Äîêóìåíò âçÿò èç êýøà ïîèñêîâîé ìàøèíû. Àäðåñ îðèãèíàëüíîãî äîêóìåíòà : http://www.astro.spbu.ru/staff/ilin2/INTAS/P3-SPB1/PUBL/TEXT/f-os4.ps Äàòà èçìåíåíèÿ: Fri Nov 19 16:17:35 2010 Äàòà èíäåêñèðîâàíèÿ: Tue Oct 2 05:55:54 2012 Êîäèðîâêà:

o primenimosti metoda t­matric i ego modifikacij
c
fl 2000 G. w. g. fARAFONOW \Lambda
\Lambda gOSUDARSTWENNYJ UNIWERSITET A``ROKOSMI“ESKOGO PRIBOROSTROENIQ, sANKT­pETERBURG,
rOSSIQ
pOSTUPILA W REDAKCI@ 05.06.2001 G.
aNALITI“ESKI I “ISLENNO ISSLEDOWANA OBLASTX PRIMENIMOSTI METODA t­MATRIC I EGO MO­
DIFIKACIJ DLQ RE[ENIQ ZADA“I RASSEQNIQ ``LEKTROMAGNITNOGO IZLU“ENIQ NESFERI“ESKIMI
OSESIMMETRI“NYMI “ASTICAMI. pOKAZANO, “TO WY“ISLENIE HARAKTERISTIK RASSEQNNOGO IZ­
LU“ENIQ W DALXNEJ ZONE (SE“ENIQ OSLABLENIQ I RASSEQNIQ, INDIKATRISSY RASSEQNNOGO IZ­
LU“ENIQ I T.D.) W RAMKAH ``TOGO PODHODA OPRAWDANO DLQ ''SLABO RELEEWSKIH “ASTIC''. ---TO
USLOWIE WYPOLNQETSQ, ESLI PERESE“ENIE ANALITI“ESKIH PRODOLVENIJ RASSEQNNOGO I WNUT­
RENNEGO POLEJ SODERVIT KOLXCO S CENTROM W NA“ALE KOORDINAT. dLQ DOSTOWERNOGO RAS“ETA
RASSEQNNOGO POLQ W BLIVNEJ ZONE TREBUETSQ, “TOBY “ASTICA BYLA ''RELEEWSKOJ'' (T.E. DLQ
NEE SPRAWEDLIWA GIPOTEZA rELEQ). w ``TOM SLU“AE OSOBENNOSTI RASSEQNNOGO POLQ DOLVNY
NAHODITXSQ WNUTRI SFERY, POLNOSTX@ RASPOLOVENNOJ WNUTRI RASSEIWATELQ. sFEROIDALX­
NYE “ASTICY QWLQ@TSQ ''SLABO RELEEWSKIMI'', ESLI OTNO[ENIE POLUOSEJ a=b ! (
p
2 + 1), A
''RELEEWSKIMI'' -- PRI a=b !
p
2. ~ISLENNYE RAS“ETY DLQ SFEROIDOW I “EBY[EWSKIH “ASTIC
PODTWERVDA@T ``TI WYWODY. oDNAKO, UKAZANNYE GRANICY ''RAZMYTY'' (W STORONU RAS[IRE­
NIQ), POSKOLXKU PRI WY“ISLENIQH ISPOLXZU@TSQ REDUCIROWANNYE (T.E. KONE“NYE) SISTEMY
DLQ OPREDELENIQ KO``FFICIENTOW RAZLOVENIJ POLEJ. pREDELXNYE RAZMERY “ASTIC, DLQ KO­
TORYH METOD t­MATRIC DA@T PRIEMLEMYE REZULXTATY OPREDELQ@TSQ, GLAWNYM OBRAZOM, IH
GEOMETRIEJ (FORMOJ) I TOLXKO ZATEM HIMI“ESKIM SOSTAWOM (POKAZATELEM PRELOMLENIQ).
wwedenie
rASSEQNIE SWETA NESFERI“ESKIMI “ASTICAMI IGRAET WAVNU@ ROLX PRI RASSMOTRENII BOLX­
[OGO “ISLA RAZLI“NYH QWLENIJ W OPTIKE ATMOSFERY I OKEANA, BIOFIZIKE, ASTROFIZIKE [1­3]
I T.D.. w NASTOQ]EE WREMQ DLQ RE[ENIQ ``TOJ ZADA“I NAIBOLEE “ASTO ISPOLXZUETSQ METOD t­
MATRIC [4­6]. oSNOWNYM DOSTOINSTWOM DANNOGO PODHODA QWLQETSQ EGO UNIWERSALXNOSTX, T.E.
WOZMOVNOSTX PRIMENENIQ DLQ TEL PROIZWOLXNOJ FORMY. oDNAKO, OBY“NO RASSMATRIWA@TSQ
OSESIMMETRI“NYE “ASTICY, POSKOLXKU W PROTIWNOM SLU“AE TREBU@TSQ SLI[KOM BOLX[IE KOM­
PX@TERNYE RESURSY. dLQ “ASTIC S AKSIALXNOJ SIMMETRIEJ NEDAWNO PREDLOVENA MODIFIKACIQ
METODA t­MATRIC [7­9], W KOTOROJ SPECIALXNYM OBRAZOM WYBIRA@TSQ SKALQRNYE POTENCIALY.
dELO W TOM, “TO W KLASSI“ESKOJ SHEME, PO SU]ESTWU, ISPOLXZU@TSQ POTENCIALY dEBAQ, KOTORYE
NAIBOLEE ``FFEKTIWNY DLQ [AROW. w NOWOJ SHEME ISPOLXZU@TSQ POTENCIALY, KOTORYE NAIBO­
LEE ``FFEKTIWNY DLQ SFEROIDOW W RAMKAH METODA RAZDELENIQ PEREMENNYH [10­11], OSOBENNO PRI
ZNA“ITELXNOM OTKLONENII IH FORMY OT SFERI“ESKOJ. hARAKTERNAQ “ERTA METODA t­MATRIC ZA­
KL@“AETSQ W PRIMENENII WOLNOWYH SFERI“ESKIH FUNKCIJ W KA“ESTWE BAZISNYH. oTNOSITELXNAQ
PROSTOTA IH WY“ISLENIQ W [IROKOM DIAPAZONE IZMENENIQ PARAMETROW OBESPE“IWAET WYSOKU@
``FFEKTIWNOSTX DANNOGO PODHODA.
iDEQ ISPOLXZOWANIQ SFEROIDALXNYH FUNKCIJ W KA“ESTWE BAZISNYH W OB]EM SLU“AE, PO NA­
[EMU MNENI@, DOWOLXNO SOMNITELXNA IZ­ZA TRUDNOSTEJ, WOZNIKA@]IH PRI EE “ISLENNOJ REALI­
ZACII. ---TI FUNKCII QWLQ@TSQ RE[ENIQMI DIFFERENCIALXNYH URAWNENIJ KLASSA gOJNA, IME­
@]IH “ETYRE REGULQRNYE OSOBYE TO“KI, KOTORYE MOGUT SLIWATXSQ. aNALITI“ESKIE SWOJSTWA
``TIH FUNKCIJ PRINCIPIALXNO OTLI“A@TSQ OT SWOJSTW FUNKCIJ bESSELQ I gANKELQ, A TAKVE
1

POLINOMOW lEVANDRA, KOTORYE UDOWLETWORQ@T DIFFERENCIALXNYM URAWNENIQM, IME@]IM TRI
REGULQRNYE OSOBYE TO“KI. pODOBNYJ PODHOD [12­14] OPRAWDAN DLQ ODNORODNYH I MNOGOSLOJNYH
SFEROIDALXNYH “ASTIC PRI USLOWII, “TO KLASSI“ESKIJ METOD t­MATRIC NE DAET DOSTOWERNYH
REZULXTATOW. tAKAQ SITUACIQ WOZMOVNA PRI ZNA“ITELXNOM OTKLONENII FORMY “ASTIC OT SFE­
RI“ESKOJ. w ``TOM SLU“AE TAKVE MOVNO PRIMENQTX METOD RAZDELENIQ PEREMENNYH (NAIBOLEE
``FFEKTIWNAQ SHEMA PODROBNO IZLOVENA W RABOTAH [10,15]). wPRO“EM, DLQ SFEROIDALXNYH “AS­
TIC PRI ISPOLXZOWANII SFEROIDALXNYH FUNKCIJ I ODNIH I TEH VE SKALQRNYH POTENCIALOW
RAZLI“IQ MEVDU ``TIMI DWUMQ METODAMI WESXMA USLOWNY (SM. [14­15]) IZ­ZA NEWOZMOVNOSTI
ODNOWREMENNOGO RAZDELENIQ PEREMENNYH W URAWNENIQH mAKSWELLA I GRANI“NYH USLOWIQH.
w NASTOQ]EJ RABOTE ISSLEDUETSQ OBLASTX PRIMENIMOSTI METODA t­MATRIC I EGO MODIFIKA­
CIJ W ZADA“E RASSEQNIQ PLOSKOJ ``LEKTROMAGNITNOJ WOLNY ODNORODNYMI OSESIMMETRI“ESKIMI
“ASTICAMI. w OTLI“II OT TRADICIONNOGO PODHODA ISHODNYE INTEGRALXNYE URAWNENIQ WYWO­
DQTSQ OTNOSITELXNO POTENCIALOW, OPISYWA@]IH RASSEQNNOE IZLU“ENIE. zATEM ONI SWODQTSQ K
BESKONE“NYM SISTEMAM LINEJNYH ALGEBRAI“ESKIH URAWNENIJ (bslau) OTNOSITELXNO KO``FFI­
CIENTOW RAZLOVENIQ ``TIH POTENCIALOW W RQDY PO WOLNOWYM SFERI“ESKIM FUNKCIQM. nA OSNOWE
ANALITI“ESKOGO ISSLEDOWANIQ POLU“ENNYH bslau MY NAHODIM USLOWIQ, PRI KOTORYH DANNYJ
PODHOD TEORETI“ESKI OBOSNOWAN. rEZULXTATY OKAZYWA@TSQ RAZLI“NYMI DLQ METODA t­MATRIC,
W RAMKAH KOTOROGO MOVNO RASS“ITYWATX ``LEKTROMAGNITNYE POLQ WS@DU, I DLQ METODA DIA­
GRAMMNYH URAWNENIJ (mdu), KOGDA RASSMATRIWAETSQ TOLXKO RASSEQNNOE IZLU“ENIE W DALXNEJ
ZONE. mdu BYL PREDLOVEN DLQ SKALQRNOGO SLU“AQ (GRANI“NYE USLOWIQ dIRIHLE) I DLQ ABSO­
L@TNO PROWODQ]IH TEL (SM, NAPRIMER, STATXI [16­18]). nIVE MY REALIZUEM DANNYJ PODHOD DLQ
DI``LEKTRI“ESKIH “ASTIC. hOTQ SWQZX mdu S METODOM t­MATRIC DOSTATO“NO O“EWIDNA, ONA DO
SIH POR NEPOSREDSTWENNO NE KOMMENTIROWALASX. pO SUTI DELA, mdu QWLQETSQ RAZNOWIDNOSTX@
METODA t­MATRIC W SLU“AE, KOGDA ZADA“A FORMULIRUETSQ ISKL@“ITELXNO DLQ RASSEQNNOGO POLQ
W DALXNEJ ZONE. oTMETIM, “TO bslau DLQ ``TIH METODOW SOWPADA@T.
s TEORETI“ESKOJ TO“KI ZRENIQ, WOZMOVNOSTX PRIMENENIQ METODA t­MATRIC I EGO MODIFI­
KACIJ NAPRQMU@ SWQZANA S RASPOLOVENIEM OSOBENNOSTEJ POLEJ WNE I WNUTRI RASSEIWATELQ (T.E.
OSOBENNOSTEJ RASSEQNNOGO I WNUTRENNEGO POLEJ) I ISPOLXZOWANIEM RAZLOVENIJ ``TIH POLEJ PO
WOLNOWYM SFERI“ESKIM FUNKCIQM. w CELOM METOD t­MATRIC MOVNO OBOSNOWANNO PRIMENQTX
TOLXKO PRI WYPOLNENII GIPOTEZY rELEQ (SHODIMOSTX RAZLOVENIJ WPLOTX DO GRANICY “ASTI­
CY). dLQ WNE[NEJ ZADA“I ONA SPRAWEDLIWA TOGDA I TOLXKO TOGDA, KOGDA [AR, SODERVA]IJ
OSOBENNOSTI RASSEQNNOGO IZLU“ENIQ, POLNOSTX@ LEVIT WNUTRI RASSEIWATELQ [20]. dLQ WNUT­
RENNEJ ZADA“I (OPREDELENIE TOLXKO WNUTRENNEGO POLQ W ZADA“E RASSEQNIQ) TREBUETSQ, “TOBY
OSOBENNOSTI WNUTRENNEGO IZLU“ENIQ NAHODILISX WNE [ARA, SODERVA]EGO “ASTICU [20]. mdu
PRAWOMERNO ISPOLXZOWATX, ESLI SU]ESTWUET KOLXCO, W KOTOROM ODNOWREMENNO SHODQTSQ RAZLO­
VENIQ RASSEQNNOGO I WNUTRENNEGO POLEJ. oTMETIM, “TO CENTRY [AROW SOWPADA@T I NAHODQTSQ
W NA“ALE KOORDINAT SFERI“ESKOJ SISTEMY. w POSLEDNEM SLU“AE MOVNO WY“ISLQTX HARAKTERIS­
TIKI RASSEQNNOGO POLQ W DALXNEJ ZONE ­ SE“ENIQ OSLABLENIQ I RASSEQNIQ, INDIKATRISY RASSE­
QNNOGO IZLU“ENIQ I DRUGIE ``LEMENTY MATRICY RASSEQNIQ. eSLI PADA@]EE IZLU“ENIE QWLQETSQ
PLOSKOJ WOLNOJ, TO OSOBENNOSTI KAK RASSEQNNOGO, TAK I WNUTRENNEGO POLQ OPREDELQ@TSQ TOLXKO
GEOMETRIEJ RASSEIWA@]EGO TELA. w SLU“AE TO“E“NYH ISTO“NIKOW POQWLQ@TSQ DOPOLNITELXNYE
OSOBENNOSTI RASSEQNNOGO IZLU“ENIQ W TO“KAH IH ''IZOBRAVENIJ'' (SM. [17,19­20]).
k SOVALENI@, W RABOTAH k@RK“ANA PO mdu IMEETSQ NEWERNOE UTWERVDENIE -- METOD SPRA­
WEDLIW DLQ KLASSA ''SLABO NEWYPUKLYH'' RASSEIWATELEJ, W “ASTNOSTI, DLQ L@BYH WYPUKLYH
“ASTIC S GLADKIMI GRANICAMI. w DEJSTWITELXNOSTI, IM NE BYLI U“TENY NEKOTORYE OSOBEN­
NOSTI WNUTRENNEGO POLQ (A IMENNO, UDOWLETWORQ@]IE W KOMPLEKSNOJ PLOSKOSTI PARAMETRA `
URAWNENI@ exp is` s = 0). ---TO TEM BOLEE OBIDNO, “TO W EGO BOLEE RANNIH RABOTAH (SM. [19,20])
ONI PODROBNO IZU“ALISX. mY, WSLED ZA NIM, TAKVE UKAZYWALI NA ''SLABU@ NEWYPUKLOSTX'' KAK
2

NA DOSTATO“NOE USLOWIE DLQ PRIMENENIQ METODA t­MATRIC W DALXNEJ ZONE RASSEQNNOGO IZLU­
“ENIQ [8]. nEOBHODIMOSTX U“ETA DOPOLNITELXNYH OSOBENNOSTEJ WNUTRENNEGO POLQ SU]ESTWENNO
WLIQET NA OKON“ATELXNYJ REZULXTAT DLQ SFEROIDOW (W OTLI“II OT “EBY[EWSKIH “ASTIC [8]).
dLQ NIH RE[ENIE W DALXNEJ ZONE STROGO OBOSNOWANO PRI SLEDU@]IH OTNO[ENIQH BOLX[OJ PO­
LUOSI K MALOJ: a=b ! (
p
2 + 1). rANEE NEWOZMOVNOSTX ISPOLXZOWANIQ METODA t­MATRIC DLQ
SILXNO WYTQNUTYH ILI SPL@SNUTYH SFEROIDOW OB—QSNQLASX PLOHOJ OBUSLOWLENNOSTX@ ALGEB­
RAI“ESKIH SISTEM, POLU“A@]IHSQ IZ bslau REDUKCIEJ. pOSKOLXKU METOD t­MATRICY I EGO
MODIFIKACII MOVNO PRIMENQTX NE DLQ WSEH WYPUKLYH RASSEIWATELEJ MY PREDLAGAEM ZAMENITX
TERMIN ''SLABO NEWYPUKLYE'' NA ''SLABO RELEEWSKIE'' “ASTICY. nA NA[ WZGLQD TAKAQ TERMINO­
LOGIQ ZNA“ITELXNO LU“[E PEREDAET OB]IJ SMYSL POLU“ENNYH OKON“ATELXNYH REZULXTATOW.
nARQDU S ANALITI“ESKIMI ISSLEDOWANIQMI PROBLEMY PRIMENIMOSTI METODA t­MATRIC I
EGO MODIFIKACIJ MY PODROBNO ANALIZIRUEM EE “ISLENNYE ASPEKTY. dELO W TOM, “TO “ISLENNYE
RAS“ETY RASSEQNIQ SWETA NESFERI“ESKIMI “ASTICAMI, KOTORYE NE QWLQ@TSQ ''SLABO RELEEWSKI­
MI'', TEM NE MENEE “ASTO DA@T BOLEE ILI MENEE UDOWLETWORITELXNYE PO TO“NOSTI REZULXTA­
TY [7,11,17,21]. ---TO POKAZYWAET, “TO USLOWIQ SPRAWEDLIWOSTI GIPOTEZY rELEQ I USLOWIQ DLQ
''SLABO RELEEWSKIH'' “ASTIC PRI “ISLENNYH RAS“ETAH W ZNA“ITELXNOJ STEPENI ''SMAZYWA@TSQ''.
dLQ TOGO, “TOBY SWOJSTWA bslau, WYQWLENNYE PRI IZU“ENII ASIMPTOTIK IH MATRI“NYH ``LE­
MENTOW I SWOBODNYH “LENOW, OT“ETLIWO PROQWILISX U REDUCIROWANNYH SISTEM, ISPOLXZUEMYH
W “ISLENNYH RAS“ETAH, NEOBHODIMO U“ITYWATX DOSTATO“NO BOLX[OE KOLI“ESTWO SLAGAEMYH W
RAZLOVENIQH POLEJ. nO DLQ OTNOSITELXNO NEBOLX[IH PO SRAWNENI@ S DLINOJ WOLNY PADA@]EGO
IZLU“ENIQ “ASTIC SRAWNITELXNO HORO[IE PO TO“NOSTI REZULXTATY DOSTIGA@TSQ PRI MENX[EM
“ISLE SLAGAEMYH. tAKIM OBRAZOM, SRAWNENIE “ISLENNYH RAS“ETOW PO METODU t­MATRIC I PO
DRUGOMU STROGO OBOSNOWANNOMU METODU (DLQ SFEROIDOW -- PO METODU RAZDELENIQ PEREMENNYH
[11]) DAET UDOWLETWORITELXNYE REZULXTATY DO TEH POR, POKA RAZMER “ASTICY NE STANET DOSTA­
TO“NO BOLX[IM, KOGDA NUVNO BUDET RE[ATX REDUCIROWANNYE SISTEMY BOLX[OJ RAZMERNOSTI.
pREDELXNYJ RAZMER “ASTIC ZAWISIT W PERWU@ O“EREDX OT OTNO[ENIQ POLUOSEJ SFEROIDA, ZA­
TEM OT OTNOSITELXNOGO POKAZATELQ PRELOMLENIQ WE]ESTWA “ASTICY I, W ZNA“ITELXNO MENX[EJ
STEPENI, OT EE ORIENTACII. tO VE SAMOE MOVNO UTWERVDATX I DLQ “ASTIC DRUGIH FORM (“E­
BY[EWSKIE “ASTICY, ''GANTELI'' I T.D.) -- NAIBOLX[EE ZNA“ENIE IMEET GEOMETRIQ RASSEIWATELQ,
ZATEM EGO HIMI“ESKIJ SOSTAW I, W DOSTATO“NO MALOJ STEPENI, ORIENTACIQ “ASTICY.
1. postanowka zada~i
rASSMOTRIM RASSEQNIE ``LEKTROMAGNITNOGO IZLU“ENIQ OTDELXNOJ ODNORODNOJ DI``LEKTRI“ES­
KOJ “ASTICEJ. wWEDEM SLEDU@]IE OBOZNA“ENIQ: ~
E (j) , ~
H (j) ­ NAPRQVENNOSTI ``LEKTRI“ESKOGO
I MAGNITNOGO POLEJ PADA@]EGO, RASSEQNNOGO I IZLU“ENIQ WNUTRI “ASTICY SOOTWETSTWENNO
(j = 0; 1 I 2), '' j I ¯ j ­ DI``LEKTRI“ESKAQ I MAGNITNAQ PRONICAEMOSTI SREDY WNE I WNUTRI
RASSEIWATELQ (j = 1; 2), k j = p '' j \Delta ¯ j \Delta k 0 ­ WOLNOWOE “ISLO W SREDE, k 0 = !/c ­ WOLNOWOE “ISLO W
SWOBODNOM PROSTRANSTWE (! -- “ASTOTA IZLU“ENIQ, S -- SKOROSTX SWETA W WAKUUME). zADA“A RAS­
SEQNIQ MOVET BYTX SFORMULIROWANA SLEDU@]IM OBRAZOM. wEKTORY ~
E (j) , ~
H (j) UDOWLETWORQ@T
URAWNENIQM mAKSWELLA WNE I WNUTRI “ASTICY
~
E (j) (~r) = \Gamma 1
i'' j k 0
~
r \Theta ~
H (j) (~r); ~
H (j) (~r) = 1
i¯ j k 0
~
r \Theta ~
E (j) (~r); (1)
GRANI“NYM USLOWIQM NA EGO POWERHNOSTI
( ~
E (0) (~r) + ~
E (1) (~r)) \Theta ~n = ~
E (2) (~r) \Theta ~n;
( ~
H (0) (~r) + ~
H (1) (~r)) \Theta ~n = ~
H (2) (~r) \Theta ~n
9 ? =
? ;
~r2S
(2)
3

I USLOWIQM IZLU“ENIQ NA BESKONE“NOSTI (r !1)
lim r(
@ ~
E (1) (~r)
@r
\Gamma ik 1
~
E (1) (~r)) = 0; lim r(
@ ~
H (1) (~r)
@r
\Gamma ik 1
~
H (1) (~r)) = 0: (3)
zDESX ~n ­ WNE[NQQ NORMALX K POWERHNOSTI S RASSEIWA@]EGO OB—EKTA, KOTORYJ ZANIMAET OB­
LASTX D, ~r ­ RADIUS­WEKTOR, r = j~rj. pREDPOLAGAETSQ, “TO ZAWISIMOSTX ``LEKTROMAGNITNYH POLEJ
OT WREMENI ZADAETSQ MNOVITELEM exp (\Gammai!t).
w DALXNEJ[EM BUDEM S“ITATX, “TO RASSEIWA@]AQ “ASTICA IMEET AKSIALXNU@ SIMMETRI@.
eSLI WWESTI DEKARTOWU@ SISTEMU KOORDINAT (x; y; z) TAKIM OBRAZOM, “TOBY OSX z SOWPADALA
S OSX@ WRA]ENIQ “ASTICY, TO URAWNENIE POWERHNOSTI S W SFERI“ESKOJ SISTEME KOORDINAT
(r; `; ') ZAPISYWAETSQ W WIDE
r = r(`): (4)
pROIZWOLXNO POLQRIZOWANNAQ PLOSKAQ ``LEKTROMAGNITNAQ WOLNA, PADA@]AQ POD UGLOM ff K
OSI WRA]ENIQ “ASTICY, MOVET BYTX PREDSTAWLENA W WIDE SUPERPOZICII WOLN DWUH TIPOW:
A) WOLNA TE TIPA
~
E (0) = \Gamma ~
i y exp [ik 1 (x sin ff + z cos ff)] ; (5)
B) WOLNA TM TIPA
~
E (0) =
i
~
i x cos ff \Gamma ~
i z sin ff
j
exp [ik 1 (x sin ff + z cos ff)] ; (6)
GDE ( ~
i x ; ~ i y ; ~
i z ) ­ ORTY DEKARTOWOJ SISTEMY KOORDINAT.
2. modificirowannyj metod t­matric
wSE ``LEKTROMAGNITNYE POLQ PREDSTAWLQ@TSQ W WIDE SUMMY DWUH SLAGAEMYH
~
E (j) = ~
E (j)
1 + ~
E (j)
2 ; ~
H (j) = ~
H (j)
1 + ~
H (j)
2 ; j = 0; 1; 2; (7)
GDE ~
E (j)
1 ; ~
H (j)
1 NE ZAWISQT OT AZIMUTALXNOGO UGLA ', A USREDNENIE ~
E (j)
2 ; ~
H (j)
2 PO ``TOMU UGLU
RAWNO NUL@. nIVE OSESIMMETRI“NAQ ZADA“A DLQ POLEJ ~
E (j)
1 ; ~
H (j)
1 I NEOSESIMMETRI“NAQ ZADA“A
DLQ POLEJ ~
E (j)
2 ; ~
H (j)
2 RE[A@TSQ NEZAWISIMO DRUG OT DRUGA.
wOZMOVNOSTX SAMOSTOQTELXNOGO RE[ENIQ ZADA“ DLQ PERWYH I WTORYH SLAGAEMYH SUMM (7)
SLEDUET IZ KOMMUTATIWNOSTI OPERATORA T , SOOTWETSTWU@]EGO ZADA“E RASSEQNIQ, I OPERATORA
L z = @
@' [7]. tAKIM OBRAZOM, DLQ OSESIMMETRI“NOGO TELA ZADA“A RASSEQNIQ RE[AETSQ NEZAWI­
SIMO DLQ KAVDOGO SLAGAEMOGO RQDA fURXE WEKTOROW ~
E; ~
H PO AZIMUTALXNOMU UGLU, T.E. W ``TOM
SLU“AE IMEET MESTO RAZDELENIE OTNOSITELXNO PEREMENNOJ '.
2.1. oSESIMMETRI“NAQ ZADA“A
wWEDEM SKALQRNYE POTENCIALY
p (j) = E (j)
1' cos '; q (j) = H (j)
1' cos '; (8)
GDE E (j)
1' ; H (j)
1' ­ '­KOMPONENTY WEKTOROW ~
E (j)
1 ; ~
H (j)
1 . dRUGIE SOSTAWLQ@]IE ``LEKTROMAGNITNYH
POLEJ WYRAVA@TSQ “EREZ AZIMUTALXNYE KOMPONENTY IZ URAWNENIJ mAKSWELLA (1). kROME TOGO,
IZ NIH SLEDUET, “TO SKALQRNYE POTENCIALY UDOWLETWORQ@T WOLNOWOMU URAWNENI@
\Deltap (j) + k 2
j p (j) = 0; \Deltaq (j) + k 2
j q (j) = 0: (9)
4

gRANI“NYE USLOWIQ (2) MOVNO ZAPISATX W WIDE
p (2) = p (0) + p (1) ;
@p (2)
@n = ¯ 2
¯ 1
@(p (0) +p (1) )
@n +
i ¯ 2
¯ 1
\Gamma 1
j 1
q
r 2 +r 0 2
`
i
1 \Gamma r 0
`
r ctg`
ji
p (0) + p (1)
j
;
q (2) = q (0) + q (1) ;
@q (2)
@n = ffl 2
ffl 1
@(q (0) +q (1) )
@n +
i ffl 2
ffl 1
\Gamma 1
j 1
q
r 2 +r 0 2
`
i
1 \Gamma r 0
`
r ctg`
ji
q (0) + q (1)
j
;
9 ? ? ? ? ? ? ? ? =
? ? ? ? ? ? ? ? ;
~r2S
(10)
GDE p (j) ; q (j) SOOTWETSTWENNO POTENCIALY PADA@]EGO, RASSEQNNOGO I IZLU“ENIQ WNUTRI “ASTICY
(j = 0; 1 I 2). oTMETIM,“TO OSESIMMETRI“NAQ ZADA“A RE[AETSQ NEZAWISIMO DLQ POTENCIALOW p
I q (T.E. DLQ WOLN te I tm TIPOW).
tAKIM OBRAZOM, RASSMATRIWAEMAQ ZADA“A SWEDENA K SKALQRNYM URAWNENIQM gELXMGOLXCA
(9) S GRANI“NYMI USLOWIQMI (10) I USLOWIQMI IZLU“ENIQ NA BESKONE“NOSTI.
rASSMOTRIM SLU“AJ te MODY. uMNOVIM WTOROE URAWNENIE GRANI“NYH USLOWIJ NA FUNKCI@
gRINA
G(k 2 ; ~r; ~r 0 ) = expfik 2 j~r \Gamma ~r 0 jg
4új~r \Gamma ~r 0 j (11)
URAWNENIQ gELXMGOLXCA (9) S WOLNOWYM “ISLOM k 2 , A PERWOE URAWNENIE -- NA PROIZWODNU@ FUNK­
CII gRINA PO NORMALI. wY“TEM IZ PERWOGO URAWNENIQ WTOROE. tOGDA, U“ITYWAQ SOOTNO[ENIE
[22]
Z
S
/
p (2) (~r 0 ) @G(k 2 ; ~r; ~r 0 )
@n 0 \Gamma @p (2) (~r 0 )
@n 0 G(k 2 ; ~r; ~r 0 )
!
dS 0 =
8 ? !
? :
\Gammap (2) (~r); ~r 2 D;
0; ~r 2 R 3 n ¯
D;
(12)
POLU“IM INTEGRALXNOE URAWNENIE OTNOSITELXNO POTENCIALA RASSEQNNOGO IZLU“ENIQ
Z
S
8 !
:
i
p (0) (~r) + p (1) (~r)
j @G (k 2 ; ~r; ~r 0 )
@n
\Gamma ¯ 2
¯ 1
@
i
p (0) (~r) + p (1) (~r)
j
@n
G
\Gamma
k 2 ; ~r; ~r 0 \Delta +
` ¯ 2
¯ 1
\Gamma 1
' 1
q
r 2 +
\Gamma
r 0
`
\Delta 2
`
1 \Gamma r 0
`
r
ctg`
' i
p (0) (~r) + p (1) (~r)
j
G
\Gamma
k 2 ; ~r; ~r 0 \Delta
9 =
; dS = 0; (13)
GDE ~r 2 R 3 n ¯
D. eSLI TO“KA NABL@DENIQ NAHODITSQ WNUTRI OBLASTI (~r 2 D), TO SOOTWETSTWU@]IJ
INTEGRAL S TO“NOSTX@ DO ZNAKA BUDET RAWEN POTENCIALU WNUTRENNEGO IZLU“ENIQ.
sKALQRNYE POTENCIALY PREDSTAWLQ@TSQ W WIDE RAZLOVENIJ PO WOLNOWYM SFERI“ESKIM
FUNKCIQM
p (0) =
1
X
l=1
a (0)
l j l (k 1 r) P 1
l (cos `) cos '; (14)
p (1) =
1
X
l=1
a (1)
l h (1)
l (k 1 r) P 1
l (cos `) cos '; (15)
GDE DLQ WOLNY TE TIPA (W SLU“AE tm MODY MENQETSQ ZNAK)
a (0)
l = \Gammai l 2l + 1
l(l + 1) P 1
l (cos ff): (16)
5

zDESX j l (kr); h (1)
l (kr) ­ SFERI“ESKIE FUNKCII bESSELQ I gANKELQ 1­GO RODA, P m
l (cos `) ­ PRISO­
EDINENNYE POLINOMY lEVANDRA.
pODSTAWIM RQDY (15) ­(16) I RAZLOVENIE FUNKCII gRINA PO SFERI“ESKIM FUNKCIQM [23]
W INTEGRALXNOE URAWNENIE (14). u“ITYWAQ SWOJSTWA ORTOGONALXNOSTI SFERI“ESKIH FUNKCIJ
P m
l (cos `) cos m' NA L@BOJ SFERE S CENTROM W NA“ALE KOORDINAT, POLU“IM BESKONE“NU@ SISTEMU
LINEJNYH ALGEBRAI“ESKIH URAWNENIJ DLQ OPREDELENIQ NEIZWESTNYH KO``FFICIENTOW RAZLOVE­
NIQ POTENCIALOW RASSEQNNOGO IZLU“ENIQ
1
X
n=1
ff (1)
ln a (1)
n = \Gamma
1
X
n=1
ff (0)
ln a (0)
n ; l = 1; 2; :::; (17)
ff (1)
ln = i(2l + 1)
2l(l + 1)
Z ú
0
ae
k 2
2 r 2
Ÿ
j 0
l (k 2 r) h n (k 1 r) \Gamma ¯ 2
¯ 1
k 1
k 2
j (1)
l (k 2 r) h (1) 0
l (k 1 r)
–
P 1
l (cos `) \Delta
\DeltaP 1
n (cos `) sin ` + k 2 r 0
` sin 2 `
Ÿ
P 1 0
l (cos `) P 1
n (cos `) \Gamma ¯ 2
¯ 1
P 1
l (cos `) P 1 0
n (cos `)
–
\Delta
\Deltah (1)
n (k 1 r) j l (k 2 r) \Gamma
` ¯ 2
¯ 1
\Gamma 1
' \Gamma
k 2 r sin ` \Gamma k 2 r 0
` cos `
\Delta
h (1)
n (k 1 r) j l (k 2 r) \Delta
\Delta P 1
l (cos `) P n (cos `)
o
d`; (18)
GDE r = r(`) -- URAWNENIE POWERHNOSTI RASSEIWA@]EJ “ASTICY, [TRIH OZNA“AET DIFFERENCI­
ROWANIE PO ARGUMENTU. mATRI“NYE ``LEMENTY ff (0)
ln POLU“A@TSQ IZ ``LEMENTOW ff ln POSLE ZAMENY
h (1)
n (k 1 r) ! j n (k 1 r).
w SLU“AE TM MODY OTLI“NY OT NULQ POTENCIALY q (j) . sOOTWETSTWU@]IE URAWNENIQ POLU­
“A@TSQ IZ WY[E PRIWEDENNYH POSLE ZAMENY ¯ j ! '' j I a (j)
n ! b (j)
n .
2.2. nEOSESIMMETRI“NAQ ZADA“A
dLQ OPREDELENIQ NEOSESIMMETRI“NOJ “ASTI ``LEKTROMAGNITNOGO POLQ BUDEM ISPOLXZOWATX
SKALQRNYE POTENCIALY U I V . pERWYJ IZ NIH QWLQETSQ z­KOMPONENTOM MAGNITNOGO ILI ``LEK­
TRI“ESKOGO WEKTORA gERCA, A WTOROJ ­ SOOTWETSTWU@]IM POTENCIALOM dEBAQ:
A) WOLNA TE TIPA
~
E (j)
2 = ~
r \Theta
i
U (j) ~ i z + V (j) ~r
j
; (19)
B) WOLNA TM TIPA
~
H (j)
2 = ~
r \Theta
i
U (j) ~ i z + V (j) ~r
j
: (20)
GDE POTENCIALY U (j) I V (j) UDOWLETWORQ@T URAWNENIQM gELXMGOLXCA (9) I PREDSTAWLQ@TSQ W
WIDE RAZLOVENIJ PO WOLNOWYM SFERI“ESKIM FUNKCIQM
U (0)
V (0) =
1
X
m=1
1
X
l=m
a (0)
ml
b (0)
ml
j l (k 1 r) P m
l (cos `) cos m'; (21)
U (1)
V (1) =
1
X
m=1
1
X
l=m
a (1)
ml
b (1)
ml
h (1)
l (k 1 r) P m
l (cos `) cos m'; (22)
GDE DLQ Tm MODY
a (0)
ml =
q '' 1
¯1 ) i l\Gamma1 2(2l+1)
k 0 ¯ 1 sin ff
(l\Gammam)!
(l+m)! P m
l (cos ff);
b (0)
ml = 0:
(23)
6

w SLU“AE te MODY W FORMULE (23) SLEDUET ISKL@“ITX MNOVITELX (\Gamma
q '' 1
¯1 ).
gRANI“NYE USLOWIQ DLQ SKALQRNYH POTENCIALOW U (j) I V (j) DLQ tm MODY IME@T WID (S“I­
TAEM, “TO ¯ j = 1)
U (2) = U (0) + U (1) ;
V (2) = V (0) + V (1) ;
@U (2)
@n = @(U (0) +U (1) )
@n +
i '' 2
'' 1
\Gamma 1
j r 0
`
r sin `
p
r 2 +r 02
`
h
r cos ` @(U (0) +U (1) )
@r
\Gamma sin ` @(U (0) +U (1) )
@` + r 2 @(V (0) +V (1) )
@r + r(V (0) + V (1) )
i
;
@V (2)
@n = @(V (0) +V (1) )
@n +
i '' 2
'' 1
\Gamma 1
j (r 0
` cos `\Gammar sin `)
r 2 sin `
q
r 2 +r 0 2
`
h
r cos ` @(U (0) +U (1) )
@r
\Gamma sin ` @(U (0) +U (1) )
@` + r 2 @(V (0) +V (1) )
@r + r(V (0) + V (1) )
i
;
9 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? =
? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ;
~r2S
(24)
tO“NO TAKVE, KAK W PREDYDU]EM PARAGRAFE, MOVNO WYWESTI INTEGRALXNYE URAWNENIQ DLQ
SKALQRNYH POTENCIALOW U I V
u“ITYWAQ GRANI“NYE USLOWIQ (24), POLU“IM BESKONE“NYE SISTEMY DLQ NEIZWESTNYH KO``F­
FICIENTOW RAZLOVENIJ (22)
P 1
n=m
i
ff (1)
1;mln k 1 a (1)
mn + fi (1)
1;mln b (1)
mn
j
= \Gamma
P 1
n=m
i
ff (0)
1;mln k 1 a (0)
mn + fi (0)
1;mln b (0)
mn
j
;
P 1
n=m
i
ff (1)
2;mln k 1 a (1)
mn + fi (1)
2;mln b (1)
mn
j
= \Gamma
P 1
n=m
i
ff (0)
2;mln k 1 a (0)
mn + fi (0)
2;mln b (0)
mn
j
;
9 ? ? =
? ? ;
(25)
GDE m = 1; 2; :::; l = m;m + 1; :::, A MATRI“NYE ``LEMENTY WY“ISLQ@TSQ PO FORMULAM
ff (1)
1;mln = i(2l + 1)
2
(l \Gamma m)!
(l +m)!
Z ú
0
ae
k 2
2 r 2
Ÿ
j 0
l (k 2 r) h (1)
n (k 1 r) \Gamma
r '' 1
'' 2
j l (k 2 r) h (1) 0
n (k 1 r)
–
\Delta
\DeltaP m
n (cos `) P m
l (cos `) sin ` + k 2 r 0
` j l (k 2 r) h (1)
n (k 1 r)
h
P m 0
l (cos `) P m
n (cos `) \Gamma
\GammaP m 0
n (cos `) P m
l (cos `)
i
sin 2 ` \Gamma
` '' 2
'' 1
\Gamma 1
' Ÿr '' 1
'' 2
k 2
2 rr 0
` cos `h (1) 0
n (k 1 r) \Delta
\DeltaP m
n (cos `) + k 2 r 0
` sin 2 ` h (1)
n (k 1 r) P m 0
n (cos `)
i
j l (k 2 r) P m
l (cos `)
o
d`; (26)
fi (1)
1;mln = \Gamma i(2l + 1)
2
(l \Gamma m)!
(l +m)!
Z ú
0
` '' 2
'' 1
\Gamma 1
' Ÿr '' 1
'' 2
k 2
2 k 1 r 2 r 0
` h (1) 0
n (k 1 r) P m
n (cos `) +
+k 2 k 1 rr 0
` h (1)
n (k 1 r) P m 0
n (cos `)
i
j (1)
l (k 2 r) P m
l (cos `) d`; (27)
ff (1)
2;mln = i(2l + 1)
2
(l \Gamma m)!
(l +m)!
Z ú
0
` '' 2
'' 1
\Gamma 1
' \Gamma k 2 r 0
` cos ` \Gamma k 2 r sin `
\Delta h
cos ` h (1) 0
n (k 1 r) \Delta
\DeltaP m
n (cos `) + sin 2 `
k 1 r
h (1)
n (k 1 r) P m 0
n (cos `)
#
j l (k 2 r) P m
l (cos `) d`; (28)
fi (1)
2;mln = i(2l + 1)
2
(l \Gamma m)!
(l +m)!
Z ú
0
ae
k 2
2 r 2
Ÿ
j 0
l (k 2 r) h (1)
n (k 1 r) \Gamma
r '' 1
'' 2
j l (k 2 r) h (1) 0
n (k 1 r)
–
\Delta
\DeltaP m
n (cos `) P m
l (cos `) sin ` + k 2 r 0
` j l (k 2 r) h (1)
n (k 1 r)
h
P m 0
l (cos `) P m
n (cos `) \Gamma
7

\GammaP m 0
n (cos `) P m
l (cos `)
i
sin 2 ` +
` '' 2
'' 1
\Gamma 1
' \Gamma
k 2 r 0
` cos ` \Gamma k 2 r sin `
\Delta Ÿr '' 1
'' 2
k 2 r \Delta
\Deltah (1) 0
n (k 1 r) P m
n (cos `) + h (1)
n (k 1 r) P m
n (cos `)
i
j l (k 2 r) P m
l (cos `)
o
d`: (29)
mATRI“NYE ``LEMENTY ff (0)
mln ; fi (0)
mln POLU“A@TSQ IZ WY[E PRIWEDENNYH POSLE ZAMENY h (1)
n (k 1 r) !
j n (k 1 r).
aNALOGI“NO MOVNO WYWESTI BESKONE“NYE SISTEMY DLQ NEIZWESTNYH KO``FFICIENTOW RAZLO­
VENIJ SKALQRNYH POTENCIALOW W SLU“AE te MODY, HOTQ ONI IME@T BOLEE SLOVNYJ WID [8].
oTLI“IE PREDLOVENNOJ ZDESX SHEMY OT RANEE ISPOLXZOWANNOJ [7­8] ZAKL@“AETSQ W TOM, “TO
ZADA“A RE[AETSQ NEPOSREDSTWENNO OTNOSITELXNO RASSEQNNOGO IZLU“ENIQ. wYWEDENNYE WY[E
bslau OTLI“A@TSQ OT RANEE POLU“ENNYH [7­8] ZAMENOJ ffl 1 ! ffl 2 ; ffl 2 ! ffl 1 ; ¯ 1 ! ¯ 2 ; ¯ 2 !
¯ 1 ; k 1 ! k 2 ; k 2 ! k 1 ; n ! l; l ! n.
3. metod diagrammnyh urawnenij
nIVE MY ISPOLXZUEM IDEI METODA DIAGRAMMNYH URAWNENIJ, PREDLOVENNOGO DLQ SKALQRNOJ
ZADA“I dIRIHLE [16,17] I DLQ ABSOL@TNO PROWODQ]IH TEL [18], W SLU“AE SOPRQVENNYH GRANI“­
NYH USLOWIJ (T.E. DLQ DI``LEKTRI“ESKIH RASSEIWATELEJ).
oSNOWOJ DLQ RAZWITIQ mdu QWLQ@TSQ WYWEDENNYE W PREDYDU]EM PARAGRAFE INTEGRALXNYE
URAWNENIQ OTNOSITELXNO POTENCIALOW RASSEQNNOGO IZLU“ENIQ. pOTENCIALY RASSEQNNOGO POLQ
W DALXNEJ ZONE (r !1) ZAPISYWA@TSQ SLEDU@]IM OBRAZOM:
p (1) (~r) = exp (ik 1 r)
\Gammaikr g 1 (`; '); (30)
U (1) (~r) = exp (ik 1 r)
\Gammaikr g u (`; '); V (1) (~r) = exp (ik 1 r)
\Gammaikr g v (`; '); (31)
GDE DIAGRAMMY NAPRAWLENNOSTI PREDSTAWLQ@TSQ W WIDE RAZLOVENIJ
g 1 =
1
X
l=1
a (1)
l i \Gammal P 1
l (cos `) cos '; (32)
g u
g v
=
1
X
m=1
1
X
l=m
a (1)
ml
b (1)
ml
i \Gammal P m
l (cos `) cos m': (33)
rASSMOTRIM OSESIMMETRI“NU@ ZADA“U. w INTEGRALXNOM URAWNENII (13) BUDEM S“ITATX, “TO
TO“KA NABL@DENIQ NAHODITSQ W DALXNEJ ZONE. tOGDA, U“ITYWAQ SOOTNO[ENIQ
j~r \Gamma ~r 0 j = ~r \Gamma ~r 0 cos \Theta
Ÿ
1 +O
` 1
r
'–
; (34)
G(~r; ~r 0 ; k 2 ) = exp (ik 2 r)
4úr exp
\Gamma \Gammaik 2 r 0 cos \Theta
\Delta Ÿ
1 +O
` 1
r
'–
; (35)
GDE cos \Theta = cos ` cos ` 0 + sin ` sin ` 0 cos (' \Gamma ' 0 ), POLU“IM
Z
S
8 !
:
i
p (0) (~r) + p (1) (~r)
j @
@n
exp (\Gammaik 2 r cos \Theta) \Gamma ¯ 2
¯ 1
@
i
p (0) (~r) + p (1) (~r)
j
@n
exp (\Gammaik 2 r cos \Theta)+
` ¯ 2
¯ 1
\Gamma 1
' 1
q
r 2 +
\Gamma
r 0
`
\Delta 2
`
1 \Gamma r 0
`
r
ctg`
' i
p (0) (~r) + p (1) (~r)
j
exp (\Gammaik 2 r cos \Theta)
9 =
; dS = 0: (36)
8

eSLI K ``TOMU URAWNENI@ DOBAWITX URAWNENIE, SWQZYWA@]EE ZNA“ENIQ POTENCIALA p (1) (~r) NA PO­
WERHNOSTI S SO ZNA“ENIEM DIAGRAMMY NAPRAWLENNOSTI, TO POLU“IM ZAMKNUTU@ SISTEMU URAW­
NENIJ OTNOSITELXNO DIAGRAMMY NAPRAWLENNOSTI g 1 (`; ').
sLEDUQ RABOTE [17], IMEEM
p (1) (~r) = exp (iú=4)
p
2úr
Z \Gammaú
2
+i1
ú
2
\Gammai1
exp (ik 1 r cos \Psi)~g 1 (`; '; \Psi)d\Psi; (37)
GDE
~
g 1 (`; '; \Psi) = exp [i\Psi( “
B + 1
2 )] g 1 (`; '); (38)
~
g 1 (`; '; 0) = g 1 (`; '); (39)
“
B ­ OPERATOR POWOROTA, OPREDELQEMYJ IZ SOOTNO[ENIQ
\Gamma “
B( “
B + 1) = 1
sin `
@
@`
`
sin `
@
@`
'
+ 1
sin 2 `
@ 2
@' 2 : (40)
zAMETIM, “TO IZ RAWENSTW (38)­(40) SLEDUET
exp(i\Psi “
B)
1
X
l=1
h
a (1)
l i \Gammal P 1
l (cos `) cos '
i
=
1
X
l=1
a (1)
l i \Gammal P 1
l (cos `) exp(il\Psi) cos ': (41)
pODSTAWLQQ PREDSTAWLENIE (37) W URAWNENIE (36), POLU“IM
P (0) (` 0 ) + e iú=4
Z
S
Z \Gammaú
2
+i1
ú
2
\Gammai1
Ÿ 1
p
2úr
exp (ik 1 r cos \Psi)~g 1 (`; '; \Psi) @
@n
exp (\Gammaik 2 r cos \Theta)\Gamma
¯ 2
¯ 1
exp (\Gammaik 2 r cos \Theta) @
@n
` 1
p
2úr
exp (ik 1 r cos \Psi)~g 1 (`; '; \Psi)
'
+
` ¯ 2
¯ 1
\Gamma 1
' 1
q
r 2 +
\Gamma
r 0
`
\Delta 2
\Delta
\Delta
`
1 \Gamma r 0
`
r
ctg`
' 1
p
2úr
exp (ik 1 r cos \Psi)~g 1 (`; '; \Psi) exp (\Gammaik 2 r cos \Theta)
–
d\PsidS = 0; (42)
GDE
P (0) (` 0 ) =
Z
S
(
p (0) (~r) @
@n
exp (\Gammaik 2 r cos \Theta) \Gamma ¯ 2
¯ 1
@p (0) (~r)
@n
exp (\Gammaik 2 r cos \Theta)+
` ¯ 2
¯ 1
\Gamma 1
' 1
q
r 2 +
\Gamma
r 0
`
\Delta 2
`
1 \Gamma r 0
`
r
ctg`
'
p (0) (~r) exp (\Gammaik 2 r cos \Theta)
9 =
; dS: (43)
uRAWNENIE (42) SPRAWEDLIWO DLQ WSEH “ASTIC, DLQ KOTORYH WYPUKLAQ OBOLO“KA OSOBENNOSTEJ
RASSEQNNOGO POLQ CELIKOM RASPOLOVENA WNUTRI RASSEIWATELQ [16­17,20].
pOSLE PODSTANOWKI RAZLOVENIJ DIAGRAMMY NAPRAWLENNOSTI (28) I PLOSKOJ WOLNY (SM. [23]),
U“ITYWAQ SOOTNO[ENIQ (37)­(41) I INTEGRALY zOMMERFELXDA [24]
h (1)
n (k 1 r) = exp (iú=4)
p
2úk 1 r
Z \Gammaú
2
+i1
ú
2
\Gammai1
exp (ik 1 r cos \Psi) exp [(n + 1=2)\Psi]d\Psi (44)
DLQ SFERI“ESKIH FUNKCIJ gANKELQ 1­GO RODA, POLU“IM bslau DLQ NEIZWESTNYH KO``FFICIEN­
TOW. ---TI SISTEMY POLNOSTX@ SOWPADA@T S SISTEMAMI (17)­(18), KOTORYE BYLI POLU“ENY RANEE
9

W RAMKAH MODIFICIROWANNOGO METODA t­MATRIC. oDNAKO, W DANNOM SLU“AE NE TREBUETSQ WYPOL­
NENIE GIPOTEZY rELEQ -- SHODIMOSTI RASSEQNNYH I WNUTRENNIH POLEJ WPLOTX DO GRANICY “AS­
TICY. uSLOWIQ RAZRE[IMOSTI POLU“ENNYH bslau BUDUT POLU“ENY NIVE, ONI NAKLADYWA@T
BOLEE SILXNYE OGRANI“ENIQ NA GEOMETRI@ RASSEIWA@]EJ “ASTICY, “EM USLOWIQ RAZRE[IMOSTI
INTEGRALXNYH URAWNENIJ.
dLQ NEOSESIMMETRI“NYH “ASTEJ (31) DIAGRAMM RASSEQNNOGO IZLU“ENIQ INTEGRALXNYE URAW­
NENIQ POLU“A@TSQ ANALOGI“NO, KAK I bslau DLQ KO``FFICIENTOW IH RAZLOVENIJ (33). sLEDUET
OTMETITX, “TO ``TI SISTEMY TAKVE SOWPADA@T S bslau (25)--(29), POLU“A@]IMISQ W RAMKAH
MODIFICIROWANNOGO METODA t­MATRIC.
tAKIM OBRAZOM, mdu, PO SU]ESTWU, PREDSTAWLQET SOBOJ METOD t­MATRIC, NO W DALXNEJ ZONE
RASSEQNNOGO IZLU“ENIQ.
4. issledowanie bslau
dLQ ANALITI“ESKOGO ISSLEDOWANIQ POLU“ENNYH bslau NUVNO RASSMATRIWATX POWEDENIE
IH MATRI“NYH ``LEMENTOW I SWOBODNYH “LENOW PRI BOLX[IH ZNA“ENIQH INDEKSOW. pOSKOLXKU
ONI QWLQ@TSQ INTEGRALAMI OT PROIZWEDENIJ WOLNOWYH SFERI“ESKIH FUNKCIJ, TO SLEDUET IS­
POLXZOWATX ASIMPTOTIKI SFERI“ESKIH FUNKCIJ bESSELQ I gANKELQ, A TAKVE PRISOEDINENNYH
POLINOMOW lEVANDRA PRI BOLX[IH INDEKSAH [24]
j n (k 2 r) = 2 n n! (k 2 r) n
(2n + 1)! [1 +O(1=n)] ; (45)
h (1)
n (k 1 r) = i (2n)!
2 n n! (k 1 r) (n+1)
[1 +O(1=n)] ; (46)
P m
n (cos `) = n m
r
2
ún sin `
cos
Ÿ
(n + 1
2 )` \Gamma mú
2 \Gamma ú
4
–
[1 +O(1=n)] : (47)
sNA“ALA RASSMOTRIM bslau, WOZNIKA@]IE W OSESIMMETRI“NOM SLU“AE (te MODA, ¯ 1 =
¯ 2 = 1). s U“ETOM PREDSTAWLENIJ (45) -- (47) MATRI“NYE ``LEMENTY BESKONE“NYH SISTEM IME@T
SLEDU@]IE PREDSTAWLENIQ:
A) PRI l ?? 1; n = O(1)
ff (1)
ln =
Z ú
0
f 1 (`) exp [l(ln k 2 r(`) + is`)]d`; (48)
B) PRI n ?? l
ff (1)
ln =
Z ú
0
f 2 (`) exp [n(\Gamma ln k 1 r(`) + is`)]d`; (49)
GDE s = 1 ILI s = \Gamma1, f 1 (`); f 2 (`) -- MEDLENNO MENQ@]IESQ FUNKCII.
iNTEGRALY (48) -- (49) OCENIWA@TSQ PO METODU PEREWALA, PRI ``TOM PARAMETR ` STANOWIT­
SQ KOMPLEKSNYM. wWEDEM KOMPLEKSNU@ PLOSKOSTX z = r exp (i`). tOGDA OTOBRAVENIE i + =
r(`) exp ( +i`) PEREWODIT SE“ENIE C 0 POWERHNOSTI S PLOSKOSTX@ ' = 0 I ' = ú W KONTUR
C+ NA PLOSKOSTI z, KOTORYJ SOWPADAET S SE“ENIEM C 0 . kONTUR C \Gamma (DLQ OTOBRAVENIQ i \Gamma =
r(`) exp ( \Gammai`)) QWLQETSQ OTRAVENIEM SE“ENIQ C 0 OTNOSITELXNO OSI WRA]ENIQ z I W NA[EM SLU­
“AE TAKVE SOWPADAET S SE“ENIEM C 0 . w REZULXTATE POLU“IM
jff (1)
ln j Ÿ Const (k 2 r 1;max ) l
2 l l \Delta l!
[1 +O(1=l)] ; l ?? 1; n = O(1); (50)
10

jff (1)
ln j Ÿ Const 2 n n!
(k 1 r 2;min ) n [1 +O(1=n)] ; n ?? l; (51)
GDE
r 1;max = max
fi fi fir(` s
0 ) e is` s
0
fi fi fi ; (52)
r 2;min = min
fi fi fir(` s
0 ) e is` s
0
fi fi fi ; (53)
A ZNA“ENIQ ` s
0 NAHODITSQ IZ URAWNENIJ
r 0
`
(`)
r(`)
fi fi fi `=` s
0
= \Gammais (54)
ILI
exp (is ` s
0 ) = 0: (55)
mAKSIMUM (52) I]ETSQ SREDI TEH KORNEJ ` s
0 URAWNENIJ (54)--(55), KOTORYM PRI OTOBRAVENII
z = r(`) exp (i`) SOOTWETSTWU@T TO“KI, LEVA]IE WNUTRI KONTUROW C+ I C \Gamma , A MINIMUM (53)
-- SREDI KORNEJ, KOTORYM SOOTWETSTWU@T TO“KI WNE ``TIH KONTUROW. tAKIM KORNQM OTWE“A@T
OSOBENNOSTI PRODOLVENIJ RASSEQNNOGO I WNUTRENNEGO POLEJ WO WNUTRENNOSTX I WO WNE[NOSTX
RASSEIWATELQ SOOTWETSTWENNO. oTMETIM, “TO, ESLI POWERHNOSTX “ASTICY NEGLADKAQ (T.E. FUNK­
CIQ r = r(`) IMEET NEANALITI“ESKIE TO“KI), TO IH TAKVE SLEDUET U“ITYWATX PRI WY“ISLENII
r 1;max I r 2;min .
w DALXNEJ[EM NAM POTREBU@TSQ NEKOTORYE SOOTNO[ENIQ. pERWOE IZ NIH POLU“AETSQ S PO­
MO]X@ ZAMENY i + = r(`) exp ( +i`) I PEREHODA K INTEGRIROWANI@ W KOMPLEKSNOJ PLOSKOSTI
i:
1
2ú
Z 2ú
0
(r(`) exp ( +i`)) l\Gamman
`
1 \Gamma i
r 0
` (`)
r(`)
'
d` = ffi ln : (56)
w NA[EM SLU“AE INTEGRIROWANIE PROWODITSQ OT 0 DO ú, PO``TOMU PRI PRIMENENII WY[E PRI­
WEDENNOJ FORMULY NUVNO U“ESTX, “TO WYPOLNQ@TSQ RAWENSTWA r(2ú \Gamma `) = r(`) I r 0 (2ú \Gamma `) =
\Gammar 0 (`):
1
ú
Z ú
0
[r(`)] l\Gamman
`
cos (l \Gamma n) `) + r 0
` (`)
r(`)
sin (l \Gamma n) `
'
d` = ffi ln : (57)
dRUGIE OCENKI OTNOSQTSQ OTNOSITSQ K INTEGRALAM WIDA ( l; n ?? 1; jn \Gamma lj = O(1) )
Ÿ(l + n) = 1
2ú
Z 2ú
0
(r(`)) l\Gamman exp ( +i (l + n) `)
`
1 + i
r 0
` (`)
r(`)
'
d` =
= 1
ú
Z ú
0
[r(`)] l\Gamman
`
cos (l + n) `) \Gamma r 0
` (`)
r(`)
sin (l + n) `
'
d`: (58)
wELI“INY Ÿ(l+n) OCENIWA@TSQ PO TEOREME rIMANA­lEBEGA [25], PRI ``TOM SKOROSTX IH UBYWANIQ
ZAWISIT OT GLADKOSTI FUNKCII r(`). eSLI ONA BESKONE“NO DIFFIRENCIRUEMA, TO Ÿ(l + n) =
o((l + n) \Gammam ), GDE m -- L@BOE CELOE POLOVITELXNOE “ISLO.
pRINIMAQ WO WNIMANIE SOOTNO[ENIQ (57)­(58), MOVNO NAJTI OCENKI DRUGIH MATRI“NYH
``LEMENTOW bslau, WKL@“AQ DIAGONALXNYE ( l; n ?? 1; jn \Gamma lj = O(1) ),
ff (1)
ll = 1
2
`
1 + k 1
k 2
' ` k 2
k 1
' l
[1 +O(1=l)] ; ff (1)
ln = ff (1)
ll \Delta O
` 1
ln
'
: (59)
pOSLEDNQQ FORMULA POLU“AETSQ PRI U“ETE WTORYH SLAGAEMYH W ASIMPTOTIKAH (45)­(46).
11

sWOBODNYE “LENY bslau (17) OCENIWA@TSQ ANALOGI“NO (SM. TAKVE [17]). w REZULXTATE
POLU“IM ( l ?? 1 )
j~a 0
l j =
fi fi fi fi fi
1
X
n=1
ff (0)
ln a (0)
n
fi fi fi fi fi Ÿ Const (k 2 r 0;max ) l
2 l l \Delta l!
[1 +O(1=l)] ; (60)
GDE r 0;max -- RASSTOQNIE DO NAIBOLEE UDALENNOJ OT NA“ALA KOORDINAT OSOBENNOSTI PADA@]EGO
POLQ PRI EGO PRODOLVENII W OBLASTX KOMPLEKSNYH UGLOW (r 0;max Ÿ max r(`), T.E. WNUTRI RAS­
SEIWATELQ). w SLU“AE TO“E“NOGO ISTO“NIKA TAKIMI TO“KAMI SLUVAT EGO ''IZOBRAVENIQ'' [20].
dLQ PLOSKOJ WOLNY OSOBYE TO“KI OTSUTSTWU@T I MOVNO WYBRATX L@BOE SKOLX UGODNO MALOE
POLOVITELXNOE “ISLO (T.E. r 0; max = 0).
sDELAEM ZAMENU NEIZWESTNYH I SWOBODNYH “LENOW
x (1)
n = 2 n n!
(k 1 R) n a (1)
n ; x (0)
l = (k 2 R) l
2 l l!
a (0)
l : (61)
nOWAQ bslau BUDET IMETX WID
1
X
n=1
~
ff (1)
ln x (1)
n = x (0)
l ; l = 1; 2; :::; (62)
GDE
j ~
ff (1)
ln j Ÿ Const
` 1
l
'` r 1;max
R
' l
[1 +O(1=l)] ; l ?? 1; n = O(1); (63)
j ~
ff ln j Ÿ Const
/
R
r 2;min
! n
[1 +O(1=n)] ; n ?? l; (64)
~
ff (1)
ll = 1
2
`
1 + k 1
k 2
'
[1 +O(1=l)] ; ~
ff (1)
ln = O
` 1
ln
'
: l; n ?? 1; jn \Gamma lj = O(1): (65)
jx (0)
l j Ÿ Const 1
l
` r 0;max
R
' l
[1 +O(1=l)] ; l ?? 1; n = O(1); (66)
dANNAQ bslau QWLQETSQ KWAZIREGULQRNOJ [26­28] I DLQ NEE SPRAWEDLIWA ALXTERNATIWA
fREDGOLXMA PRI USLOWII (DLQ PLOSKOJ WOLNY r 0;max = 0)
max (r 0;max ; r 1;max ) Ÿ R Ÿ r 2;min : (67)
s U“ETOM EDINSTWENNOSTI ISHODNOJ ZADA“I RASSEQNIQ PRI WYPOLNENII ``TOGO USLOWIQ SU]EST­
WUET EDISTWENNOE RE[ENIE bslau, KOTOROE MOVNO NAJTI METODOM REDUKCII [26­28]. pOSLEDNEE
O“ENX WAVNO, TAK KAK PRI “ISLENNYH RAS“ETAH RE[A@TSQ IMENNO REDUCIROWANNYE SISTEMY.
sLEDUET OTMETITX, “TO SOOTNO[ENIE (67) NAKLADYWAET OGRANI“ENIQ TOLXKO NA GEOMETRI@
“ASTICY I NE ZAWISIT OT EE HIMI“ESKOGO SOSTAWA (DI``LEKTRI“ESKOJ POSTOQNNOJ).
lEGKO UWIDETX, “TO DLQ MATRI“NYH ``LEMENTOW bslau (25)--(29), K KOTORYM SWODITSQ ZADA­
“A RASSEQNIQ W NEOSESIMMETRI“NOM SLU“AE, SPRAWEDLIWY OCENKI ANALOGI“NYE SOOTNO[ENIQM
(50)­(55). tAKIM OBRAZOM, USLOWIE (67) I W ``TOM SLU“AE QWLQETSQ NEOBHODIMYM DLQ OBOSNOWAN­
NOGO PRIMENENIQ METODA t­MATRIC W DALXNEJ ZONE.
w RABOTAH k@RK“ANA PREDLOVENO NAZYWATX “ASTICY, UDOWLETWORQ@]IE SOOTNO[ENI@ (67),
''SLABO NEWYPUKLYMI''. dELO W TOM, “TO BEZ U“ETA OSOBENNOSTEJ WNUTRENNEGO POLQ, KOTORYE NA­
HODQTSQ IZ SOOTNO[ENIQ (55), WSE WYPUKLYE RASSEIWATELI UDOWLETWORQ@T NERAWENSTWU (67).
oDNAKO, PRI RASSMOTRENII WSEH OSOBYH TO“EK WYQSNQETSQ, “TO SU]ESTWU@T WYPUKLYE “AS­
TICY, DLQ KOTORYH DANNYJ KRITERIJ NE WYPOLNQETSQ (NAPRIMER, SFEROIDALXNYE “ASTICY S
12

OTNO[ENIQMI POLUOSEJ a=b ?
p
2+1, SM. NIVE). w SWQZI S ``TIM MY PREDLAGAEM DRUGOJ TERMIN
-- ''SLABO RELEEWSKIE'' “ASTICY (W OTLI“II OT ''RELEEWSKIH'' “ASTIC, DLQ KOTORYH SPRAWEDLIWA
GIPOTEZA rELEQ).
aNALOGI“NOE ISSLEDOWANIE MOVNO PROWESTI DLQ bslau, WOZNIKA@]IH W RANEE PREDLOVEN­
NOJ SHEME METODA t­MATRIC [7]. w REZULXTATE SNOWA POLU“AETSQ SOOTNO[ENIE (67).
pOSKOLXKU ISPOLXZOWANIE WOLNOWYH SFEROIDALXNYH FUNKCIJ W KA“ESTWE BAZISNYH QWLQETSQ
KRAEUGOLXNYM KAMNEM WO WSEH SHEMAH METODA t­MATRIC, TO SFORMULIROWANNYE WY[E UTWERV­
DENIQ SPRAWEDLIWY DLQ L@BOJ IZ NIH, WKL@“AQ KLASSI“ESKU@ [4­6].
5. obsuvdenie rezulxtatow ~islennyh ras~etow
nA OSNOWANII IZLOVENNOGO PODHODA BYLI PROWEDENY “ISLENNYE RAS“ETY, NEKOTORYE RE­
ZULXTATY KOTORYH PRIWEDENY NIVE NA RIS. 1­5. wYRAVENIQ DLQ SE“ENIJ OSLABLENIQ C ext I
RASSEQNIQ C sca MOVNO NAJTI W STATXE [7], A POTENCIALY p (i) I U (i) , V (i) WY“ISLQ@TSQ PO FOR­
MULAM (14)­(15) I (21)­(22) SOOTWETSTWENNO.
w DALXNEJ ZONE W KA“ESTWE TESTA NA DOSTOWERNOSTX “ISLENNYH RAS“ETOW (I PRIMENIMOSTX
METODA t­MATRIC) ISPOLXZUETSQ ZAKON SOHRANENIQ ``NERGII C ext = C sca . nA RISUNKAH PRIWODQT­
SQ ZNA“ENIQ OTNOSITELXNOJ O[IBKI
\Delta = 2 C ext \Gamma C sca
C ext + C sca
(68)
W ZAWISIMOSTI OT KOLI“ESTWA N U“ITYWAEMYH SLAGAEMYH W RAZLOVENIQH POLEJ. w OSESIMMET­
RI“NOJ ZADA“E U“ITYWA@TSQ TOLXKO PERWYE SLAGAEMYE W WYRAVENIQH DLQ SE“ENIJ, A W NEOSE­
SIMMETRI“NOJ -- OSTALXNYE SLAGAEMYE, NA“INAQ SO WTORYH. zAMETIM, “TO DRUGAQ WOZMOVNAQ
PROWERKA, KOTORAQ PODHODIT I DLQ POGLO]A@]IH “ASTIC, OSNOWYWAETSQ NA TEOREME WZAIMNOSTI
[6,29].
w BLIVNEJ ZONE DLQ TESTIROWANIQ ISPOLXZU@TSQ GRANI“NYE USLOWIQ (tm MODA). iH WY­
POLNENIE KONTROLIRUETSQ S POMO]X@ DRUGOJ OTNOSITELXNOJ O[IBKI
ffi 1 = 2 p (0) + p (1) \Gamma p (2)
p (0) + p (1) + p (2) ; ffi 2 = 2 U (0) + U (1) \Gamma U (2)
U (0) + U (1) + U (2) ; (69)
GDE ZNA“ENIQ POTENCIALOW WY“ISLQ@TSQ W OPREDELENNOJ TO“KE NA POWERHNOSTI RASSEIWATELQ.
kROME TOGO, RASSMATRIWAETSQ SHODIMOSTX SOOTWETSTWU@]IH RAZLOVENIJ DLQ POTENCIALOW RAS­
SEQNNOGO I WNUTRENNEGO IZLU“ENIJ W RAZLI“NYH TO“KAH NA POWERHNOSTI “ASTICY
ffi (i)
1 = p (i) (N)
p (i) (N max )
\Gamma 1; ffi (i)
2 = U (i) (N)
U (i) (N max )
\Gamma 1; (70)
GDE N = 1; 2; :::; N max ; N max -- NAIBOLX[EE KOLI“ESTWO U“ITYWAEMYH “LENOW W RAZLOVENIQH.
w SLU“AE WYTQNUTYH SFEROIDOW URAWNENIE POWERHNOSTI IMEET WID
r(`) = b
r
1 \Gamma
h
1 \Gamma (b=a) 2
i
cos 2 `
; (71)
dLQ SPL@SNUTOGO SFEROIDA NUVNO SDELATX ZAMENU b ! a; a ! b. dLQ WYTQNUTYH “ASTIC OSO­
BENNOSTI RASSEQNNOGO POLQ NAHODQTSQ W FOKUSAH SFEROIDA [20] (POLOWINA FOKUSNOGO RASSTOQNIQ
d =
p
a 2 \Gamma b 2 ). oSOBENNOSTI WNUTRENNEGO POLQ OPREDELQ@TSQ URAWNENIEM (55) I RASPOLOVENY
NA GORIZONTALXNOM KOLXCE RADIUSA 2ab=d S CENTROM NA“ALE KOORDINAT. dLQ SPL@SNUTYH “ASTIC
13

OSOBENNOSTI RASSEQNNOGO POLQ OBRAZU@T FOKALXNOE KOLXCO RADIUSA d, A OSOBENNOSTI WNUTREN­
NEGO POLQ NAHODQTSQ NA OSI WRA]ENIQ NA RASSTOQNII 2ab=d OT CENTRA SFEROIDA (SM. TAKVE
[20]).
wYTQNUTYE I SPL@SNUTYE SFEROIDY QWLQ@TSQ ''SLABO RELEEWSKIMI'' “ASTICAMI PRI WY­
POLNENII USLOWIQ
d ! 2ab=d ILI a=b !
p
2 + 1: (72)
nAPOMNIM, “TO GIPOTEZA rELEQ DLQ WNE[NIH ZADA“ WYPOLNQETSQ PRI USLOWII
d ! b ILI a=b !
p
2; (73)
A DLQ WNUTRENNIH ZADA“ -- PRI
a ! 2ab=d ILI a=b !
p
5: (74)
oTMETIM, “TO ZADA“U OPREDELENIQ POLQ WNUTRI “ASTICY PRI PADENII NA NEE ``LEKTROMAG­
NITNOGO IZLU“ENIQ CELESOOBRAZNO RE[ATX W RAMKAH TRADICIONNOGO PODHODA (SM. [7­8]). w ``TOM
SLU“AE WNUTRENNEE POLE OPREDELQETSQ NA PERWOM ``TAPE, A ZATEM PO NEMU NAHODITSQ RASSEQNNOE
POLE. pRINIMAQ WO WNIMANIE POLU“ENNYE WY[E REZULXTATY, MOVNO UTWERVDATX -- DANNAQ ZA­
DA“A IMEET EDINSTWENNOE RE[ENIE, KOTOROE MOVNO NAJTI METODOM REDUKCII, PRI WYPOLNENII
WNUTRENNEJ GIPOTEZY rELEQ (74).
wOPROS O PRIMENIMOSTI METODA t­MATRIC RASSMATRIWAETSQ OTDELXNO DLQ OSESIMMETRI“NOJ
I NEOSESIMMETRI“NOJ ZADA“. iZ RIS. 1­2 WIDNO, “TO HARAKTER SHODIMOSTI RAZLOVENIJ W OSESIM­
METRI“NOJ I NEOSESIMMETRI“NOJ ZADA“AH ODIN I TOT VE (UGLY NAKLONA PRQMYH USREDNENNYH
O[IBOK PRIMERNO ODINAKOWY). sLEDUET OBRATITX WNIMANIE NA TO, “TO KARTINA PRINCIPIALX­
NO NE MENQETSQ PRI PEREHODE OT SPL@SNUTYH SFEROIDOW r WYTQNUTYM (RIS. 3), A TAKVE PRI
IZMENENII POKAZATELQ PRELOMLENIQ WE]ESTWA “ASTICY (RIS. 4) ILI EE RAZMERA PO SRAWNENI@ S
DLINOJ WOLNY IZLU“ENIQ (RIS. 5). dANNYE ILL@STRACII POKAZYWA@T UHUD[ENIE REZULXTATOW
PO METODU t­MATRIC S UWELI“ENIEM OTNO[ENIQ POLUOSEJ SFEROIDA.
CHODIMOSTX RAZLOVENIJ POTENCIALOW RASSEQNNOGO IZLU“ENIQ W RAZLI“NYH TO“KAH NA PO­
WERHNOSTI “ASTICY DEMONSTRIRUET RIS. 6. iZ NEGO SLEDUET, “TO W TO“KE, NAHODQ]IEJSQ WNUTRI
SFERY r = r 1; max , RAZLOVENIE (15) RASHODITSQ W SOOTWETSTWII S IZLOVENNOJ WY[E TEORIEJ.
pRI “ISLENNYH RAS“ETAH GRANICY PRIMENIMOSTI METODA t­MATRIC PROQWLQ@TSQ NE“ETKO,
TAK KAK RE[A@TSQ REDUCIROWANNYE SISTEMY. eSLI USLOWIQ (67) NARU[A@TSQ, TO MOVNO POLU­
“ITX REZULXTATY BLIZKIE K ISTINNYM PRI NEBOLX[OM KOLI“ESTWE U“ITYWAEMYH SLAGAEMYH W
RAZLOVENIQH POLEJ. dANNAQ SITUACIQ WOZMOVNA TOLXKO DLQ “ASTIC, RAZMERY KOTORYH NEWELI­
KI PO SRAWNENI@ S DLINOJ WOLNY IZLU“ENIQ. s UWELI“ENIEM PORQDKA REDUCIROWANNYH SISTEM
IH SWOJSTWA STANOWQTSQ BLIZKIMI K SWOJSTWAM bslau. mAKSIMALXNYE RAZMERY SFEROIDOW,
NE QWLQ@]IHSQ ''RELEEWSKIMI'' ILI ''SLABO RELEEWSKIMI'', NO DLQ KOTORYH “ISLENNYE RAS“ETY
DA@T PRIEMLEMYE REZULXTATY W BLIVNEJ ILI DALXNEJ ZONAH, OPREDELQ@TSQ, W PERWU@ O“EREDX,
IH FORMOJ (OTNO[ENIEM a=b) I TOLXKO ZATEM HIMI“ESKIM SOSTAWOM (POKAZATELEM PRELOMLENIQ)
I, W SLABOJ STEPENI, ORIENTACIEJ OTNOSITELXNO PADA@]EGO IZLU“ENIQ.
dLQ “EBY[EWSKIH “ASTIC URAWNENIE POWERHNOSTI ZAPISYWAETSQ W WIDE
r(`) = r 0 [1 + ffl cos(n`)]; (75)
GDE r 0 -- RADIUS NEWOZMU]ENNOGO [ARA, ffl -- AMPLITUDA WOZMU]ENIQ, n -- KOLI“ESTWO GARMONIK
(MAKSIMUMOW). ~ISLENNYJ ANALIZ POLEJ W DALXNEJ ZONE PROWODILSQ W RABOTE [8], TAM VE DOSTA­
TO“NO PODROBNO OBSUVDALISX OSOBENNOSTI RASSEQNNOGO I WNUTRENNEGO POLEJ (URAWNENIE (55)
NOWYH OSOBENNOSTEJ NE DAET), A TAKVE WNE[NQQ I WNUTRENNQQ GIPOTEZY rELEQ. pRIWEDENNYE W
14

NEJ REZULXTATY HORO[O UKLADYWA@TSQ W RAMKI, USTANOWLENNYE W PARAGRAFE 4. w ``TOJ STATXE
ISPOLXZOWALSQ TERMIN ''SLABO NEWYPUKLYE'' “ASTICY, KOTORYJ W ``TOM SLU“AE WYGLQDIT DO­
STATO“NO ESTESTWENNO, NO, S OB]EJ TO“KI ZRENIQ, EGO SLEDUET ZAMENITX NA ''SLABO RELEEWSKIE''
“ASTICY.
tAKIM OBRAZOM, “ISLENNYE RAS“ETY POLNOSTX@ PODTWERVDA@T REZULXTATY ANALITI“ES­
KIH ISSLEDOWANIJ. oTMETIM, “TO STANDARTNAQ PROGRAMMA bARBERA I hILLA [5], ISPOLXZU@]AQ
KLASSI“ESKIJ METOD t­MATRIC, DAET ANALOGI“NYE REZULXTATY. w RAMKAH MODIFICIROWANNOGO
PODHODA DLQ SFEROIDALXNYH “ASTIC S OTNO[ENIQMI a=b ? 3 (T.E. UVE W OBLASTI ''RISKOWANNO­
GO'' PRIMENENIQ) RAZLOVENIQ POLEJ SHODQTSQ BYSTREE, “EM W KLASSI“ESKOJ SHEME. ---TO POZWOLQET
PRODWINUTXSQ NESKOLXKO DALX[E, ESLI ISPOLXZOWATX NA[E RE[ENIE.
zakl`~enie
pROWEDENNYJ ANALITI“ESKIJ I “ISLENNYJ ANALIZ METODA t­MATRIC I EGO MODIFIKACIJ
POKAZAL, “TO TEORETI“ESKI ONI IME@T ODNU I TU OBLASTX PRIMENIMOSTI, PRI ``TOM MOVNO
SDELATX SLEDU@]IE WYWODY.
1. w DALXNEJ ZONE METOD t­MATRIC ZAWEDOMO UDOWLETWORITELXNO RABOTAET DLQ ''SLABO RE­
LEEWSKIH'' “ASTIC (DLQ SFEROIDOW PRI a=b ! (
p
2 + 1)), KOGDA ANALITI“ESKIE PRODOLVENIQ
RASSEQNNYH I WNUTRENNIH POLEJ IME@T OB]EE KOLXCO S CENTROM W CENTRE “ASTICY.
2. w BLIVNEJ ZONE I, SLEDOWATELXNO, WS@DU METOD t­MATRIC MOVNO OBOSNOWANNO PRIMENQTX
TOLXKO W SLU“AE ''RELEEWSKIH'' “ASTIC (DLQ SFEROIDOW PRI a=b !
p
2 ), DLQ KOTORYH SPRAWEDLIWA
GIPOTEZA rELEQ.
3. pREDELXNYE RAZMERY “ASTIC, NE QWLQ@]IHSQ ''RELEEWSKIMI'' ILI ''SLABO RELEEWSKIMI'', NO
DLQ KOTORYH “ISLENNYE RAS“ETY DA@T PRIEMLEMYE REZULXTATY W BLIVNEJ ILI DALXNEJ ZONAH,
OPREDELQ@TSQ, W PERWU@ O“EREDX, IH GEOMETRIEJ (FORMOJ) I TOLXKO ZATEM HIMI“ESKIM SOSTAWOM
(POKAZATELEM PRELOMLENIQ). dLQ SFEROIDOW ``TI ZNA“ENIQ DOSTATO“NO BYSTRO UMENX[A@TSQ S
ROSTOM OTNO[ENIQ a=b.
iTAK, OBLASTX OBOSNOWANNOGO PRIMENENIQ METODA t­MATRIC DLQ SFEROIDALXNYH “ASTIC
SRAWNITELXNO NEWELIKA, PO``TOMU ZNA“ITELXNO WOZRASTAET ROLX METODA RAZDELENIQ PEREMENNYH
[10­11,14­15], KOTORYJ MOVNO ISPOLXZOWATX PRI L@BYH ZNA“ENIQH PARAMETROW [27­28].
aWTOR GLUBOKO PRIZNATELEN w.b.iLXINU ZA PLODOTWORNYE DISKUSSII I WYPOLNENNYE “IS­
LENNYE RAS“ETY. dANNAQ RABOTA WYPOLNENA PRI FINANSOWOJ PODDERVKE PO PROGRAMME INTAS
(GRANT 99/652).
15

spisok literatury
1. bOREN k., hAFMEN d. rASSEQNIE I POGLO]ENIE SWETA MALYMI “ASTICAMI. m.: mIR, 1986.
2. wOLKOWICKIJ o.a., pAWLOWA l.n., pETRU[IN a.g. oPTI“ESKIE SWOJSTWA KRISTALLI“ESKIH
OBLAKOW. l.: gIDROMETEOIZDAT, 1984.
3. lOPATIN w.n., sIDXKO f.q. wWEDENIE W OPTIKU WZWESEJ KLETOK. nOWOSIBIRSK: nAUKA, 1988.
4. Varadan V.K., Varadan V.V. (eds) Acoustic, Electromagnetic and Elastic Wave Scattering --
Focus on the T­matrix Approach, Pergamon Press, New York 1980.
5. Barber P.W., Hill S.C. Light Scattering by Particles: Computational Methods, World Scientific,
Singapore, 1990.
6. Mishchenko M.I., Hovenier J.W., Travis L.D. Light Scattering by Nonspherical particles. San
Diego: Academic Press, 2000.
7. fARAFONOW w.g. // oPT. I SPEKTR. 2000. t. 88. N 1. s. 70.
8. fARAFONOW w.g. iLXIN w.b. // oPT. I SPEKTR. 2001. t. 91. N 4.
9. fARAFONOW w.g. // oPT. I SPEKTR. 2001. t. 91. N 1. s. 86.
10. Voshchinnikov N.V., Farafonov V.G. // Astrophys. Space Sci. 1993. V. 204. N 1. P. 19.
11. Voshchinnikov N.V., Il'in V.B., Henning Th., Michel B., Farafonov V.G. // JQSRT. 2000.
V. 65. N 5. P. 877.
12. Schulz F.M., Stamnes K., Stamnes J.J. // Appl. Opt. 1998. V. 37. P. 7875.
13. Schulz F.M., Stamnes K., Stamnes J.J. // JOSA. 1999. V. 16. N 4. P. 853.
14. fARAFONOW w.g. // oPT. I SPEKTR. 2001. t. 90. N 5. s. 516.
15. Farafonov V.G., Voshchinnikov N.V., Somsikov V.V. // Appl. Opt. 1996. V.35. N27. P.5412.
16 k@RK“AN a.g. // dOKL. an. 1992. t .325. N 2. s. 273.
17 k@RK“AN a.g., kLEEW a.i. // rADIOTEHN. I ``LEKTRON. 1995. t.40. N 6. s. 897.
18 k@RK“AN a.g. // rADIOTEHN. I ``LEKTRON. 2000. t.45. N 9. s. 1078.
19. k@RK“AN a.g. // rADIOTEHN. I ``LEKTRON. 1986. t.31. s.1294.
20. aPELXCIN w.f., k@RK“AN a.g. aNALITI“ESKIE SWOJSTWA WOLNOWYH POLEJ. m.: iZD­WO
mgu, 1990.
21. Zakharova N.T., Mishchenko M.I. // Appl. Opt. 2000. V. 39. N 27. P. 5052.
22. kOLTON d., kRESS r. mETODY INTEGRALXNYH URAWNENIJ W TEORII RASSEQNIQ. m.: mIR,
1987.
23. mORS f.m., fE[BAH g. mETODY TEORETI“ESKOJ FIZIKI.t.2. m.: iZD­WO INOSTR. LIT., 1960.
24. zOMMERFELXD a. uRAWNENIQ W “ASTNYH PROIZWODNYH MATEMATI“ESKOJ FIZIKI. m.: iZD­WO
INOSTR. LIT., 1951.
25. fEDOR@K m.w. aSIMPTOTIKA. iNTEGRALY I RQDY. m.: nAUKA, 1987.
26. kANTOROWI“ l.w., kRYLOW w.i. pRIBLIVENNYE METODY WYS[EGO ANALIZA. m.: fIZMATGIZ,
1962.
27. fARAFONOW w.g. // dIFFERENC. URAWN. 1982. t. 18. N 9. s. 1599.
28. fARAFONOW w.g. // dIFFERENC. URAWN. 1983. t. 19. N 10. s. 1765.
29. Farafonov V.G., Il'in V.B., Voshchinnikov N.V. // 6th International Congress on Optical
Particle Characterisation. 2--5 April 2001. Brighton, UK. Abstract Book. P. 79­80.
16

pODPISI POD RISUNKAMI
K STATXE w.g.fARAFONOWA
''o PRIMENIMOSTI METODA t­MATRIC I EGO MODIFIKACIJ''
rIS. 1. oTNOSITELXNYE O[IBKI (OSESIMMETRI“NAQ ZADA“A) \Delta I ffi (W TO“KE S KOORDINATA­
MI ` = 45 ffi ; ' = 0 ffi ) W ZAWISIMOSTI OT “ISLA U“ITYWAEMYH SLAGAEMYH N DLQ SPL@SNUTYH
SFEROIDOW S RAZNYMI OTNO[ENIQMI a=b , POKAZANNYMI “ISLAMI OKOLO KRIWYH. pOKAZATELX
PRELOMLENIQ p
ffl = m = 2:0, PARAMETR RAZMERA x v = k 1 r v = 2úr v =– = 1; r v = a 2 b, IZLU“ENIE
PADAET POD UGLOM ff = 45 ffi K OSI SIMMETRII “ASTIC.
rIS. 2. tO VE, “TO I NA RIS. 1, NO DLQ NEOSESIMMETRI“NOJ ZADA“I.
rIS. 3. tO VE, “TO I NA RIS. 1, NO DLQ WYTQNUTYH SFEROIDOW.
rIS. 4. tO VE, “TO I NA RIS. 1, NO DLQ m = 1:3.
rIS. 5. tO VE, “TO I NA RIS. 1, NO DLQ x v = 3.
rIS. 6. oTNOSITELXNYE O[IBKI ffi (1)
1 W TO“KAH NA POWERHNOSTI SPL@SNUTOGO SFEROIDA PRI
a=b = 1:42; m = 2:0; x v = 1:0; ff = 45 ffi . oKOLO KRIWYH UKAZANY ZNA“ENIQ UGLA ` (' = 0 ffi ).
17