Как известно из литературных источников, все орбиты планет со временем эволюционируют и в том числе их эллипсы как бы поворачиваются, но наиболее заметен этот эффект только для Меркурия. Наблюдения показывают, что за 100 лет его перигелий поворачивается на 5600" (угловых секунд), где 5025" это поворот самой системы отсчета, а 575" это динамическое смещение, обусловленное влиянием объектов Солнечной системы. Опять же, как пишут в литературных источниках, 532" объясняются влиянием объектов Солнечной системы классической механикой, а 43" объясняются релятивистской механикой. Например, Лаверье посчитал увеличение долготы перигелия Меркурия за юлианское столетие, вызываемое притяжением других планет (см. табличку), а Клеменс уже совсем недавно (1947 год) сделал расчет влияния на смещение перигелия не только планет, но и сжатия Солнца +0,01 и даже от самого Меркурия +0,025 (только как сам на себя может влиять Меркурий мне не понятно).

_________________Лаверье________Клеменс
Венера_________+280,64_________+277,856
Земля___________+83,61_________+90,038
Марс____________+2,55__________+2,536
Юпитер________+152,59_________+153,584
Сатурн___________+7,24_________+7,302
Уран_____________+0,14_________+0,141
Нептун___________+0,06_________+0,042

Итого у Лаверье получается 526,83, а наблюдения (за вычетом угла поворота системы отсчета) в то время давали 565,1 , т.е. получается на 38,3 больше, чем по сделанным им расчетам. У Клеменса получается 5599,74-5025,645 (прецессия)=574,095 (наблюдения) из которых классической механикой объясняется 531,535 секунд и остается 42,56 секунды, которые требуют объяснения. Сейчас считается, что общая теория относительности (ОТО), созданная Эйнштейном, якобы объясняет этот остаток и в различных литературных источниках приводятся хотя и несколько противоречивые данные, но по Меркурию почти всегда хорошо совпадающие. Например, можно увидеть такие данные

Меркурий_____43,0 +/- 2,1 (real)______ 43 (OTO) _______43,11' + 0,45 (real)______43,03 (OTO)
Венера________3,4 +/- 4,8 (real)______ 8,3 (OTO) _______8,4 + 4,8 (real)___________8,6 (OTO)
Земля_________5,0 +/- 1,2 (real)______ 3,8 (OTO) _______5,0 + 1,2 (real)___________3,8 (OTO)
Марс _________8,0 +/- 3,7 (real)______ 1,35 (OTO)_______1,1 + 0,3 (real)___________1,4 (OTO)

Но сейчас я совершенно не собираюсь рассматривать поправки, которые дает ОТО, т.к. занимаюсь расчетом смещения которое дает классическая механика. Для этого я написал программу Solsys3 (скачать программу и исходники можно здесь http://ser.t-k.ru/ или на зеркале http://modsys.narod.ru/ ), где движение всех планет моделируется в одной плоскости, скорость распространения гравитации равна бесконечности и система отсчета неподвижна, т.е. стопроцентно Ньютоновский подход. Проведя вычислительные эксперименты на математической модели я получил вполне удовлетворительные результаты для смещения перигелиев планет, например, для Меркурия 544":549" (интервал это не погрешность решения), для Земли 1070:1230, а для Марса 1570:1700 секунд и при этом смещение перигелия у Юпитера, Сатурна и Урана оказывается даже больше чем у планет Земной группы, где, кстати, у Венеры смещение перигелия вообще происходит в противоположную сторону. Согласно Брумбергу экспериментальные данные по Меркурию и Земле составляют 576 и 1179 сек, а его значение по смещению Венеры +52 сек может быть вполне объяснено, тем, что ошибка измерений смещения перигелия Венеры при ее микроскопическом эксцентриситете 0,0068 может быть очень большой и вполне возможно, что смещение на самом деле имеет отрицательный знак. Для Марса данные можно найти у Субботина, где он пишет, что согласно данным Брауэра и Вуркома, период обращения перигелиея Марса составляет 72 тысячи лет и, соответственно, получается, что смещение перигелия Марса за 100 лет будет 1800 секунд. Графики зависимостей абсолютного смещения перигелиев планет в функции времени приведены на скриншоте второй формы программы Solsys3, где масштаб для времени (по оси абсцисс) 500 лет/см, а масштаб смещения угла перигелия для всех планет 10000 сек/см, а для Нептуна 50000



Таким образом, полученные мною средние значения смещения перигелиев планет вполне соответствуют наблюдаемым значениям, но я обнаружил, что при каждом новом пролете планеты ее перигелий увеличивается не монотонно, а скачками, как в сторону увеличения, так и в сторону уменьшения. Причем для внутренних планет эти скачки, хоть и не такие большие, как для наружных планет, но очень существенные, чтобы не просто затруднить получение экспериментальных данных при проведение натурных пассивных экспериментов, а вообще забраковать все полученные данные, если период наблюдения будет меньше 500 лет. Например, даже для  Меркурия отклонение перигелия при новом пролете относительно предыдущего пролета может составлять 20 секунд, при том, что при линейном увеличение смещения оно должно быть только 1,3 сек.

Чтобы повысить точность полученных результатов я переделал в 4-ой версии программы модель из двухмерной в трехмерную (а в дальнейшем и учту скорость распространения сил гравитации, что должно устранить погрешность расчетов с использованием классической механики при бесконечной скорости распространения гравитации и дать для Меркурия требуемые 575 секунд, т.е. для поправки по ОТО остается ноль). Но как показывает и эта модель дисперсия положений перигелиев планет остается просто огромной и по этому у меня возник вопрос - а как же при таких данных астрономы их обрабатывают и в частности отбраковывают опыты. И может быть по этой причине их почти все бракуют и не печатают. Чтобы было более наглядно видно то очем я говорю, приведу распечатку по вычислительному эксперименту на программе Solsys4 с Меркурием за 300 лет (начало эксперимента 1.01.1900 г), где Alfa - угол в перигелии на данную дату, dAlfa1 - отклонение этого угла от значения при предыдущем пролете, dAlfaE - суммарное отклонение угла в перигелии от значения принятого за точку отсчета, т.е. при самом первом пролете и dAlfa100 - суммарное отклонение в пересчете на 100 лет. А при подсчете статистики на конкретную дату выводится матожидание и дисперсия углов dAlfa1 и dAlfa100, а также расчет угла dAlfa100 по матожиданию dAlfa1 умноженному на количество пролетов за 100 лет.

эксперимент для объекта ? 1 выполнен  24.09.2007
основной шаг решения 3600 сек    шаг вблизи перигелия  36 сек
Alfa в градусах dAlfa1, dAlfaE и dAlfa100 в секундах
03.03.1900___Alfa= 075,90036____dAlfa1= 000,000____dAlfaE= 00000,00____dAlfa100= 000000,0
30.05.1900___Alfa= 075,90128____dAlfa1= 003,312____dAlfaE= 00003,31____dAlfa100= 001375,1
26.08.1900___Alfa= 075,90230____dAlfa1= 003,654____dAlfaE= 00006,97____dAlfa100= 001446,2
23.11.1900___Alfa= 075,90202____dAlfa1= -001,007____dAlfaE= 00005,96____dAlfa100= 000824,8
20.02.1901___Alfa= 075,90307____dAlfa1= 003,775____dAlfaE= 00009,73____dAlfa100= 001010,4
16.05.1901___Alfa= 075,90439____dAlfa1= 004,769____dAlfaE= 00014,50____dAlfa100= 001204,3
13.08.1901___Alfa= 075,90433____dAlfa1= -000,240____dAlfaE= 00014,26____dAlfa100= 000987,0
10.11.1901___Alfa= 075,90647____dAlfa1= 007,714____dAlfaE= 00021,98____dAlfa100= 001303,5

10.08.2000___Alfa= 076,04689____dAlfa1= 005,069____dAlfaE= 00527,49____dAlfa100= 000525,2
Статистика на 11.09.2000   количество измерений NP=NP-1= 000417
MdAlfa1= 00001,26495___SdAlfa1= 00006,68450
MdAlfa100= 000556,89___SdAlfa100= 000111,39___MdAlfa100=MdAlfa1*NP100= 000525,21

25.02.2006___Alfa= 076,05388____dAlfa1= 008,215____dAlfaE= 00552,64____dAlfa100= 000521,5
22.05.2006___Alfa= 076,05822____dAlfa1= 015,629____dAlfaE= 00568,27____dAlfa100= 000535,0
18.08.2006___Alfa= 076,05911____dAlfa1= 003,214____dAlfaE= 00571,48____dAlfa100= 000536,8
15.11.2006___Alfa= 076,05680____dAlfa1= -008,305____dAlfaE= 00563,18____dAlfa100= 000527,8
12.02.2007___Alfa= 076,05819____dAlfa1= 004,983____dAlfaE= 00568,16____dAlfa100= 000531,3
08.05.2007___Alfa= 076,05786____dAlfa1= -001,177____dAlfaE= 00566,98____dAlfa100= 000529,0
05.08.2007___Alfa= 076,06123____dAlfa1= 012,132____dAlfaE= 00579,12____dAlfa100= 000539,1
02.11.2007___Alfa= 076,06190____dAlfa1= 002,408____dAlfaE= 00581,53____dAlfa100= 000540,1
29.01.2008___Alfa= 076,06239____dAlfa1= 001,758____dAlfaE= 00583,28____dAlfa100= 000540,5
25.04.2008___Alfa= 076,06135____dAlfa1= -003,742____dAlfaE= 00579,54____dAlfa100= 000535,9
22.07.2008___Alfa= 076,06282____dAlfa1= 005,295____dAlfaE= 00584,84____dAlfa100= 000539,6
Статистика на 21.09.2008   количество измерений NP=NP-1= 000450
MdAlfa1= 00001,29964___SdAlfa1= 00006,72766
MdAlfa100= 000555,11___SdAlfa100= 000107,43___MdAlfa100=MdAlfa1*NP100= 000539,61

03.10.2299___Alfa= 076,48914____dAlfa1= 000,456____dAlfaE= 02119,58____dAlfa100= 000530,4
30.12.2299___Alfa= 076,48634____dAlfa1= -010,077____dAlfaE= 02109,50____dAlfa100= 000527,6
27.03.2300___Alfa= 076,48698____dAlfa1= 002,303____dAlfaE= 02111,80____dAlfa100= 000527,9
23.06.2300___Alfa= 076,49081____dAlfa1= 013,787____dAlfaE= 02125,59____dAlfa100= 000531,0
Статистика на 12.08.2300   количество измерений NP=NP-1= 001662
MdAlfa1= 00001,27894___SdAlfa1= 00006,83729
MdAlfa100= 000536,31___SdAlfa100= 000057,15___MdAlfa100=MdAlfa1*NP100= 000531,02

Я конечно же не могу дать стопроцентной гарантии, как страховая компания, что моя модель выдает абсолютно правильный результат, но, учитывая простоту модели и мой опыт моделирования, могу уверенно заявить, что наличие ошибок или неточностей в ней столь мало вероятно, что по критерию наиболее вероятного исхода позволяет считать ее верной. А, если это так, в учебниках приводятся не все осредненные данные по смещению перигелиев планет Солнечной системы и в частности не приводятся те, которые могут не соответствовать поправкам которые должна давать ОТО. При обсуждение этого вопроса вот здесь  http://forum.membrana.ru/forum/scitech.html?parent=1053139875&page=0 все сошлись во мнение, что требуется помощь астрономов для подтверждения таких скачков в смещениях перигелиев планет. По этому, у меня просьба ко всем астрономам, кого заинтересовал этот вопрос, сообщить мне, что Вам известно о методике экспериментального определения перигелия планет и о полученных первичных экспериментальных данных (даже если Вы их считаете не верными, т.к. я не могу НИГДЕ найти вообще никакие первичные экспериментальные данные, т.е. не подвергнутые статистической обработке).

С наилучшими пожеланиями Сергей Юдин.

Чтобы повысить точность полученных результатов я переделал в 4-ой версии программы модель из двухмерной в трехмерную (а в дальнейшем и учту скорость распространения сил гравитации, что должно устранить погрешность расчетов с использованием классической механики при бесконечной скорости распространения гравитации и дать для Меркурия требуемые 575 секунд, т.е. для поправки по ОТО остается ноль)

Было бы интересно, при какой скорости распространения гравитации в модели все поправки по ОТО уходят в ноль.

Поскольку Вы занимаетесь классической небесной механикой, Вам, вероятно, может оказаться полезной информация о величинах гравитационных масс планет и соотношениях между ними:
http://www.scientific.ru/dforum/altern/1123601551

Спасибо за стремление помочь, но у меня в программе практически эти же данные (считающиеся наиболее свежими) и используются. Можете сравнить

__________приведенные Вами_______в программе Solsys3
Солнце _________???_____________332831,30
Меркурий_______0,055_______________0,05527
Венера__________0,815______________0,81475
Земля____________1____________________ 1
Марс___________0,108______________0,10745
 Юпитер________317,735_____________317,938
 Сатурн_________95,147______________95,181
 Уран__________14,54_______________14,535
Нептун_________17,23_______________17,135

А вот в программе Solsys4 у меня предполагается использование 4-х систем масс планет. Это официальная МАС1964, Ньюкома (пока не нашел и буду признателен, если кто то поможет найти), JPL (Лаборатория реактивного движения, США) и моей собственной (пока не приступал к разработке). Конечно же я скажу спасибо за информацию по любым экспериментальным данным, но больше всего меня сейчас интересуют первичные данные именно по положениям перигелиев планет.

С наилучшими пожеланиями Сергей Юдин.

Каким методом интегрируются уравнения движения?

Методом Рунге_Кутта по 4-м коэффициентам.

С наилучшими пожеланиями Сергей Юдин.

Рунге-Кутт четвертого порядка Вселенную не вскроет.
Силенок маловато.. 

Пока у меня по всем критериям проходит и за 25 лет работы с ним он зарекомендовал себя очень хорошо. А у Вас есть какие то конкретные возражения или предложения или только общие соображения.

С наилучшими пожеланиями Сергей Юдин.

     1.Для численного интегрирования движения планет на больших промежутках времени будет маловато точности 8-байтового типа Double (Visual Basic 6), который Вы используете (15 значащих разрядов мантиссы).

Да, тут я согласен, что лучше бы использовать Delphi или долбаный C++ у которых тип Double в два раза точнее, но программа настолько сложна, что я с этим С++ могу убить года два, но так ее и не отладить программу, а Visual Basic 6 позволяет мне это сделать элементарно. А чтобы не было таких абстрактных заявлений маловато или не маловато я в третьей версии предусмотрел расчет ошибки решения по суммарной энергии всей системы, а в четвертой версии я дал только оценочный расчет, т.е. для одной планеты, но не только по энергии системы, но по углу перигелия. Меня полученный процент ошибки вполне устраивает, а если Вам надо 10^-18 процента, то пишите программу на Delphi или C++, но лично я не вижу в этом необходимости, т.к. точность астрономических замеров перигелия будет гораздо ниже.

     2.Вы неверно понимаете, о каком смещении перигелия идет речь. В Вашей программе момент прохождения перигелия определяется, как минимальное расстояние от центра - это совсем не то, что надо. В небесной механике, как это сложилось чисто исторически, уравнения Кеплера никто, естественно, численно не интегрировал (до появления компьютеров), а вместо этого искались аналитические решения в виде рядов. Эти решения записывались в виде параметров невозмущенной кеплеровой орбиты, на которую накладывались два типа возмущения: 1) отклонения от кеплеровой орбиты и 2) вековое изменение параметров самой кеплеровой орбиты. В итоге, если искать перигелий Вашим способом, то будете получать те скачки, которые Вы обнаружили (они определяются поправками вида 1). А то смещение перигелия, о котором все говорят в связи с ОТО, это поправки типа 2 - вековое изменение средних значений орбитальных (кеплеровых) элементов. Так что придется Вам сначала разобраться с небесной механикой.

А я думаю, что Вам сначала надо разобраться с тем, что я написал., а потом уже делать паукообразные выводы. Моя программа дает и то и другое о чем Вы писали и много еще чего, но меня сейчас не очень интересуют вековые смещения, полученные расчетным путем, т.к. здесь все более менее ясно, а вот первичных экспериментальных данных, из которых я потом и сам могу, произведя статистическую обработку данных, получить матожидание по вековому смещению перигелия, я нигде найти не могу (наверное это военная тайна). По этому я и обратился за помощью не к физикам, которые оказались беспомощными в этом вопросе, а к астрономам, которые, глядя в телескоп, замеряют конкретное положение перигелия Меркурия на конкретный день и говорят, что сегодня он прошел перигелий и его угол в перигелии был столько-то (можно даже сравнить с расчетными данными для 2007-2008 годов, приведенными мною). И вот именно эти данные меня сейчас и интересуют. А Ваше утверждение о том, что у астрономов перигелий это не минимальное расстояние между планетой и Солнцем, меня очень заинтересовало, т.к. я всегда думал, что это именно минимальное расстояние. Дайте пожалуйста более развернутое пояснение по этому вопросу (я ведь не астроном и мы можем с Вами говорить на разных языках не понимая друг друга).

С наилучшими пожеланиями Сергей Юдин.

Пока у меня по всем критериям проходит и за 25 лет работы с ним он зарекомендовал себя очень хорошо.

Это очень хороший метод, но для задач небесной механики действительно не подходит.

А у Вас есть какие то конкретные возражения или предложения или только общие соображения.

Вот, почитайте: http://solar.tsu.ru/chrest/ и особенно http://solar.tsu.ru/chrest/book08.htm.

1. Он не "долбаный". И "не точнее". Там все те же типы согласно IEEE-754.

Справедливости ради необходимо отметить, что в C++ кроме типа "double", который имеет размер 8 байт, есть еще тип "long double", который имеет размер 10 байт и естественно точнее. У него под мантиссу отводится 8 байт, а под экспоненту 2 байта. Похоже, что в Basic этого типа нет.

Наблюдаются азимут и высота планеты в такой-то момент времени. Затем эти азимут и высота пересчитываются в экваториальные, а затем в эклиптикальные координаты.

Вот меня и интересует -  эти эклиптические координаты определяются относительно чего. Относительно Солнца, относительно центра масс Солнечной системы или относительно какой-то //неподвижной// системы координат связанной с //неподвижными звездами//.

Далее решается задача, обратная кеплеровой - по ряду наблюдений координат получить параметры орбиты. Их получают и выясняестя, что на длительных сроках кроме периодических изменений есть и секулярные (вековые). И выясняется, что у орбиты планеты меняется линия апсид. Для того, чтобы нам самим знать, сколько до кого, солнечный параллакс измеряется тоже.

В астрономии нет "замеров перигелия".

Хорошо пусть будет определение долготы перицентра. Надеюсь такой параметр у орбиты определяется и надеюсь, что он определяется для каждого оборота планеты вокруг Солнца.

С наилучшими пожеланиями Сергей Юдин.

Проводил как-то несколько лет назад эксперименты по влиянию количества разрядов на точность численного интегрирования. Гонял орбиту Радиоастрона. Количество разрядов задавал в диапазоне от 16 до 32. Интегрировал в Mathematica, используя ее стандартные функции. Точность там можно задавать любую. Получилось, что после 24 разрядов орбита перестала изменяться (количественно, я уже не помню). Т.е. в терминах языков Вам нужна  как минимум "triple precision" .

Ну тут все относительно и по этому я поступил проще. На первой форме программы Solsys4 можно задав разный шаг решения просто посмотреть как изменится в процентах полная энергия системы (состоящей из планеты и Солнца, а в 3-ей версии было для всей Солнечной системы) или посмотреть как изменится угол в перигелии в секундах от начальных значений за тысячу лет. Например, для самой чувствительной к точности решения планеты, т.е. Меркурия, у меня получается 4,2*10^-8 % для энергии системы и  0,04-0,98 сек для угла перигелия при скажем так среднем шаге решения по всей орбите 3600 сек (правда вблизи перигелия, т.е. +/- 1 градус, шаг был 3,6 сек). Таким образом, если за 1000 лет перигелий сместится на 5750 сек, то ошибка в определение угла в 1 сек  не имеет принципиального значения, т.к. примерно такая же ошибка была и в начале эксперимента (0,03-0,9 сек) и, следовательно, сам перигелий сместился менее чем на 0,1 сек из-за ошибок вызванных разрядностью численных данных, с которыми работал компьютер.

С наилучшими пожеланиями Сергей Юдин.