Уважаемые участники "Горизонтов", скажите пожалуйста свое мнение по следующему вопросу.

Я нашел общий метод осуществления алгебраических действий со степенными рядами (алгебраическое суммирование, умножение и деление рядов). Для этого нужно из коэффициентов С каждого ряда вида

(сумма по индексу n от нуля до бесконечности Cn*(x-x0)^n)      (1)

составить матрицу вида

C0     0       0       .      0    0
C1     C0     0       .      0     0
C2     C1     C0     .      0     0                              (2)
.      .      .           .     .        .   
Cn-1   Cn-2   Cn-3  .    C0    0
Cn     Cn-1   Cn-2   .    C1   С0

, затем произвести необходимые действия над этими матрицами, после чего выписать из матрицы-результата значения коэффициентов ряда-результата, которые будут расположены в матрице-результате на тех же местах, что и коэффициенты ряда (1) в матрице (2).

Кто-нибудь где-нибудь видел что-то похожее? (исключение http://irodov.nm.ru/cgi-bin/ikonboard/topic.cgi?forum=7&topic=44&start=10).
 

Уважаемый Сергей! Отвечаю на Ваши вопросы.
 1.) Область применения "матричного метода", прежде всего - взаимные преобразования рядов, например, подстановка ряда в ряд, нахождение коэффициентов обратного ряда (не рекуррентным способом и не с помощью детерминанта). Если сравнить формулы для этих операций, приведенные, например, в конце третьего тома книги "Интегралы и ряды" авторы Прудников, Брычков, Марычев, и полученные в результате применения матриц, то предложенная форма записи выглядит намного компактнее. Это можно применить при интегрировании обыкновенных дифференциальных уравнений.
В качестве маленького примера рисунок 1 это отсканированная ксерокопия из этой книги, а рисунок 2 - решение той же задачи матричным методом.

 

     Уважаемый Михаил, то, что запись выглядит компактно, я уже понял. Но для того, чтобы Ваш метод имел смысл в реальных задачах, надо продемонстрировать его применение при решении конкретной задачи от начала до конца. То, что Вы привели, не показывает преимуществ, так как для вычисления результата надо снова пользоваться формулами для "раскрытия" матриц, которые при аналитическом решении сразу же приводят нас к решению из отсканированной книги.
     Вспомните, как Фейнман продемонстрировал, что все законы физики вместе взятые можно записать в виде компактной формулы U = 0. И он же спросил: "А легко ли пользоваться такой формулой?". Оказывается гораздо труднее, чем некомпактными формулами.

2 Хартиков Сергей:

Насчет преимуществ, по крайней мере, с одним, думаю, согласятся все - простота запоминания формул. Если составить такую матрицу, то все действия с рядами будут выглядеть единообразно. Преимущество здесь в том, что если имеется не один, а очень много промежуточных рядов, то получить выражение для общего члена ряда-результата традиционными методами весьма затруднительно, по крайней мере, объем формул возрастает неимоверно. Как следствие, маленькая ошибка в знаке или индексе часто приводит к неработоспособности большой и сложной программы. А если программист знает, что все действия с рядами можно заменить действиями с матрицами, то вероятность его ошибки заметно уменьшается (проверено на себе).

И кроме того. Независимо от преимуществ и недостатков есть, наверное, и эстетическая сторона вопроса. Матрицы и ряды были введены как два разных класса математических объектов, со своими законами выполнения действий. И выясняется, что между ними есть взаимосвязь, если из коэффициентов рядов составить матрицы, как угодно их сложить, вычесть, перемножить, поделить (по законам матриц!), то из матрицы-результата можно "достать" ряд-результат. Разве не интересно? Здесь, по-моему, будет лучше аналогия не с тем, что предложил Фейнман, а с той ситуацией, когда решение какого-либо дифференциального уравнения, не выражающееся через конечное число элементарных функций, называют новой функцией (Лямэ, Матье, Хилла и т.п), и дальше используют эту форму записи, без крайней необходимости не раскрывая, что у нее внутри.


 

     Уважаемый Михаил, я посмотрел Ваши тексты. Там Вы указали только два преимущества:

     1) "Использование матриц вида (10) позволяет значительно упростить запись вычислительного процесса".

     Но это упрощение касается только программистов, составляющих указанные программы. Учитывая, что я сам программист, то могу заметить, что упрощение проявится только в случае использования специальных пакетов (библиотек), работающих с матрицами. В случае же, если программист сам составляет программу (что предпочтительнее для программиста), преимущество исчезает.

     2) "...снизить вычислительную погрешность при расчете на ЭВМ, так как существуют пакеты программ, в которых при ведении вычислений внутри матрицы мантисса любого числа увеличивается на несколько разрядов, что снижает погрешность операций над матрицами в программе по сравнению с теми же операциями над отдельными элементами"

     А что мешает программисту самому написать точную программу, в которой мантисса будет "увеличиваться на несколько разрядов" точно так же, как и в этих специальных программах? Опять же - преимущество только для тех программистов, кто пользуется теми пакетами программ вместо самостоятельного программирования.

Уважаемый Сергей! Программист может сначала написать библиотеку для матриц, а затем обращаться к ней из программ, интегрирующих ОДУ с помощью рядов. (можно в принципе сразу написать библиотеку для коэффициентов рядов - спор, как я понимаю, идет вокруг этого). В принципе, дело вкуса каждого, кто этим занимается, согласен. Предложенный метод только позволяет один процесс - действия с рядами - заменить другим - действиями с матрицами. Помимо чисто методического интереса и удобства записи больших формул, надеюсь, эта штука практически кому-нибудь когда-нибудь пригодится.