Иллюзия, так как должна быть периодичность

>>При чем тут центр Земли.

Ну вроде задача была конкретная, про Землю. Учитывая, что радиус Земли сопоставим с заданной начальной высотой падения тела, движением внутри Земли пренебречь нельзя.

Тот пример, который Вы привели (с начальной скоростью и промахиванием мимо тела) есть простой случай движения тела по сильно вытянутой эллиптической орбите, который подчиняется законам Кеплера.

>>Ускорение же в некорый момент тоже будет нулевым, так как оно непрерывно, и меняет знак.

Вектор ускорения в этом случае (движение по элл. обите) НИКОГДА не будет нулевым, он меняет не просто знак а направление. Нулевой вектор ускорения будет означать, что на орбите есть точка где на тело не действует сила притяжения.

Заметьте, что если пробить канал через центр притягивающего тела, то движение вниз-вверх пробного тела будет стольже периодично, как и его же движение по эллиптической орбите (с тем же периодом !? ).

Цитировать

Представьте, что имеется небольшая начальная скорость пробного тела, перпендикулярная направлению на тяжелое тело.

Это два совершенно разных случая!! В первом вы говорите об отвесном падении тела сквозь канал пробитый через центр притягивающего тела, а во втором случае вы полагаете что тело имеет некоторую скорость, перпендикулярную направлению на тело, что не одно и то же. В первом случае тело двигалось бы циклически вдоль прямой, проходящей через центр масс гравитирующего тела, а во втором случае оно, скорее всего будет двигаться по эллипсу, но никак не по прямой!

При падении на тело с неизмеримо малыми размерами, несложно и промахнуться, хотя движене будет практически по прямой. Ускорение же в некорый момент тоже будет нулевым, так как оно непрерывно, и меняет знак.

Во-первых при отвесном падении промахнуться вам никак не удастся, а во вторых, из предположения, что тело имеет неизмеримо малые размеры следует, что ускорение при приближении к телу,  будет постоянно увеличиваться (стремиться к бесконечности), более того, если масса тела достаточно велика (сравнима с массой Земли), а размеры исчезающе малы, то это тело представляет собой ничто иное, как черную дыру!!! И пробная частица, пролетающая мимо, просто будет поглащена ею, если зайдет за сферу Шварцшильда.

Ускорение не меняет знак!!! Оно меняет только свое направление в пространстве. Взгляните на формулу g=Gm/R², что бы ускорение поменяло знак, надо чтобы масса притягивающего тела стала отрицательной.

P.S. В предложенном мною примере я рассматривал случай отвесного падения тела на гравитирующую массу, полагая, что начальная скорость тела равна нулю, и падение происходит строго вертикольно, без дополнительных скоростей перпендикулярных направлению на гр. тело. В идеальном случае, если представить оба тела в виде материальных точек, то падение первого тела на второе закончится при совпадении их центров масс. r=0, V - стремится к c, g - стремится к бесконечности.

Продолжим решение уравнения
(2)  V = sqrt ( 2*k*M/X - 2*k*M/Xo )
 заметив, что начальное расположение пробного тела Xo>0. Так как V=dX/dt, поэтому
sqrt ( 2*k*M)dt=dX/ sqrt ( 1/X - 1/Xo )
Заменим 1/X=u. Получим
t*sqrt ( 2*k*M)+C=-du/(u²sqrt(u-1/Xo))
 
обратившись к таблицам интегралов
http://mportal.narod.ru/Math/integr2.htm
увидим нужный интеграл ?25, который делает ссылку на нижний интеграл ?24, так как a=1, b=-1/Xo <0.

Заменив обратно u=1/X, получаем

t*sqrt ( 2*k*M)+C=  Xo X sqrt( 1/X - 1/Xo ) + Xo ^3/2 arctg (sqrt( Xo/X - 1 ))

откуда в наших условиях (при t=0    X=Xo) получаем С=0

У меня возник еще один вопрос, касающийся гравитации.

Рассмотрим взаимодействие двух массивных тела (двойная звезда) одинаковой массы. Для простоты, будем считать их материальными точками. Расстояние между телами - R, массы тел - M₁=M₂=M. Как известно, двойные звезды вращаются вокруг общего центра масс. В нашем случае расстояние до общего центра масс - r₁=r₂=R/2=r.
Сила гравитационного взаимодействия между ними F_g=GM²/R², а центростремительная сила F_цс=MV²/r=2MV²/R, где V - скорость движения по окружности, откуда следует, что V=sqrt(GM/2R). Видно, что V в sqrt(2) раз меньше первой космической скорости. Как такое может быть?? Или в формуле центростремительной силы нужно брать не расстояние до общего центра масс, а все то же расстояние между телами??

А причем здесь первая космическая? Ее определение - скорость пробного тела, масса которого намного меньше основного тела...

Как в таком случае назвать эту скорость?? Получается закон тяготения Ньютона не применим к телам соизмеримым по массе?? Что-то с трудом верится.  

Получается закон тяготения Ньютона не применим к телам соизмеримым по массе?? Что-то с трудом верится.

Выполняется или нет - это зависит от того, как Вы к этому относителсь.  
Но вот соизмеримые по массе тела ОБА не будут неподвижны относительно общего центра тяжести. Отсюда и их относительная скорость....

Получается, что тела будут сближаться с ускорением 20 м/с², но тогда наблюдатель, находящийся на первом теле, будет считать, что второе тело притягивается с ускорением в два раза большим, чем ему положено?? (второй наблюдатель будет видеть тоже самое).

Но вот соизмеримые по массе тела ОБА не будут неподвижны относительно общего центра тяжести. Отсюда и их относительная скорость....

В приводившемся мной примере тела действительно не покоились относительно общего центра масс, они вращались вокруг него.

На сегодня считается, что ускорение в Законе Ньютона абсолютно (не  подчиняется релятивизму), сумма ускорений остается математической суммой.
( Главный специалист здесь в этом вопросе - Bob.)

Кто вызвал bob'а?.. Спасибо, Che, за высокую оценку моих скромных возможностей. Это так только в общих чертах. Все таки в ОТО имеет место не арифметическое сложение, а операции над тензорами. Но в случае движения вдоль одной и той же прямой при бесконечно малой разности расстояния и кривизны окружающего пространства (в случае СТО, в сущности) - да.

Вопрос то очень простой и совсем не требует привлечения теории относительности.
Дело в том, что оба наблюдателя будут находится в неинерциальной системе координат. Для того, чтобы перейти в инерциальную систему наблюдатель должен вычесть из наблюдаемого ускорения соседней массы ускорение собственной системы координат...

Вопрос-то очень сложный остается - как вычесть ускорение. И без ОТО пока не решающийся.