ctg` 0
!
p (3) (~r 0 )
#
G (k 2 ; ~r; ~r 0 )
)
dS 0 = \Gammap (2)
1 (~r); ~r 2 D 2 ;
(16)
Itak, imeetsč qetyre integral~nyh uravnenič dlč opredelenič qetyreh ne-
izvestnyh potencialov p (1) (~r); p (2)
1 (~r); p (2)
2 (~r); p (3) (~r).
5

Dlč potencialov q (j) analogiqnye uravnenič poluqaČtsč posle zameny ? j !
'' j .
Skalčrnye potencialy predstavlčČtsč v vide razloďeni$i po volnovym sfe-
riqeskim funkcičm
p (0)
q (0) =
1
X
l=1
a (0)
l
b (0)
l
j l (k 1 r) P 1
l (cos `) cos '; (17)
p (1)
q (1) =
1
X
l=1
a (1)
l
b (1)
l
h (1)
l (k 1 r) P 1
l (cos `) cos '; (18)
p (2)
1
q (2)
1
=
1
X
l=1
a (2)
l;1
b (2)
l;1
j l (k 2 r) P 1
l (cos `) cos '; (19)
p (2)
2
q (2)
2
=
1
X
l=1
a (2)
l;2
b (2)
l;2
h (1)
l (k 2 r) P 1
l (cos `) cos '; (20)
p (3)
q (3) =
1
X
l=1
a (3)
l
b (3)
l
j l (k 3 r) P 1
l (cos `) cos '; (21)
gde dlč volny TE tipa [16]
a (0)
l = \Gammai l 2l+1
l(l+1) P 1
l (cos ff);
b (0)
l = 0;
(22)
a dlč volny TM tipa (sm. vyraďenič (2) i (3))
a (0)
l = 0;
b (0)
l =
q '' 1
? 1
i l 2l+1
l(l+1)
P 1
l (cos ff): (23)
Zdes~ j l (kr); h (1)
l (kr) - sferiqeskie funkcii Besselč i Gankelč 1-go roda, P m
l (cos `)
- prisoedinennye polinomy Leďandra.
Dlč funkcii Grina imeet mesto sleduČwee razloďenie po volnovym sferi-
qeskim funkcičm [18]:
G(k j ; ~r; ~r 0 ) = ik j
4ď
1
X
m=0
1
X
l=m
(2 \Gamma ffi 0m ) (2l + 1) (l \Gamma m)!
(l +m)! j l (k j r ! ) h (1)
l (k j r ? ) \Delta
\DeltaP m
l (cos `) P m
l (cos ` 0 ) cos m(' \Gamma ' 0 ); (24)
gde
ffi 0m =
(
1; m = 0;
0; m 6= 0; (25)
r ! = min(r; r 0 ); r ? = max(r; r 0 ):
6

Podstavim razloďenič (17) -(21) i (24) v integral~nye uravnenič (15)-(16).
Uqityvač svo$istva ortogonal~nosti sferiqeskih funkci$i P m
l (cos `) cos m' na
lČbo$i sfere s centrom v naqale koordinat, poluqim uravnenič dlč opredele-
nič neizvestnyh kofffficientov razloďenič iskomyh potencialov. V matriqno$i
forme (~a (j)
i =
n
a (j)
l;i
o 1
l=1
; i = 1; 2; j = 0; :::; 3) oni mogut byt~ zapisany sleduČwim
obrazom:
~a (0) = \Gamma(A (1)
hj ~a (2)
1 +A (1)
hh ~a (2)
2 );
~a (1) = A (1)
jj ~a (2)
1 +A (1)
jh ~a (2)
2 ;
~a (2)
1 = \GammaA (2)
hj ~a (3) ;
~a (2)
2 = A (2)
jj ~a (3) ;
9 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? =
? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ;
(26)
gde
(A (1)
hj ) ln = i(2l + 1)
2l(l + 1)
Z ď
0
(
k 2
1 r 2
1
''
h (1) 0
l (k 1 r 1 ) j n (k 2 r 1 ) \Gamma ? 1
? 2
k 2
k 1
h (1)
l (k 1 r 1 ) j 0
n (k 2 r 1 )
#
\Delta
\DeltaP 1
l (cos `) P 1
n (cos `) sin ` + k 1 (r 1 ) 0
` sin 2 `
h
P 1 0
l (cos `) P 1
n (cos `) \Gamma
\Gamma ? 1
? 2
P 1
l (cos `) P 1 0
n (cos `)
#
h (1)
l (k 1 r 1 ) j n (k 2 r 1 ) \Gamma
/
? 1
? 2
\Gamma 1
!
\Delta
(k 1 r 1 sin ` \Gamma k 1 (r 1 ) 0
` cos `) h (1)
l (k 1 r 1 ) j n (k 2 r 1 ) P 1
l (cos `) P 1
n (cos `)
o
d`; (27)
gde r 1 = r 1 (`) - uravnenie poverhnosti rasseivaČwe$i qasticy, xtrih oznaqaet
differencirovanie po argumentu. Niďnie indeksy matric pokazyvaČt, kakie
imenno radial~nye funkcii (Besselč ili Gankelč 1-go roda) vhodčt v integra-
ly (27), qerez kotorye vyraďaČtsč ih fflementy. Esli verhni$i indeks matric
raven dvum, to v integralah (27) nuďno sdelat~ zamenu k 1 ! k 2 ; k 2 ! k 3 ; ? 1 !
? 2 ; ? 2 ! ? 3 ; r 1 = r 1 (`) ! r 2 = r 2 (`).
Sistema uravneni$i (26) legko rexaetsč otnositel~no kofffficientov razlo-
ďeni$i potenciala rassečnnogo izluqenič
~a (1) = A 2 \Delta A (\Gamma1)
1 ~a (0) ; (28)
gde matricy A 1 i A 2 udovletvorčČt sootnoxeniČ
/
A 1
A 2
!
=
/ \GammaA (1)
hj \Gamma A (1)
hh
A (1)
jj A (1)
jh
!
\Delta
/ \GammaA (2)
hj
A (2)
jj
!
(29)
Otmetim, qto dlč nepoglowaČwih qastic, nahodčwihsč v nepoglowaČwe$i sre-
de, spravedlivy ravenstva A (i)
jj = ImA (i)
hj = ImA (i)
jh .
7

Pri vypolnenii uslovi$i ? 1 = ? 2 ; k 1 = k 2 ili ? 2 = ? 3 ; k 2 = k 3 nekotorye
matricy vyqislčČtsč v čvnom vide, a imenno A (1)
jj = A (1)
hh = 0; A (1)
jh = A (1)
hj = I
(ediniqnač matrica) ili A (2)
jj = 0; A (2)
hj = I. V itoge prihodim k zadaqe rasse-
čnič odnorodno$i qastice$i, sovpadaČwe$i libo s čdrom qasticy s parametrami
? 3 i k 3 , libo s pervonaqal~no$i qastice$i s parametrami ? 2 i k 2 .
V sluqae TM mody otliqny ot nulč potencialy q (j) . SootvetstvuČwie urav-
nenič poluqaČtsč iz vyxe privedennyh posle zameny ? j ! '' j i a (j)
n ! b (j)
n .
1.2. REXENIE NEOSESIMMETRIQNO $
I ZADAQI
Dlč opredelenič neosesimmetriqno$i qasti fflektromagnitnogo polč budem
ispol~zovat~ skalčrnye potencialy U i V . Pervy$i iz nih čvlčetsč z-komponen-
tom magnitnogo ili fflektriqeskogo vektora Gerca, a vtoro$i - sootvetstvuČwim
potencialom Debač:
a) volna TE tipa
~
E (j)
2 = ~
r \Theta
i
U (j) ~ i z + V (j) ~r
j
;
~
H (j)
2 = 1
i? j k 0
~
r \Theta ~
r \Theta
i
U (j) ~ i z + V (j) ~r
j
;
(30)
b) volna TM tipa
~
E (j)
2 = \Gamma 1
i'' j k 0
~
r \Theta ~
r \Theta
i
U (j) ~ i z + V (j) ~r
j
;
~
H (j)
2 = ~
r \Theta
i
U (j) ~ i z + V (j) ~r
j
:
(31)
gde potencialy U (j) i V (j) udovletvorčČt uravneničm Gel~mgol~ca (6) i pred-
stavlčČtsč v vide razloďeni$i po volnovym sferiqeskim funkcičm
U (0)
V (0) =
1
X
m=1
1
X
l=m
a (0)
ml
b (0)
ml
j l (k 1 r) P m
l (cos `) cos m'; (32)
U (1)
V (1) =
1
X
m=1
1
X
l=m
a (1)
ml
b (1)
ml
h (1)
l (k 1 r) P m
l (cos `) cos m'; (33)
U (2)
1
V (2)
1
=
1
X
m=1
1
X
l=m
a (2)
ml;1
b (2)
ml;1
j l (k 2 r) P m
l (cos `) cos m'; (34)
U (2)
2
V (2)
2
=
1
X
m=1
1
X
l=m
a (2)
ml;2
b (2)
ml;2
h (1)
l (k 2 r) P m
l (cos `) cos m'; (35)
U (3)
V (3) =
1
X
m=1
1
X
l=m
a (3)
ml
b (3)
ml
j l (k 3 r) P m
l (cos `) cos m'; (36)
8

gde dlč TE mody [16]
a (0)
ml = \Gamma i l\Gamma1 2(2l+1)
k 0 ? 1 sin ff
(l\Gammam)!
(l+m)!
P m
l (cos ff);
b (0)
ml = 0:
(37)
Pri padenii volny vdol~ osi vrawenič qasticy (ff = 0 o ) imeem
a (0)
1l = \Gamma i l\Gamma1
k 0 ? 1
(2l + 1): (38)
V sluqae TM mody v formulah (37) i (38) počvlčetsč mnoďitel~ (\Gamma
q '' 1
? 1
). Gra-
niqnye uslovič dlč skalčrnyh potencialov U (j) i V (j) dlč TE mody imeČt vid
(sqitaem, qto ? j = 1)
U (0) + U (1) = U (2) \Gamma
i '' 2
'' 1
\Gamma 1
j r
sin `(r 2 +r 02
` )
h
(r 0
` cos ` \Gamma r sin `) U (2) + rr 0
` V (2)
i
;
V (0) + V (1) = V (2) +
i '' 2
'' 1
\Gamma 1
j r 0
` sin `+r cos `
r sin `(r 2 +r 02
` )
h
(r 0
` cos ` \Gamma r sin `) U (2) + rr 0
` V (2)
i
;
@(U (0) +U (1) )
@n
= @U (2)
@n
\Gamma
i '' 2
'' 1
\Gamma 1
j 1
sin `
p
r 2 +r 02
`
? r 0
`
(r 0
` cos `\Gammar sin `)
r 2 +r 02
`
(r 0
`
@U (2)
@r
+ @U (2)
@`
)+
rr 02
`
r 2 +r 02
`
(r 0
`
@V (2)
@r
+ @V (2)
@`
) \Gamma F 1 (`)U (2) \Gamma r 0
` F 2 (`)V (2)
?
;
@(V (0) +V (1) )
@n = @V (2)
@n +
i '' 2
'' 1
\Gamma 1
j 1
r sin `
p
r 2 +r 02
`
''
(r 0
` cos `\Gammar sin `) 2
r 2 +r 02
`
(r 0
`
@U (2)
@r + @U (2)
@` )+
rr 0
`
(r 0
` cos `\Gammar sin `)
r 2 +r 02
`
(r 0
`
@V (2)
@r + @V (2)
@` ) \Gamma F 3 (`)U (2) \Gamma rF 4 (`)V (2)
?
;
9 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? =
? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ;
~r2S 1
(39)
U (2) = U (3) \Gamma
i '' 3
'' 2
\Gamma 1
j r
sin `(r 2 +r 02
` )
h
(r 0
` cos ` \Gamma r sin `) U (3) + rr 0
` V (3)
i
;
V (2) = V (3) +
i '' 3
'' 2
\Gamma 1
j r 0
` sin `+r cos `
r sin `(r 2 +r 02
` )
h
(r 0
` cos ` \Gamma r sin `) U (3) + rr 0
` V (3)
i
;
@U (2)
@n
= @U (3)
@n
\Gamma
i '' 3
'' 2
\Gamma 1
j 1
sin `
p
r 2 +r 02
`
? r 0
`
(r 0
` cos `\Gammar sin `)
r 2 +r 02
`
(r 0
`
@U (3)
@r
+ @U (3)
@`
)+
rr 02
`
r 2 +r 02
`
(r 0
`
@V (3)
@r + @V (3)
@` ) \Gamma F 1 (`)U (3) \Gamma r 0
` F 2 (`)V (3)
?
;
@V (2)
@n = @V (3)
@n +
i '' 3
'' 2
\Gamma 1
j 1
r sin `
p
r 2 +r 02
`
''
(r 0
` cos `\Gammar sin `) 2
r 2 +r 02
`
(r 0
`
@U (3)
@r + @U (3)
@` )+
rr 0
`
(r 0
` cos `\Gammar sin `)
r 2 +r 02
`
(r 0
`
@V (3)
@r
+ @V (3)
@`
) \Gamma F 3 (`)U (3) \Gamma rF 4 (`)V (3)
?
;
9 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? =
? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ;
~r2S 2
(40)
9

gde
F 1 (`) = r 2 \Gamma rr 00
` + 2r 0 2
`
(r 2 + r 0 2
` ) 2
[r (r 0
` cos ` \Gamma r sin `) + r 0
` (r 0
` sin ` + r cos `)] ; (41)
F 2 (`) = r 4 \Gamma 2r 3 r 00
` + 2r 2 r 0 2
` \Gamma r 0 4
`
(r 2 + r 0 2
` ) 2
; (42)
F 3 (`) =
2(r 2 \Gamma rr 00
` + 2r 0 2
` ) (r 0
` cos ` \Gamma r sin `) (r 0
` sin ` + r cos `)
(r 2 + r 0 2
` ) 2
; (43)
F 4 (`) =
i
r 3 r 00
` + r 2 r 0 2
` \Gamma rr 0 2
` r 00
` + 3r 0 4
`
j
sin ` + r 0
` =r
i
r 4 \Gamma 2r 3 r 00
` + 2r 2 r 0 2
` \Gamma r 0 4
`
j
cos `
(r 2 + r 0 2
` ) 2
; (44)
Toqno takďe, kak v predyduwem paragrafe, moďno vyvesti integral~nye
uravnenič dlč skalčrnyh potencialov U (j) i V (j) . Uqityvač graniqnye uslovič
(39)-(40), posle podstanovki v integral~nye uravnenič razloďeni$i (32-(36) i
(24) poluqim beskoneqnye sistemy dlč neizvestnyh kofffficientov razloďeni$i.
V matriqno$i forme ffti sistemy moďno zapisat~ sleduČwim obrazom:
~
X (0) = \Gamma(A (1)
hj
~
X (2)
1 +A (1)
hh
~
X (2)
2 );
~
X (1) = A (1)
jj
~
X (2)
1 +A (1)
jh
~
X (2)
2 ;
~
X (2)
1 = \GammaA (2)
hj
~
X (3) ;
~
X (2)
2 = A (2)
jj
~
X (3) ;
9 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? =
? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ;
(45)
gde vektory i matricy imeČt bloqnuČ strukturu: ~
X (j)
i = (~a (j)
i ; ~ b (j)
i ) T ; gde ~a (j)
i =
fk 1 a (j)
ml;i g 1
l=m ; ~ b (j)
i = fb (j)
ml;i g 1
l=m ;
A (j)
hj =
/ ff (j)
hj;1 fi (j)
hj;1
ff (j)
hj;2 fi (j)
hj;2
!
: (46)
V sluqae TE mody matriqnye fflementy predstavlčČtsč v vide integralov
(ff (1)
hj;1 ) mln = i(2l + 1)
2
(l \Gamma m)!
(l +m)!
Z ď
0
(
k 2
1 r 2
''
j n (k 2 r) h (1) 0
l (k 1 r) \Gamma
s
'' 2
'' 1
j 0
n (k 2 r) h (1)
l (k 1 r)
#
\Delta
\DeltaP m
n (cos `) P m
l (cos `) sin ` + k 1 r 0
` j n (k 2 r) h (1)
l (k 1 r)
h
P m
n (cos `) P m 0
l (cos `) \Gamma
\GammaP m
l (cos `) P m 0
l (cos `)
i
sin 2 ` \Gamma
` '' 2
'' 1
\Gamma 1
' (
k 1 r 2 (r 0
` cos ` \Gamma r sin `)
r 2 + r 0 2
`
\Delta
\Delta
''
k 1 rh (1) 0
l (k 1 r) P m
l (cos `) + sin `
r 0
`
r
h l (k 1 r) P m 0
l (cos `)
#
j n (k 2 r) P m
n (cos `) \Gamma
10

(
k 1 rr 0
` (r 0
` cos ` \Gamma r sin `)
r 2 + r 0 2
`
''s
'' 2
'' 1
k 1 r 0
` j 0
n (k 2 r) P m
n (cos `) \Gamma sin ` j n (k 2 r) P m 0
n (cos `)
#
\Gammak 1 rF 1 (`)j n (k 2 r) P m
n (cos `)g h (1)
l (k 1 r) P m
l (cos `)
oo
d`; (47)
(fi (1)
hj;1 ) mln = \Gamma i(2l + 1)
2
(l \Gamma m)!
(l +m)!
` '' 2
'' 1
\Gamma 1
' Z ď
0
(
k 2
1 r 3 r 0
`
r 2 + r 0 2
`
h
k 1 rh (1) 0
l (k 1 r) P m
l (cos `) +
+ sin `
r 0
`
r
h l (k 1 r) P m 0
l (cos `)
#
j n (k 2 r) P m
n (cos `) \Gamma
(
k 2
1 r 2 r 0 2
`
r 2 + r 0 2
`
\Delta
\Delta
''s
'' 2
'' 1
k 1 r 0
` j 0
n (k 2 r) P m
n (cos `) \Gamma sin ` j n (k 2 r) P m 0
n (cos `)
#
\Gamma
\Gammak 2
1 rr 0
` F 2 (`)j n (k 2 r) P m
n (cos `)
o
h (1)
l (k 1 r) P m
l (cos `)
o
d`; (48)
(ff (1)
hj;2 ) mln = i(2l + 1)
2
(l \Gamma m)!
(l +m)!
` '' 2
'' 1
\Gamma 1
' Z ď
0
(
(r 0
` sin ` + r cos `) (r 0
` cos ` \Gamma r sin `)
r 2 + r 0 2
`
\Delta
\Delta
''
k 1 rh (1) 0
l (k 1 r) P m
l (cos `) + sin `
r 0
`
r
h l (k 1 r) P m 0
l (cos `)
#
j n (k 2 r) P m
n (cos `) \Gamma
\Gamma
(
(r 0
` cos ` \Gamma r sin `) 2
r 2 + r 0 2
`
''s
'' 2
'' 1
k 1 r 0
` j 0
n (k 2 r) P m
n (cos `) \Gamma sin ` j n (k 2 r) P m 0
n (cos `)
#
\Gamma
\GammaF 3 (`)j n (k 2 r) P m
n (cos `)g h (1)
l (k 1 r) P m
l (cos `)
o
d`; (49)
(fi (1)
hj;2 ) mln = i(2l + 1)
2
(l \Gamma m)!
(l +m)!
Z ď
0
(
k 2
1 r 2
''
j n (k 2 r) h (1) 0
l (k 1 r) \Gamma
s
'' 2
'' 1
j 0
n (k 2 r) h (1)
l (k 1 r)
#
\Delta
\DeltaP m
n (cos `) P m
l (cos `) sin ` + k 1 r 0
` j n (k 2 r) h (1)
l (k 1 r)
h
P m
n (cos `) P m 0
l (cos `) \Gamma
\GammaP m
l (cos `) P m 0
n (cos `)
i
sin 2 ` +
` '' 2
'' 1
\Gamma 1
' (
k 1 rr 0
` (r 0
` sin ` + r cos `)
r 2 + r 0 2
`
\Delta
\Delta
''
k 1 rh (1) 0
l (k 1 r) P m
l (cos `) + sin `
r 0
`
r
h l (k 1 r) P m 0
l (cos `)
#
j n (k 2 r) P m
n (cos `) \Gamma
(
k 1 rr 0
` (r 0
` cos ` \Gamma r sin `)
r 2 + r 0 2
`
''s
'' 2
'' 1
k 1 r 0
` j 0
n (k 2 r) P m
n (cos `) \Gamma sin ` j n (k 2 r) P m 0
n (cos `)
#
\Gammak 1 rF 4 (`)j n (k 2 r) P m
n (cos `)g h (1)
l (k 1 r) P m
l (cos `)
oo
d`; (50)
gde funkcii F j (`) zadaetsč vyraďeničmi (41)-(44), pri fftom vyxe vsČdu nuďno
podstavit~ r = r 1 (`). Zdes~ indeks m čvlčetsč azimutal~nym indeksom i prini-
maet znaqenič ot edinicy do beskoneqnosti. Drugie niďnie i verhnie indeksy
matric imeČt tot ďe smysl, qto i v predyduwem paragrafe. \Lambdalementy ostal~-
nyh matric poluqaČtsč iz sootnoxeni$i (47)-(50) tak ďe, kak ffto bylo počsneno
ranee.
Sistema uravneni$i (45) legko rexaetsč otnositel~no kofffficientov razlo-
11

ďeni$i potenciala rassečnnogo izluqenič (sm. sistemu (26))
~
X (1) = A 2 \Delta A (\Gamma1)
1
~
X (0) ; (51)
gde matricy A 1 i A 2 udovletvorčČt sootnoxeniČ (29).
Analogiqno moďno vyvesti beskoneqnye sistemy dlč neizvestnyh koffffici-
entov razloďeni$i skalčrnyh potencialov v sluqae TM mody. Vyraďenič dlč
matriqnyh fflementov v fftom sluqae privedeny v rabote [16]. Otmetim, qto oni
znaqitel~no prowe, qem v sluqae TE mody.
Perehod k odnorodnym qasticam osuwestvlčetsč takďe, kak v osesimmetriq-
no$i zadaqe (sm. obsuďdenie v konce predyduwego paragrafa).
2. MNOGOSLO $
INYE QASTICY
Vvedem sleduČwie oboznaqenič: ~
E (j) , ~
H (j) - naprčďennosti fflektriqeskogo i
magnitnogo pole$i v j-m sloe s difflektriqesko$i i magnitno$i pronicaemostčmi
'' j i ? j , k j = p '' j \Delta ? j \Delta k 0 - volnovoe qislo v j-sloe. Znaqenie indeksa j = 1 soot-
vetstvuet srede vne qasticy, j = 2 -- vnexne$i oboloqke i t.d., j = (n + 1) -- čdru
n-slo$ino$i qasticy. Uravnenie j-$i granicy zapisyvaetsč v vide
r j = r j (`); (52)
gde j = 1; :::; n.
Rassmotrim snaqala osesimmetriqnuČ zadaqu. Po analogii so sluqaem
dvuhslo$inyh qastic vvodčtsč potencialy p (j)
1 ; p (j)
2
i q (j)
1 ; q (j)
2
dlč j-go sloč, ko-
torye predstavlčČtsč v vide razloďeni$i
p (j)
1
q (j)
1
=
1
X
l=1
a (j)
l;1
b (j)
l;1
j l (k j r) P 1
l (cos `) cos '; (53)
p (j)
2
q (j)
2
=
1
X
l=1
a (j)
l;2
b (j)
l;2
h (1)
l (k j r) P 1
l (cos `) cos '; (54)
gde j = 1; 2; :::; (n + 1). Pri fftom sqitaem, qto p (1)
1 = p (0) ; p (1)
2 = p (1) ; q (1)
1 =
q (0) ; q (1)
2 = q (1) ; p (n+1)
1 = p (n+1) ; p (n+1)
2 = 0; q (n+1)
1 = q (n+1) ; q (1)
2 = 0.
Dalee nuďno de$istvovat~ po sheme, podrobno izloďenno$i v paragrafe 1.1.
dlč dvuhslo$inyh qastic. V itoge poluqim sistemu (28) dlč neizvestnyh kofff-
ficientov razloďenič potenciala rassečnnogo izluqenič, odnako matricy A 1
i A 2 budut udovletvorčt~ sootnoxeniČ
/
A 1
A 2
!
=
/ \GammaA (1)
hj \Gamma A (1)
hh
A (1)
jj A (1)
jh
!
\Delta : : : \Delta
/ \GammaA (n\Gamma1)
hj \Gamma A (n\Gamma1)
hh
A (n\Gamma1)
jj A (n\Gamma1)
jh
!
\Delta
/ \GammaA (n)
hj
A (n)
jj
!
; (55)
12

kotoroe pri n = 2 sovpadaet s sootnoxeniem (29). Esli verhni$i indeks mat-
ric raven j, to v integralah (27) i analogiqnyh im nuďno sdelat~ zamenu
k 1 ! k j ; k 2 ! k j+1 ; ? 1 ! ? j ; ? 2 ! ? j+1 ; r 1 = r 1 (`) ! r j = r j (`).
Pri rexenii neosesimmetriqno$i zadaqi vvodčtsč potencialy
U (j)
1
V (j)
1
=
1
X
m=1
1
X
l=m
a (j)
ml;1
b (j)
ml;1
j l (k j r) P m
l (cos `) cos m'; (56)
U (j)
2
V (j)
2
=
1
X
m=1
1
X
l=m
a (j)
ml;2
b (j)
ml;2
h (1)
l (k j r) P m
l (cos `) cos m'; (57)
gde j = 1; 2; :::; (n + 1). Pri fftom sqitaem, qto U (1)
1 = U (0) ; U (1)
2 = U (1) ; V (1)
1 =
V (0) ; V (1)
2 = V (1) ; U (n+1)
1 = U (n+1) ; U (n+1)
2 = 0; V (n+1)
1 = V (n+1) ; V (1)
2 = 0. De$i-
stvuč po sheme, podrobno izloďenno$i v paragrafe 1.2. dlč dvuhslo$inyh qastic,
poluqim sistemu (51) dlč neizvestnyh kofffficientov razloďeni$i potencialov
rassečnnogo izluqenič, odnako matricy A 1 i A 2 budut udovletvorčt~ sootno-
xeniČ (55). Otmetim, qto matricy A (j) v fftom sluqae budut imet~ bloqnuČ
strukturu (sm. vyraďenie (46)).
3. MNOGOSLO $
INYE SFERIQESKIE QASTICY
V sluqae mnogoslo$inyh koncentriqeskih xarov uravnenič poverhnoste$i ime-
Čt vid
r j (`) = a j ; (58)
gde a j - radiusy oboloqek qasticy.
Vvedem novye neizvestnye sleduČwim obrazom:
~ a (j)
l;1 = a (j)
l;1 \Delta j l (k j a j ); ~
a (j)
l;2 = a (j)
l;2 \Delta h (1)
l (k j a j ): (59)
Matricy normirovanno$i sistemy budut diagonal~nymi, a imenno
~
A (j)
hj = W j
(
R 3;j \Gamma ? j
? j+1
k j+1
k j
R 1;j+1 \Gamma
/
? j
? j+1
\Gamma 1
!
1
k j a j
)
P (j)
j ; (60)
~
A (j)
hh = W j
(
R 3;j \Gamma ? j
? j+1
k j+1
k j
R 3;j+1 \Gamma
/
? j
? j+1
\Gamma 1
!
1
k j a j
)
P (j)
h ; (61)
~
A (j)
jj = W j
(
R 1;j \Gamma ? j
? j+1
k j+1
k j
R 1;j+1 \Gamma
/
? j
? j+1
\Gamma 1
!
1
k j a j
)
P (j)
j ; (62)
~
A (j)
jh = W j
(
R 1;j \Gamma ? j
? j+1
k j+1
k j
R 3;j+1 \Gamma
/
? j
? j+1
\Gamma 1
!
1
k j a j
)
P (j)
h ; (63)
13

gde vvedeny diagonal~nye matricy
R 1;j = fj 0
l (k j a j )=j l (k j a j )ffi ln g 1
ln=1 ; R 3;j =
n
h (1) 0
l (k j a j )=h (1)
l (k j a j )ffi ln
o 1
ln=1
;
P (j)
j = fj l (k j+1 a j )=j l (k j a j )ffi ln g 1
ln=1 ; P (j)
h =
n
h (1)
l (k j+1 a j )=h (1)
l (k j a j )ffi ln
o 1
ln=1
;
W j = \Gamma[R 3;j \Gamma R 1;j ]:
(64)
Pri vyvode formul (60)-(63) bylo uqteno vyraďenie dlč vronskiana sferi-
qeskih funkci$i
j n (k j a j ) h (1) 0
l (k j a j ) \Gamma j 0
n (k j a j ) h (1)
l (k j a j ) = i
k 2
j a 2
j
: (65)
V neosesimmetriqno$i zadaqe posle zameny neizvestnyh
~
a (j)
ml;1 = a (j)
ml;1 \Delta j l (k j a j ); ~
a (j)
ml;2 = a (j)
ml;2 \Delta h (1)
l (k j a j );
~ b (j)
ml;1 = b (j)
ml;1 \Delta j l (k j a j ); ~ b (j)
ml;2 = b (j)
ml;2 \Delta h (1)
l (k j a j )
(66)
dlč analogov matric (46) poluqim
~
ff (j)
hj;1 = W j
(
R 3;j \Gamma
s '' j+1
'' j
R 1;j+1 \Gamma
/
'' j+1
'' j
\Gamma 1
!
(R 3;j + 1
k j a j
)
)
P (j)
j ; (67)
~
fi (j)
hj;1 = 0; (68)
~
ff (j)
hj;2 = ( '' j+1
'' j
\Gamma 1)W j
(
1
k j a j
R 3;j \Gamma + 1
k 2
j a 2
j
K
)
P (j)
j ; (69)
~
fi (j)
hj;2 = W j
(
R 3;j \Gamma
s '' j+1
'' j
R 1;j+1
)
P (j)
j ; (70)
gde vvedeny matricy K = f? mln g 1
ln=m i \Gamma = ffl mln g 1
ln=m ; fflementy kotoryh otliqny
ot nulč tol~ko na dvuh diagonalčh vyxe i niďe glavno$i
? mln =
''
(l + 1)(l \Gamma m)
2l \Gamma 1 ffi l(n\Gamma1) \Gamma l(l +m+ 1)
2l + 3 ffi l(n+1)
#
; (71)
fl mln =
''
l +m+ 1
2l + 3 ffi l(n\Gamma1) \Gamma l \Gamma m
2l \Gamma 1 ffi l(n+1)
#
: (72)
Matricy (67)-(70) pri drugih znaqeničh niďnih indeksov poluqaČtsč iz prive-
dennyh vyraďeni$i toqno takďe, kak matricy (61)-(63) poluqaČtsč iz matricy
(60).
14

Iz sootnoxeni$i (46), (55) i (67)-(70) sleduet, qto matricy A 1 ; A 2 imeČt
treugol~ny$i vid
A 1 =
/
\Lambda ff1 0
\Gamma 1 \Lambda fi1
!
; A 2 =
/
\Lambda ff2 0
\Gamma 2 \Lambda fi2
!
; (73)
pri fftom matricy \Lambda ff1;fi1 ; \Lambda ff2;fi2 čvlčČtsč diagonal~nymi, a u matric \Gamma 1;2 ot-
liqny ot nulč tol~ko dve diagonali vyxe i niďe glavno$i (sm. vyraďenič
(71)-(72)). Podobnač treugol~nač matrica legko obrawaetsč
(A 1 ) \Gamma1 =
/
(\Lambda ff1 ) \Gamma1 0
\Gamma(\Lambda fi1 ) \Gamma1 \Gamma 1 (\Lambda ff1 ) \Gamma1 (\Lambda fi1 ) \Gamma1
!
: (74)
Soverxenno analogiqnye rezul~taty poluqaČtsč dlč plosko$i volny TM tipa.
Takim obrazom, v rassmatrivaemom sluqae osesimmetriqnač zadaqa rexaet-
sč oqen~ prosto, a neosesimmetriqnač zadaqa rexaetsč, po suwestvu, v čvnom
vide. Otliqie dannogo rexenič ot obweprinčtogo s ispol~zovaniem potenci-
alov Debač sostoit v tom, qto vybiraČtsč drugie skalčrnye potencialy i
''neudobnač'' sistema koordinat (napravlenie osi z ne sovpadaet s napravleni-
em rasprostranenič plosko$i volny) . Odnako, moďno poloďit~ ugol padenič
ff = 0, pri fftom osesimmetriqnač qast~ fflektromagnitnyh pole$i ravna nulČ, a
neosesimmetriqnač otliqna ot nulč tol~ko pri azimutal~nom indekse m = 1.
ZAKLiQENIE
V rabote predloďeno novoe rekursivnoe rexenie zadaqi rassečnič fflek-
tromagnitnogo izluqenič mnogoslo$inymi qasticami s aksial~no$i simmetrie$i.
Ono čvlčetsč obobweniem pokazavxego svoČ ffffektivnost~ rexenič, predlo-
ďennogo ranee dlč odnorodnyh qastic [16] (tam ďe moďno na$iti vyraďenič dlč
seqeni$i oslablenič i rassečnič v ramkah dannogo podhoda). Ukaďem sleduČ-
wie dostoinstva predloďennogo rexenič: 1) otnositel~nač prostota dannogo
algoritma dlč mnogoslo$inyh qastic; 2) razmernost~ reducirovannyh final~-
nyh sistem otnositel~no neizvestnyh kofffficientov razloďeni$i potencialov
rassečnnogo izluqenič sovpadaet s razmernost~Č analogiqnyh sistem dlč od-
norodnyh qastic; 3) dlč mnogoslo$inyh koncentriqeskih xarov rexenie pred-
stavlčetsč v čvnom vide; ono zavisit tol~ko ot otnoxenič proizvodnyh k samim
sferiqeskim funkcičm Besselč i Gankelč 1-go roda dlč vseh oboloqek qasticy
(dannoe obstočtel~stvo suwestvenno uveliqivaet oblast~ ffffektivnogo prime-
nenič dannogo algoritma).
Dannač rabota vypolnena pri finansovo$i podderďke Goskomvuza Rossii (grant
N 97-0-13.3-30).
SPISOK LITERATURY
15

1. Boren K., Hafmen D. Rassečnie i poglowenie sveta malymi qasticami. M.:
Mir, 1986.
2. Volkovicki$i O.A., Pavlova L.N., Petruxin A.G. Optiqeskie svo$istva kris-
talliqeskih oblakov. L.: Gidrometeoizdat, 1984.
3. Lopatin V.N., Sid~ko F.?. Vvedenie v optiku vzvese$i kletok. Novosibirsk:
Nauka, 1988.
4. Wu Z.S., Wang Y.P. // Radio sci. 1991. V.26. N6. P.1393.
5. Farafonov V.G., Voshchinnikov N.V., Somsikov V.V. // Appl. Opt. 1996. V.35. N27.
P.5412.
6. Voshchinnikov N.V. // JQSRT. 1996. V.55. N5. P.627.
7. Ciric I.R., Cooray F.R. // JQSRT. 1999. V.63. N2-6. P.131.
8. Farafonov V.G., Vowinnikov N.V. // Opt. i spektr. 1996. T.81. N4. S.660.
9. Farafonov V.G., Vowinnikov N.V. // Opt. i spektr. 1997. T.83. N6. S.973.
10. Gurwich I., Kleiman M., Shiloah N., Cohen A. // Appl. Opt. 1996. V.39. N3. P.470.
11. Peterson B., Strom S. // Phis. Rev. 1974. V.D 10. P.2670.
12. Wang D.-S., Barber P.W. // Appl. Opt. 1979. V.18. N8. P.1190.
13. Farafonov V.G. // Opt. i spektr. 2000. T.88. N3. S.492.
14. Farafonov V.G. // Opt. i spektr. 1994. T.77. N3. S.455.
15. Farafonov V.G., Prokopjeva M.S., Il`in V.B., Henning Th. // IRS 2000: Current
Problems in Atmospheric Radiation (Smith W.L., Timofeyev Yu.M.(eds)). A.Deepak
Publ. 2000.
16. Farafonov V.G. // Opt. i spektr. 2000. T.88. \Gamma. S.70.
17. Kolton D., Kress R. Metody integral~nyh uravneni$i v teorii rassečnič.
M.: Mir, 1987.
18. Mors F.M., Fexbah G. Metody teoretiqesko$i fiziki.T.2. M.: IL, 1960.
16